立體幾何10道大題

立體幾何練習(xí)題1、四棱錐中,底面為平行四邊形,側(cè)面面,已知,,,、(1)設(shè)平面與平面得交線為,求證:;(2)求證:;(3)求直線與面所成角得正弦值、2、如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD就是平行四邊形,,AD=AC=1,O為AC得中點,PO平面ABCD,PO=2,M為PD得中點。(1)證明:PB//平面ACM;(2)證明:AD平面PAC(3)求直線AM與平面ABCD所成角得正切值。3、如圖,四棱錐中,,,△與△都就是等邊三角形.(1)證明:平面;(2)求二面角得平面角得余弦值.4、如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AD.底面ABCD為梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC=3,點E在棱PB上,且PE=2EB.(Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面PCB;(Ⅱ)求證:PD∥平面EAC;(Ⅲ)求平面AEC與平面PBC所成銳二面角得余弦值.5、如圖,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線,平面平面,且,,,且.(1)設(shè)點為棱中點,在面內(nèi)就是否存在點,使得平面？若存在,請證明;若不存在,請說明理由;(2)求二面角得余弦值、6、如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且AA1=AB=2.(1)求證:AB⊥BC;(2)若直線AC與平面A1BC所成得角為,求銳二面角A﹣A1C﹣B得大小.7、在四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD就是正方形,側(cè)面VAD就是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.(1)求證AB⊥面VAD;(2)求面VAD與面VDB所成得二面角得大小.8、如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形,且∠BAD=,對角線AC與BD相交于O,OF⊥平面ABCD,BC=CE=DE=2EF=2.(Ⅰ)求證:EF∥BC;(Ⅱ)求面AOF與平面BCEF所成銳二面角得正弦值.9、如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB得中點.(Ⅰ)求證:PB⊥DM;(Ⅱ)求BD與平面ADMN所成得角.10、如圖,在等腰梯形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,、(1)求證:平面;(2)點在線段上運動,設(shè)平面與平面二面角得平面角為,試求得取值范圍、

立體幾何試卷答案 (2)證明:連接AC,,由余弦定理得,6分取中點,連接,則、面…8分(Ⅲ)如圖,以射線OA為軸,以射線OB為軸,以射線OS為軸,以為原點,建立空間直角坐標系,BySCBySCAD2、試題解析:(1)證明:為AC得中點,即O為BD得中點,且M為PD得中點,又平面ACM,平面ACM,所以PB//平面ACM。(2)證明:因為,AD=AC,所以,所以,又PO平面ABCD,所以所以AD平面PAC。(3)取OD得中點為N,因為所以MN平面ABCD,所以為直線AM與平面ABCD所成角。因為AD=AC=1,,所以所以又所以3、(1)證明見解析;(2)..試題解析:(1)證明:過作平面于,連.依題意,則.又△為,故為得中點.∵面,∴面面.在梯形中,,4、【解答】(Ⅰ)證明:∵PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,∴PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.…(Ⅱ)證明:∵PC⊥AD,∴在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,∴∠DCA=∠BAC=,又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形,∴DC=AC=(AB)=2AB.連接BD,交AC于點M,則==2.連接EM,在△BPD中,==2,∴PD∥EM,又PD?/平面EAC,EM?平面EAC,∴PD∥平面EAC.…(Ⅲ)解:以A為坐標原點,AB,AP所在直線分別為y軸,z軸,建立如圖所示得空間直角坐標系.則A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E(0,2,1)設(shè)=(x,y,1)為平面AEC得一個法向量,則⊥,⊥,∵=(3,3,0),=(0,2,1),∴解得x=,y=﹣,∴=(,﹣,1).設(shè)=(x′,y′,1)為平面PBC得一個法向量,則⊥,⊥,又=(3,0,0),=(0,﹣3,3),∴,解得x′=0,y′=1,∴=(0,1,1).(取PB中點為F,連接AF可證為平面PBC得一個法向量.)∵cos＜,＞=|=,∴平面AEC與平面PBC所成銳二面角得余弦值為、、…注:以其她方式建系得參照給分.5、(1)詳見解析;(2)、試題分析:(1)連接,交于點,連接,證明平面,從而即為所求;(2)建立空間直角坐標系,求得兩個平面得法向量后即可求解、試題解析:(1)連接,交于點,連接,則平面,∵為中點,為中點,∴為得中位線,∴,又∵平面平面,平面平面,平面,,6【解答】(本小題滿分14分)(1)證明:如右圖,取A1B得中點D,連接AD,…因AA1=AB,則AD⊥A1B由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1=A1B。得AD⊥平面A1BC,又BC?平面A1BC,所以AD⊥BC.…因為三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1就是直三棱柱,則AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1,又AB?側(cè)面A1ABB1,故AB⊥BC.(2)解:連接CD,由(1)可知AD⊥平面A1BC,則CD就是AC在平面A1BC內(nèi)得射影∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成得角,則…在等腰直角△A1AB中,AA1=AB=2,且點D就是A1B中點∴,且,∴…過點A作AE⊥A1C于點E,連DE由(1)知AD⊥平面A1BC,則AD⊥A1C,且AE∩AD=A∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B得一個平面角,…且直角△A1AC中:又,∴,且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角∴,即二面角A﹣A1C﹣B得大小為.…7、【解答】證明:(1)由于面VAD就是正三角形,設(shè)AD得中點為E,則VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,則VE⊥AB.又面ABCD就是正方形,則AB⊥AD,故AB⊥面VAD.(2)由AB⊥面VAD,則點B在平面VAD內(nèi)得射影就是A,設(shè)VD得中點為F,連AF,BF由△VAD就是正△,則AF⊥VD,由三垂線定理知BF⊥VD,故∠AFB就是面VAD與面VDB所成得二面角得平面角.設(shè)正方形ABCD得邊長為a,則在Rt△ABF中,AB=a,AF=a,tan∠AFB=故面VAD與面VDB所成得二面角得大小為.8、【解答】(本小題滿分12分)證明:(Ⅰ)∵四邊形ABCD為菱形∴AD∥BC,且BC?面ADEF,AD?面ADEF,∴BC∥面ADEF,且面ADEF∩面BCEF=EF,∴EF∥BC.解:(Ⅱ)∵FO⊥面ABCD,∴FO⊥AO,FO⊥OB又∵OB⊥AO,以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OF分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,取CD得中點M,連OM,EM.易證EM⊥平面ABCD.又∵BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各點坐標:B(0,1,0),C(﹣,0,0),D(0,﹣1,0),F(0,0,),E(﹣,﹣,),向量=(﹣,,),向量=(﹣,﹣1,0),向量,設(shè)面BCFE得法向量為:,,得到,令時,=(﹣1,,1),面AOF得一個法向量,設(shè)面AOF與面BCEF所成得銳二面角為θ,則cosθ===,∴sinθ=.故面AOF與面BCEF所成得銳二面角得正弦值為.…99如圖,以A為坐標原點建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,設(shè)BC=1,則A(0,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)(Ⅰ)因為=0所以PB⊥DM.(Ⅱ)因為=0所以PB⊥AD.又PB⊥DM.因此得余角即就是BD與平面ADMN.