2021年高中數(shù)學(xué)模塊綜合測評課后習(xí)題含解析人教B版必修三

模塊綜合測評

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.（2020江蘇揚州中學(xué)高二月考）函數(shù)＜x）=x（e'-l）+lnx的圖像在點（11y（1））處的切線方程是（）

A.y=2ex-e-lB.y=2ex-e+l

C.y=2ex+e-lD.y=2ex+e+1

|解析|由函數(shù)4x）=x（e*-1）+lnx,知Xl）=e-l/（x）=e'-l+xe'+：,所以X：=/（l）=2e,在點（18））處的切線方程是

y-（e-1）=2e（x?1）,化簡得y=2ex-e-l.

耘A

2.（2020武邑宏達(dá)學(xué)校高一月考）設(shè)S,是等差數(shù)列｛冊｝的前n項和，若生=則等=（）

11Sg

A.lB.-lC.2D.i

2

?解析|在等差數(shù)列｛斯｝中，由殳=R得普=9（+a）==昔"$1,故選A.

------11?9---a=i....9-7U5711

ggA

3.（2020濟(jì)南高三模擬）《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日

織九匹三丈.”其意思為:現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天

織了5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計算）共織390尺布.此問題中若記該女子一月中的第n天所織布的尺

數(shù)為a〃，則r4+〃17的值為（）

A.56B.52C.28D.26

|解析|等差數(shù)列的首項。產(chǎn)5,設(shè)公差為d,故S3o=3Om+上1*d=390,解得公稱,故〃14+。17=2。［+291=26.

故選D.

拜D

4.（2020元氏第一中學(xué)高一期中）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為&,敢=2,9=28,則數(shù)歹的前2

020項和為（）

A2020n2018

A.-----B.-----

20212020

C2018口2019

^*2019^*2020

隆明由題意，設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為公

（即+d=2,s—1

則7“JX6,〃解得仁1

（7014--a=28,Id=1.

?：數(shù)列｛斯｝的通項公式為a“=l+(〃-l)xl=〃,〃￡N+..：--------=—-----

^-n^n+1n(n+1)

設(shè)數(shù)列｛七｝的前"項和為則〃=高+&+…+就==貴+短+…+品riT+9一

1,11.1n

一+???+--------=I_—

3nn+1n+1n+1*

?:“020=赤p故選A.

宣A

5.(2020四川北大附中成都為明學(xué)校高二月考)已知函數(shù)yU)=/-Hnx+l在(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實

數(shù)。的取值范圍是()

A.(2,I8)B.[2,18]

C.(-oo,2]U[18,+oo)D.[2,18)

|解析[*^f(x)=2x-^J(x)=^-a\nx+1在(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故2x《二0在(1,3)存在變號零點，即〃二貨在

(1,3)內(nèi)存在零點,?：2va<18.

蠲A

6.(2020江西石城中學(xué)高二月考)已知函數(shù)?r)=x+sinx?xeR,若ajlog三3),"用08工2)簿=7(2-2),則a,b,c

23

的大小為()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>h>aD.h>a>c

|解析jf(x)=1+cosx20,所以危)是R上的增函數(shù).

S1ogi3=-log23<-log22=-l,0>logi2=-log32>-log33=-l,2-2>0,

23

所以c=/(22)>/?=/(logi2)>(7=y(logi3),SJ(^C.

32

ggc

7.數(shù)列｛“”｝滿足。1=1,苗+2a2+…+2""a"=2"'Ha"+i(〃GN+),若。1+敢+…+為〈加恒成立，則m的最小值為

()

54

A.4B.2C.-D.-

33

|解析|由0+2〃2+???+2小"=2"+%〃+1(〃￡^),

可得當(dāng)時，由。]+2幻+…+2"%〃.|=2"斯,兩式相減可得=?,雇22.又。尸1,得。2二二所以數(shù)

Qn44

(1,兀=1,

列｛斯｝的通項公式為q〃=h,3、九-2

目9),n>2,

所以當(dāng)九22時,〃]+〃2+的+…+。〃=1+'2~1=2-”"<2,且〃=1時,〃]=1<2.

4

所以實數(shù)機的取值范圍是[2,+8),即〃1的最小值為2.

ggB

8.(2019四川成都高二期末)已知函數(shù)式x)=*?+2ex/(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))至少存在一個零點,

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,e2+i)B.(-oo,e2+1]

C.p.l,+oo)D.(e2-1,+oo)

|解析|令危)=等，+2ex-cz=0,即等=f-2ex+a.令g(x)=竽力(幻二F-2ex+a,

則原問題等價于函數(shù)且⑴二當(dāng)與函數(shù)h(x)=x2-2ex+a的圖像至少有一個交點.

,,,a,—x-lnxl-lnx

易知，函數(shù)力(x)=f-2e九+〃表示開口向上，對稱軸為x=e的二次函數(shù),gQ)=工=-

由g'(x)>0,得O〈x〈e,由g'a)<。,得x>e.

?：函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,g(x)max=g(e)=，.

作出函數(shù)g(x)與函數(shù)以工)的草圖，如圖所示.

由圖可知，要使得函數(shù)g(X)與函數(shù)/?(1)的圖像至少有一個交點，只需〃(X)minWg(X)max,即/-

2e，〃W；解得aWe2+2

ggBee

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，有選錯的得0分,部分選對的得3分.

9.(2020南京江寧高級中學(xué)高二期中)已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(尤)的圖像如圖所示，則下列判斷正確

的是()

B.當(dāng)x=-2時，函數(shù)y/x)取得極小值

C.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)單調(diào)遞增

D.當(dāng)x=3時，函數(shù)yjx)有極小值

解析對于A,函數(shù)yjx)在區(qū)間(-3,弓)內(nèi)有增有減，故A不正確；

對于B,當(dāng)x=-2時，函數(shù)廣式x)取得極小值，故B正確；

對于C,當(dāng)xe(-2,2)時，恒有/(x)>0,則函數(shù)y=/U)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，故C正確;

對于D,當(dāng)x=3時/(x)翔，故D不正確.

答案|BC

10.（2020山東高三一模）已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為5必=15+1=5“+2%+1,數(shù)列｛就二｝的前n項和

為7；,〃WN+,則下列選項正確的為（）

A.數(shù)列｛”,,+1｝是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛斯+1｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛〃“｝的通項公式為

D.7；,<1

|解析|由S“+1=S“+2%+1,得an+I=S?+I-5?=2a.+1,

可化為%+i+l=2（%+l）,由5|=0=1,可得數(shù)列他“+1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

則斯+1=2",即a?=2n-\.

又京二==一布丁?仔〃=1-苗+苗一石+…+況I一河7=1-9故

A錯誤,B,C,D正確.

答案|BCD

11.（2019遼寧省遼寧實驗中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列⑼=1,且色,外,的是一個等比數(shù)列中

的相鄰三項，記兒=〃應(yīng)"（療0,1）,則｛①｝的前〃項和可以是（）

A.nB.nq

Cq+nqn+1-nqn-qn口Q+nqn+2-nqn+1-qn+1

?（1-Q）2?（1-q）2-

魁畫設(shè)等差數(shù)列｛6｝的公差為d,又0=1,且〃,2。4M8是一個等比數(shù)列中的相鄰三項，

.：*二42，〃8,即（41+3"）2=（。]+3）（4]+7團(tuán),化簡得或41）=0,所以1=0或1,

故an=\或許=〃,所以bn=q或bn-ri-ci，

設(shè)｛/?〃｝的前幾項和為sn,

①當(dāng)bn=q時,S,k〃q;

②當(dāng)bn-n-q時,S〃=lxq+2xq2+3x/+3+〃xg",qS?=lxq2+2xg3+3xq4+???+〃xg〃+:

1

兩式相減,得（1-4）*=4+/+/+?“+小八4"+|=嗎2"（/+|,所以｛="竺一咄二=

i-q（i-q）i-q

^i?,n+2?n+in+i

"叫zn故n選BD

（1-Q）

答案|BD

12.（2020蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高二月考）已知函數(shù)火x）=e*+alnx,其中正確結(jié)論的是（）

A.當(dāng)。=0時,函數(shù)段）有最大值

B.對于任意的。<0,函數(shù)./（X）一定存在最小值

C.對于任意的"0,函數(shù)段）是（0,+8）上的增函數(shù)

D.對于任意的“>0,都有函數(shù)式x）>0

|解析忸于A,當(dāng)a=0時，函數(shù)於）=-根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，此時/（X）是單調(diào)增函數(shù)，故無最大值，故

A錯誤.

對于B,對于任意的a<Q,

：7W=e'+alrir,

.](x)=e'+5易知f(x)是在(0,+oo)上的單調(diào)增函數(shù).

當(dāng)工—+8時!/(》)一》+8,當(dāng)X—>0時次分f-8,

.：存在八沏)=0,

.:當(dāng)0cx<刖時/(x)<01Ax)單調(diào)遞減；

當(dāng)Xo<X<+8時/(x)>。<n)單調(diào)遞增.

?次幻11而可</0),故B正確.

對于C,對于任意的〃>0,

:'函數(shù)火x)=e"+alnx,

.:八x)=e*+*又?>0A>0.

可得:/'(x)>0,故函數(shù)7(x)是(0,+8)上的增函數(shù).故C正確.

對于D,對于任意的?>0,

:'函數(shù)段)=e*+“l(fā)nx是(0,+oo)上的增函數(shù)，

當(dāng)x-0時,e*—-oo,可得/(x)—>-oo,故D錯誤.

故選BC.

答案|BC

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

2

13.(2020河南鄭州高二期中)已知匕為正實數(shù)，直線y=x+a與曲線產(chǎn)產(chǎn)”目切，則^■的取值范圍

是.

麗因為)，=/+上則y'=eK+b.

由e""=l,得x=-A

當(dāng)x=?Z?時,y=l,故切點為(也1),

將切點代入直線得到]=-b+aJ=(i+匕)=6+工+222[b^+2=4,當(dāng)b=]時等號成立.

bbb\b

|答案|[4,+oo)

14.(2020紹興高級中學(xué)高一月考)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，且的=5必0=?9,則使S1取得最大

值時的n-.

麗:?數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列,〃3=5臼。=-9,

,：數(shù)列｛為｝的公差1=也產(chǎn)=2

?：。尸。3-2仁9,

?：S〃=〃Q]+^y^t/=-n2+I0H=-(??-5)2+25,

.:當(dāng)〃=5時5取最大值.

蠲5

15.(2020宜賓敘州區(qū)高二期中)已知等比數(shù)列｛斯｝加恁是函數(shù)外)=小+9/+12x+3的兩個極值點，則

。4=.

I解析I因為/"(X)=3x?+18x+12,又a2,〃6是函數(shù)fix')的兩個極值點,

則。2,“6是方程3X2+18x+12=0的根，

所以42%=4=W，所以解得“4=-2或2.

客氯2或2

16.(2020黃岡中學(xué)第五師分校高二期中)已知函數(shù)>時>)在R上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且

關(guān)于原點對稱，其導(dǎo)函數(shù)為八x),當(dāng)x>0時，有不等式工?⑴〉-2歡x)成立.若對任意xCR,不等式e^e-i)-

恒成立，則正整數(shù)a的最大值為.

|解析|因為當(dāng)JC>0時，有不等式x2/。:)〉-加》)成立，所以xTtO+Z狀x)>0,.：［布切'>0.

令gCOfYx),所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，由題意得gGxLxJ-xA-xYxA-ga),

所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

因為對任意xGR,不等式^f^y-crx^fiax)>0恒成立，所以e2Xev)>(i2x2fiax),

.,.g(ex)>g(ax),.'.ex>ax,

因為a>0,所以當(dāng)xWO時，顯然成立.

當(dāng)x>0時,令/7(x)=?(x>0),

所以“(》)=怨盧，所以函數(shù)/i(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以〃(x)min=〃(l)=e,所以a<e,

所以正整數(shù)a的最大值為2.

奉2

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)(2019全國/)記S,為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.己知59=-4.

(1)若的=4,求｛a,J的通項公式；

⑵若卬>0,求使得S含a“的n的取值范圍.

網(wǎng)(I)設(shè)｛a”｝的公差為d.

由$9=-“5得0+4d=0.

由的=4得ai+2d=4.

于是ai=8,d=-2.

因此｛斯｝的通項公式為a?=10-2n.

(2)由(1)得ai=-4d,故a“=(〃-5)d,S"=硬詈2

由“|>0知d<0,故等價于"2-ii〃+i0W0,解得

所以n的取值范圍是｛"|lW"W10,〃eN｝.

18.(本小題滿分12分)(2020天津南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高二期中)已知函數(shù)段)=丁+|公2.+1(46

R).

⑴當(dāng)a=2時,求曲線y=/(x)在點(1卬))處的切線方程.

⑵當(dāng)a<0時，設(shè)gM=J(x)+x.

①求函數(shù)g(x)的極值；

②若函數(shù)g(x)在［1,2］上的最小值是-9,求實數(shù)a的值.

凰⑴當(dāng)a=2時於

?:左可\1)=8<1)=4,故切線方程為y-4=8(x-l),即8x-y-4=0.

(2)(Z^(X)=/(X)4-X=X3+|6FJ:24-1,?<0,

.:令g'(x)=3%2+3ax=3Mx+a)=0,得由=Ox2=-a"i.

隨著x的變化,g(x)和g'(x)的變化如下：

(-(0,-(-

￥0-a

8,0)〃)+8)

g)+0-0+

極大極小

?(.v)//

值值

所以g(x)的極大值是g(0)=1;

極小值為g(-a)=一1.

&3=3#+3仁3《+。)，

(7)當(dāng)JWavO時,g。)》。在［1,2］上恒成立,g(x)在［1,2］上單調(diào)遞增,

QOO

g(X)min=g(l)=y+2=-9,4=-y<-l(舍去).

(ii)當(dāng)-2<a<-\時，則x,g'(x),g(x)的變化如下:

(1,-(-

X-a

〃)4,2)

V'<-V)-0+

極

心)小/

值

g(x)min=g(-a)=#+l=-9,a=-V^U<-2(舍).

(/力)當(dāng)時,g(x)在［1,2］內(nèi)單調(diào)遞減,g(x)min=g(2)=6a+9=-9,a=-3.

綜上可知,a=-3.

19.(本小題滿分12分)(2020宜賓敘州區(qū)第二中學(xué)校高一月考)設(shè)數(shù)列｛”“｝的前”項和為S”,若對于任

意的正整數(shù)〃，都有S“=2a“-3〃.

(1)設(shè)仇產(chǎn)a,,+3,求證:數(shù)列｛兒｝是等比數(shù)歹ij,并求出｛為｝的通項公式.

(2)求數(shù)列｛“a”｝的前〃項和.

國(1)由題意，數(shù)列｛〃“｝滿足S?=2at,-3n,

當(dāng)n=l時，則〃|=2〃］-3,解得。1=3.

當(dāng)心2時，則a〃=S“-S止1=2〃〃-3止［2〃,*-3(小1)］,整理得?！?2〃,*+3,

所以斯+3=2(〃〃/+3),即"尸2力/即盧=2.

Dn-1

又由-=.+3=6,所以數(shù)列｛九｝是首項為6,公比為2的等比數(shù)列,

所以瓦,=6x2"",即a"+3=6x2"i怖單得a?=6x2,,l-3=3x2,'-3,

即數(shù)列｛a,J的通項公式為斯=3x2”-3.

(2)由(1)，可得na?=n(3x2"-3)=3〃x2"-3〃，

設(shè)A“=2+2x22+3x23+…+止2",

2A?=22+2x23+3x24+-+(rt-l)-2n+n-2,,+l,

所以-4n=2+22+23+--?+2"-n-2"+12"+|=(/?-l)-2n+l+2,

-u,?r,4,on(3+3n)3n(n+l)

又由5=3+6+9+…+3〃=-^^--=—

所以數(shù)列｛叫｝的前〃項和為:7］尸34￡尸（3〃-3>2也+6-誓以（3〃-3>2匹中+6.

20.（本小題滿分12分）（2020山東濟(jì)南高三三模）在g=/+〃,@3+恁=16,53+55=42,管旦=

千,&=56這三個條件中任選一個補充在下面的問題中,并加以解答.

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”數(shù)列｛瓦｝為等比數(shù)列,力產(chǎn)伯力2=等.

求數(shù)列｛2+%｝的前〃項和幾

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

網(wǎng)選①

當(dāng)71=1時,為=Si=2.

當(dāng)〃22時,a〃=S〃-S“”=2〃.

又M=1滿足an-2n,

所以a〃=2〃,S〃=^^^=〃2+〃(〃￡N+).

選②

設(shè)公差為d,由〃3+〃5=165+35=42,

得落；1方解得

(8%+13a=42,(a=2,

n(22n)2

所以an=2n,Sn=^=z?+n(nN+).

選③

由&±1="1得&±1=%

ann'n+1n'

所以為=等，即。〃=。］〃,57=7。4=28。］=56,所以〃］=2,所以a=2n,S=^^^-=n2^n(n^N+).

nInn2

2

①@③均可求得an=2n,Sn=^Y^-=n+n(n￡N+).

設(shè)｛b〃｝的公比為％又因為。］=2,〃2=4,由仇=〃產(chǎn)2力2=歿^=4,

得令=2,4=2,所以b“=2〃(〃￡N+),

noM+1.

所以數(shù)列｛①｝的前〃項和為臉一=2/i-2.

因為工111

-n2+n-n(n+l)

Snnn+1

數(shù)列的前幾項和為1」?+2一2+…+2----—=1,

lSnJ223nn+1n+1

故T?=2n+1-2+1--=2n+1---1.

〃n+1n+1

21.(本小題滿分12分)(2020全國〃)已知函數(shù)人￥)=sir^xsin2x.

⑴討論#x)在區(qū)間(0,兀)的單調(diào)性；

(2)證明:府)區(qū)乎;

O

(3)設(shè)〃￡N+,證明:sin-siMlvsin、工…sin