《第1章 圖形的相似》單元測試卷2021-2022學(xué)年青島版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

2021-2022學(xué)年青島新版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章圖形的相似》

單元測試卷

一.選擇題

1.下列各組圖形中一定是相似形的是（）

A.兩個(gè)直角三角形B.兩個(gè)等邊三角形

C.兩個(gè)菱形D.兩個(gè)矩形

2.如圖，ZVIBC中，點(diǎn)。、E分別在AB、AC邊上，則下列條件中，不一定能使△AED-

△ABC的是（）

AE_ADAD_DE

B.Z1-ZCAB=ACAB"BC

3.如圖，。為△ABC邊BC上一點(diǎn)，要使△ABOS^CBA,應(yīng)該具備下列條件中的（）

AAC=ABAB_BCrAB=BD_CB

RD.---------------------D-CD

,CDCDCDAD,CBABAC

4.下列圖形中，任意兩個(gè)圖形一定是相似圖形的是（）

A.三角形B.平行四邊形C.拋物線D.圓

5.要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長分別為5cm,6c7〃和10c”

另一個(gè)三角形的最短邊長為2.5a”，則它的最長邊為（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

6.如圖，在△ABC中，CD,BE分別是△ABC的邊AB,AC上的中線，則卷包里=（）

^ABCF

A

7.下面四組圖形中，必是相似三角形的為（）

A.兩個(gè)直角三角形

B.兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形

C.有一個(gè)角為40°的兩個(gè)等腰三角形

D.有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形

8.如果一個(gè)矩形對(duì)折后所得矩形與原矩形相似，則此矩形的長邊與短邊的比是（）

A.2：1B.4：1C.衣：1D.1：72

9.如圖，正方形A8C。中，48=12,點(diǎn)E在邊8c上，BE=EC,將沿。E對(duì)折至

△DFE,延長E尸交邊AB于點(diǎn)G,連接OG,BF,給出以下結(jié)論：①△D4G四△OBG；

②BG=2AG；③BP〃。民④其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

5

10.如圖，在正方形ABC。中，△8PC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交A。于點(diǎn)E、

F,連接B。、DP,80與C尸相交于點(diǎn)”，給出下列結(jié)論：

?BE=2AE；

②△DFPsgPH；

③△PFDSNDB；

@DP2=PH'PC.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

B

11.在長8cm,寬6a〃的矩形中，截去一個(gè)矩形，使留下的矩形與原矩形相似，那么留下

的矩形面積是cm2.

12.在如圖所示的相似四邊形中，未知邊x=.

77s83'￡

13.如圖RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA,

以PA,PC為鄰邊作平行四邊形PAQC,連接PQ,則PQ的最小值為.

14.若AABCsADEF,相似比為3：2,則對(duì)應(yīng)高的比為.

15.如圖，在RtzXACB中，N4BC=90°,。為BC邊的中點(diǎn)，BE_LAD于點(diǎn)E,交AC于

F,若A2=4,BC=6,則線段EF的長為.

16.在aABC中，AB=5,AC=4,BC=3,。是邊AB上的一點(diǎn)，E是邊AC上的一點(diǎn)（￡）,

E均與端點(diǎn)不重合），如果△CCE與△ABC相似，那么CE=

17.如圖，AABC,AB=12,AC=15,。為A8上一點(diǎn)，且AO=]AB,在AC上取一點(diǎn)E,

使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于

18.如圖，在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=\2,點(diǎn)M在邊AB上，AM=3,過點(diǎn)M作

直線MN與邊AC交于點(diǎn)N,使截得的三角形與原三角形ABC相似，則MN的長

為.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。的位置如圖所示，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)。

的坐標(biāo)為（0,2）.延長CB交x軸于點(diǎn)A1,作正方形AdiGC,延長CIBI交x軸于點(diǎn)

A2，作正方形A282c2G…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2020個(gè)正方形的面積

20.如果一條對(duì)角線把凸四邊形分成兩個(gè)相似的三角形，那么我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)凸

四邊形的相似對(duì)角線，在凸四邊形ABC。中，48=AC=J§,AO=Cg|,點(diǎn)E、點(diǎn)產(chǎn)

分別是邊AD,邊BC上的中點(diǎn).如果AC是凸四邊形的相似對(duì)角線，那么EF的

長等于.

三.解答題

21.小紅家的陽臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架，如圖1,圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿A3、

C。相交于點(diǎn)。，B、。兩點(diǎn)在地面上，經(jīng)測量得到AB=CO=136cm,OA=OC=51cm,

OE=OF=34cm,現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EE=32c7〃，垂掛

在衣架上的連衣裙總長度小于多少時(shí)，連衣裙才不會(huì)拖在地面上？

22.如圖，四邊形ABCOs四邊形A'B‘CD',求邊x、y的長度和角a的大小.

6%^°

AyBg-

23.如圖，矩形ABDE中，AB=3cm,BD=7cm,點(diǎn)、C在邊ED上,且EC=lcm,點(diǎn)尸在

邊8。上移動(dòng)，當(dāng)以P,C,。為頂點(diǎn)的三角形與aABP相似時(shí)，求的長.

AE

24.已知：如圖，點(diǎn)C,。在線段A8上，是等邊三角形，且AC=1,CD=2,DB

=4.求證：XACPsXPDB.

25.如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，線段OA的

端點(diǎn)在格點(diǎn)上，且OA=L請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn)，用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖,

保留連線的痕跡，不要求說明理由.

（1）作△OAB,使線段。8=2g，線段

（2）C為線段OB的中點(diǎn)，畫△OCDs/vlOB.

（3）選擇適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn)E,作NBAE=45°.

26.我們已經(jīng)知道：如果兩個(gè)幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們就把它們叫做相似

圖形.比如兩個(gè)正方形，它們的邊長，對(duì)角線等所有元素都對(duì)應(yīng)成比例，就可以稱它們

為相似圖形.

現(xiàn)給出下列4對(duì)幾何圖形：①兩個(gè)圓；②兩個(gè)菱形；③兩個(gè)長方形；④兩個(gè)正六邊形.請(qǐng)

指出其中哪兒對(duì)是相似圖形，哪幾對(duì)不是相似圖形，并簡單地說明理由.

27.已知點(diǎn)。是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

（1）如圖1,a=60°,探究線段4。與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）如圖2,a=120°,探究線段4。與08的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）結(jié)合上面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究，請(qǐng)直接寫出如圖3中線段AD與0B的數(shù)量關(guān)系為

（直接寫出答案）

圖1圖2郅

參考答案與試題解析

選擇題

1.解：：等邊三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，

???兩個(gè)等邊三角形一定是相似形，

又；直角三角形，菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對(duì)應(yīng)成比例,

...兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)菱形、兩個(gè)矩形都不一定是相似形，

故選：B.

2.解：/A=/A,

A、若添加N2=NB,可利用兩角法判定△AEQsaABC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、若添加N1=NC,可利用兩角法判定△AEDS/VIBC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、若添加絆=絲，可利用兩邊及其夾角法判定△AEDSAABC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

ABAC

D、若添加絲=空，不能判定△AEDSAABC,故本選項(xiàng)正確；

ABBC

故選：D.

解：當(dāng)罷

3.

BC

又,：NB=/B,

，/\ABD^/\CBA.

故選：C.

4.解：A、兩個(gè)三角形不一定相似，如等邊三角形和直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意;

8、兩個(gè)平行四邊形不一定相似，如矩形和菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、兩條拋物線不一定相似，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、兩個(gè)圓一定相似，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

5.解：設(shè)另一個(gè)三角形的最長邊長為xa”，

根據(jù)題意，得:2:5

510

解得：x=5,

即另一個(gè)三角形的最長邊長為551,

故選：D.

6.解：BE分別是AABC的邊A8,AC上中線，

是A8的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，

...QE是△ABC的中位線，

：.DE//BC,DE^—BC,

2

:ADEFs^CBF,

.SADEF_.DE1

^ABCFBC4

故選：D.

7.解：兩個(gè)直角三角形不一定相似；

因?yàn)橹挥幸粋€(gè)直角相等，

.?.A不一定相似；

兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似;

因?yàn)檫@個(gè)對(duì)應(yīng)角不一定是夾角；

:.B不一定相似；

有一個(gè)角為40°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似：

因?yàn)?0°的角可能是頂角，也可能是底角，

，C不一定相似；

有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形一定相似；

因?yàn)?00°的角只能是頂角，

所以兩個(gè)等腰三角形的頂角和底角分別相等，

一定相似；

故選：D.

8.解：根據(jù)矩形相似，對(duì)應(yīng)邊的比相等得到：塔?總，

ABBC

a

即：24

ba

2

則廬=且—

2

”=&:1

矩形的長邊與短邊的比是加：1.

9.解：如圖，由折疊可知，DF=DC=DA,NDFE=NC=90°,

：.ZDFG=ZA=90°,

在RtAADG和RtAFDG中，

[AD=DF

1DG=DG'

/.RtAADG^RtAFDG(HL),故①正確；

???正方形邊長是12,

：.BE=EC=EF=6,

設(shè)AG=FG=x,則EG=x+6,BG=\2-x,

由勾股定理得：EG2=BE1+BG2,

即：(x+6)2—62+(12-x)2,

解得：x=4

.?.AG=GF=4,BG=8,BG=2AG,故②正確，

'：EF=EC=EB,

：.NEFB=NEBF,

,：ZDEC=NDEF,ZCEF=NEFB+NEBF,

:./DEC=NEBF,

J.BF//DE,故③正確；

SCGBE=4X6X8=24,SMEF=M^GBE=2X24=烏，故④正確.

ZDb1U0

綜上可知正確的結(jié)論的是4個(gè).

故選：D.

10.解：,??四邊形ABC。是正方形，

AZA=ZCBA=90°,

???△8CP是等邊三角形，

:?NPBC=NPCB=NBPC=60°,

AZABE=30°,

：.BE=2AE,故①正確，

?:AD〃BC,

：.ZDFP=ZBCP=ZBPH=60°,

NPHB=NPCB+NCBH=600+45°=105°,

又?:CD=CP,/PCD=3。。,

：.ZCPD=ZCDP=15°,

；?NDPF=105°,

NPHB=NDPF,

：?/\DFPSABPH,故②正確，

VZDPB=600+75°=135°W/DPF,

???叢PFD與APDB不相似，故③錯(cuò)誤，

VZPDH=ZPDC-ZCDH=15°-45°=30°,

???ZPDH=/PCD,

,:/DPH=/CPD,

:.NDHs/xPCD,

.PD=PH

?，PC-PD，

:?PN=PH?PC,故④正確，

故選：c.

B

\

CD

二.填空題

11.解：設(shè)寬為尤，

???留下的矩形與原矩形相似，

?8-x_6

??~―,

68

解得X=g.

截去的矩形的面積為品6=215?2,

二留下的矩形的面積為48-21=27C〃?2,

故答案為：27.

12.解：根據(jù)題意得：率=*

1218

解得x=27.

故答案為：27.

13.解：-：ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

二BC=VAC2+AB2=5,

四邊形APCQ是平行四邊形，

：.PO=QO,CO=AO,

?；PQ最短也就是尸0最短，

二過。作BC的垂線OP,

VZACB^ZP'CO,ZCP'O=/CAB=90°,

:.△CABsACP，O,

?.C?OO—P',

BCAB

.2OP'

??一,

53

：.OP',

5

/.則PQ的最小值為20P'=孕，

方法二：不用相似的方法，只利用等面積得，求得0P',而其他部

分的步驟共用.

故答案為：孕.

5

14.解：,:XABCSXDEF,相似比為3：2,

.?.對(duì)應(yīng)高的比為：3：2.

故答案為：3：2

15.解：過點(diǎn)。作。G〃BF交AC于點(diǎn)G,如右圖所示,

:?。為BC邊的中點(diǎn)，BC=6,

：.BD=3,

.在RtZ\ACB中，ZABC=90°,AB=4,

AAD=VAB2+BD2=5>

于點(diǎn)E,交AC于F,

口AB.BD12

?.?BRE=--------=—,

AD5

19

?.,A8=4,BE=—ZAEB=90°,

5f

設(shè)。G=x,則B尸=2x,EF=2x--,

5

?：EF〃DG,

???AAEF^AADG,

?AE

一AD

16

5一12

即5

5

解得,x=瑞,

19QQ

：.EF=2x--=2X^--_12=96

517T-85

故答案為：黑.

85

16.解：'：AB=5,AC=4,BC=3,

：.AC2+BC2=AB2,

.?.△ABC為直角三角形，NACB=90°,

當(dāng)△ABCs/xCDE,如圖1,則NCEZ)=/4CB=90°,ZDCE^ZA,

.?.△AOC為等腰三角形，

：.CE=AE,

：.CE=^AC=2；

當(dāng)AABCSADCE,如圖2,則/CE￡>=NACB=90°,NDCE=NB,

而NBC￡>+NQCE=90°,

AZB+ZBCD=90°,

：.CD±AB,

.i、_BC,AC_12

?.C-1J，

AB5

,:△ABCSMCE,

19

：.AB：CD=BC：CE,即5：—=3：CE,

5

：.CE=~

25

當(dāng)AABCSACED,如圖3,ZCDE=ZACB=90°,NDCE=NA,

:?DC=DA,

,.?NA+N8=90°,NDCE+NBCD=90°,

：.ZB+ZBCD=90°,

:.DB=DC,

1R

?,.CD=DA=DB=±AB=?,

22

?.?XABCsMCED,

5

：.CE：AB=CDzAC,BPCE：5=—：4,

2

CE=—

綜上所述，CE的長為2,孕，坐.

825

故答案為2,孕，架.

825

圖2

圖1

17.解：VAABC^AADE,

?AD=AEnvAD=AE

??而一而而一而

2

'：AD=—AB,A8=12,

3

：.AD=8,

；AC=15,

?8_皿或8AE

"1215-1512

解得：AE=10或6.4.

故答案為10或6.4

18.解：?.?△4WN和△ABC相似,

.?.①如圖1,AAMNSAABC,

.AM_MN

??而一而‘

；AM=3,8c=12,AB=9,

?.M?N—3,

129

解得MN=4.

②如圖2,/\AMN^/\ACB,

?AMMN

**AC-BC'

；AM=3,AC=6,BC=12,

.?理/，MN=6,

126

綜上所述，MN為4或6.

故答案為：4或6.

19.解：：正方形A8CO的點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,

：.OA=l,OD=2,AD=yR,斑」，

V0D2

延長C8交x軸于點(diǎn)4，作正方形45[C]C,

???/XA418s△D4O,

??------=—f

AB2

?：AD=AB=^,

.\A\B=

.?.第1個(gè)正方形的面積為：S|=A1C2=（V5+^V5）2=5,弓）2

22

同理可得，A2C-（175+1X-|V5）

4

第2個(gè)正方形的面積為：S2=5-（-1）

.?.第2020個(gè)正方形的面積為：$2020=5?（口?）4038.

故答案為：5-（-|）4038.

20.解：如圖所示：

9

：AB=ACfAD=CD,AABC^ADAC,

2

：.AC=BC-AD9

,**AC=^3，AD=-^t

:.CB=2,

,:XABCs3AC,

：.ZACB=ZCADf

J.CB//AD,

VAB=AC,F為BC中點(diǎn),

：.AF_LCBfBF=CF=\,

???NAFC=90°,

U

：CB//AD9

：.ZFAE=ZAFC=90°,

,:AC={^,

Q

???4。=5，E為A。中點(diǎn),

：.AE=—,

4

,，,EF=VAF?+AE'J（加產(chǎn)+號(hào)）2=邛1.

故答案為：叵.

4

A

E

三.解答題

21.解：???A8、CD相交于點(diǎn)。,

???ZAOC=ZBOD

t：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=—(180°-NBOD),

2

同理可證：ZOBD=ZODB=—(180°-ZBOD),

2

:?NOAC=NOBD,

J.AC//BD,

在RtZ\OEN中，CW=JOE2_EN2=3O(an),

過點(diǎn)A作AMLB。于點(diǎn)M,

同理可證：EF//BD,

：.NABM=NOEN,則RtAOE^RtAABM,

3QX136

?OE=ONAM==120(cm),

34

所以垂掛在衣架上的連衣裙總長度小于120cm時(shí)，連衣裙才不會(huì)拖落到地面上.

22.解：?.?四邊形A8C￡>s四邊形4‘B'CD',

.?.三--3/C=a,/D=/D'=140。.

8116

22

：.x=ny=—,a=ZC=360°-ZA-ZB-ZD=360°-62°-75°-140°

9.2

83°.

23.解：,?,四邊形48OE為矩形，AB=3cmfBD=lcm,EC=\,

:?DC=DE-CE=BA-CE=2cm,BD=AE=lcm,

設(shè)DP=xcm,則BP=(7-x)cm.

VZB=ZD=90°,

???存在兩種情況.

①當(dāng)時(shí)，更=坦，

②當(dāng)時(shí)，—.

DCBP

整理，得：?-7x+6=0,

解得：司=1,%2=6.

...當(dāng)以P,C,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似時(shí)，的長為畢的或1的或6c〃?.