2023年高考全國甲卷（理科）數(shù)學試卷真題

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（甲卷）

數(shù)學（理科）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的！

1.設集合A={x\x=3k+\,kZ},B={x|x=3&+2,kZ},U為整數(shù)集，貝U

n

Cv(Afi)=

A.{x|x=3k,k^Z}B.(x|x=3A:-l,匹Z}

C.{x|x=3Z-l,匹Z}D.e

2-若復數(shù)(a+i)(l-ai)=2,則。=

A.-1B.0

C.1D.2

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的B=

A.21

B.34

C.55

D.89

4,向量巴="=1,|c|=且a+0+c=0,貝iJcosva->，b-c>=

t224

A.—B.--C.-D.-

s<s<

5.已知數(shù)列{a“}中，為{a,,}前"項和，55=553-4,則邑=

A.7B.9C.15D.20

6.有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，結束70人報名足球或乒乓球俱樂部,

若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球，俱樂部的概率為

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

7.“sin2a+si/g1"是"cosa+cos?=0"的

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

8.已知雙曲線二+二=1（。>0,匕>0）的離心率為其中一條漸近線與圓

,廠b

（x-2）2+（y-3）2=1交于A,8兩點，則4卸=

AIR石,24D4”

ssqs

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，

則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為

A.120B.60C.40D.30

10.已知/U)為函數(shù)y=cos(2x+3向左平移三個單位所得函數(shù)，則y=/(x)與)，=L-1,

4??

交點個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱錐P-A8CD中，底面43CQ為正方形，AB=4,PC=PD=3,MCA=45。，

則△P8C的面積為

A.B.3654萬D.班

/J3

12.己知橢圓一+L=i,尸］、分為兩個焦點，。為原點，P為橢有圓上一點，cosN招月居=一，

965

則I\0P\=

A3B.空C.2D.隹

5252

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若y=(x?1尸+or+sin(x+—)為偶函數(shù)，則a=-------------.

'—2x+3y工3

14.設x,y滿足約束條件3%-2y<3,設z=3x+2y,則z的最大值為.

,%4-y=1

15.在正方體ABCD-A1為GD1中，E,F分別為CD,4當?shù)闹悬c，則以EF為直徑的球面與正方體每條

棱的交點總數(shù)為與正方體每條棱的交點總數(shù)為

16?已知△ABC中，NBAC=60。，AB=2，BC=1j，AO平分NBA。交BC于點。，則

AD=.

三'解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)情況作答。

(-)必答題(60分)

17.(12分)

已知數(shù)列｛”“｝中，a2=I,設S“為｛4｝前"項和，2Sn=nan.

(1)求｛〃,,｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛"?」｝的前n項和T

18.（12分）

在三棱柱ABC-AfiG中，AA,=2,&CJ_底面ABC,ZACB=90.,4到平面BCC四,

的距離為1.

(1)證明：AC=AtC；

（3）若直線AA與8與距離為2,求4名與平面BCC￡1所

成角的正弦值.

19.（12分）

為探究某藥物對小鼠的生長作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不藥物）

和實驗組（加藥物）.

（1）設其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布到和數(shù)學期望;

（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（己按從小到大排好）

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)加，并完成下面2X2列聯(lián)表：<m>tn

（ii）根據(jù)2X2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠對照組

生長有抑制作用.實驗組

參考數(shù)據(jù)：-7?—QJ0A050X）10

p（一認）2.7063.8416.835

20.(12分)

直線》-2)，+1=0與卡=2由/?>0)交于4,8兩點，|AB|=4.

(1)求P的值；

(2)尸為=2px的焦點，M,N為拋物線上的兩點，且_^—=0,求△〃修尸面

MFNF

積的最小值.

21.(12分)sinx

TC

cos7G_

已知兒v)=ax-xx(0,2).

(1)當4=8時,討論大X)的單調性；

(2)若/(x)vsin2x，求。的取值范圍.

(-)選考題：共10分。請考生第22、23題中選一道作答。如果多做，則按所做的第一題

計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

已知p(2,1),直線/：|x-2+tc<>sa,(/為參數(shù))，/與X軸，y軸正半軸交于A,