2023人教版八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)練習(xí)-1 7 .2 勾股定理的逆定理

第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)1互逆命題與互逆定理

1.（2021浙江寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）已知下列命題:①若則②若。=1,貝

6=4；③若a>0#>0,則。+力>0；④直角三角形的兩銳角互余.

其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

2.（2019安徽中考）命題“如果。+60,那么a,h互為相反數(shù)”的逆命題

為.

3.寫(xiě)出下列命題的逆命題,并判斷真假.

⑴對(duì)頂角相等；

（2）如果a=b,那么ac-bc',

⑶如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等，那么這兩個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊相等.

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的逆定理

4.【教材變式-P34Tl變式】下列各組數(shù)中，以。、氏c為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三

角形的是（）

A.<2=1,/?=V2,c=V3B.。=7,6=24,c=25

C.a=5力=12,c=13D.a=y/3,b=4,c=5

5.（2020陜西西安高新區(qū)一中期末）ZVIBC滿(mǎn)足下列條件中的一個(gè),其中不能說(shuō)明

△ABC是直角三角形的是（）

A./?2=（a+c）（a-c）

B.a：/?：c=l：V3：2

C.ZC=ZA-ZB

D.NA:ZB:NC=3：4：5

6.已知a、b、c是△ABC三邊的長(zhǎng),且滿(mǎn)足關(guān)系式A/C?+a?—爐+|0。|=0,則△ABC

的形狀為.

7.【教材變式?P34T5變式】如圖，有一塊鐵皮（圖中陰影部分），測(cè)得

48=6萬(wàn)。=8,。。=24,4。=26,/8=90。,則陰影部分的面積為.

8.閱讀以下解題過(guò)程：

已知a,h,c為△ABC的三邊長(zhǎng),且滿(mǎn)足&2_6/=。4/4,試判斷△人鳥(niǎo)。的形狀.

解:2c2/2/="44,①

/（浮-為=⑷一為目+按）,②

...，=屋+/?2,③

...△ABC為直角三角形.④

⑴上述解題過(guò)程從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？該步的序號(hào)為

(2)錯(cuò)誤的原因是

(3)本題正確的結(jié)論是

9.(2020河南鄭州期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是

邊長(zhǎng)為1的正方形,△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)4SC的坐標(biāo);

⑵試判斷△ABC是不是直角三角形,并說(shuō)明理由.

知識(shí)點(diǎn)3勾股數(shù)

10.(2022浙江寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末)勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù),則下列各組數(shù)構(gòu)成勾

股數(shù)的是()

A.1篇B.V3,V4.V5C.5,15,20D.9,40,41

11.（2022山東青島育才中學(xué)期中）觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空:①4,3,5,②6,8,10,

③8,15,17,④10,24,26,⑤12,35,37,....則第⑦組勾股數(shù)為.

能力提升全練

12.（2021北京景山學(xué)校期中,6,★★☆）已知下列命題：

①若會(huì)＞1,則。＞比②若a+》=0,則⑷=|M③等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等;④底角相等

的兩個(gè)等腰三角形全等.

其中原命題與逆命題均為真命題的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

13.（2021湖南常德中考,閱讀理解:如果一個(gè)正整數(shù)機(jī)能表示為兩個(gè)正整

數(shù)a,h的平方和，即相=層+隨那么稱(chēng)m為廣義勾股數(shù)，則下面的四個(gè)結(jié)論中:①7不

是廣義勾股數(shù);②13是廣義勾股數(shù);③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù);④兩個(gè)

廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù).依次正確的是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

14.（2020河北中考,16,★★☆汴圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的

“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是123,4,5,選取其中三塊（可重

復(fù)選取）按圖中的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積鬟木的直角三角形，則

選取的三塊紙片的面積分別是（）

A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

15.（2022江蘇泰州中考,14,★☆☆）如圖所示的象棋盤(pán)中，各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均

為1.“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線(xiàn)，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)

與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為.

16.【主題教育?中華傳統(tǒng)優(yōu)秀文化】（2022湖北黃岡中考,15,★★☆）勾股定理最早

出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五觀察下列勾股

數(shù):3,4,5；5,12,13；7,24,25；……，這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn):勾為奇數(shù)，弦與股相差1.柏拉圖

研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15/7；……，若此類(lèi)勾股

數(shù)的勾是2皿機(jī)23M為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）.

17.（2021廣西玉林中考,16,★★☆汝口圖,某港口尸在東西方向的海岸線(xiàn)上，甲、乙

輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙兩輪船每小時(shí)分別航行12海里

和16海里,1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A、3處,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏

西40。方向航行，那么乙船沿

____________方向航行.

18.（2022廣東深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中,16,★★☆）如圖，點(diǎn)B為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,1）,CEJ_%軸于E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí),

△A3C為直角三角形.

19.(2019河北中考,21,★★卻已知整式A=(〃2-l)2+(2〃)2,整式B>0.

嘗試化簡(jiǎn)整式A;

發(fā)現(xiàn)A=￥,求整式3;

聯(lián)想由上述可知乃2=(〃2_1)2+(2〃)2,當(dāng)〃>1時(shí),層一1,2〃,8為直角三角形的三邊長(zhǎng),如

20.(2022天津津南期末,22,★★☆)如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,

四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑴求出線(xiàn)段AC、CD、的長(zhǎng)；

⑵求NACQ的度數(shù)；

⑶求四邊形A3CQ的面積.

素養(yǎng)探究全練

21.【幾何直觀】問(wèn)題背景:在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為百、同、

后,求這個(gè)三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每

個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1),再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△A3C(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小

正方形的頂點(diǎn)處)，如圖①所示.這樣不需求△48C的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它

的面積.

⑴請(qǐng)你利用上述方法求出△A3C的面積.

(2)在圖②中畫(huà)出使。E、EF、。廠的長(zhǎng)分別為加、V8>V10.

⑴判斷這個(gè)三角形的形狀,并說(shuō)明理由；

(ii)求這個(gè)三角形的面積.

22.【推理能力】在△ABC,BC=a,AC=b,AB=c,c為最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)，當(dāng)［2+〃=/時(shí),

△ABC是直角三角形;當(dāng)序+序丸?時(shí)，利用代數(shù)式比較層+左和的大小關(guān)系，可以

判斷△ABC的形狀（按角分類(lèi)）.

⑴請(qǐng)你通過(guò)畫(huà)圖探究并判斷:當(dāng)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6、8、9時(shí)一，

△4BC是三角形;當(dāng)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6、8、11時(shí)一，

△ABC是三角形.

⑵小明同學(xué)根據(jù)上述探究進(jìn)行猜想:“當(dāng)足+加〉/時(shí)一,△ABC為銳角三角形;當(dāng)

足+/72a2時(shí),△ABC為鈍角三角形.”請(qǐng)你根據(jù)小明的猜想解答下面的問(wèn)題：

當(dāng)。=7力=24時(shí),c在什么范圍內(nèi)取值時(shí),△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角

三角形？

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

1.A①若則碇＞歷，是假命題，它的逆命題是若ac＞bcMa＞"是假命題;②若

用1,則血=4,是真命題，它的逆命題是若傘=4,則。=1,是假命題;③若。＞0力＞0,則

a+h＞0,是真命題，它的逆命題是若a+b＞0,則。＞0力＞0,是假命題;④直角二角形的兩

銳角互余，是真命題,它的逆命題是有兩角互余的三角形是直角三角形，是真命題,

故選A.

2.答案如果a,h互為相反數(shù)，那么a+h=O

3.解析(1)相等的角是對(duì)頂角，是假命題.

(2)如果4c那么a=b,是假命題.

⑶如果一個(gè)三角形的兩條邊相等，那么這兩條邊所對(duì)的內(nèi)角相等，是真命題.

4.DA.12+(V2)2=(8)2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形;B7+242=252,

符合勾股定理的逆定理，是直角三角形;C.52+122=132,符合勾股定理的逆定理，是直

角三角形;D.(8)2+42#52,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故選D.

5.DA.由笈=(4+0(/0可得/+序寸2,可以說(shuō)明△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不

符合題意；

B.由a：〃：c=l:V3:2可設(shè)遮%)2=(2%)2,即層+加=/,.?.可

以說(shuō)明AABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.由/。=/4-/氏/4+/8+/。=180。,可得/4=90。,可以說(shuō)明448。是直角三角

形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.VZA:ZB:NC=3：4：5,NA+N3+NC=180。,.?.最大角NC=75。,.?.不能說(shuō)

明△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意.故選D.

6.答案等腰直角三角形

解析Vc2+a2—b2+\c-a\=O,

(＞。=0,/+。2-82=0,.\a=c,c2+a2=b2,

.'.△ABC的形狀是等腰直角三角形.

7.答案96

解析如圖，連接AC.

A

cz------------

在△ABC中,/3=90。,48=6,3。=8,

/.AC=、62+82=10.

'：CD=24,AD=26,AC=10,

.,.AC^+CD^AD2,

...△ACO是直角三角形，

???S陰影X10X24-：x6x8=120-24=96.故陰影部分的面積是96.

8.解析tz2c2-Z?2c2=iz4-Z?4,

/.C2(<22-/?2)=(6!2-/?2)(6(2+Z?2),

(a2-h2)[c2-(a2+b2)]=0,

...層-82=0或/-(/+為割當(dāng)“2_62ro時(shí),/二層+加,此時(shí)△Age是直角三角形，當(dāng)

次功2=0,即a=h時(shí),△ABC是等腰三角形,...三角形為等腰三角形或直角三角形.故

從第③步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，其原因是不能確定層/2是不是等于0,正確的結(jié)論是△

ABC是等腰三角形或直角三角形.

9.解析⑴A(-1,5),B(-5,2),C(-3,1).

(2)ZVLBC是直角三角形.

理由:?.?A8=，32+42=5,BC=“2+22=V5,AC=V22+42=2遮，

...人^+品凄。迷尸+(西)2=52=AB2.由勾股定理的逆定理可知,/XAgC是直角三角

形.

10.DA.不是正整數(shù),不是勾股數(shù);B.遮，遍不是正整數(shù),不是勾股數(shù);C.52+152/

202,不是勾股數(shù);D.92+402=412,且各數(shù)均為正整數(shù)，為勾股數(shù)，故選D.

11.答案16,63,65

解析根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得這組勾股數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2(?+1),

第二個(gè)是〃5+2),第三個(gè)數(shù)是(〃+1)2+1,故第⑦組勾股數(shù)是16,63,65.

能力提升全練

12.A若白1,則此命題為假命題，它的逆命題為若。泌，則三>1,此逆命題為假

命題;若。+8=0,則|。|=|臼,此命題為真命題，它的逆命題為若同=|加，則。+/?=0,此逆命

題為假命題;等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，此命題為真命題，它的逆命題為三個(gè)

內(nèi)角相等的三角形為等邊三角形,此逆命題為真命題;底角相等的兩個(gè)等腰三角形

全等，此命題為假命題，它的逆命題為全等的兩個(gè)等腰三角形的底角相等,此逆命

題為真命題.故選A.

13.C①不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，

A7不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論正確；

?V13=22+32,

.-.13是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確；

③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和不一定是廣義勾股數(shù)，如5和10是廣義勾股數(shù)，但是它們的

和不是廣義勾股數(shù)，故③結(jié)論錯(cuò)誤；

④設(shè)〃21=屋+死加2=/+屋，

則m]-m2=(a1+b2)-(c2+d2)=d1c2+a2d2+b2c2+b2d2=(d2c2+b2d2+2abcd)+

(〃屋2c2_2abeJ)=(ac+bd>+(ad-bc)2,

當(dāng)ad=hc時(shí),仙2不是廣義勾股數(shù)，

兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積不一定是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論錯(cuò)誤,.??依次正確的是①②.

故選C.

14.B根據(jù)勾股定理可知選取的三塊紙片的面積的關(guān)系為兩個(gè)較小的正方形紙

片的面積和等于最大的正方形紙片的面積，所以選項(xiàng)C不符合題意.A選項(xiàng)中，直角

三角形的面積為由/=1；B選項(xiàng)中，直角三角形的面積為管=y；D選項(xiàng)中，直角

三角形的面積為學(xué)=1,因?yàn)閒>1,所以選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5時(shí)，所

圍成的直角三角形面積最大，故選B.

15.答案V2

解析如圖(路線(xiàn)不唯一)，例如此路線(xiàn)，落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的距離最短，為VI

16.答案m2+l

解析:為正整數(shù),，2根為偶數(shù)，

設(shè)其股是。，則弦為。+2,

根據(jù)勾股定理得,(2㈤2+〃=5+2)2,

解得則。+2=/+1.故其弦是m2+l.

17.答案北偏東50。

解析由題意可知A尸=12海里,3P=16海里,43=20海里,

V122+162=202,

...AAPB是直角三角形,，ZAPB=90°,

由題意知ZAP/V=40°,

...ZBPN=90ZAPN=90°-40°=50°,

即乙船沿北偏東50。方向航行.

18.答案仔,0)或(2,0)或(3。)

解析設(shè)點(diǎn)3的坐標(biāo)為(%,0),分三種情況：

①A3為斜邊，

則(4-1>+42+(4㈤2+12=^2+42,解得x=—；

4

②AC為斜邊，

(4-x)2+12+/+4?=(4-1尸+42,解得％=2;

③BC為斜邊，

(4-x)2+l2=x2+42+(4-1尸+42,解得x=-3.

故當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,0)或(2,0)或(-3,0)時(shí),△A8C為直角三角形.

19.解析嘗試A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.

發(fā)現(xiàn)A=B2,B>0,B=r^+1.

聯(lián)想勾股數(shù)組I2n=8,.*./?=4,/.B=n-+\=42+l=17.

勾股數(shù)組〃:Vn2-1=35,/.B=n2+1=(n2-1)+2=37.

20.解析⑴由題意得AC=V22+42=2V5,C￡>=V12+22=V5,AD=V32+42=5.

⑵由(1)可得A