2023年河南省鄧州市數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2023年河南省鄧州市數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，點A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標(biāo)不可能是A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）2．如圖，已知點E（﹣4，2），點F（﹣1，﹣1），以O(shè)為位似中心，把△EFO放大為原來的2倍，則E點的對應(yīng)點坐標(biāo)為（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）3．如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E在CB的延長線上，連接ED交AB于點F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y(tǒng)．則在下面函數(shù)圖象中，大致能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．4．如圖所示，把一張矩形紙片對折，折痕為AB，再把以AB的中點O為頂點的平角三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O(shè)為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開平鋪后得到的平面圖形一定是A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形5．在Rt△ABC中，∠C=90°．若AC=2BC，則sinA的值是（）A． B． C． D．26．如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C，測得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA等于（）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米7．如圖是一個正八邊形，向其內(nèi)部投一枚飛鏢，投中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．8．為了考察某種小麥的長勢，從中抽取了5株麥苗，測得苗高(單位：cm)為：10、16、8、17、19，則這組數(shù)據(jù)的極差是（）A．8 B．9 C．10 D．119．如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝（）A．116° B．32° C．58° D．64°10．已知，在中，，則邊的長度為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．使二次根式有意義的x的取值范圍是_____．12．如圖，⊙O的半徑為2，AB是⊙O的切線，A．為切點．若半徑OC∥AB，則陰影部分的面積為________．13．因式分解：______.14．如果，那么銳角_________°．15．一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是_____．16．如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，點E是AB邊上一動點，連接CE，過點B作BG⊥CE于點G，點P是AB邊上另一動點，則PD+PG的最小值為_____．17．函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，且拋物線的開口向上，則的值為____________．18．工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為____mm．三、解答題(共66分)19．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y1＝x2﹣4x+4的頂點為A，直線y2＝kx﹣2k（k≠0），（1）試說明直線是否經(jīng)過拋物線頂點A；（2）若直線y2交拋物線于點B，且△OAB面積為1時，求B點坐標(biāo)；（1）過x軸上的一點M（t，0）（0≤t≤2），作x軸的垂線，分別交y1，y2的圖象于點P，Q，判斷下列說法是否正確，并說明理由：①當(dāng)k＞0時，存在實數(shù)t（0≤t≤2）使得PQ＝1．②當(dāng)﹣2＜k＜﹣0.5時，不存在滿足條件的t（0≤t≤2）使得PQ＝1．20．（6分）如圖，已知點是外一點，直線與相切于點，直線分別交于點、，，交于點．（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?，時，求的長．21．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P是第一象限拋物線上的一個動點，連接CP交x軸于點E，過點P作PK∥x軸交拋物線于點K，交y軸于點N，連接AN、EN、AC，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，四邊形ACEN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，點F是PC中點，過點K作PC的垂線與過點F平行于x軸的直線交于點H，KH＝CP，點Q為第一象限內(nèi)直線KP下方拋物線上一點，連接KQ交y軸于點G，點M是KP上一點，連接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN，求點Q坐標(biāo)．22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點D作⊙O的切線，分別交OA的延長線與OC的延長線于點E，F(xiàn)，連接BF.（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）已知圓的半徑為1，求EF的長.23．（8分）（1）若正整數(shù)、，滿足，求、的值；（2）已知如圖，在中，，，點在邊上移動（不與點，點重合），將沿著直線翻折，點落在射線上點處，當(dāng)為一個含內(nèi)角的直角三角形時，試求的長度．24．（8分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(－3，0)，(2，－5)．(1)試確定此二次函數(shù)的解析式；(2)請你判斷點P(－2，3)是否在這個二次函數(shù)的圖象上？25．（10分）如圖，在正方形ABCD中，點M、N分別在AB、BC邊上，∠MDN=45°．（1）如圖1，DN交AB的延長線于點F．求證：；（2）如圖2，過點M作MP⊥DB于P，過N作NQ⊥BD于，若，求對角線BD的長；（3）如圖3，若對角線AC交DM，DF分別于點T，E．判斷△DTN的形狀并說明理由．26．（10分）如圖，某中學(xué)九年級“智慧之星”數(shù)學(xué)社團的成員利用周末開展課外實踐活動，他們要測量中心公園內(nèi)的人工湖中的兩個小島，間的距離.借助人工湖旁的小山，某同學(xué)從山頂處測得觀看湖中小島的俯角為，觀看湖中小島的俯角為.已知小山的高為180米，求小島，間的距離.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】試題分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=1．A、當(dāng)點E的坐標(biāo)為（6，0）時，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，則AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項不符合題意；B、當(dāng)點E的坐標(biāo)為（6，3）時，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項符合題意；C、當(dāng)點E的坐標(biāo)為（6，5）時，∠CDE=90°，CD=1，DE=4，則AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項不符合題意；D、當(dāng)點E的坐標(biāo)為（4，1）時，∠ECD=90°，CD=1，CE=1，則AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項不符合題意．故選B．2、B【分析】E（﹣4，1）以O(shè)為位似中心，按比例尺1：1，把△EFO放大，則點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)是E（﹣4，1）的坐標(biāo)同時乘以1或﹣1．【詳解】解：根據(jù)題意可知，點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)是E（﹣4，1）的坐標(biāo)同時乘以1或﹣1．所以點E′的坐標(biāo)為（8，﹣4）或（﹣8，4）．故選：B．【點睛】本題主要考查根據(jù)位似比求對應(yīng)點的坐標(biāo)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．3、C【分析】通過相似三角形△EFB∽△EDC的對應(yīng)邊成比例列出比例式，從而得到y(tǒng)與x之間函數(shù)關(guān)系式，從而推知該函數(shù)圖象．【詳解】根據(jù)題意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，∵AD//BC，∴△EFB∽△EDC，∴，即，∴y=（0.2≤x≤0.8），該函數(shù)圖象是位于第一象限的雙曲線的一部分．A、D的圖象都是直線的一部分，B的圖象是拋物線的一部分，C的圖象是雙曲線的一部分．故選C．4、D【解析】對于此類問題，學(xué)生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)．【詳解】由第二個圖形可知：∠AOB被平分成了三個角，每個角為60°，它將成為展開得到圖形的中心角，那么所剪出的平面圖形是360°÷60°=6邊形．故選D．【點睛】本題考查了剪紙問題以及培養(yǎng)學(xué)生的動手能力及空間想象能力，此類問題動手操作是解題的關(guān)鍵．5、C【分析】設(shè)BC=x，可得AC=2x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=x，然后利用三角函數(shù)在直角三角形中的定義，可算出sinA的值．【詳解】解：由AC=2BC，設(shè)BC=x，則AC=2x，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，

∴根據(jù)勾股定理，得AB=.

因此，sinA=．

故選：C.【點睛】本題已知直角三角形的兩條直角邊的關(guān)系，求角A的正弦之值．著重考查了勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題．6、C【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長度．【詳解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河寬PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故選C．【點睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．7、B【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．根據(jù)正八邊形性質(zhì)求出陰影部分面積占總面積之比，進而可得到答案【詳解】解：由正八邊形性質(zhì)可知∠EFB=∠FED=135°，故可作出正方形．則是等腰直角三角形，設(shè)，則，，正八邊形的邊長是．則正方形的邊長是．則正八邊形的面積是：，陰影部分的面積是：．飛鏢落在陰影部分的概率是，故選：．【點睛】本題考查了幾何概率的求法：一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．同時也考查了正多邊形的計算，根據(jù)正八邊形性質(zhì)構(gòu)造正方形求面積比是關(guān)鍵．8、D【分析】計算最大數(shù)19與最小數(shù)8的差即可.【詳解】19-8=11，故選：D.【點睛】此題考查極差，即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.9、B【分析】根據(jù)圓周角定理求得：∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）、∠BOD＝2∠BCD（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；根據(jù)平角是180°知∠BOD＝180°﹣∠AOD，∴∠BCD＝32°．【詳解】解：連接OD．∵AB是⊙0的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；又∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；∴∠BCD＝32°；故答案為B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，理解同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半是解答本題的關(guān)鍵.10、B【分析】如圖，根據(jù)余弦的定義可求出AB的長，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長．【詳解】如圖，∵∠C=90°，AC=9，cosA=，∴cosA==，即，∴AB=15，∴BC===12，【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦是角的對邊與斜邊的比值；余弦是角的鄰邊與斜邊的比值；正切是角的對邊與鄰邊的比值；熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、x≤1【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴1﹣x≥0，解得：x≤1．故答案為：x≤1．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．12、3π【分析】由切線及平行的性質(zhì)可知，利用扇形所對的圓心角度數(shù)可得陰影部分面積所占的白分比，再用圓的面積乘以百分比即可.【詳解】解：AB是⊙O的切線，A.為切點即陰影部分的面積故答案為：.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)及扇形的面積，熟練掌握圓的切線垂直于過切點的半徑這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13、【分析】先提取公因式，然后用平方差公式因式分解即可.【詳解】解：故答案為：.【點睛】此題考查的是因式分解，掌握提取公因式法和公式法的結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵.14、30【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案.【詳解】∵∴故答案為30【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.15、1【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三邊關(guān)系得出各邊長，進而得出答案.【詳解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰長只能為5，5，底邊長為2，則其周長為：5+5+2＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì).16、2-2【解析】作DC關(guān)于AB的對稱點D′C′，以BC中的O為圓心作半圓O，連D′O分別交AB及半圓O于P、G．將PD+PG轉(zhuǎn)化為D′G找到最小值．【詳解】如圖：取點D關(guān)于直線AB的對稱點D′，以BC中點O為圓心，OB為半徑畫半圓，連接OD′交AB于點P，交半圓O于點G，連BG，連CG并延長交AB于點E，由以上作圖可知，BG⊥EC于G，PD+PG=PD′+PG=D′G，由兩點之間線段最短可知，此時PD+PG最小，∵D′C’=4，OC′=6，∴D′O=，∴D′G=-2，∴PD+PG的最小值為-2，故答案為-2.【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角、線段和的最小值問題等，綜合性較強，能靈活利用相關(guān)知識正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.通常解此類問題都是將線段之和轉(zhuǎn)化為固定兩點之間的線段和最短.17、【分析】由題意根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式組，求出m的值即可．【詳解】解：∵函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且拋物線的開口向上，∴，解得m=-1．故答案為-1．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知一般地形如y=ax1+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．18、8【分析】先根據(jù)鋼珠的直徑求出其半徑，再構(gòu)造直角三角形，求出小圓孔的寬口AB的長度的一半，最后乘以2即為所求．【詳解】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=2AD，∵鋼珠的直徑是10mm，∴鋼珠的半徑是5mm．∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，∴OD=3mm．在Rt△AOD中，∵mm，∴AB=2AD=2×4=8mm【點睛】本題是典型的幾何聯(lián)系實際應(yīng)用題，熟練運用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）直線經(jīng)過A點；（2）B（1,1）或B（1,1）；（1）①正確，②正確.【解析】（1）將拋物線解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點A的坐標(biāo),將點A的坐標(biāo)代入直線的解析式判斷即可；（2）OA=2,△OAB面積為1時，根據(jù)三角形的面積公式，求出點B的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求出點B的橫坐標(biāo)，即可求解.

（1）①點M（t，0），則點P（t，t2﹣4t+4），點Q（t，kt﹣2k），若k＞0：當(dāng)0≤t≤2時，P在Q點上方時，t2-4t+4-kt-2k=3,整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0，求出△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,②分當(dāng)P在Q點下方，當(dāng)P在Q點上方時，兩種情況進行分類討論.【詳解】（1）y1頂點A（2,0）當(dāng)x=2時，由2k-2k=0，∴直線經(jīng)過A點.（2）OA=2,△OAB面積為1時，S△OAByB令y解得：x1即點B的坐標(biāo)為：B（1,1）或B（1,1）,（1）∵點M（t，0），∴點P（t，t2﹣4t+4），點Q（t，kt﹣2k），①若k＞0：當(dāng)0≤t≤2時，P在Q點上方時，∵PQ=1∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=1整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解∴①正確．②若k＜0:1）當(dāng)P在Q點下方，∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=﹣1∴t2﹣（4+k）t+7+2k=0∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（7+2k）=k2﹣12∴當(dāng)存在PQ=1時，k2﹣12≥0∴k≤-23或k≥2∴當(dāng)﹣2＜k＜﹣0.5時，不存在滿足條件的t，2)當(dāng)P在Q點上方時，∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=1∵△=k2+12＞0,此方程有解又∵t1+t1∴正根>2∴在[0,2]上不存在滿足條件的t，∴②正確-【點睛】屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積公式，一元二次方程根的判別式等，綜合性比較強，難度較大.20、（1）證明見解析；（2）1．【分析】（1）連接OB，由切線的性質(zhì)可得OB⊥PA，然后根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠CBD=90°，再根據(jù)等角的余角相等推出∠BCD=∠BOA，由等量代換得到∠CBO=∠BOA，即可證平行；（2）先由勾股定理求出BD，然后由垂徑定理得到DE，求出OE，再利用△ABE∽△DOE的對應(yīng)邊成比例，即可求出AE．【詳解】（1）如圖，連接OB，∵直線PA與相切于點B，∴OB⊥PA，∴∠PAO+∠BOA=90°∵CD是的直徑∴∠CBD=90°，∠PDB+∠BCD=90°又∵∠PAO=∠PDB∴∠BOA=∠BCD∵OB=OC∴∠BCD=∠CBO∴∠CBO=∠BOA∴OA∥BC（2）∵半徑為10，，∴BD=由（1）可知∠CBD=90°，OA∥BC∴OE⊥BD∴是的中點，DE=BD=∴∵，∴，∴，即∴．【點睛】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握切線的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）S＝t2+t；（3）Q（，）．【分析】（1）函數(shù)的表達式為：y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；（2）tan∠PCH＝＝＝，求出OE＝，利用S＝S△NCE+S△NAC，即可求解；（3）證明△CNP≌△KRH，求出點P（4，5）確定tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，最后計算KT＝MT＝（），F(xiàn)T＝4﹣（+），tan∠MFT＝＝4﹣m，即可求解．【詳解】（1）函數(shù)的表達式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；（2）過點P作PH⊥y軸交于點H，設(shè)點P（t，t2﹣2t﹣3），CN＝t2﹣2t﹣3+3＝t2﹣2t，∴tan∠PCH＝＝＝，，解得：OE＝，S＝S△NCE+S△NAC＝AE×CN＝t2+t；（3）過點K作KR⊥FH于點R，∵KH＝CP，∠NCP＝∠H，∠R＝∠PNC＝90°，∴△CNP≌△KRH，∴PN＝KR＝NS，∵點F是PC中點，SF∥NP，∴PN＝KR＝NS＝CN，即t＝（t2﹣2t﹣3+3），解得：t＝0或4（舍去0），點P（4，5），點K、P時關(guān)于對稱軸的對稱點，故點K（﹣2，5），∵OE∥PN，則，故OE＝，同理AE＝，設(shè)點Q（m，m2﹣2m﹣3），過點Q作WQ⊥KP于點W，WQ＝5﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+8，WK＝m+2，tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，則NG＝8﹣2m，MP＝AE+GN＝（8﹣2m）＝﹣m+，KM＝KP﹣MP＝，過點F作FL⊥KP于點L，點F（2，1），則FL＝LK＝4，則∠LKF＝45°，∵∠MFK＝∠PKQ，tan∠MFK＝tan∠QKP＝4﹣m，過點M作MT⊥FK于點T，則KT＝MT＝（），F(xiàn)T＝4﹣（），tan∠MFT＝＝4﹣m，解得：m＝11或（舍去11），故點Q（，）．【點睛】考查了二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、三角形全等、圖形的面積計算、解直角三角形等，其中（3），運用函數(shù)的觀點，求解點的坐標(biāo)．22、（1）證明見解析；（2）EF=2.【分析】(1)、先證明四邊形AOCD是菱形，從而得到∠AOD=∠COD=60°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠FDO=90°，接著證明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；(2)、在Rt△OBF中，利用60度的正切的定義求解．【詳解】(1)、連結(jié)OD，如圖，∵四邊形AOCD是平行四邊形，而OA=OC，∴四邊形AOCD是菱形，∴△OAD和△OCD都是等邊三角形，∴∠AOD=∠COD=60°，∴∠FOB=60°，∵EF為切線，∴OD⊥EF，∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中，∴△FDO≌△FBO，∴∠ODF=∠OBF=90°，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切線；(2)、在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，∴BF=1×tan60°=．∵∠E=30°，∴EF=2BF=2．考點：(1)、切線的判定與性質(zhì)；(2)、平行四邊形的性質(zhì)23、（1）或；（2）或．【分析】（1）根據(jù)平方差公式因式分解，根據(jù)題意可得或；（2）根據(jù)翻折性質(zhì)可證∠AEF=180°∠BEF=90°，分兩種情況：①如圖a，當(dāng)∠EAF=30°時，設(shè)BD=x，根據(jù)勾股定理，即；②如圖b，當(dāng)∠AFE=30°時，設(shè)BD=x，根據(jù)勾股定理，，；【詳解】（1）解：∵>0，且x，y均為正整數(shù)，∴與均為正整數(shù)，且>，與奇偶性相同．又∵∴或解得：或．（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠B=∠BAC=45°又∵將△BDE沿