函數(shù)的單調性及凹凸性

第四節(jié)函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調性的判定法

二、曲線的凹凸與拐點

第三章

1/4/20241問題的提出若在區(qū)間（a,b)上單調增加若在區(qū)間（a,b)上單調減少一、函數(shù)單調性的判定法1/4/20242若定理

1.

設函數(shù)則

在

I

內單調遞增(遞減).證:無妨設任取由拉格朗日中值定理得故這說明在

I

內單調遞增.在開區(qū)間

I

內可導,證畢1/4/20243例1.

確定函數(shù)的單調區(qū)間.解:令得故的單調增區(qū)間為的單調減區(qū)間為1/4/20244說明:

單調區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調性.例如,1/4/20245單調區(qū)間求法⑴問題：如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調。⑵定義：若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間。⑶分界點：導數(shù)等于零的點(駐點)和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點。⑷單調區(qū)間求法:1/4/20246例2.

證明時,成立不等式證:令從而因此且后面證1/4/20247*證明令則從而即1/4/202481/4/20249另例證1/4/202410二、曲線的凹凸與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方ABMN1/4/202411定義.設函數(shù)在區(qū)間

I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點

.圖形是凸的.1/4/202412曲線凹凸的判定圖形分析定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內則在

I

內圖形是凹的;(2)在

I內則

在

I

內圖形是凸的.設函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)1/4/202413證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明

(1)成立;(2)證畢1/4/202414例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導數(shù)為

0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在

兩側異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側二階導數(shù)不變號,1/4/202415例4.求曲線的拐點.

解:不存在因此點

(0,0)

為曲線的拐點

.凹凸1/4/202416例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點

(0,1)

及均為拐點.凹凹凸1/4/202417內容小結1.可導函數(shù)單調性判別在

I

上單調遞增在

I

上單調遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點1/4/202418思考與練習上則或的大小順序是

()提示:利用單調增加,及B1.

設在1/4/202419

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)P1513(1),(7);4(2),(4);8(3),(6);9(3);10;12;13;14