函數(shù)的最大值和最小值

函數(shù)的最大值和最小值在日常生活，常常會遇到求什么條件下可以使成本最低、產(chǎn)量最大、效益最高等問題，這往往可以歸結為求函數(shù)的最大值和最小值。創(chuàng)設情境，鋪墊導入合作學習，探索新知指導應用，鼓勵創(chuàng)新歸納小結，反饋回授一、創(chuàng)設情境，鋪墊導入如圖,有一長80cm,寬60cm的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折成一個長方體無蓋容器,要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求,長方體的高不小于10cm且不大于20cm．設長方體的高為xcm,體積為Vcm3．問x為多大時,V最大?并求這個最大值．80cm60cmx

由長方體的高為xcm，可

知其底面兩邊長分別是

（

80－2x）cm，

（60－2x）cm,(10≤x≤20)。解：所以體積V與高x有以下函數(shù)關系：V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．問題1：如果是在開區(qū)間（a，b）上情況如何？問題2：如果[a，b]上不連續(xù)一定還成立嗎？

1212xy1212xy

二、合作學習，探索新知如下圖為連續(xù)函數(shù)f(x)的圖象：xy二、合作學習，探索新知如圖為連續(xù)函數(shù)f(x)的圖象：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值、最小值分別是什么？分別在何處取得？xyxyababab由以上分析，說明求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上最值的關鍵是什么？歸納：設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；（2）將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個

是最大值，最小的一個是最小值．例1：求函數(shù)y=x4－2x2＋5在區(qū)間[－2，2]上的最大

值與最小值．解法一：y′=4x3－4x，

令y′=0，有4x3－4x=0，

解得：x=－1,0,1。當x變化時，y′，y的變化情況如下表：x－2(-2,-1)－1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′

—0＋0－0＋

↘

↗

↘

↗

y13

4

5

4

13從上表可知，最大值是13，最小值是4．思考：求函數(shù)f(x)在[a,b]上最值過程中，判斷極值往往比較麻煩，我們有沒有辦法簡化解題步驟？設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟可以改為：（1）求f(x)在(a,b)內(nèi)導函數(shù)為零的點，并計算出其函數(shù)值；（2）將f(x)的各導數(shù)值為零的點的函數(shù)值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．y′=4x3－4x令y′=0，有4x3－4x=0，解得：x=－1,0,1．x=－1時，y=4,x=0時，y=5,x=1時，y=4，又x=－2時，y=13，x=2時，y=13?！嗨笞畲笾凳?3，最小值是4。解法二：三、指導應用，鼓勵創(chuàng)新例1、如圖,有一長80cm,寬60cm的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折成一個長方體無蓋容器,要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求,長方體的高不小于10cm且不大于20cm．設長方體的高為xcm,體積為Vcm3．問x為多大時,V最大?并求這個最大值．分析：建立V與x的函數(shù)的關系后，問題相當于求x為何值時，V最小，可用本節(jié)課學習的導數(shù)法加以解決。四、歸納小結，反饋回授1、在閉區(qū)間[a