土木工程制圖基礎 課件 第3章 平面立體的投影

第3章平面立體的投影3.1基本平面體的投影由多個平面圍成的立體，稱為平面立體，簡稱平面體，也稱多面體。最簡單的平面體有棱柱、棱錐、棱臺等?；酒矫媪Ⅲw

棱柱是由兩個互相平行的多邊形底面和若干個棱面圍成的，相鄰兩棱面的交線稱為棱線，所有的棱線都互相平行。棱線垂直于底面的叫直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。3.1.1

棱柱棱錐是由多邊形底面和若干個匯交于頂點的棱面圍成的，相鄰棱面的交線叫棱線，所有的棱線都通過錐頂。底面是正多邊形且錐頂位于通過底面中心而垂直于底面的直線上，這樣的棱錐叫正棱錐。3.1.2棱錐棱錐被平行于底面的平面截割，截面與底面間的部分為棱臺。所以，棱臺的兩個底面彼此平行且相似，所有的棱線延長后交于一點。3.1.3棱臺平面體表面的可見性

可見性的判斷和表示規(guī)則：（1）各投影的外形輪廓線總是可見的；（2）位于可見表面或表面的可見區(qū)域的點、線是可見的，反之則不可見；（3）不可見表面與不可見表面的交線是不可見的；（4）可見線用實線表示，不可見線用虛線表示，二者投影重合時只畫實線。3.1.4平面體表面上的直線和點兩不可見表面的交線不可見平面體表面的可見性3.1.4平面體表面上的直線和點虛實重合只畫實線兩不可見表面的交線不可見例3-1：

已知四棱柱的三個投影，及四棱柱表面上點A、B的正面投影，點C的側面投影和點D的水平投影，試作出A、B、C、D四點的另外兩個投影。解：

四棱柱的上下底面為水平面，四個棱面為鉛垂面。3.1.4平面體表面上的直線和點例3-2：

已知四棱錐S-ABCD的三個投影，及四棱錐表面上折線KMN的正面投影k'm'n'，試求出KMN折線的另外兩個投影。解：K點在SA棱線上，M點在SB棱線上，可直接作出K、M的其他投影。N點在SBC棱面上，由平面上作點的方法，求得N點的其他投影。3.1.4平面體表面上的直線和點有些立體可以看作是由一些基本立體經過簡單疊加（堆積）成型的。疊加是一種自然（無損傷）堆積，基本體之間只有簡單的接觸（疊合面），不另外產生表面交線。3.1.5基本平面體的疊加疊加形成的立體，投影圖上常有明顯的分塊痕跡。借助于投影圖上的分塊線框便于分析形體的構成及其形狀。3.1.5基本平面體的疊加

把形體看作是疊加形成的，這只是認識形體構形的一種思維方法，實際上形體本身是一個整體，在接觸面處并不存在接縫。3.1.5基本平面體的疊加3.2平面立體的截切與相貫立體被平面切割，也叫截切，形成截切體。切割平面稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線，截交線所圍成的截面圖形稱為截斷面或斷面。多個截平面切割立體時截平面之間可能有交線，也可能形成切口或挖切出槽口、孔洞等。3.2.1基本平面體的切割平面體的表面都是平面，所以截交線是封閉的平面多邊形。多邊形的各邊是截平面與被截表面的交線，多邊形的各頂點是截平面與被截棱線或底邊的交點。因此，求作截交線的問題可歸結為求線面交點或面面交線的問題。3.2.1基本平面體的切割繪制截切體投影圖的一般方法與步驟：1.幾何抽象畫出切割前的原始形狀的投影；2.分析截交線的形狀判明截交線是幾邊形；3.分析截斷面的投影特性積聚性、實形性、相仿性；4.求截交線的頂點、邊線本質問題是求交點和交線；5.整理修飾丟棄被截掉的棱線，補全、接上原圖中未定的圖線，分清可見性，加深描黑。3.2.1基本平面體的切割例3-3：

試求四棱錐被一正垂面P切割后的三面投影圖，并求截斷面的實形。解：P平面與四個棱面相交，截交線為四邊形，其四個頂點為四條棱線與P的交點，其正面投影重合在p'上，其他投影則為四邊形（相仿形）。3.2.1基本平面體的切割例3-4：

試補全圖示帶有槽口六棱柱的正面投影，并作出其側面投影。解：槽口是由三個截平面P、Q、R切割形成的，P為正平面，Q和R為側平面。3.2.1基本平面體的切割例3-4：

試補全圖示帶有槽口六棱柱的正面投影，并作出其側面投影。解：槽口由三個平面圖形組成，每個圖形由截交線和相鄰截平面間的交線所圍成。3.2.1基本平面體的切割例3-5：

試補全圖示帶切口的四棱錐的水平投影和側面投影。解：四棱錐被兩個截平面（水平面和正垂面）切割而成，因此，需要求出兩個截平面與四棱錐表面的交線以及兩截平面之間的交線。3.2.1基本平面體的切割例3-5：

試補全圖示帶切口的四棱錐的水平投影和側面投影。解：四棱錐被兩個截平面（水平面和正垂面）切割而成，因此，需要求出兩個截平面與四棱錐表面的交線以及兩截平面之間的交線。3.2.1基本平面體的切割兩立體相交連接，亦稱相貫。相貫兩立體的表面產生交線，稱為相貫線。

相貫線的形狀和數(shù)目取決于基本立體的形狀和它們的相對位置。相貫線一般是一條或兩條閉合的空間折線。

3.2.2基本平面體的交接全貫時相貫線有兩條互貫時相貫線有一條

相貫線上的邊是兩立體參與相交的表面間的交線，相貫線上的頂點是參與相交的棱線或底邊對另一立體表面的交點。求相貫線的方法有二：

1.求出兩立體上所有參與相交的棱面或底面間的交線；

2.求出每一立體上參與相交的棱線或邊線對另一立體表面的交點，再依次連接這些交點。3.2.2基本平面體的交接求相貫線的步驟：

1.分析相貫線的類型；確定折線的條數(shù)、每條折線的邊數(shù)或頂點數(shù)。

2.求交線；或者

3.求交點，連接成線；某兩點在第一個立體的同一表面上，又在第二個立體的同一個表面上，這樣的兩點才可以相連。

4.分清各邊線的可見性；產生該邊線的兩個表面的某個投影均都可見時，該邊線的相應投影才是可見的。

5.整理修飾，描黑。3.2.2基本平面體的交接例3-6：

試完成圖示房屋模型的水平投影。解：需要求出兩個五棱柱表面間的相貫線。兩棱柱均水平放置，底部的兩個水平棱面共面，只需求出上部的棱面交線即可。大五棱柱前面的兩個棱面參與相交，小五棱柱上面的四個棱面參與相交，則相貫線為6條線段連成的空間折線。3.2.2基本平面體的交接例3-6：

試完成圖示房屋模型的水平投影。解：大五棱柱左右放置，其側面投影積聚為五邊形，小五棱柱前后放置，其正面投影積聚為五邊形。因此相貫線的正面投影和側面投影為已知。3.2.2基本平面體的交接例3-7：試完成直立三棱柱與水平三棱柱的相貫線。解：兩三棱柱為互貫，相貫線應是一條空間折線。相貫線的水平投影和側面投影積聚，只需求出正面投影即可。3.2.2基本平面體的交接例3-7：試完成直立三棱柱與水平三棱柱的相貫線。解：如果抽出水平三棱柱，則相當于直立三棱柱被三個平面切割出了一個槽口，槽口相貫線的作圖方法相同，所不同的是槽口內不可見的棱線應畫成虛線。3.2.2基本平面體的交接3.3軸測投影原理及平面立體的軸測圖畫法

由于多面正投影的投射方向總是與形體的基本方向一致，所以每個投影只能反映形體的兩個尺度。這樣的圖缺乏立體感。

選用不平行于任一坐標面的方向為投射方向，將形體連同確定形體位置的坐標系一起投射到同一個投影面上，得到的圖叫軸測圖，這種投影方法稱為軸測投影法。3.3.1軸測投影的形成及特性得到反映形體三個尺度圖的方法：1.改變投影面而仍然采用正投影；2.不改變投影面而改變投射方向。3.3.1軸測投影的形成及特性正軸測投影

投射方向垂直于投影面時所得到的軸測投影稱為正軸測投影。使坐標系的三條坐標軸O1X1、O1Y1和O1Z1都與投影面P傾斜，然后用正投影法將形體連同坐標系一起投射到P投影面上，即得到形體的正軸測投影。3.3.1軸測投影的形成及特性斜軸測投影

投射方向傾斜于投影面時所得到的軸測投影稱為斜軸測投影。通常使投影面P平行于X1O1Z1坐標面，即平行于形體上包含長度和高度方向的表面，而使投射方向傾斜于P，即得到此形體的斜軸測投影。3.3.1軸測投影的形成及特性軸測投影是一種單面投影。投影面P稱為軸測投影面，坐標軸的軸測投影叫軸測軸。

軸測軸之間的夾角稱為軸間角，它們確定了三條軸測軸的關系；

坐標軸上的單位長度，投影后會改變長度，成為軸測單位長度。軸測單位長與對應的坐標單位長之比，稱為軸向伸縮系數(shù)，分別用p、q、r表示。3.3.1軸測投影的形成及特性繪制軸測投影時：1.畫軸測投影時必須保持平行性、定比性。軸向直線保持與軸平行。保持平行關系；2.軸向線段保持軸向伸縮比，即沿軸測量，軸向線段的軸測長度等于實際長度乘上相應的軸向伸縮系數(shù)。3.3.1軸測投影的形成及特性軸間角、軸向伸縮系數(shù)與軸測圖的類型有關。1．正軸測圖

正等軸測圖

正二軸測圖p=q=r≈0.82，簡化伸縮系數(shù)為13.3.2工程上常用的軸測圖2．斜軸測圖斜二軸測圖水平斜等軸測3.3.2工程上常用的軸測圖畫軸測圖必須首先選定軸測圖類型，確定的基本條件：

1.知道軸間角，這樣才可以畫出軸測軸；

2.知道軸向伸縮系數(shù)，這樣才可以沿軸測量。畫軸測圖時為了增強軸測圖的立體感，通常軸測圖上只畫可見輪廓線，對看不見的部分則省略不畫。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-8：畫出三棱錐的正等軸測圖。解：設定三棱錐的坐標系為O1－X1Y1Z1，從而可確定三棱錐上各點S、A、B、C的坐標值。沿軸向截量每個點的三個坐標，定出各點；連線，并描深可見的棱線和底邊。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-9：畫出正六棱柱的正等軸測圖。解：選定坐標原點在棱柱頂面中心；畫出頂面的正等軸測圖；過頂面各頂點沿Z軸方向畫出互相平行的棱線，在棱線上截出棱柱的高度；連接各點即為下底面；最后描深可見圖線。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-10：畫出圖示棱柱體的斜二軸測圖。解：設定前端面為坐標面X1O1Z1，前、后端面的斜二軸測投影為實形。過前端面各頂點作OY軸的平行線，在這些平行線上量取棱柱體厚度的一半得后端面上的各頂點，連接各點，最后描深可見的圖線。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-11：繪制圖示立體的正等軸測圖。解：該立體可以看成是長方體被切去某些部分后形成的，共有三個切割平面：P為正平面、Q為正垂面、R為側垂面。畫軸測圖時，可先畫出完整的長方體，再畫切割部分。3.3.3平面立體軸測圖的畫法例3-12：畫出圖示立體的正等軸測圖。解：該立體可以看成是由三部分疊加而成的：Ⅰ為水平放置的矩形板（底部有前后貫通槽），Ⅱ為在Ⅰ上面放置的梯形平面體，Ⅲ為在Ⅱ上面橫放的五棱柱（接觸面與Ⅱ的頂面大小一樣）。3.3.3平面立