空間向量的坐標(biāo)表示與計算

空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理:1.平面向量根本定理：3.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo2.正交分解問題：

我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？xyzOQP

由此可知，如果是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得

探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量，你能得出類似的結(jié)論嗎？于是存在三個實數(shù)x，y，z，使所以P=xa+yb+zc.注意：

空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底，反之基底必須是不共面向量，零向量當(dāng)然不能作基底?？臻g向量根本定理：

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使其中叫做基向量例1、向量{a，b，c}是空間的一個基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個基底．二、空間向量直角坐標(biāo)系1.單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示2.空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz

其中，點O叫做原點，向量e1,e2,e3叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面其中

(x,y,z)叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).起點在坐標(biāo)原點時，終點A點的坐標(biāo)就是向量p的坐標(biāo)xyzOA(x,y,z)e1e2e3QBC3.空間向量的坐標(biāo)表示給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3

p3.1.5空間向量運算的坐標(biāo)表示平面向量運算的坐標(biāo)表示：一．復(fù)習(xí)回憶那么:（1）(2)（3）（4）那么，空間向量運算的坐標(biāo)表示又怎么樣呢？〔一〕向量的直角坐標(biāo)運算二、講授新課解:例2若

1、向量的長度〔?！彻健捕诚蛄康哪Ｅc夾角在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則推廣：2.兩個向量夾角公式例3.求以下兩個向量的夾角的余弦：三、空間向量坐標(biāo)的綜合應(yīng)用已知、，求：線段的中點坐標(biāo)和長度；解：設(shè)是的中點，則∴點的坐標(biāo)是.

練習(xí)：A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求滿足以下條件的點D的坐標(biāo)〔1〕DB//AC,DC//AB(2)DB⊥AC,DC⊥AB且AD=BC解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，那么

如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

練習(xí)2、已知垂直于正方