廣東省廣州市廣州四中2023-2024學年高二上學期12月月考數(shù)學試題（解析版）

廣州市第四中學2023學年第一學期12月月考高二數(shù)學一、單選題：（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上）1.直線2x﹣3y+1=0的一個方向向量是（）A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）【答案】D【解析】【詳解】由題意可得：直線2x﹣3y+1=0的斜率為k=，所以直線2x﹣3y+1=0的一個方向向量=（1，），或（3，2）故選D．2.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用雙曲線方程求解漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程是：故選：A3.等比數(shù)列中，已知，，則（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式求出的值，再由進行計算即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，所以，所以，更多課件教案視頻等優(yōu)質(zhì)滋源請家威杏MXSJ663所以.故選：A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的應用，屬于基礎題.4.如圖所示,在正方體中,點F是側(cè)面的中心,設,則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理將轉(zhuǎn)化為即可選出答案.【詳解】解:由題知,點F是側(cè)面的中心,為中點,則,故選:A5.已知直線與圓相交于點A，B，點P為圓上一動點，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應用點線距離、弦長的幾何求法求，確定面積最大點P的位置，即可求面積最大值.【詳解】由圓心為，半徑為，則圓心到直線距離，所以，要使面積最大，只需圓上一動點P到直線距離最遠，為，所以面積的最大值是.故選：A6.已知數(shù)列滿足，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關系得到數(shù)列周期，利用周期性求項.【詳解】由題設，，，……，所以是周期為3的數(shù)列，又可得,則.故選：B7.已知圓（為圓心，且在第一象限）經(jīng)過，，且為直角三角形，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設且，半徑為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】依題意，圓經(jīng)過點，可設且，半徑為，則，解得，所以圓的方程為.【點睛】本題主要考查了圓的標準方程的求解，其中解答中熟記圓的標準方程的形式，以及合理應用圓的性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.8.等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合已知并討論、研究數(shù)列的性質(zhì)，進而判斷各項的正誤.【詳解】由題設，則，所以，若，則，故，，，A對；若，則，故，，，B錯；綜上，，C對；，當，，此時，當，，此時，所以，D對.故選：B二、多選題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中有多項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上．錯選不得分，部分選對得2分，全選對得5分）9.已知直線，圓，則下列說法正確的是（）A.直線l必過點B.直線l與圓E必相交C.圓與圓E有3條公切線D.當時，直線l被圓E截得的弦長為【答案】BC【解析】【分析】由直線方程確定過定點，判斷定點與圓位置關系判斷A、B；根據(jù)兩圓圓心距離與半徑間的關系判斷C；應用點線距離及弦長的幾何求法求弦長.【詳解】A：由，則必過定點，錯；B：將定點代入圓，有，故點在圓內(nèi)，即直線l與圓E必相交，對；C：由題設且半徑為，而且半徑為，所以，即兩圓外切，故兩圓有3條公切線，對；D：由題設，則到直線的距離，故直線l被圓E截得的弦長為，錯.故選：BC10.數(shù)列的前n項和為，已知，則（）A. B.是等比數(shù)列C. D.數(shù)列中的最小項是第2項【答案】CD【解析】【分析】利用關系求數(shù)列通項公式，進而判斷各項正誤.【詳解】由題設，且，所以，A、B錯，C對；由，數(shù)列遞增，又，故數(shù)列中的最小項是第2項，D對.故選：CD11.如圖，若長方體的面是邊長為2的正方形，高為．E是的中點，則（）A.B.平面平面C.直線與平面所成角的余弦值為D.點C到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，通過向量共線以及平面的法向量的關系，線面夾角正弦值的坐標運算，點到平面距離公式的應用，逐項判斷選項的正誤即可．【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，則，所以，所以，故A正確；，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，則，令，則，因為與不平行，所以平面與平面不平行，故B不正確；又設面的法向量為，則，令，則，所以，則直線與平面所成角的正弦值為故直線與平面所成角的余弦值為，故C正確；點C到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.12.已知過點，傾斜角為的直線l與拋物線相交于A，B兩點．過線段AB中的中點P作平行于y軸的直線，分別與拋物線C和其準線相交于點M，N．則下列說法正確的是（）A.點M是線段PN的中點 B.直線AN與拋物線C相切C. D.【答案】ABD【解析】【分析】將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的坐標，進而求出點、的坐標，可判斷A選項；利用斜率關系判斷出，可判斷D選項；求出點、的坐標，利用直線上兩點距離公式即可得的值，可判斷C選項；求出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合判別式可判斷B選項．【詳解】題意可知，直線的方程為，設點,,,，聯(lián)立，可得，則，由韋達定理可得，所以，則．故點，所以直線的方程為，由，可得，即點，拋物線的準線方程為，所以點，易知點為線段的中點，故A正確；所以，，所以．即，所以，故D正確；解方程，可得，，所以，即點．，即點，所以，故C錯誤；又，所以直線的方程為，即，聯(lián)立直線和拋物線的方程得，可得，，所以直線與拋物線相切，故B正確．故選：ABD．三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分滿分20分）13.在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點，在軸上，離心率為，過作直線交于兩點，且的周長為，那么的方程為__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.∴橢圓C的方程為考點：橢圓的定義及幾何性質(zhì)14.記等比數(shù)列的前n項和為，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)，可得答案.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前項和為，所以成等比數(shù)列，則，即，，解得.故答案為：.15.在長方體中，，P為CD中點，則點P到直線的距離為________．【答案】##【解析】【分析】構(gòu)造空間直角坐標系，應用向量法求點線距離即可.【詳解】如下圖，構(gòu)造空間直角坐標系，則，所以，故點P到直線的距離為.故答案為：16.如圖，，是雙曲線上的兩點，是雙曲線的右焦點.是以為頂點的等腰直角三角形，延長交雙曲線于點.若，兩點關于原點對稱，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的定義、對稱性列方程，化簡求得的關系式，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】設左焦點為，連接，依題意：是以為頂點的等腰直角三角形，，兩點關于原點對稱，結(jié)合雙曲線對稱性可知：四邊形是矩形，所以，設，則，，由，即，整理得，.故答案為：三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟）17.分別求滿足下列條件的直線方程.（Ⅰ）過點，且平行于:的直線；（Ⅱ）與:垂直，且與點距離為的直線.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）設所求直線方程為：，將點代入即可求得，問題得解．（Ⅱ）設所求直線方程為：，利用點到所求直線距離為列方程即可求得或，問題得解．【詳解】（Ⅰ）設所求直線方程為：，又所求直線過點，將它代入上式可得：，解得：，所以所求直線方程為：，即：（Ⅱ）設所求直線方程為：，又點到所求直線的距離為，即：，解得：或，所以所求直線方程為：或【點睛】本題主要考查了互相平行，垂直的兩直線方程之間的關系，考查方程思想及計算能力，屬于基礎題．18.如圖，在直三棱柱中，，，.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直棱柱的幾何性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，平面，所以.又，，平面，所以平面.因為平面，所以.；【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面法向量為，則，令，得.設平面的法向量為，則，令，則，所以.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.19.設等差數(shù)列的前n項和為，且．（1）求的最大值及取得最大值時的n的值；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）或時的最大值為；（2）.【解析】【分析】（1）應用等差數(shù)列通項公式、前n項和公式求，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最大值并確定對應n值.（2）由（1）及遞推式有，應用累加法求數(shù)列通項即可.【小問1詳解】令公差為，且，所以，故，所以，，故或時的最大值為.【小問2詳解】由（1）知，即，又，所以，且，則，故，顯然也滿足，所以.20.如圖所示，一隧道內(nèi)設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．（1）建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．【答案】（1）x2+(y+3)2＝36（2）3.5米【解析】【分析】（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系．設圓的方程為x2+(yb)2＝r2，通過F，M在圓上，求出參數(shù)值，得到圓的方程．（2）設限高為h，作CP⊥AD交圓弧于P，則|CP|＝h+0.5，將P的橫坐標x代入圓的方程，求出y，然后求出限高．【小問1詳解】以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系，則E(3,0)，F(xiàn)(3,0)，M(0,3)，由所求圓圓心在y軸上，可設圓為x2+(yb)2＝r2，又F，M在圓上，則，解得b＝3，r2＝36．∴圓的方程為x2+(y+3)2＝36．【小問2詳解】設限高為h，作CP⊥AD交圓弧于P，則|CP|＝h+0.5，將P的橫坐標x代入圓的方程，有，得y＝2或y＝8（舍），∴h＝|CP|0.5＝(y+|DF|)0.5＝(2+2)0.5＝3.5(m)．答：車輛通過隧道的限制高度是3.5米．21.如圖，在四棱錐中，已知且四邊形ABCD為直角梯形，分別為PA，PD的中點.（1）求證：平面；（2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DM所成角最小時，求線段BQ的長.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，由三角形中位線定理可得，從而可證明四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）以A為坐標原點，為坐標軸建立空間直角坐標系，設，，利用空間向量夾角余弦公式可得，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)配方法，求得時直線與所成角取得最小值，此時.【小問1詳解】證明：如圖，連接，，因為點，分別是，的中點，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，．所以，，設，，又，所以.設，則，，所以，，當且僅當，即時，取得最大值，即直線與所成角取得最小值，此時，而，，.【點睛】本題主要考查線