第七章應力應變分析強度理論

士東工程學院

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第七章

應力狀態(tài)和強度理論

iu?材料力學

主要內(nèi)容

§7-1應力狀態(tài)概述及實例

通§7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法

HS]§7-4二向應力狀態(tài)分析-圖解法

§7-5三向應力狀態(tài)

§7-8廣義虎克定律

§7-9復雜應力狀態(tài)的應變能密度

W§7-11四種強度理論

I口§7-12莫爾強度理論

工工二a.A%

材料力學

“§7.1應力狀態(tài)概述

U

一、應力狀態(tài)的概念

1、低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗

低碳鋼鑄鐵

塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線?

■

2、低碳鋼和鑄鐵的扭轉實驗

低碳鋼鑄鐵

為什么脆性材料扭轉時沿45°螺旋面斷開？

CLY系列三

3、重要結論

(1拉中有剪，剪中有拉；

(2不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；

(3同一面上不同點的應力各不相同；

(4同一點不同方向面上的應力也各不相同

應力

哪一個面上？

哪一點？

4、一點的應力狀態(tài)

過一點不同方向面上應力的集合，稱為該點的應力狀態(tài)。

CLY哪一點？哪個方向面？系列三

材料力學

二、應力狀態(tài)的研究方法

1、單元體

2、單元體特征

?尺寸無限小，每個面上應力均勻分布

?任意一對平行平面上的應力相等

3、主單元體

各側面上切應力均為零說明：

一點處必定存在這樣一個單元體：

4、主平面

三個相互垂直的面均為主平面，

切應力為零的截面

三個主應力/，巧，生相互垂直，

5、主應力規(guī)定主應力值按代數(shù)值大小來排列

主平面上的正應力即句>/>/

amntiut材料力學

三、應力狀態(tài)的分類

1、空間應力狀態(tài)

三個主應力5、5、生均不等于零

2、平面應力狀態(tài)

三個主應力力、啰、s中有兩個不等于零

3、單向應力狀態(tài)

三個主應力/、/、/中只有一個不等于零

材料力學

§7.2二向和三向應力狀態(tài)的實例

例1畫工字梁s截面各點單元體的應力狀態(tài).

材料力學

材料力學

例3分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應力狀態(tài)

材料力學

(2)周向：用直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對象

mmim材料力學

§7.3二向應力狀態(tài)分析-解析法

一、斜截面上的應力J'

1、截面法e__

沿斜截面。?將單元體截開，°\

取左邊部分"進行研究

2、符號的確定,

(1)由x軸轉到〃，逆時針時a為正

(2)正應力仍規(guī)定拉應力辦正

(3)T對單元體內(nèi)任一點取矩，順時針時T為正

材料力學

列〃和7方向的平衡方程得

=0<7a(l1+(rtyd.4cosa)sina-(crxd.4cosa)cosa

+(r,vcL1sina)cosa-(cr,y.d.1sina)sina=0

Z/；=。ra(14-(rvj,(14cosa)cosa-(crtd.4cosa)sina

+(r/vd.1sina)sina+(cr^,d.1sina)cosa=0

材料力學

=0<Tad.l+(rvd.lcosa)sina-(<Txd.1cosa)cosa

+(T\、d4sina)cosa~(ayd.Asina)sina=0

￡，；=0rad.i-(r<7,d.tcosa)cosa-(<7vd.lcosa)sina

+(ryvd.lsina)sincr+(tTvd.4sina)cosa=0

化簡得(7+(ya—a,

a=———-+———-cos2a-rsin2a

*a*22v

a-c.

Ta=———,-sin2a+rycos2a

不難看出ba+ba+討=bv+b「

即兩相互垂直面上的正應力之和保持一個常數(shù)

材料力學

二、最大正應力及方位

<T+<TO"-cr

=---V------d----x------cos2a-sin2a

a22仃

cr-a.

Av

Ta?=2'sin2a+ecos2a

1、最大正應力的方位

令

sin2a+TA?cos2a]=0

%和4+90。確定兩個互相垂直的平面，一個是最大正應力所

在的平面，另一個是最小正應力所在的平面.

材料力學

2、最大正應力

將%和4+90。代入公式

外+叫<r-a.

a?=---------H----v------cosla-sin2a

022"

得到4皿和（主應力）

5nax_+bj土度”+

bmln24

進一步還必須判斷/是/與哪一個主應力間的夾角

約定IaO|<45。即aO取值在±45。范圍內(nèi)則確定主應力方向的具體規(guī)則如下

(1當cx>oy時，aO是GX與ornax之間的夾角

(2當cx<oy時，aO是ex與omin之間的夾角

(3當cx=oy時，a0=45°,主應力方向由單元體上切應力判斷

材料力學

二、最大切應力及方位

5+bcr一cy

+---------cos2a-r?,sinla

22節(jié)

O；.-CT

1、最大切應力的方位

令—=2(—~—cos2a-Tsin2a]=0

da2

tan24=——1%+90°

%和%+90。確定兩個互相垂直的平面，?個是最大切應力平面,

另一個是最小切應力平面.

2、最大切應力

將%和5+90°代入公式

ZX

?sin2a+豆丁cos2a

&2

得到*和qin=X號)F

.^mln

比較tan2%=-2%--av

和tni\2a}=-------

q一%2%

1乳乃

可見tan2ao=-、-?2al=2a,)+-,%=%+：

tan2%L4

—乏:一號，小三壬,

材料力學

例4如圖簡支梁.己知，”-，”截面上4點的彎曲正應力和切應力分別為

0=-70MPa,r=50MPa.確定4點的主應力及主平面的方位.

.72r-.上J1.429

tan2a.=------------=-

小。0)/

心L

27.5°

a=.

t-62.5

=27.5°與%n對應,

因為<rx<(ry,所以q=

a.,,

_4+%.土crv-.j26Mpa

(*})2+T2=<

V2f號'l-96MPa

I[<Tmin2

a}=26Mpa,cr2=0,<T3=—96MPa

工工二、.沆f

O1J<1一為=.5mm

例圖示單元體，已知〃(

5q=-4(H/Pa,%=60Akr?v=-5hV/Pa.

試求d截面上的應力及主應力和主單元體的方位.

(1)求截面上的應力

a+66一。/

a?=---------+--------cos2a-rsin2a

M22v*|||/xjfy

-40+60-40-60?...

=-----------1-----------COK(-60)-(-50)sin(-60)

22

=-58.3MPa

%-<7.

r?=--------^-sin2a+tncos2a

城2?

TO—60.，小,一,一.

=2§in(-60)+(-50)cos(-60)

=18.3MPa

心材料力學

(2)求主應力和主單元體的方位q=-401"。

、2r?2x(-5。),

tan2a.=-"=------——-=-1a;=60.VPtf

ar-ar-40-60

T=-50MPa

.-45*-22.54x

2al=.m=

#i1350675

因為q.<%,所以%=-22.5°與,加對應

產(chǎn)

3%

%g2V2”1-6(17MPsi/a

{0^5-

,=80.7MPa%=0/=~60.7MPa

畫三￡^\-…港J".2

MT-

材料力學

例6求平面純剪切應力狀態(tài)的主應力及主平面方位。

解(1)求主平面方位

,It&

tan2ao=--------

6*—69，

,90。.-450

2%=_9。?！阋?心。

因為q=q.,且勺＞0所以1r小。與展對應'

(2)求主應力

bjnaxbx+4,尸*

2J-

Omin2'

□I

材料力學

§7-4二向應力狀態(tài)分析-圖解法

一、莫爾圓

將斜截面應力計算公式改寫為

6+%(7-<T?

cr?-----------=---t------cos2a-sin2a

a22"

a-er

a=-xT^sin2a+M,cos2a

上兩式兩邊平方，然后相加便可消去a,得

（4-?。?+3=（『）2+4

比MM沈清10ft材料力學

上式是一個以4,%為變量的圓周方程。

1、圓心坐標C(%*,0)

2、圓的半徑/?=(%/f+q

當斜截面隨方位角a變化時,其上的應力4,I。

在b-r直角坐標系內(nèi)的軌跡是一個圓。

此圓稱為應力圓,或稱為莫爾圓。

材料力學

(3)量取OR=%BD，=Tyx得"點

(4)連接OZK兩點的直線與b軸相交于C點

(5)以C為圓心,C7)為半徑作圓，該圓就是單元體的應力圓

材料力學

§7.5三向應力狀態(tài)

若物體內(nèi)某一點處的三個主應力為5、/、巧

則有:

maxmin=^3==不（。1-%）

最大切應力所在的截面與/所在的主平面垂直,

并與5和為所在的主平面成45°角。

材料力學

例9單元體的應力如圖，求主應力和最大切應力值

解：單元體上q=40MPa

另外兩個主應力與生無關,可按平面應力狀態(tài)求解

501/Ptf

x

r(T

M=一L±

J2z/

*)+(一60)土伊-(叫230)2=57-

2出2J---67.6MPa

三個主應力為5=57.6MPacr2=40MPa=-67.6MPa

z?,tQ—G57.6—(—67.6)_

最大切應力為一=-y2=-------―=626m

內(nèi)容回顧材料力學

勒心材料力學

§7.8廣義胡克定律

一、廣義胡克定律

叫單獨存在時￡；=%

1E

”2單獨存在時￡；=—"*?

同理2、3方向的應變，

%單獨存在時

?與二三―喇

同時存在時-〃(%+?)]?

邑=不上3一"5+/)]

______E

材料力學

對非主單元體，

正應力只引起線應變

切應力只引起切應變

15

一a「〃(％+也)]

EL

7=萬[%—〃(%+%)]

材料力學例10邊長a=o.lm的銅立方塊，無間隙地放入剛性鋼凹槽中。已

知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比p=0.34,當受到F=300kN的均布壓力作用

時，求該銅塊的主應力和最大切應力。解：銅立方塊的應力狀態(tài)為銅塊上的壓應

力aaFaF300x103=-=-=-30MPa20.1A111el=Lol-g(o2+o3J

=0E1[]￡2=Lo2-g(ol+o3J=0EyCLYzGZGXayx系歹lj三

材料力學1I_1el=L?1-p(c2+ci3[=0E1[1s2=Lo2-p(c)l+o

3J=0E解得g(l+g0.34(1+0.34ol=o2=o3=(-30=-15.5MPa221-”-0.34

銅塊的主應力為cl=。2=-15.5MPa最大切應力Tmax=o3=-30MPa1(o1-o

3=7.25MPa2cLY系歹lj三

材料力學例12平面應力狀態(tài)，o=30MPa,T=-15MPao材料的彈性模量

E=200GPa,泊松比v=0.3。25試求對角線AC的長度改變AI。解：T30OCOA

o30o30+030-0=+cos(2x30o-(-15sin(2x30o=35.5MPa22ool20=30+

030-0+cos(2xl20o-(-15sin(2xl20o=-5.5MPa22￡30o11=o30o-vo

120o=x(35.5+0.3x5.5=185.8x10-6E200x103(A1AC=1AC-s30o25=x

185.8x10-6=9.29x10-3mmsin30oCLY系列三

材料力學§7-7復雜應力狀態(tài)的應變能密度一、定義物體在單位體積內(nèi)所積蓄

的應變能.二、計算公式1、單向應力狀態(tài)下，物體內(nèi)所積蓄的應變能密度為。21E

2V￡=OS==S22E2CLY系歹三

材料力學2、三個主應力同時存在時,。21"=91￡1+。2￡2+。3￡32將廣義

胡克定律代入,整理得o3ol122v￡=ol2+o2+o3-2g(olo2+o2o3+o3ol

2E[]V8可分解為兩部分之和V￡=vV+vdW--單元體體積改變的應變能密度，稱

為體積改變能密度Vd-單元體形狀改變的應變能密度,稱為畸變能密度CLY系列

豺漕1U?材料力學

圖a中三個主應力不相圖b中三個主應力相等，變形

等，變形后既發(fā)生體積后的形狀與原來的形狀相似，

改變也發(fā)生形狀改變.只發(fā)生體積改變而無形狀改變.

圖b中V..=[(/：++a：-2小”；+仇+)|

?I2EcmmmL'mmm

工工二■3方

儲im材料力學

匕=匕+%

單元體的比能為

匕=謁I"；+"；+"；+%%+%5)]

單元體的體積改變比能

”句1一2",……\)2

單元體的畸變能密度

=學【(%-%)2+(%-%"(%-”力

材料力學

]§7?10強度理論概述

一、強度理論的概念

1.什么是強度理論

強度理論是關于材料破壞原因的學說。

2.材料的兩種破壞類型

①脆性斷裂

②塑性屈服

O"，工工二二.以

3.強度理論的提出

桿件基本變形時，危險點處于單向應力狀態(tài)或純剪切應力狀態(tài)其強度條件分別

為

omax<[o]

imax<[T]

許用應力可由實驗測出破壞應力再除以安全系數(shù)得到。

在復雜應力狀態(tài)下，不可能測出每一種應力狀態(tài)的極限應力，提出了材料在不

同應力狀態(tài)下產(chǎn)生某種形式破壞的各種假設，這些假設稱為強度理論。

強度理論的核心是認為復雜應力狀態(tài)下的某一因素達到簡單拉伸試驗破壞時的

同一因素，材料也將失效。

材料力學

§7.11四種常用強度理論

?第一強度理論（最大拉應力理論）

該理論認為材料發(fā)生脆性斷裂是由最大拉應力引起的。

復雜應力狀態(tài)下，當最大拉應力達到單向拉伸時發(fā)生脆性斷裂的

極限拉應力時，材料便發(fā)生斷裂破壞。

由此，材料的斷裂判據(jù)為

強度條件為:

材料力學

?第二強度理論(最大拉應變理論)

該理論認為材料發(fā)生脆性斷裂破壞