2023年廣東省茂名省際名校高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知a是第二象限的角，tan(乃+。)=一一,則sin2a=()

4

12122424

A.—B.---C.—D.---

25252525

2

2.已知集合4={用=J尤2_]},B={x\y=ig(x-2x)},貝(JCR(ACIB)=()

A.[0>一)B.(-oo,0)U[—,+oo)

22

C.(0,-)D.(-oo,0]U[-,+oo)

22

八c[x—tzy+3>0

3.已知y=+b與函數(shù)/(x)=21nx+5和g(x)=f+4都相切，則不等式組《二C八所確定的平面區(qū)域在

/+y2+2x—2y—22=0內(nèi)的面積為()

A.2萬(wàn)B.3萬(wàn)C.6兀D.12乃

x+y<4

4.點(diǎn)P(x,y)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則上工的取值范圍是()

八x—2

00—

A.(TO,-2)<J(l,+oo)B.(—<?,—1]U[h+)C.(—2,1)D.[2,1]

5.已知A,3是函數(shù)/(x)='"圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線y=/(x)在點(diǎn)A,8處的切線重合，則

xlnx-6r,x>0

實(shí)數(shù)。的最小值是()

11

A.—1B.C.-D.1

22

|102xl,X>0

6.已知函數(shù)/(x)=F20，方程/。)-。=0有四個(gè)不同的根，記最大的根的所有取值為集合O,貝心函

X2+2X+2,X<0

數(shù)F(x)=f(x)-kx(xGD)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“A>；”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

TI

7.已知塞函數(shù)/(x)=/的圖象過(guò)點(diǎn)(3,5),且。=上,6=底，c=log”一,則“，b,c的大小關(guān)系為()

\e)4

A.c<a<bB.a<c<bC.a<h<cD.c<h<a

8.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系及少中，尸是橢圓工+回=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y=g與橢圓交于8,。兩

點(diǎn)，且/8尸。=90。，則該橢圓的離心率是()

3]_V3

V42~2

設(shè)函數(shù)+限卜

9./0)=5"53>0),若.f(x)在2,2m上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為()

1229>12291229

B.D

T,To510

10

-設(shè)小瑪分別為雙曲線捺9=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)"作圓f+y2=/的切線，與雙曲線的左、

右兩支分別交于點(diǎn)P,Q,若|。名|=|PQI，則雙曲線漸近線的斜率為()

A.±1B.±(V3-1)C.±(6+1)D.±75

11.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入加=1995,〃=228,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是()

/輸:m.n/

求m除以n的余數(shù)，

A.58B.57C.56D.55

12.將函數(shù)y=sin（3x+0）的圖象沿x軸向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)/（x）的圖象，貝?。?0=2”是“是

96

偶函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（x）=%2-4X一4.若＜1在區(qū)間（加一1,一2加）上恒成立.則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

14.已知函數(shù)/（x）=e'cosx+x5,則曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程是.

15.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是cm\最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是cm.

俯視圖

16.如圖，某市一學(xué)校H位于該市火車站。北偏東45。方向，且OH=46km，已知OM,ON是經(jīng)過(guò)火車站。的兩

條互相垂直的筆直公路，CE,OF及圓弧CO都是學(xué)校道路，其中CE//OM,DF//ON,以學(xué)?！睘閳A心，半徑為

2b”的四分之一圓弧分別與CE,。尸相切于點(diǎn)C。.當(dāng)?shù)卣顿Y開(kāi)發(fā)AAQB區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中A,8分別在公

路QM,ON上，且AB與圓弧8相切，設(shè)/。鉆=6,AAOB的面積為Sh/.

（1）求S關(guān)于。的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)。為何值時(shí)，AAOB面積S為最小，政府投資最低？

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

12

17.（12分）已知矩陣加=.的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

2a

18.（12分）設(shè)實(shí)數(shù)X,）'滿足x+y=3.

⑴若|x+3|<x|y-2],求x的取值范圍;

⑵若x>。，y〉。,求證：占+5"

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線/的參數(shù)方程

1吃

2

為.C為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4cos。；

y烏

2

（1）求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

/、11

（2）若直線/與曲線。交點(diǎn)分別為A，B,點(diǎn)P（l,0）,求兩+商的值.

20.（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國(guó)有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，

有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎，該

村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，

質(zhì)量把關(guān)程序如下：G）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；（ii）若僅有1位行家

認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工

藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；（iii）

若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為O級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)

為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為,，且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立.

3

（1）求一件手工藝品質(zhì)量為8級(jí)的概率；

(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,3,C級(jí)均可外銷，且利潤(rùn)分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為O級(jí)不能外銷，利潤(rùn)

記為100元.

①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；

②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元，求X的分布列與期望.

21.(12分)已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=1,%="I"*】N*.

(I)證明：當(dāng)"22時(shí)，a?>2

111cl

a=a+a+a2-

(H)證明：,l+l—i~2----/-n+^r(nGN*)；

1-ZZ-3+Z

43r-

(III)證明：氏(瓦G-l,e為自然常數(shù).

11

22.(10分)已知?jiǎng)訄AE與圓M:(x-l)9-+y2=z外切，并與直線工二-不相切，記動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)。(一2,0)的直線/交曲線C于A,8兩點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)尸使得NAPB=90°,求直線/的斜率A的

取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出COS?再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【詳解】

3

因?yàn)閠an(乃+a)=——,

4

八—3sin。3

由誘導(dǎo)公式可得,tana=-----=一■

cosa4

.3

a即nsina=——cos2,

4

因?yàn)閟in2a+cos2a=1,

...216

所以cos~a=—,

25

由二倍角的正弦公式可得，

.c°.32

sin2a=2sinacosa=——cosa,

2

.c31624

所以sin2a=——x一=----

22525

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中

檔題.

2.D

【解析】

求函數(shù)的值域得集合A,求定義域得集合B,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果.

【詳解】

集合A={jly=}={jly>0}=[0,+oo)；

B={x\y=lg(x-Zx2)}={x|x-2x2>0}={x|0<x<—}=(0,；),

.?.408=((),-),

2

：.CR(4CIB)=(-oo,0]U[-,+oo).

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

3.B

【解析】

根據(jù)直線y="+b與“X)和g(x)都相切，求得。力的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓

x2+y2+2x-2y-22=Q,由此求得正確選項(xiàng).

【詳解】

22

f(x)=—,g'(x)=2x.設(shè)直線y=ar+8與/(X)相切于點(diǎn)A(x0,21nAe+5),斜率為一，所以切線方程為

xx0

222111,

y-(21nx0+5)=—(x-x0),化簡(jiǎn)得y=-x+21nx()+3①.令g(x)=2x=—，解得x=一,g-=~+4,

演)X。X。JX()

12(1)21“c,c1,

所以切線方程為y—-+4一x----化簡(jiǎn)得y=—X--r+4②.由①②對(duì)比系數(shù)得21nxo+3=--<+4,

\x0>X()I-^o>/X。%

化簡(jiǎn)得2In5+與-1=0③.構(gòu)造函數(shù)〃(%)=2Inx+與一1(x>0),〃(x)=2一義=生土咄二Q,所以〃(同在

X0xxXX

（0』）上遞減，在（1,內(nèi)）上遞增，所以〃（X）在x=l處取得極小值也即是最小值，而〃⑴=0,所以%（x）=o有唯一

x-ay+3>0x-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解.%=1.所以切線方程為y=2x+3.即。=2,b=3.不等式組<

x-hby-2>0x+3y—220

畫出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓x2+y2+2x-2y-22=0可化為（x++（y—=24,圓心為A（-l,l）.而方程

x-2y+3=0fx=—1[x-2y+3>0

組'c八的解也是，.畫出圖像如下圖所示，不等式組-°八所確定的平面區(qū)域在

x+3y—2=0[y=l[x+3y-2>0

f+J?+2%一2y-22=0內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線x—2y+3=0的斜率為；，直線x+3y—2=0的斜率

11

為—上.所以tanNB4C=tan（NAEO+NAZ）￡）=-^、=l,所以N84C=工，而圓A的半徑為宿=2#,所

31--x-」

23

以陰影部分的面積是;=3萬(wàn).

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考

查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問(wèn)題的能力，屬于難題.

4.B

【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論.

【詳解】

x+y”4

不等式組＜為尤作出可行域如圖：A(4,0),5(2,2),0(0,0),

y..O

z=3的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到Q(2,-2)的斜率，由圖象可知QA的斜率為1,Q。的斜率為：-1，

x-2

則A2的取值范圍是：(-8,T1UU，+8).

x-2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出/(x)在A,B兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹,

從而得出a=令函數(shù)8(力=；卜2-02,)&40),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)xWO時(shí)，/(x)=f+x+a,則/(x)=2x+l；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x\nx-a

則/(x)=lnx+l.設(shè)4。"(須)),3(孫〃/))為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，

當(dāng)王＜龍2＜0或0＜芯＜々時(shí)，/(石)//'(工2),不符合題意，故罰＜0＜%2.

則/(x)在A處的切線方程為y-(x；+X1+a)=(2X]+l)(x—xj；

/(x)在8處的切線方程為y-工21nx2+。=0n%2+1)(%-%2).由兩切線重合可知

Inx9+1=2x+1=；(片-e2x')^<0).不妨設(shè)g(x)=|(x2-elx\x<0)

~2，整理得。

-x2-a=a-x{

則8'(%)=%—腎，8"(%)=1-202",由g"(x)=0可得x=g]ng

則當(dāng)x=Lln，時(shí),g'(x)的最大值為g1[；ln；)=；ln；—；<0.

22

貝雅(》)=，/一02，)在(7,0]上單調(diào)遞減，則”2g(0)=—g.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的

難點(diǎn)是求出。和x的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算.

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數(shù)f(x)=[JIOg2Xl，A>0的圖象如圖，

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xeD)有2個(gè)零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個(gè)不同的根，

也就是y=kx與y=f(x)在(2,4]上有2個(gè)交點(diǎn),則k的最小值為|；

設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與y=log2x的切點(diǎn)為(Xo，log2Xo),斜率為不方，

則切線方程為y-iog2x=——(x-x0),

xnln2

把(0,0)代入，可得Tog,Xo=-K，即x0=e,.?.切線斜率為y

ln2eln2

.?.k的取值范圍是化工],

\2eln2)

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(x€D)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“k>g”的充分不必要條件,

故選A.

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上

某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

7.A

【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)a,根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】

依題意，得3"=5，故。=10835€(1,2),

門、幅5_______]

故0<a=-<1.b=^/log,5>1,c=logIogi5-<o,

"4

貝!)c<a<b.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得8和C的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得3C、2=2Y，由離心率定義可得結(jié)

果.

【詳解】

22

三+J+后

x-±——acn,

a'b',得<2'所以『丁，5b

由＜2J

bb

y=2y=2

73b}y/3b}

由題意知尸(c,0),所以8戶CFc------a,——

22J22J

因?yàn)镹3fC=90°,所以BF±CF、,所以

2

百b232

BFCFc-a----+-—=c——a'+匚《='2一必=0.

2744442

所以“，所以七邛,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

TT

由0Kx?2不求出公r+g范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征，建立。不等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】

717tA71

當(dāng)xi[0,2菊時(shí),COX4—G—,2兀COH—

555

???/(x)在［0,2句上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

711229

:.5萬(wàn)?2MliH—v67r：?—W69<—?

59510

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為M，連接。歷，作PNLx軸于N,計(jì)算忸耳|=2a,儼用=4/歸乎=生，|KN|=*,

cc

根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：切點(diǎn)為M，連接OM,作PN_Lx軸于N,

\QF\-\QF^=\QF\+\PF\-\QF^=\PF\=2a,故|P閭=4即

在中，sinZMF}0=-,故cosNMf；O=2,故歸%|=至，恒"|=必,

根據(jù)勾股定理：16a2=g+12c-迦］,解得2=6+1.

c\ca

本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

11.B

【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.

【詳解】

本程序框圖的功能是計(jì)算機(jī)，〃中的最大公約數(shù)，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故當(dāng)輸入加=1995,〃=228,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)

是57.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

求出函數(shù)y=f(x)的解析式，由函數(shù)>=/(x)為偶函數(shù)得出(P的表達(dá)式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷

即可.

【詳解】

將函數(shù)y=sin(3x+0)的圖象沿x軸向左平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為

■/4、一(兀、

/(x)=sin3x+§J+夕=sin3x+《+°,

若函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，則0丘Z),解得9優(yōu)eZ),

326

TT

當(dāng)Z=0時(shí)，(p=z

6

因此，“夕=3”是“y=/(x)是偶函數(shù)”的充分不必要條件.

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，

考查運(yùn)算求解能力與推理能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

i3-H)

【解析】

首先解不等式〃x)<l,再由/(x)<l在區(qū)間(加一1,一2M上恒成立，即(加—1,一2加)口―1,5)得到不等組，解得即

可.

【詳解】

解：?.?/(%)=%2—4%—4且/(同<1,即為2一4%一4<1解得一l<x<5,即xe(-l,5)

因?yàn)樵趨^(qū)間(加一1,一2加)上恒成立,.,.(加一1,一2〃?)=(一1,5)

...<機(jī)一1<一2〃?解得即0,-j

-2m<53L"

故答案為：0,；)

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

14.y=x+l

【解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可

【詳解】

(x)=ex(CQSX-sinx)+5x4,則/'⑼=1,又/(0)=1

故切線方程為y=x+l

故答案為y=x+l

【點(diǎn)睛】

本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題

15.22/

【解析】

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,側(cè)棱24,底面ABCO,

由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度.

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如下圖所示：

該幾何體為四棱錐，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AD±AB,側(cè)棱底面ABC。,

則該幾何體的體積為V=—X—~—一-x2=2(cm3),

32V7

PB=A/22+22=20(c7〃)，PC=,2、+2?+2?=2+(cm),

因此，該棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為2JJcw.

故答案為：2；2G.

【點(diǎn)睛】

本題考查由三視圖求體積、棱長(zhǎng)，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

c[2(sin6>+cos6>)-l]2八/八

16.(1)S—L-------------------------,1/GU,一

sincos12)⑵。吟?

【解析】

(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則”(4,4),在放AABO中，設(shè)43=/,又乙OAB=8,

故Q4=/cos6,08=/sin8,進(jìn)而表示直線AB的方程，由直線AB與圓”相切構(gòu)建關(guān)系化簡(jiǎn)整理得

/=4(sin"+￡os/)-2,即可表示04,05,最后由三角形面積公式表示AA.面積即可；

(2)令，=2(sine+cos。)—1,則sin6cose="+2f二3,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得f的取值范圍，進(jìn)

8

而對(duì)原面積的函數(shù)用含f的表達(dá)式換元，再令加=；進(jìn)行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)g(根)=-3/??+2根+1,由二次函數(shù)

性質(zhì)即可求得最小值.

【詳解】

解：(D以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則”(4,4),在RhABO中，設(shè)48=/,又/OAB3

故0A=/cos6,OB=/sin6.

所以直線AB的方程為一-一+--—=1,即xsin，+ycos。一/sinecos，=0.

Icos01sin6

因?yàn)橹本€AB與圓”相切，

|4sin^+4cos^-Zsin^cos^|

所以

7sin26^+cos202.(*)

因?yàn)辄c(diǎn)”在直線A5的上方,

所以4sin6+4cose-/sin6cose>0,

所以(*)式可化為4sin夕+4cos。一/sin6cos。=2,解得/=

s.in，Jcos，=—

所以04二竺必8辿二2,05=駟處歿又二2

singcos6

所以“OB面積為S=*4OB=2-T然”,研%)

F

B

OH

0

，17*_a

(2)令，=2(sin8+cos。)-1,則sin6cos6=

8

且/=2(sine+cos8)-1=2>/2sinf6+e(1,20-1],

S=2/16

所以一產(chǎn)+2—3—3工2,re(l,2正一1].

8tt

~272+1、(iY4r2V2+11

令m=-eg(m)=-3m2+2m+1=-3m--+-,所以g(M在二,1上單調(diào)遞減.

IV3L7J

所以，當(dāng)初=述土1,即。=￡時(shí)，g（〃?）取得最大值，S取最小值.

74

TT

答：當(dāng)6時(shí)，AAOB面積S為最小，政府投資最低.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

-1

17.另一個(gè)特征值為1,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量a=.

【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3,可得“=1,再回代到方程/（2）=0即可解出另一個(gè)特征值為4=-1,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

【詳解】

矩陣M的特征多項(xiàng)式為：

A-1-2

-2A—6Z

???4=3是方程/（；c）=0的一個(gè)根,

，(3-1)(3-a)—4=0,解得“=1,即"=2{

，方程/(4=0即(丸一1)(丸一1)—4=0,42—24—3=0,

可得另一個(gè)特征值為：4=-1,

設(shè)4=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為：a='

y_

八f-2x-2y=0

則由/Ua=Ma,得<-得x=-y,

-2x-2y=0

令x=l,則y=-1,

所以矩陣M另一個(gè)特征值為-1,

-1

對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量a=

-1

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)(3,+8)(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

(D依題意可得|x+3|<x|l-X，考慮到x>0,則有x+3<x|l-x|再分類討論可得;

(2)要證明￡+；之1,即證(x+l)+yN(x+l)y,即證(x+l)yW4.利用基本不等式即可得證;

【詳解】

解：(1)由|x+3|<x]y-2|及x+y=3,得|x+3|<x]l-x|,

考慮至!Jx〉0,則有x+3<x|l-x|,它可化為

0<x<l,fx>1,

<<

x+3<x(l-x),[x+3<x(x-l).

0<x<l,fx>1,

即，或，

[X2+3<0,1X2-2X-3>0.

前者無(wú)解，后者的解集為{小>3},

綜上，x的取值范圍是(3,+8).

(2)要證明占+；N1,即證(x+l)+y?(x+l)y,

由x+y=3,得(x+l)+y=4,即證(尤+1)卜<4.

因?yàn)?x+l)y<(，+?+-''=(g)=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=l,y=2時(shí)取等號(hào)).

所以(x+l)yW4成立，

故士+成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類討論法解絕對(duì)值不等式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.（I）/：x+y—1=0,曲線。：/+/一4光=。（II）叵

3

【解析】

試題分析：（D消去參數(shù)，可得直線/的直角坐標(biāo)系方程，由/+產(chǎn)=夕2,x=/7cOS?？傻们€。的直角坐標(biāo)方程;

1憶

X=1----1

21I1=11J-2

⑵將/（/為參數(shù)）代入曲線C的方程得:產(chǎn)+"—3=0,,利用

V2網(wǎng)網(wǎng)-同同一而

>=——t

I2

韋達(dá)定理求解即可.

試題解析：

（1）I:x+y-1=0,曲線。：*2+y2-4尤=0,

[,應(yīng)

X=1----1

2

⑵將/（/為參數(shù)）代入曲線C的方程得:

憶

y=——t

2

=

所以4+12=-V2,?|f2—?

所以1十1_1「」「胃—4%+小一4格_板

附|PB|同團(tuán)丘|33.

20.(1)—(2)①2②期望值為當(dāng)2

X900600300100

816207

P

27818127

【解析】

(1)一件手工藝品質(zhì)量為8級(jí)的概率為C；x；x(l-g)2*(l-$16

81

(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為O級(jí)的概率為C；xg)鼠叫)+的少=(

7

設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是4件，則

pt+l(2_\k+\,209一女

7尸(4=R+1)Lio(萬(wàn)11萬(wàn))70—7左

則PC=6=Cf°(R*石產(chǎn)

P(4=k)C*(7y(20)g20k+20

款?.嗡所以當(dāng)E時(shí)'器轉(zhuǎn)>1,即2。=2)>尸?=1),

由

年號(hào)＜1得“黑所以當(dāng)時(shí),

由P(J=k+l)<P(J=k),

20k+2027

所以當(dāng)攵=2時(shí)，尸?=幻最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.

②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為4級(jí)的概率為(1-$3=’,一件手工藝品質(zhì)量為8級(jí)的概率為

一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為C；x|x(l-l)2x?xix(l-l)+(l)2]=1^,

33333ol

7

一件手工藝品質(zhì)量為O級(jí)的概率為k，

27

所以X的分布列為

X900600300100

816207

P

27818??7

則期望為E(X)=900x*+600x3+300x型+100*2=受巴

2781812727

21.(I)見(jiàn)解析(II)見(jiàn)解析(IID見(jiàn)解析

【解析】

(1)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果

n2+〃+1

(2)化簡(jiǎn)?！癕a?+—,運(yùn)用累加法得出結(jié)果

7T2+〃“2〃

(3)運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證

【詳解】

(I)數(shù)學(xué)歸納法證明閥22時(shí)，4之2

31

①當(dāng)"=2時(shí)，町=-1+-=222成立;

22

②當(dāng)花=從時(shí)，假設(shè)在22成立，則%=先+1時(shí)

k2+k+l1112上2

22+F一4-

k+k

所以花=k+1時(shí)，線+1>2成立

綜上①②可知，%22時(shí)，aK>2

/+%+l111

(n)由%+i—7------------------a.+—=&H------------樂(lè)+—

M+%2，?(?+1)X2*

11

得%+1—%+—

?(?+1)R2*

所以=~\~2劣+亍

1111

。4-0=藐％+/+一

…=訴％2"

乂11111+