《電路原理》第五版習(xí)題解答-邱關(guān)源-羅先覺(第六章)

第六章一階電路(First-OrderCircuits)精選課件一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解本章重點(diǎn)動(dòng)態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定精選課件動(dòng)態(tài)電路的方程和初始條件

一階電路的零輸入響應(yīng)

一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

一階電路的全響應(yīng)

一階電路的階躍響應(yīng)

一階電路的沖激響應(yīng)主要內(nèi)容精選課件一、動(dòng)態(tài)電路的方程和初始條件1．動(dòng)態(tài)電路(dynamiccircuits)定義：含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱動(dòng)態(tài)電路。特點(diǎn)：當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)〔換路〕需要經(jīng)歷一個(gè)變化過(guò)程才能到達(dá)新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過(guò)程稱為電路的過(guò)渡過(guò)程。

內(nèi)因：電路中含儲(chǔ)能元件L，C；產(chǎn)生原因：

外因：電路換路，即開關(guān)通斷、電源變化、元件參數(shù)變化等。精選課件K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電容充電完畢，電路到達(dá)新的穩(wěn)定狀態(tài)+–uCUsRCi

(t→

)前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過(guò)渡期電容電路精選課件K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電路到達(dá)新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?UL有一過(guò)渡期電感電路K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→

)t1精選課件2．動(dòng)態(tài)電路的方程+–uCus（t）

RCi

(t>0)應(yīng)用KVL和電容的VCR得：假設(shè)以電流為變量：精選課件應(yīng)用KVL和電感的VCR得：假設(shè)以電感電壓為變量：有源電阻電路一個(gè)動(dòng)態(tài)元件一階電路+–uLus（t）RLi

(t>0)精選課件二階電路描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；結(jié)論：動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù).C+–uLuS（t）RLi

(t>0)uC＋－＋－精選課件一階電路:一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。動(dòng)態(tài)電路的分類：二階電路:二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。高階電路:電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。精選課件

換路時(shí)電容上的電壓，電感上的電流不能躍變．3．換路定律

由于物體所具有的能量不能躍變，因此，在換路瞬間儲(chǔ)能元件的能量也不能躍變．即uC，iL不能躍變．

t=0

:表示換路時(shí)刻(計(jì)時(shí)起點(diǎn))；

t=0-

:表示換路前的終了瞬間；

t=0+

:表示換路后的初始瞬間．換路定律：精選課件4.初始條件(initialcondition)

概念：初始條件：變量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)的值獨(dú)立變量：變量及其初始值不能用其它變量和初始值求出．如，uC和iL非獨(dú)立變量：變量及其初始值可以用獨(dú)立變量和初始值求出．指電路中除

uC和iL的其他變量．精選課件先由t=0-的電路求出uC(0–)、iL(0–)；根據(jù)換路定律，求出獨(dú)立變量初始值uC(0+)和iL(0+)

；將電容用電壓源代替，其值為uC(0+)，將電感用電流源代替，其值為iL(0+)，畫出0+時(shí)刻等效電路圖;根據(jù)0+時(shí)刻等效電路圖，用線性穩(wěn)態(tài)電路的分析方法求出所需要的非獨(dú)立變量初始值．確定初始值的方法：精選課件t=0時(shí)將開關(guān)K閉合，t<0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，試求各元件電流、電壓初始值．t<0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開路．例1解精選課件t=0+的等效電路如以下圖(b)所示．

0+時(shí)刻等效電路精選課件t=0時(shí)閉合開關(guān)，試求開關(guān)轉(zhuǎn)換前和轉(zhuǎn)換后瞬間的電感電流和電感電壓。開關(guān)閉合前電路穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路．例2解精選課件t=0時(shí)閉合開關(guān)，0+時(shí)刻等效電路如以下圖(b)所示．

0+時(shí)刻等效電路所以:精選課件二、一階電路的零輸入響應(yīng)定義：電路的輸入為零，響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件所儲(chǔ)存的能量產(chǎn)生的，這種響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)(source-freeresponse)主要內(nèi)容：

RC電路的零輸入響應(yīng)

RL電路的零輸入響應(yīng)．精選課件

RC電路的零輸入響應(yīng)圖(a)中的開關(guān)原來(lái)連接在1端，電壓源U0通過(guò)電阻Ro對(duì)電容充電，假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓已經(jīng)到達(dá)U0。在t=0時(shí)開關(guān)迅速由1端轉(zhuǎn)換到2端。已經(jīng)充電的電容脫離電壓源而與電阻R并聯(lián)，如圖(b)所示。精選課件

由換路定理得：電阻的電流為：由KCL和VCR得：由KVL得：精選課件

這是一個(gè)常系數(shù)線性一階齊次微分方程。其通解為:

由式:

其解為:

稱為特征根(電路的固有頻率)。得到特征方程:精選課件于是電容電壓變?yōu)?

A是待定常數(shù)，由初始條件確定。根據(jù)初始條件:求得:

當(dāng)t=0+時(shí)上式變?yōu)?

精選課件tO電流方面：

電路的零輸入響應(yīng)曲線精選課件令

=RC，

具有時(shí)間的量綱，稱它為RC電路的時(shí)間常數(shù)，

的大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的長(zhǎng)短?？偨Y(jié)：電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；U0tuc0

小

大

大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短

的物理意義電壓初值一定：R大〔C一定〕i=u/R放電電流小放電時(shí)間長(zhǎng)C大〔R一定〕W=Cu2/2儲(chǔ)能大精選課件當(dāng)時(shí)時(shí)間常數(shù)

等于電壓Uc衰減到初始值U0的36.8%所需的時(shí)間。I0tuc0

t1t2精選課件動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)間(暫態(tài)時(shí)間)確實(shí)定

理論上認(rèn)為、電路達(dá)穩(wěn)態(tài).

工程上認(rèn)為~、電容放電基本結(jié)束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時(shí)間而衰減精選課件能量關(guān)系

電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)uC(0+)=U0電容放出能量：

電阻吸收〔消耗〕能量：uCR+－C精選課件

在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到電容電壓uC(0-)=6V。t=0閉合開關(guān)，求t>0的電容電壓和電容電流。例1解精選課件

將連接于電容兩端的電阻網(wǎng)絡(luò)等效于一個(gè)電阻，其電阻值為

得到圖(b)所示電路，其時(shí)間常數(shù)為

精選課件由

得到精選課件

RL電路的零輸入響應(yīng)

電感電流原來(lái)等于電流I0，電感中儲(chǔ)存一定的磁場(chǎng)能量，在t=0時(shí)開關(guān)由1端倒向2端，換路后的電路如圖(b)所示。電路如以下圖(a)(b)精選課件

換路后，由KVL得

代入電感VCR方程

得到以下一階線性齊次微分方程

這個(gè)微分方程其通解為

精選課件代入初始條件iL(0+)=I0求得

令

，則電感電流和電感電壓的表達(dá)式為

精選課件RL放電電路的波形0tuL-RIS0tiLI0

電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；

響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，衰減快慢與τ有關(guān)；

大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短精選課件能量關(guān)系：

電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.電感放出能量：

電阻吸收〔消耗〕能量：iL+–uLR精選課件電路如下圖，K合于①已很久，t=0時(shí)K由①合向②，求換路后的換路前電路已穩(wěn)定，由換路定律可得：例1解精選課件

從L兩端視入的等效電阻為換路后電路為零輸入響應(yīng)．時(shí)間常數(shù)為：i1LΩuLi2Ω3Ω6Ω46HiL+–uLRo精選課件零輸入響應(yīng)為：精選課件小結(jié)一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。

衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

RC電路：

=RC

,RL電路：

=L/R

R為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路精選課件列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齊次線性常微分方程解答形式為：齊次方程通解非齊次方程特解零狀態(tài)響應(yīng)：電路的初始狀態(tài)為零，由外加鼓勵(lì)引起的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)(zero-stateresponse)。三、一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

精選課件與輸入鼓勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－US由初始條件

uC

(0+)=0

定積分常數(shù)

A的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)分量）的特解精選課件-USuC‘uC“UStuc0電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩局部構(gòu)成：從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量〔強(qiáng)制分量〕暫態(tài)分量〔自由分量〕+ti0精選課件響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。響應(yīng)與外加鼓勵(lì)成線性關(guān)系；能量關(guān)系電容儲(chǔ)存：電源提供能量：電阻消耗:RC+-US電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電容中。精選課件例t=0時(shí),開關(guān)K閉合，uC〔0－〕=0，求〔1〕電容電壓和電流，〔2〕uC＝80V時(shí)的充電時(shí)間t。解500

10

F+-100VK+－uCi(1)這是一個(gè)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：〔2〕設(shè)經(jīng)過(guò)t1秒，uC＝80V精選課件當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)K閉合，其電感電流和電感電壓的計(jì)算如下：

根據(jù)KVL,有又所以

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

精選課件tuLUStiL00這是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解答為：

精選課件例1t=0時(shí),開關(guān)K翻開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡(jiǎn)電路，有：iLK+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReqt>0精選課件例2t=0時(shí),開關(guān)K翻開，求t>0后iL、uL的及電流源的端電壓。解這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡(jiǎn)電路，有：iLK+–uL2H10

2A10

5

+–ut>0iL+–uL2HUSReq+－精選課件全響應(yīng)：由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能和鼓勵(lì)電源共同引起的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)(completeresponse)。四、一階電路的全響應(yīng)iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答為

uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC電路為例，電路微分方程：

=RC

全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解

uC'=US暫態(tài)解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A精選課件

全響應(yīng)的兩種分解方式強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)=

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)〔1〕著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰精選課件iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)

+

零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)(2).

著眼于因果關(guān)系便于疊加計(jì)算精選課件零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0精選課件例1t=0時(shí),開關(guān)K翻開，求t>0后的iL、uL解這是一個(gè)RL電路全響應(yīng)問題，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：精選課件或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時(shí),開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是一個(gè)RC電路全響應(yīng)問題，有：+–10V1A1

+－uC1

+－u1

穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：A=－10精選課件+–24V1A1

+－uC1

+－u1

精選課件三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階微分方程：令t=0+其解答一般形式為：分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問題用0+等效電路求解用t→的穩(wěn)態(tài)電路求解直流激勵(lì)時(shí)：三要素

初始值--穩(wěn)態(tài)值--時(shí)間常數(shù)

--精選課件1A2

例11

3F+-uC已知：t=0時(shí)合開關(guān)，求換路后的uC(t)。解tuc2(V)0.6670精選課件例2t=0時(shí),開關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1應(yīng)用三要素公式精選課件三要素為：+–20V2A5

5

+–10Vi2i10＋等效電路精選課件例3：t=0時(shí)開關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)。2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12解三要素為：4

+－4

i12i1u+－精選課件例4：t=0時(shí)開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)。解三要素為：+–1H0.25F5

2

S10Vi精選課件例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

：電感無(wú)初始儲(chǔ)能t=0時(shí)合k1,t=0.2s時(shí)合k2求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解精選課件(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262精選課件五、一階電路的階躍響應(yīng)在前面的討論中，我們看到直流一階電路中的各種開關(guān)，可以起到將直流電壓源和電流源接入電路或脫離電路的作用，這種作用可以描述為分段恒定信號(hào)對(duì)電路的鼓勵(lì)。隨著電路規(guī)模的增大和計(jì)算工作量增加，有必要引入階躍函數(shù)來(lái)描述這些物理現(xiàn)象，以便更好地建立電路的物理模型和數(shù)學(xué)模型，也有利于用計(jì)算機(jī)分析和設(shè)計(jì)電路。精選課件1(t-t0)一、階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)1(t)的定義為k1(t)1kt0111(-t)精選課件

開關(guān)電路可以等效為階躍信號(hào)作用于該電路。精選課件二、階躍響應(yīng)

階躍響應(yīng)：階躍信號(hào)作用下電路的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為電路的階躍響應(yīng).單位階躍響應(yīng)：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)作用下電路的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為電路的單位階躍響應(yīng).單位階躍響應(yīng)用符號(hào)s(t)表示.單位階躍響應(yīng)用可以用三要素公式求解.精選課件

利用三要素公式得到電感電流iL(t)的階躍響應(yīng)如下所示：時(shí)間常數(shù)：

=RC或

=L/R。

(a)(b)精選課件電路的階躍響應(yīng)，利用疊加定理容易求得在任意分段恒定信號(hào)鼓勵(lì)下線性時(shí)不變電路的零狀態(tài)響應(yīng)，例如圖(b)所示信號(hào)作用圖(a)所示RC串聯(lián)電路時(shí)，由于圖(b)所示信號(hào)可以分解為下面所示的假設(shè)干個(gè)延遲的階躍信號(hào)的疊加。精選課件

其電容電壓uC(t)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為：

由圖(b)知，精選課件用階躍電流源表示圖所示的方波電流，求解電路中電感電流的響應(yīng)，并畫出波形曲線。圖示方波電流，用兩個(gè)階躍函數(shù)表示：

iS(t)=[101(t)-101(t-1ms)]mA例1解精選課件

該電路是線性電路，根據(jù)動(dòng)態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于101(t)和-101(t-1ms)兩個(gè)階躍電源單獨(dú)作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。

1.階躍電流源101(t)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為：

2.階躍電流源-101(t-1ms)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為：

3.應(yīng)用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應(yīng)為；

精選課件

分別畫出和的波形，如曲線1和2所示。然后它們相加得到iL(t)波形曲線，如曲線3所示。精選課件

圖示零狀態(tài)電路，激勵(lì)為E=10V，脈沖寬度為的脈沖函數(shù)，試求輸出電壓uC(t)，并畫出波形曲線。前例已經(jīng)用分段方法解過(guò)此題．即例2解精選課件此題也可以用階躍函數(shù)表示法求解．此時(shí)鼓勵(lì)為：uS(t)=10[1(t)-1(t-1ms)]V

該電路是線性電路，根據(jù)動(dòng)態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于101(t)和-101(t-1ms)兩個(gè)階躍電源單獨(dú)作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。1.階躍電流源101(t)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為：

2.階躍電流源-101(t-1ms)mA單獨(dú)作用時(shí)，其響應(yīng)為：精選課件

3.應(yīng)用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應(yīng)為：

其波形如右圖所示．用第二種解法，當(dāng)t=