2023年中考數(shù)學(xué)必刷壓軸題-三角形與動點問題-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納匯總

2023年中考必刷壓軸題一三角形與動點問題

一、單選題

1.如圖，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,點P從點B出發(fā)以每秒3cm速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm速度向點C運動，其中一個動點到達(dá)端點，另一個動點也隨之停止，當(dāng)△APQ

是以PQ為底的等腰三角形時，運動的時間是（）秒

2.如圖，已知AB是線段MN上的兩點，MN=12,MA=3,MB>3,以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M,以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)點N,使M、N兩點重合成一點C,構(gòu)成△ABC,當(dāng)△ABC為直角三角形時AB

的長是（）

MAD

A.3B.5C.4或5D.3或5

3.如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=4cm,一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以Icm/s的速度向B運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運動，P,Q兩點同時出發(fā)，運動時

間為t（s）.當(dāng)t為（）秒時，△PCQ的面積是4ABC面積的.

C.3或者1.5D.以上答案都不對

4.如圖，在^ABC中，Z4BC=90°,AB=8cm,BC=6cm,動點P,Q分別從點A,B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為lcm/s,點Q的速度為2cm/s，點Q移動到C點后停止,

點P也隨之停止運動，當(dāng)JBQ的面積為15cm2時，則點P運動的時間是（）

A.3sB.3s或5sC.4sD.5s

5.如圖已知MBC中，AB=AC=\2cm,NB=NC,BC=8cm,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以2cmls的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運

動.若點Q的運動速度為v,則當(dāng)M3PD與ACQP全等時，v的值為（）

6.如圖，在RsABC中，ZB=90°,AC=30cm,NA=60。，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)

終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)點D,E運動的時間是t（0<tR5）.過點D作DF_LBC于點E連接DE,EF,若四邊形AEFD為菱形，則t值為（）

7....A5C中，ZC=90°,A8=8,N8=30。，點P是BC邊上的動點，則4P長不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

8.如圖，在RIAABC中，NC=90。，NA=60。，AB=l2cm,若點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動，點Q從點A出發(fā)以Icm/s的速度向點C運動，設(shè)P、Q分別從點B、A同時出發(fā)，運動的時間為

C.2.4或3D.3或4.8

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B,C三點的坐標(biāo)分別為（2，75）.（2,6），（3,0），點P為線段AB上的一個動點，連結(jié)CP,過點P作NCPD=I20。，交y軸于點D,當(dāng)點P從A運動到B

時，點D隨之運動，設(shè)點D的坐標(biāo)為（0,b）,則b的取值范圍是（）

.G…4GB.竽Sb<75

A.—<b<-----

55

r36vhv4GD.yWb<G

55

10.如圖，在直角△ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,P為AC的中點,Q為AB上的一個動點，連接PQ,CQ,則PQ+CQ的最小值為(

C.V2+1D.舊

二、填空題

11.如圖，在邊長為6的等邊AABC中，點E,F分別是邊ACBC上的動點，且AE=CF，連接BE1，AF交于點P,連接CP,則CP的最小值為.

12.如圖，在四邊形ABCD中，ZDAB=ZABC,AB=5cm,AD=BC=3cm,點E在線段AB上以lcm/s的速度由點A向點B運動，同時，點F在線段BC上由點B向點C運動設(shè)運動時間為t(s),當(dāng)

△ADE與以B,E,F為頂點的三角形全等時，則點F的運動速度為cm/s.

13.如圖，有一個直角三角形ABC,NC=90。，AC=8,BC=3,P、Q兩點分別在邊AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，且PQ=AB.問當(dāng)AP=時，才能使△ABC和△PQA全等.

14.如圖，在,ABC中，AB=6cm,BC=7cm,ZABC=30°，點P從A點出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動，點Q從B點出發(fā)，沿射線BC方向以2cm/s的速度移動.

如果P、Q兩點同時出發(fā)，問：經(jīng)過秒后上PBQ的面積等于4cm2.

15.如圖，在RtZkABC中，AC=3,BC=4,D為斜邊AB上一動點，DEIBC,DF1AC,垂足分別為E、F.則線段EF的最小值為

16.已知等邊△ABC的邊長為4,點P是邊BC上的動點，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACQ,點D是AC邊的中點，連接DQ,則DQ的最小值是.

17.如圖，在Rt/^ABC中，N8=90。，Z4=6O°,AC=4，何是AC的中點,E是AB邊上的一個動點，連接ME,過用作ME的垂線，與BC邊交于點尸.在E從A運動

到B的過程中，EF的中點N運動的路程為.

18.如圖，ABC是邊長為6cm等邊三角形，動點P、。同時從A、B出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運動，其中點P運動的速度是Icm/s，點。運動的速度是2cm/s,當(dāng)點Q到達(dá)點。時，P、

Q兩點停止運動，在運動過程中作QRHBA交AC于點R,連接PR,設(shè)運動的時間為/（s）,當(dāng)四s時-APRs/RQ.

19.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，NA=3NB,AB=20cm,點D是AB中點，點M從點A出發(fā)，沿線段AB運動到點B,點P始終是線段CM的中點.對于下列結(jié)論：①CD=IOcm：@ZCDA=

60°：③線段CM長度的最小值是572cm；④點P運動路徑的長度是10cm.其中正確的結(jié)論是（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，t.AOB的邊OA在x軸上，且。4=6,點B的坐標(biāo)為（2,4）點￡）為。4的中點，AB的垂直平分線交軸于點C,交AB于點E,點P為線段

CE上的一動點，當(dāng).APD的周長最小時，點P的坐標(biāo)為.

三、綜合題

21.如圖，在RtA5C中，ZACB=90°,BC=-AB,D為AB的中點，點E在直線BC上移動，以DE為邊向右作等邊三角形DEF,連接CF.

2

（I）當(dāng)點E在線段BC上移動時，如圖①所示，求證：EC+FC=與AC;

(2)當(dāng)點E在直線BC上移動時，如圖②、圖③所示，線段EC、CF與AC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點4(-2,0),8(6,0)，點C在)，軸的正半軸上，NACB=90。.

田公

(2)將二AOC沿X軸向右平移得AAOV,點A,O,。的對應(yīng)點分別為A',aC.設(shè)0。'=人40'(7與t.OBC重疊部分的面枳為S.

①如圖②，當(dāng)與OBC重疊部分為四邊形時，AU,OC分別與BC相交于點O,E,試用含有/的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍;

②當(dāng)S取得最大值時，求/的值(直按寫出結(jié)果即可).

23.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容.請根據(jù)教材中的分析.

（2）定理應(yīng)用：

如圖②，在.?.AAC中，A8=AC，AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M.連接MB,若AB=8cm,,..M8c的周長是14cm.

①求BC的長；

②點P是直線MN上一動點，在運動的過程中，由P,B,C構(gòu)成的,的周長是否存在最小值?若存在，標(biāo)出點P的位置，并求.78C的周長最小值；若不存在，說明理由.

24.如圖，直線>=去+"k*0）與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，0A=8,0B=6.動點P從0點出發(fā)，沿路線O-A-B以每秒2個單位長度的速度運動，到達(dá)B點時運動停止.

，B兩點的坐標(biāo)為

（2）當(dāng)點P在OA上，且BP平分NOBA時，則此時點P的坐標(biāo)為.

（3）設(shè)點P的運動時間為t秒（gt*）,aBPA的面積為S,求S與I之間的函數(shù)關(guān)系式：并直接寫出當(dāng)S=8時點P的坐標(biāo).

25.如圖1,在等腰RSABC中，ZBAC=90°,A8=AC=2,點M為8C中點.點P為48邊上?動點，點。為BC邊上?動點，連接OP,以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PQ逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到線段尸￡連

接EC.

B

M

圖1

備用圖

①根據(jù)題意在圖2中完成作圖：

②判斷EC與BC的位置關(guān)系并證明.

（2）連接寫出一個5P的值，使得對于任意的點?？傆胁⒆C明.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】設(shè)運動的時間為x秒，

在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,

點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，

當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時，AP=AQ,AP=20-3x,AQ=2x,

即20-3x=2x,

解得x=4

故答案為：D.

【分析】設(shè)運動的時間為x秒，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AP=AQ,AP=2O-3x,AQ=2x,即可得到20-3x=2x,再求出x的值即可。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：???在△ABC中，AC=AM=3,

設(shè)AB=x,BC=9-x,

由三角形兩邊之和大于第三邊得：

(3+x>9-x

(3+9-x>x，

解得3VxV6,①AC為斜邊，則32=x?+(9-x)2,即x2-9x+36=0,方程無解，即AC為斜邊不成立，②若AB為斜邊，則x?=(9-x)2+32,解得x=5,滿足3VxV6,③若BC為斜邊，貝U(9-x)

=32+x2,解得x=4,滿足3VxV6,

.*.x=5或x=4；

故答案為：C.

【分析】設(shè)AB=x，則BC=9—x,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得到x的取值范圍，再利用分類討論思想，根據(jù)勾股定理列方程，計算解答.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：ZC=90°,AC=8cm,BC=4cm,

「.S詆=界。衣=?8*4=16,

???一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以lcm/s的速度向B運動，

：.CP=t，

,?,點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運動，

???AQ=2t,CQ=AC-AQ=S-2t,5J=；(8—2/)/,

APCQ的面積是^BC面積的!，

-（8-2r）r=-xi6,

21）4

整理得，一@+4=o,

解得r,=r2=2,

當(dāng)t=2s時，JPCQ的面積是；.ABC面積的7.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)三角形的面積公式可求出I。

4.【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)動點P,Q運動I秒，能使JBQ的面積為15cm2,

則BP為（8-t）cm,BQ為2tcm,由三角形的面積公式列方程得

—（8-t）x2t=!5,

2

解得卜=3,t2=5（當(dāng)t2=5,BQ=10,不合題意，舍去）

???動點P,Q運動3秒，能使二PBQ的面積為15cm2.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意求出;（8-1）x21=15,再解方程計算求解即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)運動時間為t秒，

???A8=AC=12o〃，點D為AB的中點.

.\BD=-AB=6,

2

由題意得BP=2t,則CP=82,CQ=vt,

又,.,NB=NC

???①當(dāng)BP=CQ,BD二CP時，gPDgbCQP

.*.2t=vt,解得：v=2

②當(dāng)BP=CP,BD=CQ時，ABPD絲ACPQ

A8-2t=2t,解得:t=2

將曰代入vt=6,解得：v=3

綜上，當(dāng)v=2或3時，2PD與bCQP全等

故答案為：D.

【分析】設(shè)運動時間為t秒，由題目條件求出BD=；AB=6,由題意得BP=2t,則CP=82,CQ=vt,然后結(jié)合全等三角形的判定方法，分①當(dāng)BP=CQ,BD=CP時，②當(dāng)BP=CP,BD=CQ時，兩種情況列方

程求解.

6.【答案】A

【解析】【解答】??,點D和點E的速度分別為4cm/s和2cmzs,

.\CD=4t,AE=2t,

???四邊形AEFD為菱形，

.\AD=AE,

即30-4t=2t,

解得：t=5,

故答案為：A.

【分析】先求出CD=4t,AE=2t,再結(jié)合菱形的性質(zhì)可得AD=AE,即30-4t=2t,求出t的值即可。

7.【答案】A

【解析】【解答］解：??.△ABC中，ZC=90°,AB=8,ZB=30°,

AAC=-AB=4,

2

???AP的長不能大于8,

根據(jù)垂線段最短，可知AP的長不可小于4；

故答案為：A.

【分析】先利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出AC=4,再利用垂線段最短的性質(zhì)可得答案。

8.【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)運動的時間為I秒，則BP=2t厘米，AQ=t厘米,

①當(dāng)NPQA=90。時，如圖I所示，

9B1

在RSAPQ中，VZPQA=90°,ZA=60°,AP=(12-2t)cm,

/.ZQPA=30°,

:.PA=2AQ,

**?12—2z-2r>

解得t=3,

②當(dāng)NQPA=90。時，如圖2所示，

在RSAPQ中，VZQPA=90°,ZA=60°,AP=(12-2t)cm,

/.ZAQP=30。，

AQ=2AP,

.\f=2(12-2r),

:.t=24-4t,

.?.5f=24

.\r=4.8,

ZC=90°,NA=60。，AB=12,

「.ZB=30。，AC=6,

二?P，Q兩點的最長運動時間為6s,所以r=3,f=4.8都符合題意,

綜上所述，運動的時間為3秒或4.8秒，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意分兩種情況進(jìn)行解答，即/PQA=90?；騈QPA=90。時，分別表示直角三角形APQ的兩邊的長，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求解即可。

9.【答案】D

【解析】【解答】解：過點B作BHJ_OC于點H

y

VA,B,C三點的坐標(biāo)分別為（:，&）,⑵石），（3,0）,

???AB〃x軸，

.,.CH=3-2=1,BH=>/3

；?8C=J（可+F=2

.\BC=2CH,

:.ZHBC=30°

.?.ZABC=900+30°=120°,

???當(dāng)點P運動到與點B重合時,BP〃x軸，

???此時b的值最大，最大值為J5；

當(dāng)點P運動到與點A重合時，此時b的值最小，最小值為生叵

5

???b的取值范圍是半《力

故答案為：D

【分析】過點B作BH_LOC于點H,利用點的坐標(biāo)，可證得AB〃x軸，同時可求出CH,BH的長，利用勾股定理求出BC的長，由此可求出NHBC=30。，ZABC=120",當(dāng)點P運動到與點B重合時，BP〃x

軸，可得到b的最大值：當(dāng)點P運動到與點A重合時，此時b的值最小，可求出最小值，即可得到b的取值范圍.

10.【答案】D

【解析】【解答】如圖，過點P作點P關(guān)于AB的對稱點P,連接PC,交AB點Q,連接AP,

則AP=AP',PQ'=P'Q',

PQ+CQ=P'Q+CQ>P'Q'+CQ'=CP',

即當(dāng)P、Q\C在同一直線上時，PQ+CQ的最小值為CP.

;直角△ABC中，ZC=90°,

???NCAB=45。，ZP'AC=45°,

???NCAP'=90。，

???AC=BC=2,P為AC的中點，

???AP'=AP=1,

???CP=JAC'AP3=百+1=6,

即PQ+CQ的最小值為x/5.

故答案為：D.

【分析】過點P作點P關(guān)于AB的對稱點P,連接PC,交AB點Q1連接AP.則AP=AP,PQ'=P'Q',當(dāng)P、Q\C在同一直線上時，PQ+CQ的最小值為CP.由勾股定理得，CP=y]AC2+AP,2

百+1=>/5，即PQ+CQ的最小值為75.

11.【答案】26

【解析】【解答】如圖所示，???邊長為6的等邊AA8C,

/.AC=AB=6,ZACB=ZC4B=60°

又AE=CF

：.^ACF=^AE(SAS)

NCAP=NPBA

???NEPA=ZPI3A+NPAB=Z.CAP+NPAB=ZCAB=60°

AZ4PB=120°

???點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧

此時ZAOB=\20°

連接CO交。O于P,,當(dāng)點P運動到尸時，CP取到最小值

VC4=CB,CO=CO,OA=OB

???ACO=.BCO(SSS)

：.ZACO=NBCO=30°，ZAOC=NBOC=60°

???NC4O="80=90。

又,:AC=6

75r-OC=—?=A=40

AOP'=OA=tan30°=6x—=2V3,cos30°G

3T

CPf=OC-OP'=4x5-2^3=2y/3

即％n=2G

故答案為：2G

【分析】以AB為直徑作圓，利用等邊三角形的性質(zhì)，可證得AB二AC,ZACB=ZCAB,利用SAS證明△ACF絲Z\BAE,利用全等三角形的性質(zhì)可證得NCAP二/PBA,由此可證得NAPB=120。：可推出點P的

運動軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧，此時NAOB=120。，連接CO交OO于P',當(dāng)點P運動到P，時，CP取到最小值：再利用SSS證明△ACO^^BCO,利用全等三角形的性質(zhì)，可求出

ZCAO=ZCBO=90"；然后利用解直角三角形分別求出OP',OC,CP'的長，即可得到CP的最小值.

12.【答案】1或1

【解析】【解答】解：設(shè)點F的運動速度為xm/s,

由題意可得，AE=t,BE=5-t,BF=xt,

當(dāng)2ADE—BEF時，

；?AE=BF，

t=xt,

解得：x=l,

???此時點F的運動速度為lm/s：

當(dāng)AADE!BFE時，

AE=BE,AD=BF=3,

t=5—t>xt=3,

解得:f=|，X=[.

此時點F的運動速度為|m/s：

故答案為：1或(.

【分析】設(shè)點F的運動速度為xm/s,由題意可得，AE=t,BE=5-t,BF=xl,再分兩種情況：當(dāng)&ADE冬BEF時，當(dāng)^AD^BFE時，再利用全等三角形的性質(zhì)求解即可。

13.【答案】8或3

【解析】【解答】解：①AC=AP=8時，△BCA^AQAP,

在RIABCA和RIAQAC中,

\PQ=AB

[AC=AP'

ARtABCA^RtAQAC(HL)：

②當(dāng)AP=BC=3時，△BCA^APAQ,

在RtABCA和RtAQAC中，

\QP=AB

[liC=AP'

.".RtABCA^RtAPAQ(HL)；

故答案為8或3.

【分析】分兩種情況討論，即①AC=AP=8時，利用HL證明RsBCAgRsQAC；②當(dāng)AP=BC=3時，再利用HL證明BCA四口△PAQ.

14.【答案】2

【解析】【解答】解：如圖，過點Q作QE_LPB于點E,則ZQEB=90°,

AE°

/ABC=30。，

..2QE=QB,

設(shè)經(jīng)過t秒后APBQ的面積等于4cm2.

則PB=(6-t)cm,QB=2t(cm),QE=t(cm),

根據(jù)題意可得：lx(6-t)t=4

二.L=2,t2=4,

當(dāng)t=4時，2t=8>7,不合題意;

t=2.

???經(jīng)過2秒后ZkPBQ的面積等于4cm2.

故答案為：2.

【分析】過點Q作QEJ_PB于點E,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得QB=2QE,設(shè)經(jīng)過t秒后△PBQ的面積等于4cm則PB=(6-t)cm,QB=2t(cm),QE=tcm,根據(jù)三角形的面積公式可得t的值，據(jù)此

解答..

15.【答案】y

【解析】【解答】解：如圖，連接CD,

VDE1BC,DF±AC,ZACB=9O°,

，四邊形CEDF是矩形,

由垂線段最短可得：CDJ.AB時，線段CD的長最小,

在RSABC中，AC=3,BC=4,

???AB=y/AC2+BC2=V32+42=5，

當(dāng)CD_LAB時，

二?△ABC的面積=-ABxCD=-ACxBC,

22

ACxBC3x412

AB55

I?

???EF的最小值為y,

12

故答案為：y.

【分析】連接CD,判斷出四邊形CEDF是矩形，再根據(jù)矩形的對角線相等得出EF=CD,再根據(jù)垂線段最短得出CD_LAB時EF的最小值，進(jìn)而解答即可。

16.【答案】g

【解析】【解答】解:如圖，由旋轉(zhuǎn)可得NACQ=/B=60。，

Q

BPC

又??,NACB=60。，

/.ZBCQ=120°,

???點D是AC邊的中點，

ACD=2,

當(dāng)DQ_LCQ時，DQ的長最小，

此時，NCDQ=30。，

???CQ=yCD=1,

???DQ=疹不=/，

???DQ的最小值是75,

故答案為：73.

【分析】先求出/BCQ=120。，再求出CQ=1,最后利用勾股定理計算求解即可。

17.【答案】2

【解析】【解答】如圖，

根據(jù)N8=90。，ZA=60°,作BG_LAC

當(dāng)點E與A重合時，F(xiàn)點與B重合，N點為AB中點P,

當(dāng)點E與B重合，點F與C重合時，N點為BC的中點Q,

???線段EF的中點N運動的軌跡為線段PQ,即^ABC的中位線.

V4。=4

?,.PQ=JAC=2

故答案為：2.

【分析】取特殊點尋找軌跡，線段EF的中點N運動的路程為△ABC的中位線，即可求解.

18.【答案】1.2

【解析】【解答】解：是邊長為6cm等邊三角形，

AZA=ZB=ZC=60°

QR//BA,ZC/?(2=ZA=60°,NCQR=N8=60。

???二CRQ為等邊三角形

,?,點尸運動的速度是lcm/s，點。運動的速度是2ctn/s

AAP=t,PB=6-t，BQ=2t,cQ=CR=RQ=6-2t,A/?=2z

?:QR//BAZ.QRP=ZAPR

若要LAPRS^PQR,則需滿足NRPQ=60。

:.ZBPQ+ZAPR=120°,ZARP+ZAPR=120°

工NBPQ=ZARP,又,：乙\=NB

???"PRs二BQ。.?.絲二些

ARAP

,解得/=1.2

2tt

【分析】先證明，CRQ為等邊三角形，并用含t的式子表示圖中的相關(guān)線段，由QR//BA推得/QPR=/APR,從而△PRQ中再有一個角等于NA=60。，證出LAPRS乙臺。尸，再利用比例式求解即可。

19?【答案】①③④

【解析】【解答】解：VZACB=90°,ZA=3ZB,

/.ZA+ZB=90°,即4"=90。,

???/8=22.5。，

???點D是AB中點，AB=20cm,

：.CD=AD=BD=^AB=\0cm,故①符合題意；

AZB=ZDCB=22.5°,

AZADC=2ZB=45°,故②不符合題意；

當(dāng)CM_LA8時，CM的值最小，

AZCA/D=90°,

???一CMO是等腰直角三角形，

:,CD=?CM=T0cm，

:?CM=5瓜m，故③符合題意；

取AC的中點E,連接PE,并延長EP,交BC于點F,如圖所示:

???點P始終是線段CM的中點，

PE//AM,PE=-AM,

2

/.EF//AB,

???點F為BC的中點，

???點M從點A出發(fā)，沿線段AB運動到點B,

???點P在線段EF上運動，

AEF=-AB=10cm,

2

即點P運動路徑的長度10cm,故④符合題意；

???正確的結(jié)論是①③④：

故答案為①③④.

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得NA+NB=90。，由NA=3NB可求出NB=22.5。，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得8=AO=8。=,A8=10cm,利用等邊對等角可得N8=N￡)C8=22.5。，利用三角

2

形外角的性質(zhì)可得NA￡>C=2NB=45°,據(jù)此判斷①②；當(dāng)CMJ.AB時，CM的值最小，可證：CMD是等腰直角三角形，可得CD=&CM，求出CM及額判斷③：取AC的中點E,連接PE,并延長

EP,交BC于點F,由題意可得點P在線段EF上運動，根據(jù)三角形中位線定理即可求解即可判斷④.

144

20.【答案】(—,-)

【解析】【解答】解：如圖所示，連接BP,BD,

點尸為線段48的垂直平分線上一點，則

04=6,點A在軸正半軸上，點。為OA的中點，

則OD=AD=3,

???A點坐標(biāo)為(6,0),。點坐標(biāo)為(3,0),

則△APD的周長二人尸+PO+AD=BP+PD+3>3Z)+3,即當(dāng)點8,P,。三點共線時，△人尸￡)的周長取得最小值,

設(shè)直線8D解析式為產(chǎn)米+6,將點8(2,4),ZX3,0)代入得：

2k+b=4k=Y

弘+〃=。,解得

h=\2'

所以直線8。的解析式為y=-4x+\2；

VB(2,4),A(6,0),

，八B=J(6-2)2+4?=4&，

過點B作8尺LOA于點R

；.BF=AF,即點尸在線段A8的垂直平分線上，

VAB的垂直平分線交x軸于點C,

???點C與點F歪合，即點C在線段AB的垂直平分線上,

???點8為A8的中點，

則E點坐標(biāo)為(4,2),

同理求得所以直線EP的解析式為y=x-2,

聯(lián)立：2，得4'

1/V=一

[5

144

故P點坐標(biāo)為(—,-).

【分析】先求出直線8Q的解析式為y=Tx+12,再分類討論，利用勾股定理計算求解即可。

21.【答案】(1)證明：如圖①，連接CD,

A

BEC

圖①

VZACB=90°,D為AB的中點，AD=BD=CD=-AB,VBC=-AB,ABD=CD=BC,，△BCD是等邊三角形，.\ZBDC=60o,???△DEF是等邊三角形，ADE=DF,ZEDF=60°,/.ZBDC=ZDEF,即

22

(BD=CD_______________________n

ZBDE+ZCDE=ZCDE+ZCDF,AZBDE=ZCDF,在△BDE和△CDF中，4BOE=z_COF，.*.△BDE^ACDF(SAS),.\BE=FC,\"AB=2BC,:.AC=[AB?-BC?二?2BC『-BC?=6BC，.,.BC=^-

(DE=DF

AC,VEC+BE=BC,.*.EC+FC=-AC；

3

(2)解：圖②中：EC-FC=^AC,圖③中：FC-EC=^AC,理由如下：如圖②，連接CD,

A

ZBDC=ZEDF=60°,BC=—AC,，/BDF+NCDF=NBDF+/BDE,AZBDE=ZCDF,BDE^ACDF(SAS),/.BE=FC,VEC-BE=BC,.,.EC-FC=^yAC；如圖③,

3

連接CD,

圖③

由(1)知：BD=CD,DE=DF,ZBDC=ZEDF=60°,BC=-AC,/.ZBDC+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即/BDE=NCDF,BDE^ACDF(SAS),/.BE=FC,XVBE-EC=BC,r.FC-EC=—AC.

33

【解析】【分析】(1)、做輔助線連接CD,證得△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得ZBDE=ZCDF,證明△BDEgACDF(SAS),勾股定理求得AC=GBC,再通過線段的代換即可解得.

(2)、第一種情況證明如圖②，△BDEgACDF(SAS)證得BE=FC,即可解得.第二種情況證明如圖③，△BDE絲ACDF(SAS)證得BE=FC,即可解得.

22.【答案】(1)解:4(-2,0),5(6,0)

OA=2,013=6

ZAOC=90°,ZAC￡?=90°

ZACO=900-ZCAO=90°-Z.BCO

NCAO=NBCO

tanZ.CAO=tanZ.BCO

即黑BO

CO

CO=y/2^6=2y/3

C（0,2>/3）

(2)①S=2x/5一等(2Kf<6)

②32

【解析】【解答】解：⑵①5(6,0),C(0,2>/3)

設(shè)BC直線解析式為y=kx+b

6=2百

則

6k+b=0

解得

b=2也

「?BC直線解析式為）,=一@工+2月

3

.OC=2>/3,08=6

.,小”O(jiān)C75

,,tan20BC=----=—

OB3

/.ZOBC=30°

ZC=ZACO=30°

OCLx軸，

:./DEC=4OEB=?i。

c

當(dāng),.A!(ye與cOBC重疊部分為四邊形時，貝|J2<O(y<6,即2<r<6

S=SAur-SDEC

S"u二|AOxOC=1x2x2>/3=2>/3

00=1

...小一冬+2可

n

=2N/3--/

3

ZC=30°,"'￡0=60。

.?./COE=90。

「?S.DEC=-DEXDC'=-DEXDEtan60°=—DE2

222

￡>E=gc￡=g(CO—O￡)=；2癢26

2層等

2

S=S.八,℃—S.DEC'=2^3-DE—2\/3—

.?.S=2G-普(2Wf<6)

@S=2y/3-^~

24

a=<0,開口向下，對稱軸為/=0,

24

：,t=2時，取得最大值

【分析】(1)證明角相等，根據(jù)正弦函數(shù)的定義列出方程，解出CO

(2)根據(jù)S=SAA'O'C'SC。？求解，即可得到答案；

根據(jù)S面積公式，找到對稱軸，開口向下，所以匚2時面積最大

23.【答案】(1)證明：???MN_LA8,

:.ZACP=NBCP=90°,

在4ACP與ABCP中，

AC=BC

"ZACP=ZBCP,

PC=PC

.*.△ACP^ABCP,

APA=PB；

(2)解：①YMN垂直平分AB.

又丁△MBC的周長是14cm,

AAC+BC=14cm,

VAC=AB=8cm,

/.BC=6cm.

②如圖，

當(dāng)點P與點M重合時，P4+CP的值最小，

1MN垂直平分AB.

APB=PA,

.\PB+CP=PA+PC>AC,

???當(dāng)點P與點M重合時，PB+CF的值最小，為AC的長

PBC的周長最小值是8+6=14cm.

【解析】【分析】(1)先利用“SAS”證明△ACPgZXBCP,再利用全等三角形的性質(zhì)可得PA=PB；

(2)①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得MB=MA,