八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章勾股定理提升含解析

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十七章勾股定理提升(含解析)

專題4勾股定理及逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

知識(shí)要點(diǎn)

1.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為4,b,斜邊長(zhǎng)為C,那么4+/=02.

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,C滿足/+/=,2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

3.勾股定理在應(yīng)用過(guò)程中，經(jīng)常要做以下變形：a2^c2-b2,a=y/c2-b2,c=等.

4.勾股定理及逆定理的應(yīng)用及其廣泛，簡(jiǎn)單的應(yīng)用主要體現(xiàn)在已知兩邊求第三邊，證明三邊關(guān)系，求直角三

角形斜邊上的高，判斷三角形形狀，作長(zhǎng)為4的線段等.

5.勾股定理的證法很多，但本質(zhì)上都是利用面積關(guān)系以及整式乘法法則加以證明，主要有如圖4-1所示三種.

趙爽證法：伽菲爾德證法：鄒元治證法：

,/c2+4-^ab=(b+a)2

?/c2=(h-a)2+4--ab—(tz+b)(a-h)=2—ah+—c2

222

a2+b2=(^；?a2+b2=c2/.a2+b2=c2

圖4一1

典例精析

例1如圖4-2,在△ABC中，A8=13,AC=12,BC=5.(1)求△48C的面積；(2)求A8邊上的高〃.

【分析】根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，可以證明AABC是直角三角形，再利用面積法求A3邊上的高瓦

【解】(1),：AC2+BC2=\69,AB2=169,.\ZC=90°,...△48(7的面積%叱=；4。8。=30.

圖4-2圖4—3

(2)如圖4一3,過(guò)點(diǎn)C作CZ)_LAB,垂足為力，貝U￡>C=/z.

,/S=-ACBC=-ABh=30,：,h=—=—.

由MRr22AB13

【點(diǎn)評(píng)】利用勾股定理，我們可以求各種線段的長(zhǎng)度，有的問(wèn)題直接利用勾股定理計(jì)算，有的問(wèn)題利用勾股定

理以及特殊角度計(jì)算，有的問(wèn)題則利用勾股定理列方程計(jì)算.

拓展與變式1如圖4-4,已知在△ABC中，AB地,NB=45°,/C=30°,求8c的長(zhǎng).

解：過(guò)點(diǎn)A作ATIBC于點(diǎn)T,則BT^AT=1,TC=也，：.BC=1+拒。

圖4-4

拓展與變式2如圖4-5,已知在△ABC中，48=5右，/^=⑵/^^=150°,

求BC的長(zhǎng).

解：過(guò)點(diǎn)C作CTLAB于點(diǎn)T,則CT=6,AT=6&,:.BT=116

BC=7（llV3）2+62=>/399

圖4—5

【反思】勾股定理的運(yùn)用一般是知二可求一，但我們的思維不能只局限于知道邊長(zhǎng)，特殊角也是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

例2如圖4一6,已知在△ABC中，AB=10cm,BC=12cm,BC邊上的中線AO=8cm,求證：AB=AC.

【分析】要證明AB=AC,有兩種思路，可以通過(guò)計(jì)算得到AC=10cm,也可以在證明A。是垂直平分線之后

直接利用性質(zhì)得到.

【解】法1：為中線，，BO=OC=5cm.不

在△ABO中，；4。;1+8￡>2=100,Ag=100,，NHD8=90°./I\

：.ACi=ADi+D（f=100,AC=10cm,：.AB=AC./\

法2：AD為中線，：.BD=DC=5cm.g------------------'

在ZkAE△中，；4。2+8￡>2=100,A#=IOO,.?.4￡）2+B￡>2=4B2,.

圖4-6

...AO是BC的垂直平分線，."8=4仁

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)勾股定理的逆定理來(lái)構(gòu)造直角，是借助數(shù)量關(guān)系解決位置關(guān)系問(wèn)題的基本策略.

拓展與變式3如圖4-7,鐵路上A,8兩點(diǎn)距離25km,C,。為兩村莊，D4J_AB于A,CB_L4B于B.己

知D4=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路A8上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C,。兩村到E站的距離相等,

則E站應(yīng)建在離A站多少千米處？OE與CE的位置關(guān)系如何？

解：設(shè)4E=x,則EB=25—x,/.152+x2=(25-x)2+10\，x=10

ACSSS),:.DELEC

圖4-7

拓展與變式4如圖4—8,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn)，

則NABC的度數(shù)是.答：45°。

拓展與變式5如圖4一9,在四邊形ABCZ)中，AB=2,CD=1,ZA=60°,ZB

=ZD=90°,求四邊形ABC。的面積.

解：延長(zhǎng)AC、BC交于點(diǎn)T,則N7=30°。

：.AT=4,BT=20,DT=BCT=2

111o

一百=—向

??S四邊形ABCD—S&45r-SbCDT=-ABBT――CDDT=26—

2222

圖4—9

【反思】勾股定理可以與全等三角形，軸對(duì)稱圖形，特殊的直角三角形產(chǎn)生學(xué)科內(nèi)的交叉，基本的構(gòu)造思路和

利用勾股定理列方程的思想是我們要掌握的.

例3已知aABC的三邊長(zhǎng)滿足a+b=10,而=18,c=8,則△48。為三角形.

【分析】代數(shù)與幾何綜合型的問(wèn)題需要我們利用代數(shù)的技巧，由a+h=10,ah=18,可得

a2+b2=(a+b)2-2ab=64,又c=8,a2+h2=c2.

【解】直角.

【點(diǎn)評(píng)】解決代數(shù)型的幾何問(wèn)題，應(yīng)用好整式中的幾個(gè)公式是關(guān)鍵.

拓展與變式6三角形的三邊長(zhǎng)為(a+6+c)2=2<?+2“8+2"c+2ac,則這是___________三角形.答：直角。

拓展與變式7已知：在△48C中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足/+/+c2+338=10a+248

+26c.試判斷△A8C的形狀.

解：(。-5產(chǎn)+彷-12)?+(c-13尸=0,：.a=5,方=12,c=13,J.ct+h^c,△ABC是直角三角形。

【反思】乘法公式有各自的幾何表達(dá)，利用這種式與形的特征是解決此類問(wèn)題的常用方法.

專題突破

1.ZXABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.已知/C=90°,AC=30m,AB=50m,如果要在這

塊空地上種植草皮，按沒(méi)平方米草皮a元計(jì)算，那么共需要資金（）.答：及

A.504元B.600a元C.1200a元D.1500a元

2.如圖4-10,ABJ_C￡>于B,ZVIBO和ABCE都是等腰直角三角形，如果C￡>=17,

BE=5,那么AC的長(zhǎng)為（）.答：D。為

A.12B.7C.5D.13/\

3.直角三角形的面積為5,斜邊長(zhǎng)為2d,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）.答：Co/EIA

A.yJd2+S+2dB.-id'-S-d?--------------f~

UDC

C.2y/d2+S+2dD.2y]d2+S+d圖4To

4.如圖4—11,已知一個(gè)等腰三角形△ABC的周長(zhǎng)為16,底邊BC上的中線AO的長(zhǎng)為4,求這個(gè)三角形各邊

的長(zhǎng).

解：AB=AC,ADA,BC,設(shè)8D=x=CO,：.AB=AC=8~x,

.*.x+42=（8—%）',；.x=3,/.BC=6,A8=AC=5。

圖4-11

5.在中，BC=a,AC=b,AB=c,若NC=90°,如圖4-12@,我們知道,根據(jù)勾股定理可得a2+b2=c2.^

△4BC不是直角三角形，如圖4一12②和③，NC分別是銳角和鈍角的情況時(shí)，請(qǐng)你類比勾股定理，選擇其中一幅

圖，猜想與?2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解：②：a2+b2>c2；③：a2+b2<c2>,

圖4-12

專題5勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用

知識(shí)要點(diǎn)

1.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a,b,c稱為勾股數(shù).常用的勾股數(shù)有：(3,4,5),(6,8,10),(5,12,

13),(8,15,17),(7,24,25),(9,40,41).特別地，如果(a,b,c)是一組勾股數(shù),那么(ak,bk,ck)

也是一組勾股數(shù)(其中A是正整數(shù)).

2.綜合運(yùn)用勾股定理及逆定理解決問(wèn)題時(shí)、通常是要先證明某個(gè)三角形是直角三角形.在這個(gè)過(guò)程中要考慮

直角三角形的邊與角的性質(zhì)，同時(shí)要掌握兩種重要的直角三角形以及邊角之間的關(guān)系，如圖5—1所示：

角度關(guān)系：NA+NB=90°含30°的直角三角形的三邊比:含45°的直角三角形的三邊比:

邊長(zhǎng)關(guān)系：a2-\-b2=c2

1：V3<21>1>V2

圖5-1

3.如圖5—2,最短路徑問(wèn)題可以結(jié)合勾股定理，即可求出最短路徑長(zhǎng).

典例精析

例1如圖5—3,在正方形ABCO中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=，8C,連接AE,AF,EF.求證：

4

△AEF是直角三角形.

【分析】題目中大量的邊長(zhǎng)關(guān)系，引導(dǎo)我們使用勾股定理逆定理的方法證明aAEF是直角三角形.同時(shí)又由于

這里涉及的比例關(guān)系，所以我們應(yīng)用代數(shù)方法加以表示，可以降低證明時(shí)的書(shū)寫量.

【證明】是8C的中點(diǎn)，...CE=EB=1BC.

2

,：CF^-BC,且四邊形ABCD是正方形，

4

.?.AB=BC=CD=DA,NB=/C=ND=90".

：.CF^-CD,CF=、CE.

42圖5-3

設(shè)CF=a,則CE=2a,AB=BC=CD=DA=4a,DF=CD~CF=3a.

根據(jù)勾股定理，得AF=+FD?=5a,EF=VcF2+CE2=>/5a,AE=^EB1+AB2=2^a.

：.EF2+AE2=25a2,AF2=25a2.：.AF2=EF2+AE2.，ZiAEF是直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】綜合應(yīng)用勾股定理與勾股定理的逆定理，在證明過(guò)程中要注意題設(shè)中的條件，或者證明的結(jié)論的提示

點(diǎn)，而代數(shù)的方式可以幫助我們減少幾何證明過(guò)程的書(shū)寫量.

拓展與變式1如圖5—4,在四邊形A8CD中，ZB=90°,AB=BC=3,AD=1,CD=M.求/DA8的度數(shù).

解：如圖D5-1,連接AC.

VZe=90°,AB=BC=3,

：.AC=VAB2+BC2=3如,Z8AC=45°.

VCD2=19,AC2=18,AD2=1,

：.CD2=AD2+AC2.

...△ADC是直角三角形.

：.ZDAC=90°.

：.ZDAB=ZDAC+ZBAC=135°.

圖D5-1

拓展與變式2如圖5—5,在△ABC中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).若BC=10,SD=4,AB=6,求AC的長(zhǎng).

B

圖5-5

解：如圖D5-2,延長(zhǎng)BD至點(diǎn)￡,使BD=DE.

?.?。是AC的中點(diǎn)，

：.AD=DC.

,:NBDA=NEDC,

：."D噲△CDE.

：.CE=AB=6.

"：BE=2BD=8,

：.BE2+CE2=BC2.

...△8CE是直角三角形，ZE=90°.

DC=y/DE2+CE2=2>/13.

：.AC=2DC=4^.

圖D5-2

拓展與變式3如圖5—6,在8c中，AB=AC,NA=90。，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡F分別為AC,A8邊上

的點(diǎn)，且。E_LDF.

(1)證明：以8F,CE,EF的長(zhǎng)度為邊的三角形是直角三角形.

(2)若BF=4,CE=2,求△0￡下的面積.

解：(1)如圖D5-3,連接AD.

"：AB=AC,/8AC=90。，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

：.ZBAD=ZDAC=-ZBAC=4S°,ZC=45°.

2

：.AD=CD,AD1.BC.

'：DE±DF,：.ZFDA+ZADE=90".

*/ZADE+ZEDC=90",

：./FDA=NEDC.：.4ADFqACDE.

同理，AAED芻ABF。.

:.AF=CE,AE=BF."：ZFAE=90°,

：.EF2=AF2+AE2.：.EF2=CE2+BF2.

...以BF,CE,EF的長(zhǎng)度為邊的三角形是直角三角形.

(2)V/\ADF^^CDE,：.DF=DE.

'：NFDE=90°,：.DF2+DE2=EF2=BF2+Cf2=20.

：.2DF2^20.：.DF2^10.

—DF,DE——DF2=5.

22

圖D5-3

【反思】通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等或者直角三角形，進(jìn)行邊角之間的互相轉(zhuǎn)化，是解決幾何求值問(wèn)題的基本方

法.

例2如圖5-7,一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而A正好位于他的小屋B的北偏西60。方向上，AB=

8km.現(xiàn)在這個(gè)牧童想要牽著他的馬到河邊飲水再回到小屋，那么他要完成這件事情的最短路程是多少？

【分析】最短路徑問(wèn)題需要我們將路徑圖畫出來(lái)再利用勾股定理求出路徑的長(zhǎng)度.

小河

牧童X9+

—＞東

n--------?.

小屋

圖5.7

【解】如圖5—8,作4關(guān)于小河的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,交河岸于點(diǎn)C,

則AC-\-BC=AfB就是最短路程，AA=8km.

,：A在B的北偏西60°方向上，/.ZABD=3Q°.

VZD=90°,AB=8km,：.AD=4km,BD=^AB2-AD2=4>73km.

：.A'D=AA'+AD=12km.由勾股定理，得A8=>/旅+=方=875km.

答：完成這件事情的最短路程是86km.

【點(diǎn)評(píng)】最短路徑問(wèn)題的路徑長(zhǎng)要在畫出路徑之后用勾股定理計(jì)算.

拓展與變式4如圖5—9,在△A8C中，AB=AC=2,NBAC=90。，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，。是4c邊上的中點(diǎn),

則EA+ED的最小值是.

解：V5

拓展與變式5如圖5—10,在等邊△A8C中，BC=4,4。是8c邊上的高，點(diǎn)E,F分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn),

則CE+EF的最小值是.

解：2也

拓展與變式6如圖5—11,在直線MN的同一側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)4B,AB=8,AB與MN的夾角NAOM=30。，點(diǎn)B

到直線MN的距離BC=3.若MN上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,連接R4,PB,求△以B周長(zhǎng)的最小值.

MCON

圖5-11

解：如圖D5-4,作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB咬MN于點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)8作B'K±AO,垂足為點(diǎn)K,則△力8

的周長(zhǎng)=%+。8+陽(yáng)=人8，+48,此時(shí)周長(zhǎng)最小.

'：BC±MN,Z40M=30",

：.BO=2BC=6,BB'=2BC=6,ZCBO=60°.

'：ZBCO=ZBKB'=90°,

：.BK=BC=3,B'K=\lBB'2-BK2=3>/3,AK=AB+BK=11.

：.AB'=dAK'+B，K2=V148=2歷.

二△%8周長(zhǎng)的最小值為2歷+8.

圖D5-4

【反思】最短路徑問(wèn)題是八年級(jí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，我們?cè)谔幚磉@類問(wèn)題的過(guò)程中首先要作出最短路徑圖形，再

通過(guò)構(gòu)造直角三角形求出結(jié)果.

專題突破

1.如圖5—12,已知在△ABC中，ZC=90",點(diǎn)M是AC的中，MPJ_A8于點(diǎn)P,求證：BP2=AP2+BC2.

圖5-12

證明：如圖D5-5,連接BM,

；點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，：.MC=MA.

VZC=90°,.\BM2-CM2=BC2.

'：MP±AB,：.ZMPB=ZMPA=90°.

BP2=BM2-MP2,MP2=MA2-AP2^MC2~AP2.

：.BP2=BM2~MP2=BM2~(M^-AP2)=BM2~MC2+AP2,

即BP2=AP2+BC2.

圖D5-5

2.如圖5-13,和都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,△ACB的頂點(diǎn)A在△EC。的斜邊DE

上.求證：AE2+AD2=2AC2.

E

A

圖5-13

證明：如圖D5-6,連接8D.

'：AACB和△DCE都是等腰直角三角形，

：.ZECA+ZACD=90°,ZDCB+ZACD=90°.

:./ECA=NDCB.

"：AC^BC,CE=CD,

：.AACE^^BCD.

：.AE=DB,/CD8=/E=45°.

ZADB=90".

BD2+AD2=AE2+AD2=AB2.

\MB2=AC2+BC2=2AC2.：.AE2+AD2=2AC2.

圖D5-6

3.如圖5—14,C為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)8,。作AB_LBD,ED±BD,連接AC,EC,已知AB=2,BD

=4,DE=1,設(shè)CD=x.

(1)AC+CE=(用含x的代數(shù)式表示);

(2)請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小？

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖并直接求出+J(8-x)2+25的最小值.

解：⑴J(4-x)2+4?+Vx2+1；

(2)連接AE,當(dāng)點(diǎn)C是線段AE與8D的交點(diǎn)時(shí)，AC+CE最小.

(3)如圖D5—7,構(gòu)圖取AB=5,60=8,DE=1.由此可得，+1+"(8—x)?+25的最小值即為AE=《AK2+EK，

=10.

圖D5-7

專題6勾股定理與平移、對(duì)稱

知識(shí)要點(diǎn)

1.常見(jiàn)的幾種對(duì)稱圖形：如圖6—1所示.

圖6-1

上面幾種對(duì)稱圖形可以讓我們總結(jié)出對(duì)稱圖形中一個(gè)基本求值步驟：①找正確的直角三角形（一般情況下帶有

對(duì)稱軸的直角三角形不能直接使用）；②利用勾股定理列方程；③求出結(jié)果.

2.長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖（與最短路徑問(wèn)題有關(guān)），如圖6—2所示.

3.平移問(wèn)題（與最短路徑問(wèn)題有關(guān)），如圖6-3所示.A'B+CD最小，可用勾股定理計(jì)算出最小值.

圖6-3

典例精析

例1如圖6-4,有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.現(xiàn)將直角邊AC沿/CAB的角平分

線A。折疊，使它落在斜邊A8上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng).

圖6-4

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，要求CD的長(zhǎng)，就需要我們找到正確的直角三角形并利用勾股定理列出方程.這里

可利用△ABC求出AB的長(zhǎng)，再利用aBDE來(lái)列出方程.

【證明】由折疊可知，A4CD^A4ED,

：.AE=AC=6,CD=DE,ZDEA=ZC=90°.

設(shè)CD=x,則BD=BC-CD=8~x,

由勾股定理得AB=y/AC2+BC2=10,

BE=AB~AE=4.

ZDEB=90°,：.由勾股定理得BD2=DE2+BE2.

Z.X2+42=(8—x)2,解得x=3.

.*.CD=3cm.

【點(diǎn)評(píng)】折疊類型的問(wèn)題是勾股定理這個(gè)章節(jié)的重點(diǎn)題型，是方程思想在幾何求值問(wèn)題中的一個(gè)重要應(yīng)用，需

要我們找到正確的直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程.

拓展與變式1如圖6—5,折疊長(zhǎng)方形A8C。的一邊AD,其中AF為折痕，使點(diǎn)。落在8c邊的點(diǎn)E處.己知

AB=6,BC=10,求AF的長(zhǎng).

解：：四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

：.ZB=ZC=90°,CD=AB=6,AD=BC=10.

山折疊可知，△ADF嶺△AEF,

：.AD=AE^10,/A￡F=/D=90°,DF=EF.

**-EB==8..，?CE=2.

設(shè)DF=x,貝ljCF=CD-FD=6-x.

'：EF2=CE2+CF2,/.22+(6-x)2=x2,解得x=W.

3

3

：.AF=VDF2+AD2=.

3

拓展與變式2如圖6-6,已知在RtZkABC中，/C=90°,兩直角邊AC=5,BC=12,BD是NABC的平分線,

求8。的長(zhǎng).

A

解：如圖D6-1,過(guò)點(diǎn)。作D/CLAB,垂足為K.

Y8D是/A8C的平分線，ZC=90°,

：.DC=DK.

"：BD=BD,

：./\BDC^/\BDK.

：.BK=BC=12.

'：AB=\IAC2+BC-=13,

：.AK=AB~BK=1.

設(shè)CD=x,則KD=x,AD=AC-CD=5~x.

'：AD2=AK2+KD2,

：.x2+l2=(5-x)2.

5

/.BD=A/BC2+CD2=3"

5

拓展與變式3如圖6—7,把長(zhǎng)方形A8C。紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)。處，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，其中EF是折痕.若

AB=16,AD=12,則折痕EF的長(zhǎng)為.

圖6-7

解：15

【反思】軸對(duì)稱求值問(wèn)題在解題過(guò)程中，目前階段利用勾股定理列方程是我們首選的方法.

例2如圖6—8,已知在水平的直線/兩側(cè)分別有兩點(diǎn)A,8,點(diǎn)A至U/的距離4M=2.5,點(diǎn)B至4/的距離8N=

1.5,直線/上有一條線段CD=4,且MN=7,連接AC,BD,求AC+B。的最小值.

圖6-8圖6-9

【分析】這是很典型的“選址造橋”問(wèn)題，我們需要將線段進(jìn)行平移才能找到最短路徑.

【解】如圖6—9,將點(diǎn)A沿水平方向向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)A,連接AB交MN于點(diǎn)D.在MN上取點(diǎn)C使

8=4,且點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè).連接AC,BD,則此時(shí)AC+8D=AB最短.作AK_LBK,垂足為K,

,:MN=7,由平移可知，AA'+BK=7.

；.BK=3,A'K=AM+BN=4.：.A'B^\IA'K2+BK2=5.

【點(diǎn)評(píng)】“選址造橋”類型的問(wèn)題是最短路徑類型問(wèn)題中一類比較模式化的問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)位置可

變、長(zhǎng)度不變的連接型線段.

拓展與變式4如圖6—10,已知在水平直線/的同側(cè)分別有兩點(diǎn)48,點(diǎn)A至心的距離AM=2,點(diǎn)B至心的距

離BN=2,直線/上有一條線段CD=4,且MN=7.連接AC,BD,求AC+BO+CD的最小值.

MCDNi

圖6-10

解：如圖D6-2,將點(diǎn)A沿水平方向向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)A,作點(diǎn)8關(guān)于/MN的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接A方交MN于

點(diǎn)。.在MN上取點(diǎn)C,使CD=4,且點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè).連接AC,B'D,則此時(shí)AC+BD=A?最短.計(jì)算過(guò)程與

例2類似.AC+BD+CD=A'B'+CD^9.

拓展與變式5如圖6—11,已知等腰直角△A8C中，AC=BC=2,NACB=90。，點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M,

N為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，且MA/=&.當(dāng)MN在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形MNCD周長(zhǎng)的最小值是多少？

解：如圖D6—3,取BC的中點(diǎn)E,連接DE,

CE=EB=1CB=1.

2

??,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，且4c=BC=2,

CD=CE=1.

DE=y/CD2+CE2=72.

ZCDE=￡A=45",

DEIIA8..,.由平移性質(zhì)可知，DM=EN.

DM+CN=EN+CN.

作E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P,

此時(shí)CN+E7V=CF最小.

由對(duì)稱可知,AEBN竺AE'BN,；.EB=E'B=1.

ZCBA=ZE'BA^45"./.ZCBF=90".

CE'=\ICB2+E'B2-非.

.MNCD周長(zhǎng)的最小值為MN+CE'+CD=0+百+1.

【反思】解決“選址造橋”這類最短路徑問(wèn)題要找準(zhǔn)平移的方向，平移的方向是否正確在于能否將兩條沒(méi)有公

共端點(diǎn)的線段平移到同端點(diǎn)處.

專題突破

1.如圖6—12,在RtZ\A8C中，ZACB=90°,是NCA8的平分線，8c=4,CD=1.5,求AC的長(zhǎng).

解：如圖D6—4,作DK_LA8,垂足為K.

是NC4B的平分線，ZC=90°.

，DC=DK=1.5.

'：AD=AD,

：./^ADC^/\ADK.

：.AK=AC.

又BD=BC-CD=2.5,

：.KB=yjBD2-DK2=2.

設(shè)AC=x,則AK=x,AB=AK+KB=2+x.

'：AB2^AC2+BC2,/.X2+42=(2+X)2,

解得x=3.；.AC=3.

圖D6-4

2.如圖6—13,已知AB=13,BC=14,4C=15,ADJ_BC于點(diǎn)。，求AD的長(zhǎng).

解：設(shè)8D=x,則CD=BC-BD=14-x.

'：AD±BC,：.ZADB=ZADC=90°.

:.AD2=AB2-BD2,AD2=AC2-CD2.

.".132—x2=152-(14-x)2,解得x=5.

；.AD=A/AB2-BD2=12.

3.如圖6—14,將長(zhǎng)方形紙片A8CD沿MN折疊，AB=4,頂點(diǎn)8恰好與CD邊上的動(dòng)點(diǎn)P重合(點(diǎn)P不與點(diǎn)C,

。重合)，折痕為MN,點(diǎn)M,N分別在邊AD,8c上.連接MB,MP,BP,BP與MN相交于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使

/BMP=90°,且MP的中點(diǎn)。到BC的距離等于。M長(zhǎng)時(shí)，求。P的長(zhǎng).

解：如圖D6-5,作0KJ_8C,OTLCD,垂足分別為K,T.連接8。，反向延長(zhǎng)K。交AD于5.山折疊可知，BM=

MP,

；四邊形A8CD是長(zhǎng)方形，

：.AB=CD=4,ZZ?=ZD=90°.

"：ZBMP=90°,

：.ZAMB+ZDMP=30°.

'：ZAMB+ZABM=90°,

：.ZDMP=ZABM.：./\AMB^/\DPM.

：.MD=AB=4,AM=DP.

由。K_L8C,OrlCD可知，四邊形。5。7，ASKB都是長(zhǎng)方形，：.OS=DT.

,。是MP的中點(diǎn)，：.OM=OP.

"：ZD=ZOTP=90°,：.OT//MD.

：.ZPOT=ZOMD..,.△OSM^APTO.

：.PT=OS=DT.：.DP=2OS.

設(shè)。K=x,OM=x..*.OS=4—x.

：.AM=DP=2OS=8~2x,BM=MP=2MO=2x.

：.AB2+AM2=BM2./.42+(8-2x)2=(2x)2.

.?.x=2.5.:.DP=2OS=2(4-x)=3.

專題7強(qiáng)化提高

知識(shí)要點(diǎn)

本章知識(shí)框圖:

圖7-1

典例精析

例1如圖7-2,點(diǎn)P是正三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，且%=6,P8=8,PC^10.若也是正三角形，求BP，的

長(zhǎng)和NAP8的度數(shù).

圖7-2

【分析】利用圖中兩個(gè)等邊三角形的條件，我們可以發(fā)現(xiàn)圖中“手拉手”全等模型，利用全等完成邊長(zhǎng)條件的

轉(zhuǎn)化，從而利用勾股定理逆定理證明△P8P，是直角三角形.

【解】:△ABC和△力。都是正三角形，

：.PP'=AP'=AP=6,AB=AC,ZP'PA=ZP'AP=ZBAC=60°.

：.ZP'AB+ZBAP^ZBAP+ZPAC.：.ZP'AB=ZPAC.

.?.△P'AB會(huì)△%C.：.P'B=PC=10.：.PP'2+PB2=P'B2.

.?.△P'P8是直角三角形，/P'P8=90°.

:./APB=NPPA+ZP'PB=150°.

【點(diǎn)評(píng)】勾股定理與特殊三角形有緊密的聯(lián)系，我們需要懂得使用勾股定理以及逆定理找到問(wèn)題中關(guān)鍵的直角

三角形.

拓展與變式1如圖7—3,在△A8C中，/ACB=90。，AC=8C,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，1是△ABC外的一點(diǎn)，且

PB=1,PC=2,PA=3.若△P8Cg/\P'AC,求N8PC的度數(shù).

解：?.,△P8C出△7AC,

二/8PC=/AP'C,ZP'CA=ZPCB,PC=P'C=2,P'A=PB=1.

：.ZP'CP=ZP'CA+ZACP=ZPCB+4CP=90。.

.?.△P(P是等腰直角三角形，/CP，P=45。.

PP12=CP'2+cp2=8.PP'2+P'A』AP2.

.?.△AP7是直角三角形，ZAP'P=90°.

：.ZAP'C=ZAP'P+ZCP'P=135",

即N8PC=135°.

拓展與變式2如圖7—4,若點(diǎn)P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數(shù).

解：如圖D7-1,以AP為邊向外構(gòu)造等三角形PZP,連接

△ABC和△期「'都是正三角形，

:.PP'=AP=AP=3,AB=AC,ZP'PA=Z.P'AP=ZBAC=60°.

ZP'AP+Z.BAP=4BAP+NPAC.

ZPZB=NPAC.

：.△P’AB合ABAC.P‘B=PC=5.

：.PP'2+PB2=P'B2.

AP'PB是直角三角形,ZP'PB=90°.

：.ZAP8=NP'PA+Ap-pfi=150°.

圖D7-1

拓展與變式3如圖7—5,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8,E是中線AD上一點(diǎn)，以CE為一邊在CE下方作等邊ACEF,

連接BF并延長(zhǎng)至點(diǎn)N,M為BN上一點(diǎn)，且CM=CN=5,則MN的長(zhǎng)為.

解：6

【反思】勾股定理與特殊三角形結(jié)合的綜合性問(wèn)題題目多樣，但處理的方法卻基本遵循一個(gè)道理，就是根據(jù)條

件構(gòu)造正確的直角三角形.

例2如圖7-6,在Rt/XABC中，ZB=90°,BC=5y/3,/C=30。.點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)其

中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts(t>0).過(guò)點(diǎn)D作。F_L8C于點(diǎn)F,

連接。E,EF.

(1)求證：AE=DF；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，^DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題在處理的過(guò)程中需要明確動(dòng)中“不變”的量，比如線段的表示是否會(huì)發(fā)生改變，角度的

大小是否會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)而變化，在運(yùn)動(dòng)中是否有可能出現(xiàn)特殊的三角形等.根據(jù)要求具體分析，是有序有效地處理動(dòng)

態(tài)幾何的策略.

【解】(1),:點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts,，AE=t,CD=2t.

'：DF±BC,：.ZDFC=90°.VZC=30°,：.DF=-DC^t.:.AE=DF.

2

(2)；NC=30。，ZB=90°,：.AC^2AB.設(shè)AB=x,AC=2x.

"：AC2=AB2+BC2,：.4X2=X2+(56)2,x=5.：,AB=5,AC=10.

分三種類型討論：①當(dāng)NEDF=90。時(shí)，如圖7—7,；N8=NDFB=90。，

NAED=NDEB=90°.DE//BC.：.ZADE^ZC=30°.

：.AD^2AE=2t.'：AD+CD=AC,；.2t+2t=10,t=2.5.

②當(dāng)NDEF=90°時(shí)，如圖7-8,:NDFC=NB=90°,：.AE//DF.

:.NAED=NEDF."：AE=DF,ED=ED,：./\AED^/\FDE.

NADE=/DEF=90°.AZAED=30".：.AE^2AD,；.t=2(10-2t)./.f=4.

③當(dāng)NDFE=90。時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)8重合，點(diǎn)F也與點(diǎn)B重合，這種情況不存在.

綜上所述，當(dāng)t=2.5或4時(shí)，ADEF為直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往需要分類討論，畫出正確的示意圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

拓展與變式4如圖7—9,已知△ABC中，NB=90。，AB=8cm,BC=6cm,P,Q分別為A8,BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A向B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B向C方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm.它

們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t5.

(1)出發(fā)2$后，求PQ的長(zhǎng)；

(2)出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？

解：（1）；出發(fā)的時(shí)間為ts,：.AP=2t,BQ=t.

：.BP=8~2t.

二出發(fā)2s后,BQ=2,8P=4.

Z8=90。，PQ=y/BQ2+BP2=2石.

(2)=90。，...當(dāng)△PQB是等腰三角形時(shí)，只能是8Q=BP這種情況.

8

??t=82t.??t~~—?

3

拓展與變式5如圖7—10,在8c中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD_L8c于點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以

每秒1cm的速度在線段AD上向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)以每秒2cm的速度在射線BC上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)M與點(diǎn)

P同時(shí)出發(fā)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

(1)求AD的長(zhǎng)；

(2)用含t的式子表示PD與MD的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng).問(wèn)是否存在3使得△PM。的面積5△HMO等于36cm2?若存

在，請(qǐng)求出t的值，并在這個(gè)時(shí)刻的C。上找一點(diǎn)Q