初中數(shù)學(xué)知識點大全按章節(jié)匯總

第一章：實數(shù)

一、實數(shù)的分類：

1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成上的形式，其中P、q是互質(zhì)的

整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如近、V4;特

定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無限小數(shù)，如1.1001……;特定意義的數(shù)，如兀、

sin45°等。

3、判斷一個實數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后

才下結(jié)論。

二、實數(shù)中的幾個概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實數(shù)2的相反數(shù)是一a；

(2)a與b互為相反數(shù)=a+A0

2、倒數(shù)：(1)實數(shù)a(a*0)的倒數(shù)是L(2)a與b互為倒數(shù)。昉=1;

a

(3)注意。沒有倒數(shù)

3、絕對值：(1)一個數(shù)a的絕對值有以下三種情況：

(2)實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值，就是數(shù)

軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離

(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號里面的實數(shù)進行數(shù)性

(正、負)確認，再去掉絕對值符號

4、n次方根

(1)平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a>0,稱土石叫a的平方根，右叫a的

算術(shù)平方根。

(2)正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負數(shù)沒

有平方根。

(3)立方根：標叫實數(shù)a的立方根。

(4)一個正數(shù)有一個正的立方根；。的立方根是0;一個負數(shù)有一個負

的立方根。

三、實數(shù)及數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點、正方

向、單位長度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，

而每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點來表示。實數(shù)與數(shù)軸上的點

是一一對應(yīng)的關(guān)系。

四、實數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0;負數(shù)小于0;正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)絕對值大的

反而小。

五、實數(shù)的運算

1、加法：(1)同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；

(2)異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，用較大的絕對值減去較小

的絕對值.可用加法交換律、結(jié)合律

2、減法：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：(1)兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

(2)n個實數(shù)相乘，有?個因數(shù)為0,積就為0;若刀個非。的

實數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個

時，積為正；當負因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負。

（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法：（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

（2）除以?個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

（3）。除以任何數(shù)都等于0,。不能做被除數(shù)。

5、乘方及開方：乘方及開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，力口、

減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不

同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運

算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。

六、有效數(shù)字與科學(xué)記數(shù)法

1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)">0,則MaxiO"（其中l(wèi)<avl0,A為整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位

為止，所有的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）

精確到那一位；（2）保留幾個有效數(shù)字。

第二章：代數(shù)式

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代

數(shù)式。單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的結(jié)果叫做

代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類：

二、整式的有關(guān)概念及運算

1、概念

（1）單項式：像X、7、2/y,這種數(shù)及字母的積叫做單項式。單獨

一個數(shù)或字母也是單項式。

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項式

的次數(shù)。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。

（2）多項式：幾個單項式的與叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項

式含有兒項，就叫幾項式。

多項式的次數(shù):多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式

的次數(shù)。不含字母的項叫常數(shù)項。

升（降）落排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小（大）

到大（?。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升（降）

察排列。

（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項

叫做同類項。

2、運算

（1）整式的加減：

合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母

的指數(shù)不變。

去括號法則：括號前面是“+”號，把括號與它前面的“+”號去掉,

括號里各項都不變；括號前面是“一”號，把括號與它前面的

“-”號去掉，括號里的各項都變號。

添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號

前面是“一”號，括到括號里的各項都變號。

整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去

括號，再合并同類項。

(2)整式的乘除：

騫的運算法則：其中山、〃都是正整數(shù)

同底數(shù)方相乘:de；同底數(shù)暮相除:a』』』幕的乘

方：(/)"=/，"積的乘方：(岫尸="少。

單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，

用它們的指數(shù)的與作為這個字母的指數(shù);對于只在一個單項式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相

加。

多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一

項，再把所得的積相加。

單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)案分別相除，作為商的因式，對于只在被

除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商

相加。

乘法公式：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a1-h2；

222222

完全平方公式：(a+/?)=a+2ab+bf(a-b)=a-2ab+b

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式

分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+me=m(a+b+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：?2-b1=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)~

(3)十字相乘法：A:2+(n+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式

分解。

(5)運用求根公式法：若+隊+。=0(々工0)的兩個根是玉、x2,則

有：

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘

法；

(3)對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根

公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

1、分式定義：形如4的式子叫分式，其中4、3是整式，且5中含

有字母。

(1)分式無意義：B=0時，分式無意義；BWO時，分式有意義。

(2)分式的值為0:4=0,3*0時，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一個分式的分子及分母的公因式約去叫做分式

的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：一個分式的分子及分母沒有公因式時，叫做最簡分

式。分式運算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾個異分母的分式分別化成及原來分式相等的同分母

分式的過程，叫做分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次第的積。

(7)有理式：整式與分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

(1)4=土絲("是工瞰整式)；⑵絲(M是工。的整式)

BBMBB+M

(3)分式的變號法則：分式的分子，分母及分式本身的符號，改變

其中任何兩個，分式的值不變。

3、分式的運算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分

母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。

(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分

子，分母乘以分母。

(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子右之0)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方

數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次

根式，叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的

積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理

化因式有：G及C；+c4d及a4b-c4d)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(歷，=。320);⑵0=同=卜《心°);

[—a(avO)

(3)y[ab=yfa>/b(3>0,Z?>0)；(4)fE=2^>o.b>O)

3、運算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同

類二次根式。

(2)二次根式的乘法：&.網(wǎng)=箍(a>0,d>0)o

(3)二次根式的除法：

二次根式運算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。

第三章：方程與方程組

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程c

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，

含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方

程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的標準形式：力葉60(其中x是未知數(shù)，a、b

是已知數(shù)，a#0)

(2)一元一次方程的最簡形式：行=方(其中x是未知數(shù)，a、b是

已知數(shù)，a妾O)

(3)解?元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同

類項與系數(shù)化為lo

(4)一元一次方程有唯一的一個解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：加2+bx+c=O(其中x是未知數(shù)，a、

b、。是已知數(shù)，a=#0)

(2)一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因

式分解法

(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，

一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：△=〃-4℃

當A>0時。方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當』=0時。方程有兩個相等的實數(shù)根；

當4:0時。方程沒有實數(shù)根，無解；

當A>Q時=方程有兩個實數(shù)根

(5)一元二次方程根及系數(shù)的關(guān)系：

若“三是一元二次方程ar?+〃x+c=。的兩個根，那么：,

(6)以兩個數(shù)天心為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是：

2

x-5+x2)x+x]x2=0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡

公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原

方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原

方程檢驗。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：(%.?2,4也，6，口不全為0)

解法：代入消遠法與加減消元法

解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數(shù)的

解”

(2)三元一次方程組：

解法：代人消元法與加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個二元一次方程與一個二元二次方程組成的方程組

以及由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元

一次方程組。

第四章：列方程(組)解應(yīng)用題

一、列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟

1、審題：

2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程(組)；

4、解方程(組)；

5、檢驗，作答；

二、列方程(組)解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；

1、工程問題

(1)基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率X工作時間

(2)常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作

總量

(3)注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工

程問題

2、行程問題

(1)基本量之間的關(guān)系：路程=速度X時間

(2)常見等量關(guān)系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題(設(shè)甲速度快)：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程-乙走的路程=

原來甲、乙相距路程

同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差；甲的路程=乙的路

程

3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長率問題：

常見等量關(guān)系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原

來的量X(1+增長率)；

5、數(shù)字問題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位

上的數(shù)X100

三、列方程解應(yīng)用題的常用方法

1、洋式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯

成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然

后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件與所求的未知量納入表格，從而找出各

種量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量及量之間

的關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。

第五章：不等式及不等式組

一、不等式及不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關(guān)系的式子。（表示不等關(guān)系的常用符號：

<,>）0

2、不等式的性質(zhì)：

（7）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變，

如b,c為實數(shù)na+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，

如a>b,c>O=>ac>bco

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號方向改變，

如a>b,c<0=>ac<be.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實數(shù)時，一定要養(yǎng)成好的

習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負數(shù)）再確定不等號方向

是否改變，不能像應(yīng)用等式的性質(zhì)那樣隨便，以防出錯。

3、任意兩個實數(shù)a,b的大小關(guān)系（三種）：

（1）a-Z?

（2）a-

（3）a-bv0oavb

4、（1）a>b>Go

（2）a>d>0<^<h2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個不等式（組）成立的未知數(shù)的一個值叫做這個不等式（組）

的一個解。

不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。

不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（7）概念：含有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項的次數(shù)是一次的不等

式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：及解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊

同乘以（或除以）一個負數(shù)時，不等號方向要改變。

2、一元一次不等式組：

（7）概念：含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式

組，叫做一元一次不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。

注：求不等式組的解集?般借助數(shù)軸求解較方便。

第六章：函數(shù)及其圖像

一、平面直角坐標系

1、平面內(nèi)有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標系。

在平面直角坐標系內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)

系。

2、不同位置點的坐標的特征：

(1)各象限內(nèi)點的坐標有如下特征：

點尸(與刃在第一象限。x>0,y>0;點P(禺刃在第二

象限oxvO,y>0;

點P(國y)在第三象限。xvO,y<0;點P(x,y)在第四

象限=x>0,y<0o

(2)坐標軸上的點有如下特征：

點?(x,y)在x軸上oy為0,x為任意實數(shù),點?(x,y)在

，軸上=*為0,，為任意實數(shù)。

3.點尸(*,y)坐標的幾何意義：

(1)點尸(x,y)到x軸的距離是|y|;

(2)點P(黑回到y(tǒng)袖的距離是|x|;

(3)點尸(x,y)到原點的距離是正壽

4.關(guān)于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征：

(1)點尸(a,b)關(guān)于x軸的對稱點是4(”,-b);

(2)點尸(a,b)關(guān)于x軸的對稱點是〃(-4方)；

(3)點尸(a,b)關(guān)于原點的對稱點是A(-d-ZO;

二、函數(shù)的概念

1、常量與變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量；

保持數(shù)值不變的量叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x與％如果對

于x的每一個值，y都有唯一的值及它對應(yīng)，那么就說x是自

變量，y是x的函數(shù)0

(1)自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體

實數(shù)。

②解析式是只含有一個自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范圉是使分

母不為0的實數(shù)。

③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取值范圍是

使被開方數(shù)非負的實數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必

須使實際問題有意義。

(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函數(shù)的對應(yīng)

值。

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表；②描點；

③連線

三、幾種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

直線位置及火，b的關(guān)系：

(1)女>0直線向上的方向及x軸的正方向所形成的夾角為銳角;

(2)々VO直線向上的方向及x軸的正方向所形成的夾角為鈍角；

(3)b>0直線及y軸交點在x軸的上方；

(4)》=0直線過原點；

(5)6V0直線及y軸交點在x軸的下方；

2、二次函數(shù)

拋物線位置及a,b,。的關(guān)系：

(1)a決定拋物線的開口方向

(2)。決定拋物線及y軸交點的位置：

。0。圖像及y軸交點在x軸上方；c=O。圖像過原點；c<0。圖像及y

軸交點在x軸下方；

(3)a,8決定拋物線對稱軸的位置：a,b同號，對稱軸在y軸左

側(cè)；b=O,對稱軸是y軸；a,b異號。對稱軸在y軸右側(cè)；

3、反比例函數(shù)：

4、正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的對照表：

第七章：統(tǒng)計初步

一、總體與樣本：

在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對

象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本

中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)

1、平均數(shù)

(1)%,圣百，….x”的平均數(shù)，+&+…+￡,)

n

(2)加權(quán)平均數(shù)：如果n個數(shù)據(jù)中，玉出現(xiàn)次，士出現(xiàn)人次，……，

.出現(xiàn)A次(這里￡+人+???+￡=〃)，則+-+X/)

n

(3)平均數(shù)的簡化計算：

當一組數(shù)據(jù)內(nèi),占,七,…中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都及常數(shù)a

接近時，設(shè)?！钠骄鶖?shù)為''則：x=M+a。

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處在最中間位置上

的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就

是處在中間位置上兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個。

三、反映數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)：

1、方差：

(!)的方差，一區(qū)」尸

n

(2)簡化計算公式：(因,…K.為較小整數(shù)時

n

用這個公式要比較方便

(3)記七百,和…③的方差為S?,設(shè)a為常數(shù)，

2

』_.,“2的方差為S',則$2=S、2o

注：當對七2；,…,看各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時，用該法計算

方差較簡便。

2、標準差：方差(S?)的算術(shù)平方根叫做標準差(8。

注：通常由方差求標準差。

四、頻率分布

1、有關(guān)概念

(1)分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標準分成若干組稱為分組，當數(shù)

據(jù)在100個以內(nèi)時，通常分成5-12組。

(2)頻數(shù)：每個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù)。各個小組的

頻數(shù)之與等于數(shù)據(jù)總數(shù)以

(3)頻率：每個小組的頻數(shù)及數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫做這一小組的頻

率，各小組頻率之與為

(4)頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的頻數(shù)、頻率所列

成的表格叫做頻率分布表。

(5)頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結(jié)果，繪制成的，以數(shù)據(jù)

的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分

布直方圖。

圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。

每個小長方形的面積等于該組的頻率。

所有小長方形的面積之與等于各組頻率之與等于lo

樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個數(shù)分別占樣本容量n的比例

的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個數(shù)分別在總體中所占比例

的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布。

2、研究頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布與方法，通常是先

整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是：(1)計算最大值及最

小值的差；(2)決定組距及組數(shù)；(3)決定分點；(4)列領(lǐng)率分布

表；(5)繪頻率分布直方圖。

第八章：相交線及平行線

一、知識框架

二、知識概念

1.鄰補角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊

的兩個角是鄰補角。

2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的

兩個角互為對頂角。

3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的

垂線。

4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

5.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：

同位角：N1及N5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對角叫做同位角。

內(nèi)錯角：N2及N6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。；

同旁內(nèi)角：N2及N5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。1\

6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。?

7.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種

移動

叫做平移平移變換，簡稱平移。

8.對應(yīng)點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動

后得到的，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點

9.定理①過兩點有且只有一條直線

②兩點之間線段最短

③同角或等角的補角相等

④同角或等角的余角相等

⑤對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

10垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1:過一點有且只有一條直線及已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點及直線上各點的所有線段中，

垂線段最短。

11.平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線及已知直線平

行。

平行公理的推論：如果兩條直線都及第三條直線平行，那么這兩條直

線也互相平行。

12.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

13.平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。

判定2:內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

判定3：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。

14與已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分

線

15到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

16到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是與這兩條平行線平行且距離相

等的一條直線

第九章：三角形

一、三角形

(1)、知識框架

(2)、知識概念

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫

做三角形。

2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的與大于第三邊，任意兩邊的差小于第三

邊。

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足間

的線段叫做三角形的高。

4.中線：在三角形中，連接一個頂點與它的對邊中點的線段叫做三角形

的中線0

5.角平分線：三角形的一個內(nèi)角的平分線及這個角的對邊相交，這個角

的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角

形的穩(wěn)定性。

6.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

7.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

8.多邊形的外角：多邊形的一邊及它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊

形的外角。

9.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形

的對角線。

10.正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做

正多邊形。

11.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的?部分完全覆蓋，

叫做用多邊形覆蓋平面。

12.公式及性質(zhì)：三角形的內(nèi)角與：三角形的內(nèi)角與為180°

13.三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的與。

性質(zhì)2:三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。

14.多邊形內(nèi)角與公式：n邊形的內(nèi)角與等于(口-2)-180°

15.多邊形的外角與：多邊形的內(nèi)角與為360°。

16.多邊形對角線的條數(shù)：

(1)從刀邊形的一個頂點出發(fā)可以引(刀一3)條對角線，把多邊形分

詞(刀一2)個三角形。

(2)4邊形共有錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。條對角線。

17定理①三角形內(nèi)角與定理三角形三個內(nèi)角的與等于180。

②推論1直角三角形的兩個銳角互余

③推論2三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的與

④推論3三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角

二、全等三角形

(1)、知識框架

(2)、知識概念

1.全等三角形：兩個三角形的形狀、大小、都一樣時，其中一個可

以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等運動(或稱變換)使之及另一個

重合，這兩個三角形稱為全等三角形。

2.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。

3.三角形全等的判定公理及推論有：(1)“邊角邊”簡稱“S4S'

(2)“角邊角”簡稱uASAn

(3)“邊邊邊”簡稱“SSS'

(4)“角角邊”簡稱"446'

(5)斜邊與直角邊相等的兩直角三角形

(HL)O

4.角平分線推論：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在叫的平分線上。

5.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：

①、確定已知條件(包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角

平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系)，

②、回顧三角形判定，搞清我們還需要什么

③、正確地15寫證明格式(順序與對應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問

題).

三、對稱

(1)＞知識框架

(2)、知識概念

1.對稱軸：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重

合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。

2.性質(zhì)：(1)軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂

直平分線。

(2)角平分線上的點到角兩邊距離相等。

(3)線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等。

(4)及一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分

線上。

（5）軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。

（6）角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

（7）到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

3,等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，（等邊對等角）

4.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡稱

為“三線合一”O(jiān)

5.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對

的邊也相等（等角對等邊）

6.等邊三角形角的特點：三個內(nèi)角相等，等于60°,

7.等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等腰三角形。

有一個角是60,的等腰三角形是等邊三角形

有兩個角是60,的三角形是等邊三角形。

8.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

9.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

10.定理①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距高相等

逆定理與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直

平分線上

②關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

③線段的垂直平分線可看作與線段兩端點距離相等的所有點的集

合

④兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，

那么交點在對稱軸上

⑤如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂

直平分線

逆定理若兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直

平分則這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

四、旋轉(zhuǎn)

二,知識概念

L旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這

樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做

旋轉(zhuǎn)角。（圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉(zhuǎn)

固定角度的位置移動，其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段

的長度、對應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小與形狀沒有改變。）

2.旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，及初始圖形

重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋

轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°,大于360。）。

3.中心對稱圖形及中心對稱：

中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能及自身重

合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。

中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能及另一個圖形

重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。

4.中心對稱的性質(zhì)：

①關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對

稱中心平分0

③關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或者在同一直線上)且

相等。

④如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么

這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

五、勾股定理

(1)、.知識框架

⑵、知識概念

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,

那么

勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足印+〃=，。，那么

這個三角形是直角三角形。

2.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。

3.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其

中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理

及勾股定理逆定理)

六、相似

⑴、知識框架

(2)、.知識概念：

L平行線等分線段定理若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則

在其他直線上截得的線段也相等

推論1經(jīng)過梯形一腰的中點及底平行的直線，必平分另一腰

推論2經(jīng)過三角形一邊的中點及另一邊平行的直線，必平分第三邊

2.三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

3.梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底與的一半

L=()4-2tS=Lxh

4.(1)比例的基本性質(zhì)如果那么ad-be,如果ad=bc,力R

么a.b=c.d

(2)合比性質(zhì)如果a/Ac/d,那么(a土切/b={c±d\/d

(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/出…=m/…+A*0),那么

(a+c+…+m)/(d+小…+n)=a/b

5.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成

比例

推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得

的對應(yīng)線段成比例

6.如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比

例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

7..相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角

形?；橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切?/p>

8.相似三角形的判定方法：根據(jù)相似圖形的特征來判斷“(對應(yīng)邊成比

例，對應(yīng)角相等)

①.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)與其他兩邊相交，所構(gòu)成的

三角形及原三角形相似；

②.如果一個三角形的兩個角及另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這

兩個三角形相似；(ASA)

①如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等,那么這

兩個三角形相似；(SAS)

①如果兩個三角形的三蛆對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(SSS)

9.直角三角形相似判定定理：

①.斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

②.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形及原直角三角形相

似，并且分成的兩個直角三角形也相似

10相似三角形的性質(zhì)：

Q).相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、

外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑

等)的比等于相似比。

。相似三角形周長的比等于相似比。

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

七、銳角三角函數(shù)

(1)、知以框架

(2)、知識概念

l.RtAAEC中

NA的對邊

(1)/4的對邊及斜邊的比值是/力的正弦，記作s加力=以、力

斜邊

(2)ZA的鄰邊及斜邊的比值是/力的余弦，記作cosA=

NA的鄰邊c

斜邊Q

(3)/5的對邊及鄰邊的比值是//的正切，記作tanA=

NA的對邊

NA的鄰邊

NA的鄰邊

(4)/4的鄰邊及對邊的比值是//的余切，記作c"a=一瓦石”,

2.特殊值的三角函數(shù):

30'45°60°

SinoV2在

222

￡

CosaV3旦

222

V3

tana1石

3

CotaV3

V313

3.任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意銳角的余弦值等于它的

余角的正弦值

4.任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等于它的

余角的正切值

第十章：四邊形

一.知識框架

二.知織概念

1.平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形的性質(zhì)：①平行四邊形的對邊相等②平行四邊形的對角相

等。③平行四邊形的對角線互相平分。

3.平行四邊形的判定①.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

②.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

@.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

4.推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

5.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。

6.矩形的性質(zhì)：①矩形的四個角都是直角；②矩形的對角線平分且相

等。A6BD

7矩形判定定理：①.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

②.對角線相等的平行四邊形是矩形。

有三個角是直角的四邊形是矩形。

8菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

9.菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對角線互相垂直，

并且每一條對角線平分一組對角。

10.菱形的判定定理：①.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

④對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

③四條邊相等的四邊形是菱形。

11.菱形面積=對角線乘積的一半，即由(axb)+2

12.正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

13.正方形的性質(zhì)：①四條邊都相等，四個角都是直角。

②正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對

角線平分一組對角

③正方形既是矩形，又是菱形。

14.正方形判定定理：①鄰邊相等的矩形是正方形。②有一個角

是直角的菱形是正方形。

15.梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

16.直角梯形的定義：有一個角是直角的盟飛

17.等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。'

18.等腰梯形的性質(zhì)：①等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；②等腰梯形

的兩條對角線相等。

19.等腰梯形判定定理：①同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。②對

角線相等的梯形是等腰梯形

20.定理四邊形的內(nèi)角與等于360°

21.四邊形的外角與等于360°

22