離散型隨機變量的均值

離散型隨機變量的均值通山一中阮清波教材分析本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2—3》2.3.1離散型隨機變量的均值，學生在前面的學習中已經掌握了分布列的求法，并且在選修3中學習了樣本平均數的求法，為離散型隨機變量的均值的引入打下了基礎，此時提出離散型隨機變量的均值的概念已是水到渠成，而離散型隨機變量的均值又為后面離散型隨機變量的方差的學習奠定基礎，本節(jié)課在教材中起到承上啟下的作用。教材通過權數和加權平均引入離散型隨機變量的均值的概念是教材中的一個亮點，其目的是幫助學生更好的理解均值的意義，教學時要把握好這一點。學情分析本節(jié)課是一節(jié)概念課，關鍵要讓學生理解概念，學生在必修3中，已熟知了一組數據的平均數的求法及意義，學生要理解離散型隨機變量的均值并不是很難，教材以形象的混合糖果的定價問題的解釋為例，引出了離散型隨機變量的均值的定義，其中涉及到了“加權平均”，學生對加權平均數接觸不多，故在教學中應注意講解。對于服從二項分布的隨機變量的均值計算公式的推導，學生在前面已經掌握了公式：kCk=nCk-1，但是要自己推導公式有一定的難度，nn1教學中要注意引導學生分析通項。教學目標知識與技能：1．理解離散型隨機變量的均值的概念；2.掌握滿足線性關系的離散型隨機變量的均值之間的關系，即：Y=aX+b則E（Y）=aE（X）+b；掌握滿足兩點分布、二項分布的離散型隨機變量的均值的求法。過程與方法：進一步體會從特殊到一般的歸納思想，類比思想；培養(yǎng)學生合情推理能力。情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生的數學應用意識，并感悟數學與生活的和諧之美。教學重點理解離散型隨機變量的均值的意義，掌握滿足兩點分布、二項分布的離散型隨機變量的均值計算公式，并能應用它們解決一些實際問題。教學難點離散型隨機變量的均值的概念的理解，滿足二項分布的離散型隨機變量的均值的計算公式的推導。教學過程創(chuàng)境引入某商場為滿足市場需求要將單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質量都相等，如何對混合糖果定價才合理？(動畫演示三堆糖果混合過程)學生：由于每1kg的混合糖果中，3種糖果的質量分別為-kg、1kg、1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 3 6111kg,所以混合糖果的合理價格為：18X—+24X—+36X—=23(兀/kg)2 3 6老師：權數就是所占比重。如：上式的-、-、-；2 3 6加權平均指在計算若干數量的平均數時，按照各個數量在總量中所具有的重要性不同，對各個數據分別給予不同的權數，從而求平均數的方法。問題1：如果從上面的混合糖果中任取一顆，它的實際價格為多少(元/k)？實際價格可能為18元/kg、24元/kg或36元/kg。問題2：如果用X(元/kg)表示這顆糖果的價格，你能寫出它的分布列嗎？此時權數對這顆糖而言的實際意義是什么？X的可能取值有：18、24、36,且P(X=18)=-P(X=24)=-2 3P(X=36)=- 則X的分布列如下:6X182436P111r236此時權數是隨機變量X取每種價格的概率。問題3：每千克混合糖果的合理價格用概率可以怎樣表示？買上述混合糖果1千克，需付多少元？它的實際價格也是這樣嗎？18XP(X=18)+24XP(X=24)+36XP(X=36)問題4：如果混合糖果中不同糖果共有n種，價格分別為x、x…x，取12n每種價格的權數即概率依次為p、p…p，則這種混合糖果的價格可定為多12n少？價格可定為：xp+xpH Hxp1122nn構建定義一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xxx???x???xnPp1p2???p.???pn則稱：E(X)=xp+xp+???+xp為隨機變量X的均值或數學期1122nn望。它反應了離散型隨機變量取值的平均水平。簡單應用例1：某射手射擊所得環(huán)數E的分布列如下:g678910P0.080.090.290.320.22求E(g)并指出其含義學生解答：E(g)=6X0.08+7X0.09+8X0.29+9X0.32+10X0.22=8.51其表示該射手多次射擊的平均水平變式：如果這次射擊的環(huán)數與獎金掛鉤，獎金變量n與射擊環(huán)數g的關系如下：n=2g+i。問題1：獎金變量n的均值為多少？給出表格：(學生填表格)n的可能取值有：13、15、17、19、21,其分布列如下g678910n=2g+11315171921p0.080.090.290.320.22E(n)=13X0.08+15X0.09+17X0.29+19X0.32+21X0.22=17.02

問題2：通過上面求n的均值，你認為求離散型隨機變量的均值的一般步驟是什么？一般步驟：①理解變量e的意義，寫出e的全部取值；②求e取各個值的概率，寫出分布列；③根據分布列，由期望的定義求出E(g).問題3：已知一組數據x的平均數是X，那么另一組數據ax+b的平均ii數為aX+b，隨機變量的均值是否具有相同的性質？(先通過上例驗證)你能夠證明嗎？結論1：E(aX+b)=aE(X)+b例2：在NBA比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，姚明罰球命中的概率為0.85，那么他罰球一次得分設為X，X的均值是多少？(姚明投籃動畫，球出手后籃球空中停止)學生分析：X服從兩點分布，其分布列如下:X10P0.850.15E(X)=1XP(X=1)+OXP(X=0)=0.85結論2：若X服從兩點分布，則E(X)=P變式：如果姚明罰球5次，設五次罰球的得分為變量Y,則如何求Y的均值？師生分析：???Y的取值有：0、1、2、3、4、5且Y?B(5,0.85) P(Y=k)=C；0-85k0.155-k.Y的分布列如下：Y012345PCoO.85oO.155C10.8510.154C20.8520.153C30.8530.152C40.8540.151C50.8550.15o555555.E(Y)=0XC00.8500.155+1XC10.8510.154+2XC20.8520.153+…+5X555C50.8550.1505問題：運算比較復雜，你能夠猜想出運算結果嗎？(學生討論)求證：若X?B(n,p)，則E(X)=np證明：tX?B(n,p)則P(X=k)=Ckpkqn-k(q=1-p)(k=0、1、2、…、n)n.X的分布列為：X01???k???nPCop0qnnC1p1qn-1n???Ckpkqn-kn???Cnpnq0nkCk=nCk-1n n-1E(X)=0XCopoqn+1XCipiqn-1+…+kCkpkqn-k+…+

nnnnCnpnqo=nCop1qn-1+nC1p2qn-2…+nCk-1pkqn-k+…+nn-1n-1n-1nCn-1pnqo=np(Copoqn-1+C1p1qn-2…+Ck-1pk-1qn-k+…+n-1n-1n-1n-1Cn-ipn-1q0)=np(p+q)n-i=npn-1結論3：若X?B(n,p)，則E(X)=np練習：設隨機變量的分布列為：P(Y=k)=C3k000.25k0.75300-k(k=0、12、…、300),則E(Y)= 歸納小結一個概念：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xxx???x???xnPpip2???p.???pn則稱：E(X)=xp+xp+???+xp為隨機變量X的均值或數學期1 1 2 2 nn望。它反應了離散型隨機變量取值的平均水平。三個性質：性質1：E(aX+b)=aE(X)+b性質2：若X服從兩點分布，則E(X)=P性質3：若X?B(n,p)，則E(X)=np求離散型隨機變量e的期望的一般步驟：①理解e的意義，寫出e的全部取值；②求e取各個值的概率，寫出分布列；