等差數(shù)列講義:選填經(jīng)典題型(詳解答案)_第1頁
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等差數(shù)列講義:選填經(jīng)典題型一、單選題1.?dāng)?shù)列,…的通項公式可能是()A. B. C. D.2.在等比數(shù)列{an}中,“a2>a1”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要3.下列關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的敘述正確的是()A.若非常數(shù)列為等差數(shù)列,則也可能是等差數(shù)列B.若非常數(shù)列為等比數(shù)列,則不可能是等差數(shù)列C.若數(shù)列的前n項和,則數(shù)列可能是等差數(shù)列D.若等差數(shù)列的前n項和有最大值,則公差d可能大于零4.已知數(shù)列中,,,則()A. B. C. D.5.已知.將四個數(shù)按照一定順序排列成一個數(shù)列,則()A.當(dāng)時,存在滿足已知條件的,四個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列B.當(dāng)時,存在滿足已知條件的,四個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列C.當(dāng)時,存在滿足已知條件的,四個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列D.當(dāng)時,存在滿足已知條件的,四個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列6.已知正項數(shù)列的前n項和為,滿足,則()A. B. C. D.7.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11=()A.58 B.88 C.143 D.1768.設(shè),,是與的等差中項,則的最小值為()A. B. C. D.9.在數(shù)列中,=3n-19,則使數(shù)列的前項和最小時n=()A.4 B.5 C.6 D.710.已知等差數(shù)列中,,前5項的和滿足,則公差取值范圍為()A. B. C. D.11.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,滿足,,則()A. B.的最大值為C. D.滿足的最大自然數(shù)n的值為2312.若是等差數(shù)列,首項,公差,且,則使數(shù)列的前項和成立的最大自然數(shù)是()A.4027 B.4026 C.4025 D.402413.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,且滿足,則中最大項為()A. B.C. D.14.?dāng)?shù)列滿足,則的前20項和為()A.210 B.220 C.230 D.24015.?dāng)?shù)列的通項,其前項和為,則為()A. B. C. D.16.已知正項等比數(shù)列的公比為q,若,且,則()A.19 B.45 C.55 D.10017.在等差數(shù)列中,前項和為,,則等于()A. B. C. D.18.已知數(shù)列的前n項之和,則的值為A.61 B.65 C.67 D.6819.等差數(shù)列和的前n項和分別為與,對一切自然數(shù)n,都有,則等于()A. B. C. D.20.已知等差數(shù)列的公差,前項和為,則對正整數(shù),下列四個結(jié)論中:(1)成等差數(shù)列,也可能成等比數(shù)列;(2)成等差數(shù)列,但不可能成等比數(shù)列;(3)可能成等比數(shù)列,但不可能成等差數(shù)列;(4)不可能成等比數(shù)列,也不叫能成等差數(shù)列.正確的是()A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4)21.已知數(shù)列為等差數(shù)列,首項,若,則使得的的最大值為()A.2007 B.2008 C.2009 D.201022.若是等差數(shù)列,首項,,,則使前項和成立的最小正整數(shù)是()A. B. C. D.23.已知等差數(shù)列的前項和為,,則取最大值時的的值為()A.4 B.5 C.4或5 D.5或624.《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有女不善織,日減功遲,初日織五尺,末日織一尺,今三十織迄,問織幾何.”其意思為:有個女子不善于織布,每天比前一天少織同樣多的布,第一天織五尺,最后一天織一尺,三十天織完,問三十天共織布()A.30尺 B.150尺 C.90尺 D.180尺二、填空題25.已知數(shù)列中,,前項和為.若,則數(shù)列的前項和為_______.26.設(shè)等差數(shù)列的前項和,若且,則__________.27.設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿足,則____.28.在數(shù)列中,,,則數(shù)列的通項______.29.記數(shù)列的前項和為滿足,且,,則數(shù)列的前項和______.30.設(shè)數(shù)列中前項的和,則______.31.若,,則_______________.32.設(shè)數(shù)列的前項和為,已知,,則等于______.33.設(shè)是數(shù)列的前n項和,且,則使取得最大值時n的值為_____________.34.已知數(shù)列的前項和為,,,則______.參考答案1.D由,排除A,C,由,排除B.故選:D.【點睛】本題主要考查了數(shù)列通項公式的判定與排除法的運用,屬于基礎(chǔ)題.2.B是遞增數(shù)列,則必有,必要性滿足,若,,滿足,但,數(shù)列不是遞增數(shù)列,充分性不滿足.應(yīng)是必要不充分條件,故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷,掌握充分必要條件的定義是解題關(guān)鍵.3.C對于A,設(shè)數(shù)列的公差為,則,由、不為定值可知不為定值,故不可能是等差數(shù)列,故A錯誤;對于B,若,則,此時為等差數(shù)列,故B錯誤;對于C,若,則,此時,數(shù)列是等差數(shù)列,故C正確;對于D,設(shè)數(shù)列的首項為,公差為,則,若,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知無最大值,故D錯誤.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列的判斷,考查了等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特性,合理舉例、牢記知識點是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.4.C在等式兩邊取倒數(shù)得,,所以,數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,則,.故選:C.【點睛】本題考查利用倒數(shù)法求數(shù)列通項,考查了等差數(shù)列定義的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D注意到時,,且的值為,構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.由此判斷出D選項正確.故選D.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,考查分析求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6.D,當(dāng)時,,或(舍去);當(dāng)時,,,兩式相減得:.,,所以數(shù)列是首項,公差的等差數(shù)列,,故選:D.點睛:本題主要考查數(shù)列通項與前n和之間的關(guān)系以及等差數(shù)列的通項和前n項和公式,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.7.B等差數(shù)列前n項和公式,.考點:數(shù)列前n項和公式.8.D∵是與的等差中項,∴,即,∴.所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,∴的最小值為9.9.C因為,所以數(shù)列是首項,公差為的等差數(shù)列,所以,令,易知該函數(shù)圖象開口朝上,對稱軸為直線,由可得當(dāng)時,取最小值.故選:C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式的應(yīng)用,考查了運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10.C由題可知:,又,所以,解得.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前和以及公差的范圍,關(guān)鍵在于用表示,屬基礎(chǔ)題.11.C設(shè)等差數(shù)列的公差為由,可得,整理可得,由所,即,故A錯誤;根據(jù),則數(shù)列為遞減數(shù)列,,即,則前項或前項的和最大,故B錯誤;C正確;所以,即,解得,滿足的最大自然數(shù)n的值為22,故D錯誤;故選:C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式、數(shù)列的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.12.D因為是等差數(shù)列,首項,公差,所以是遞減數(shù)列,又因為,所以,所以,所以則使數(shù)列的前項和成立的最大自然數(shù)是4024.故選:D.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.13.D,,所以,所以,后面的項都小于零.由于,所以最大項為.考點:等差數(shù)列的性質(zhì),構(gòu)造新數(shù)列的性質(zhì).【點晴】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和公式,考查數(shù)列的單調(diào)性.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),將已知條件轉(zhuǎn)化為,這就說明數(shù)列的首項是正數(shù),且公差是復(fù)數(shù),并且正負(fù)交替的項位于第和第項,所以構(gòu)造的新數(shù)列中,前面項是正數(shù),后面項是負(fù)數(shù),所以最大項只有在前項中產(chǎn)生,然后比較分子分母的單調(diào)性可得最大值為第八項.14.A因為故=即:同理可得:故可得令則,又,故故.故選:A.【點睛】本題考查由遞推公式,找到通項之間的關(guān)系,屬數(shù)列困難題,對計算能力要求較高.15.A首先對進行化簡得,又由關(guān)于的取值表:123456可得的周期為,則可得,設(shè),則,故選A.點睛:本題考查二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的周期性以及等差數(shù)列的求和公式,意在考查靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力以及計算能力,求求解過程要細(xì)心,注意避免計算錯誤.16.C由題意,正項等比數(shù)列的公比為q,且,可得,,因為,即,所以.故選:C.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,以及等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的求和公式,準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查運算與求解能力.17.A設(shè)首項為,公差為,,,即,則,故選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用,意在考查對基本公式的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.18.C當(dāng)時,,當(dāng)時,,故,據(jù)通項公式得.故選C.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系式,注意的情況,是一道基礎(chǔ)題.19.C,又∵當(dāng)時,,.故選:C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系,判斷是解題的關(guān)鍵.20.D【解析】試題分析:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),,,,因此(1)錯誤,(2)正確,由上顯然有,,,,故(3)錯誤,(4)正確.即填(2)(4).考點:等差數(shù)列的前項和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義.21.B數(shù)列為等差數(shù)列,若所以與異號首項,則公差所以則,所以由等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得所以的最大值為,即故選:B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.22.D因為等差數(shù)列中,,,所以公差,,,因為,所以,因為,所以,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知,時,;時,.故使前項和成立的最小正整數(shù)是.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列前項和的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.23.C設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,∴,得,解得,∴,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)或5時,取最大值,故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的前項和的最值,考查數(shù)列的通項,屬于中檔題.24.C已知等差數(shù)列選C.25.因為,所以.所以.又,所以是首項為,公差為的等差數(shù)列,則.所以.又也滿足,所以.所以.所以數(shù)列的前項和為.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合問題,考查與的關(guān)系、等差數(shù)列的判定、裂項相消法求和,綜合性較強.已知與的關(guān)系式,有兩種思路:一是由消掉得到關(guān)于通項的關(guān)系式;二是把代換成得到關(guān)于求和的關(guān)系式.26.因為,,所以,,從而公差,又,所以,從而,解得,故填.27.解:,可得時,,時,,又,兩式相減可得,即,上式對也成立,可得數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,可得.故答案為:.【點睛】本題主要考查了賦值法及等比數(shù)列的前項和公式,考查計算能力及分析能力,屬于中檔題。28.由題意可得:,利用累加法,得:,,于是:.故答案為【點睛】本題考查利用累加法求數(shù)列通項公式,是基礎(chǔ)題.29.由題可知:①當(dāng)時,②,①②得,即()又,所以,則,所以數(shù)列是以2為首項,4為公比的等比數(shù)列,所以,則,所以.故答案為:【點睛】本題考查根據(jù)證明等比數(shù)列,還考查等差數(shù)列的前項和公式,掌握,熟悉公式,屬基礎(chǔ)題.30.由①,取得:,即.當(dāng)時,②,①-②得:,即..∵,∴數(shù)列是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列,∴.,故答案為:.【點睛】本題考查由和的關(guān)系式求數(shù)列的通項公式,解題根據(jù)是,但要注意此式中,不包含.否則易出錯.31.原式可化為(),因為,所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,即.故答案為:.【點睛】本題主要由數(shù)列的遞推公式構(gòu)造新數(shù)列,使之成等差數(shù)列或等比數(shù)列的問題,構(gòu)造是關(guān)鍵,屬于中檔題.32.1010因為,,因為所以,由此可得,,,所以,周期為4,所以.故答案為:1010【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的周期性,考查求數(shù)列前項的和的問題,考查學(xué)生的推理能力和計算能力,屬于中檔題.33.3∵a1=1,an+1=﹣SnSn+1,∴Sn+1﹣Sn=﹣SnSn+1,∴.∴=1+﹣(n﹣1)=n,∴Sn=,則使等號不

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