經濟數學（第三版） 教案全套 劉洪宇 1-10 增長率和復合增長率問題-概率基礎

第1講增長率的計算與比較-----------增長率和復合增長率問題及解決方案教學目標：利用增長率、復合增長率的知識解決經濟增長率和投資回報、復利等問題.教學內容:增長率，復合增長率教學重點:投資回報模型、投資期數模型、基期本金模型教學難點:增長率、復合增長率的應用一、問題引入引例1假如一名大學生畢業(yè)時剛好20歲，買一份2萬元的養(yǎng)老保險，如果每年的利率是15%，40年到期后取出本息，他將會獲得怎樣的收益？是80萬元嗎？不是.是92萬元嗎(=2×(1+0.15)×40)？也不是.答案是:465.85萬元.不是本金的40倍，也不是本金的46倍，而是本金的233倍.引例2假如你的父母在你剛剛出生的時候，就用3000元為你購買了100股某公司的股票，如果該公司年均增長率為15%，60年后，你的這100股股票的市值將會增加到什么水平？是18萬元嗎？不是.是20.7萬元嗎？也不是.答案是：1315萬元.不是原始股的60倍，也不是原始股的69倍，而是原始股的4384倍.問題分析在這里，容易被人們忽視的是什么？一是利率，通俗地講就是增長率，即末期相對基期數量的增長比例；二是復利，這是一種算法，是指每經過一個計息期后，都要將所生利息加入本金，以計算下期的利息.在這里，增長率是什么？增長率又是怎么算出來的？增長率與前后數量是什么關系？這些正是我們這一章需要學習的內容.二、增長率問題及其解決方案經濟活動中，在比較兩期數據(如兩年或是兩月)時,常常需要通過增長百分比這一指標來評估增長的幅度.例如，人口自然增長率就是一年內人口自然增長數(出生人數－死亡人數)與該年內平均人口數之比,通常用千分比來表示；經濟增長率就是末期國內生產總值(GDP)與基期國內生產總值的比較,以末期現(xiàn)行價格計算末期GDP得出的增長率是名義經濟增長率,以不變價格(即基期價格)計算末期GDP得出的增長率是實際經濟增長率;利率就是相對于本金(前期金額)而言的資金增長率.定義2.1事物增長的數量與原來數量的百分比值稱為增長率.假設一項投資基期的本金為，末期的價值為，則該項投資的價值增長量為,于是,該項投資的增長率為.例2.1假如你在2015年1月1日用3000元購買了100股某公司的股票,2019年1月1日這100股的市值已達到5247.02元,試問該公司4年的股票市值增長率為多少?解依題意,基期市值,末期市值,所以.答:該公司4年的股票市值增長率為74.9%.例2.2假如你在2015年1月1日投資3000元股票，2016年1月1日股票價值增長到3600元，2017年1月1日增長到3672元，2018年1月1日增長到3965.76元，2019年1月1日增長到5247.02元，那么該股票價值在2015-2018年每年的增長率分別是多少？解,,,.答:該股票價值在2015-2018年每年的增長率分別是20%，2%，8%，32.3%.例2.2說明,一項投資在特定時期內各年的增長率不一定相同,甚至變化較大,因此,可以將增長率理解為一個短期的概念，反映一項投資在特定時期內每一年的增長情況.實際生活中,希望知道該項投資長期增長的潛力和預期,這就需要借助復合增長率來描述了.三、復合增長率問題及其解決方案定義2.2若事物從某一年的數量開始,按照某個固定指數經過若干年增長后達到預期數量，則稱這個固定指數為復合增長率.例2.3假如你在2015年1月1日用3000元購買100股某公司的股票,如果該公司的股票市值每年以15%的速率增長(即復合增長率為15%),2019年1月1日這100股股票的市值將會增加到什么水平?解第1年這100股股票的市值為(元),第2年這100股股票的市值為(元),第3年這100股股票的市值為(元),第4年這100股股票的市值為(元).因此，2019年1月1日這100股股票的市值增加到5247.02元,增長率為74.9%.進一步,假設一項投資的基期本金為,年復合增長率為,則年后的末期價值為.(1)式(1)稱為投資回報模型.例如:已知一項投資的基期本金為,投資期數為期,末期價值為,則由可得,即(2)式(2)稱為年復合增長率模型.類似地,可得投資期數模型為.(3)基期本金模型為.(4)例2.4假如你在2015年1月1日用3000元購買100股某公司的股票,4年后這100股股票市值為5247.02元,試問該公司股票的年復合增長率為多少?解已知，由式(2)得.答:該公司股票的年復合增長率約為15%.例2.5假如你希望將來購買一輛跑車，預計售價為250萬元，你現(xiàn)在只有1萬元，你有機會投資一份年復合增長率為20%的理財產品，請問多少年后可以實現(xiàn)你的購車計劃？解已知,由式(3)得.答:大約30年后可以實現(xiàn)購車計劃.例2.6小張想積攢6年后旅游所需費用50000元，她選擇了一個年復合增長率為4.21%的理財產品，那么小張現(xiàn)在應該投資多少元才能保證6年后攢夠所需旅游費用？解已知,由式(4)得(元).答:小張現(xiàn)在應該投資39040.34元才能保證6年后攢夠所需旅游費用.四、數列的極限數列是研究增長率和復合增長率的重要工具，而數列的極限則討論數列一般項的變化趨勢,這對于了解與增長率相關的經濟問題的內在規(guī)律十分有益.我們高中已經學過數列的概念，現(xiàn)在我們進一步考察當自變量無限增大時，數列的變化趨勢．先看下面兩個數列：(1),即；(2),即.觀察發(fā)現(xiàn),對于第1個數列,當無限增大時,;對于第2個數列,當無限增大時,.此時,稱數列的極限為0,數列的極限為1.下面給出數列極限的一般定義.定義2.3如果當無限增大時，數列的項無限接近于一個確定的常數，那么就稱作數列的極限或稱數列收斂于．記為,或者(n)．根據數列極限的定義易知：，，，．由此可以推出下列結論：(1)，(2)，(3)．需要注意的是，并不是任何數列都是有極限的．例如，數列，當無限增大時，也無限增大，不能無限接近于一個確定的常數，所以這個數列沒有極限．例2.7某企業(yè)獲得50萬元房產投資，該企業(yè)將該房產作為抵押品向銀行貸款，得到相當于抵押品價值75%的貸款，企業(yè)將此貸款再進行投資，并將再投資作為抵押品又向銀行貸款，仍得到相當于抵押品75%的貸款，企業(yè)又將此貸款再進行投資，這樣貸款—投資—再貸款—再投資—…，如此反復進行擴大再生產.問該企業(yè)最多可獲投資多少萬元？解設企業(yè)所獲投資本金為,貸款額占抵押品價值的百分比為第次投資額為,次投資與再投資的資金總和記為,最多可獲投資記為，于是：第1次投資金額,第2次投資金額,第3次投資金額,第4次投資金額，………………..第n次投資金額.則次投資與再投資的資金總和為不難看出，隨著的無限增大，因為，所以無限地接近于0，因此，投資與再投資的資金總和Sn隨著的無限增大而無限地接近于常數，即.本例中，，代入上式得.習題1.國家向某企業(yè)投資1000萬元，按連續(xù)復利年利率6%計算利息，規(guī)定3年后一次收回投資基金，到期企業(yè)應向國家繳回投資基金多少？2.假設銀行存款年利率為2.25%,每年結息一次,若3年后要得到本利和600元,則當年應存入銀行多少元?3.人類按照4‰的年增長率,由1000人繁衍到1億人大約需要多少年?4.某廠1980年的產值為1000萬元，到2000年末產值翻兩番，求該廠產值的年復合增長率.第2講投入產出模式建立與決策咨詢-------總產值價值形成問題及解決方案教學目標：掌握矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，逆矩陣和方程組的矩陣表示。教學內容：矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法和逆矩陣。教學重點：矩陣的概念，矩陣的乘法，逆矩陣和方程組的矩陣表示教學難點：矩陣的乘法和方程組的矩陣表示。本章的重點內容就是討論如何求解線性方程組，為此,首先引入矩陣概念.一、矩陣的概念引例6.2線性方程組(6.2)的系數、右端常數按照原來的位置擺放，構成一個矩形數表：(6.3)不難發(fā)現(xiàn)，數表(6.3)決定了方程組(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么等問題.因而研究這個數表就很有必要.定義6.2由個數排成的行列的矩形數表稱為行列矩陣，簡稱矩陣，矩陣一般用大寫字母表示.如：矩陣A中的個數稱為矩陣的元素，而稱為矩陣的第行第列元素，一個矩陣也可簡記為或.下面介紹幾類特殊的矩陣.(1)零矩陣:所有元素均為零的矩陣稱為零矩陣，記為或.(2)行矩陣:只有一行的矩陣稱為行矩陣.(3)列矩陣:只有一列的矩陣稱為列矩陣.(4)階方陣:矩陣稱為階方陣或階矩陣.(5)單位矩陣:如果階方陣滿足:(=1\*romani);(=2\*romanii)其余位置元素全為0.則稱該矩陣為n階單位矩陣,簡記為In或I.下面三個矩陣分別為二階、三階和四階單位矩陣.I2=QUOTE10011001,I3=QUOTE1000100011000定義6.3如果兩個矩陣具有相同的行數與相同的列數，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。如果矩陣為同型矩陣，且對應元素均相等，即且，則稱矩陣與矩陣相等，記作.例6.1已知,且,求.解由矩陣相等的概念,有,解得三、矩陣的運算只有對矩陣定義一些有理論意義和實際意義的運算，才能使矩陣成為進行理論研究和解決實際問題的有力數學工具.1.矩陣的線性運算定義6.4設有兩個矩陣，將其對應位置元素相加，所得到的矩陣稱為矩陣與的和，記作.即值得注意的是:只有兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行矩陣的加法運算.例6.2已知矩陣,求.解.定義6.5已知數與矩陣，將數乘以矩陣A的每一個元素,所得到的矩陣稱為數與矩陣A的乘積,記作.即.數與矩陣的乘積運算稱為數乘運算.例6.3設某物資的2個產地,與3個銷地,,之間的里程(單位：千米)可表示為下列矩陣如果每噸每千米的運費為12元，試用矩陣表示2個產地與3個銷地每噸的運費為多少元？解2個產地與3個銷地每噸的運費用矩陣表示為=當時，稱為矩陣的負矩陣，記作,顯然有.那么矩陣的減法運算可定義為.矩陣的加(減)法和數乘運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算,它滿足以下運算規(guī)律.設都是同型矩陣，是常數,則=1\*GB2⑴;=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷.例6.4設==,=.若,試求.解由矩陣的數乘與加法的定義,有再由矩陣相等的定義,有解之得2.矩陣與矩陣的乘法定義6.6設有矩陣與矩陣,將矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應元素乘積之和作為一個新矩陣的第i行第j列的元素()，所得到的這個矩陣稱為矩陣與的積,記作.即，其中.記號常讀作左乘或右乘.值得注意的是:=1\*GB2⑴只有當左邊矩陣的列數等于右邊矩陣的行數時，矩陣與才能作乘法運算.=2\*GB2⑵矩陣的行數等于矩陣的行數，列數等于矩陣的列數.例6.5若，求.解矩陣的乘法一般不滿足交換律,即AB≠BA.兩個非零矩陣相乘,可能是零矩陣,故不能從AB=O推出A=O或B=O.也不能從AC=BC推出A=B,即矩陣乘法一般不滿足消去律.但是，單位矩陣I乘以矩陣A,等于A本身,即.例如,A=QUOTE-241-2-241-2,B=QUOTEAB=QUOTE-241-224-3-6-BA=QUOTE24-3-6-241-22由此可得,AB≠BA.但是，矩陣的乘法滿足以下運算規(guī)律(假定運算都是可行的)：=1\*GB2⑴結合律；=2\*GB2⑵分配率，；=3\*GB2⑶數乘結合律.3.矩陣的轉置定義6.7把矩陣的行換成相應的列得到的新矩陣，稱為的轉置矩陣，記作.即若，則若是矩陣，則是矩陣.例6.6已知矩陣，求.解例6.7已知,求解(1)首先計算于是，(2)矩陣的轉置滿足以下運算規(guī)律：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷.4.逆矩陣定義6.8對于n階方陣A,如果存在一個n階方陣B,使得AB=BA=I(6.4)則稱方陣A為可逆矩陣,而方陣B稱為A的逆矩陣.若滿足(6.4)式的方陣B不存在,則稱A為不可逆矩陣.例如,A=QUOTE12011201,則B=QUOTE1-20AB=QUOTE12011-20112011-201=QUOTE10011001,BA=定理6.1若方陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的.因此,方陣A的逆矩陣常記作A-1,例如,A=QUOTE12011201,則A-1=QUOTE1-20由定義6.8可知,若A-1=B,則B-1=A,即A與B互為逆矩陣.若方陣A可逆,則A的逆矩陣可通過Excel中的函數MINVERSE求得,具體使用方法請參見本章第二節(jié),求逆矩陣的數學原理將在第三節(jié)討論.四、投入產出方程組的矩陣表示引入矩陣的概念與矩陣的運算之后，對線性方程組的相關討論就可以轉化為對相應的矩陣的討論了.1.線性方程組的有關概念線性方程組就是指n元一次方程組,設含有n個未知數m個方程的線性方程組為(6.5)記,,，則方程組(6.5)可表示為.其中,稱為方程組(6.5)的系數矩陣,B稱為右端常數矩陣,X稱為未知數矩陣.利用矩陣的乘法運算將線性方程組(6.5)進行簡寫，其目的是將線性方程組的理論與矩陣理論聯(lián)系起來，這給線性方程組的討論帶來極大的方便。利用逆矩陣解線性方程組如果方程組(6.5)的系數矩陣為階可逆方陣(此時，未知量的個數與方程的個數相等)，則在方程組兩邊同時左乘，得.(6.6)這便是方程組(6.5)的解。例4求解線性方程組解設，，利用EXCEL中的函數MINVERSE求得于是，利用(3)式得即所求線性方程組的解為。習題1．設，計算：（1）；（2）；（3）若滿足，求.2．計算：；（2）；3.設，，求及.4.試分別用初等變換法和逆矩陣法解下列線性方程組：（1）；（2）.第3講投入產出模式建立與決策咨詢-------總產值價值形成問題及解決方案教學目標：會建立投入產出模型，掌握投入產出模型的求解；教學內容：討論總產值形成問題及解決方案；教學重點：掌握直接消耗系數以及總產值價值形成問題及模型建立；教學難點：總產值價值形成問題與線性方程組的聯(lián)系。復習：1.矩陣的線性運算，矩陣的乘法，逆矩陣以及轉置矩陣；2.mmult,minverse以及transpose函數；3.用逆矩陣求解線性方程組。一、問題引入總產值價值形成問題引例6.1按照我國對三大產業(yè)的劃分,將國民經濟體系分為工業(yè)、農業(yè)和服務業(yè)三個部門.設某年對它們的產品總產值分布進行調查的結果如表6-1所示(表中數據均表示以萬億元人民幣計的產品價值).表6-1投入產出表單位:萬億元產出投入中間使用最終需求總產出工業(yè)農業(yè)服務業(yè)中間投入工業(yè)農業(yè)服務業(yè)1.80.612415610最初投入(增值)933總投入15610試建立線性方程組來確定當工業(yè)、農業(yè)和服務業(yè)面臨的最終需求分別為33萬億元、8萬億元和16萬億元時,各部門的總產出應該是多少.問題分析任何產品生產的技術過程都是一個投入產出過程,引例要求我們回答的就是分析系統(tǒng)各部門之間相互輸入(投入)和輸出(產出)的產品的數量關系.當我們考慮一個經濟體系時,會發(fā)現(xiàn)每種產業(yè)都需要使用其他產業(yè)的“產出”作為自己的原材料,反過來,它所“產出”的產品又必然是某些別的產業(yè)的“投入”,從而構成了相互依賴的關系.比如,把一個經濟體系分成農業(yè)、工業(yè)和服務業(yè)三大部分,農業(yè)要利用服務業(yè)(如運輸)和工業(yè)(如農機)的“產出”,反過來,服務業(yè)與工業(yè)當然也要用到農業(yè)產品作為它們的“投入”.那么,如何把各部門的投入來源和產出去向縱橫交叉地編制成投入產出表?如何根據投入產出表的平衡關系,建立投入產出模型?如何借助投入產出表和投入產出模型進行各種經濟分析?這些正是我們要學習的內容.總產值價值形成問題的數學模型從表6-1可以歸納出以下基本的平衡關系:(1)從縱向看,中間投入+最初投入=總投入.以工業(yè)部門為例(第一列),工業(yè)部門消耗了它自身的投入3萬億元,消耗了來自農業(yè)部門的投入1.5萬億元,消耗了來自服務業(yè)的投入1.5萬億元,同時,它的最初投入為9萬億元,則它的總投入量為15萬億元.(2)從橫向看,中間使用+最終需求=總產出.以農業(yè)部門為例(第二行),農業(yè)部門向工業(yè)部門的輸出為1.5萬億元,向它自身的輸出為1.8萬億元,向服務業(yè)的輸出為2萬億元,同時,它向其他機構(如政府、出口等)的輸出(最終需求)為0.7萬億元,則它的總產出為6萬億元.(3)每一個部門的總投入等于該部門的總產出.定義6.1計算每個部門總產出1元價值的產品時,將相應各部門向該部門的直接輸出所占的比例稱為直接消耗系數.直接消耗系數是常數.由表6-1可知，工業(yè)部門的總產出為15萬億元,而工業(yè)生產過程中所消耗的農業(yè)產品為1.5萬億元,所以單位工業(yè)產品所消耗的農業(yè)產品為0.1元.類似地,將三個部門的中間投入數據分別除以本部門的總產出,便可得到直接消耗系數表,見表6-2.表6-2直接消耗系數表產出投入中間使用總產出工業(yè)農業(yè)服務業(yè)中間投入工業(yè)農業(yè)服務業(yè)QUOTE315315=0.2QUOTE1.5151.QUOTE1.5151.QUOTE0.660.QUOTE1.861.QUOTE0.660.QUOTE110110=0.1QUOTE210210=0.2QUOTE410410=0.415610顯然,直接消耗系數表示每生產單位價值產品所需直接消耗的各部門產品的價值,它是對產業(yè)結構進行預測或規(guī)劃工作的基礎.比如,若設工業(yè)、農業(yè)和服務業(yè)的計劃總產出分別為x1萬億元、x2萬億元和x3萬億元,由表6-2便可得計劃投入產出表,見表6-3.表6-3計劃投入產出表單位:萬億元產出投入中間使用最終需求總產出工業(yè)農業(yè)服務業(yè)中間投入工業(yè)農業(yè)服務業(yè)0.2x10.1x10.1x10.1x20.3x20.1x20.1x30.2x30.4x333816x1x2x3于是,根據投入產出表的平衡關系,有以下消耗平衡方程組QUOTE0.2x1+0.1整理,得QUOTE0.8x1－0投入產出方程組的矩陣表示三元一次方程組(6.2)又稱為線性方程組，從引例6.的解決過程不難發(fā)現(xiàn)，投入產出問題的本質是將問題轉化為求解一個線性方程組.直接消耗系數表和最終需求(表6-3)可以用矩陣表示如下：，稱矩陣A為投入產出問題的直接消耗系數矩陣.顯然,aij表示每生產單位價值第j種產品所需直接消耗的第i種產品的價值.投入產出方程組(6.1)可以表示為整理得(I－A)X=Y.(6.3)式(6.6)即為方程組(6.2)的矩陣形式,稱為矩陣方程.如果矩陣I－A可逆,則在矩陣方程(6.6)兩邊同時左乘矩陣(I－A)-1,可得解的矩陣表示為X=(I－A)-1Y(6.4)其中,(I－A)-1為矩陣I－A的逆矩陣,稱為里昂惕夫逆矩陣.求解一個投入產出方程組,通常用逆矩陣法:先求出里昂惕夫逆矩陣(I－A)-1,再利用式(6.4)求出X.利用Excel中的minverse函數和mmult函數求解上述方程組,得x1=50,x2=30,x3=40.所以,當工業(yè)、農業(yè)和服務業(yè)面臨的最終需求分別為33萬億元、8萬億元和16萬億元時,三個部門的總產出應該為50萬億元、30萬億元和40萬億元.完全消耗系數矩陣記表示單位價值的為完全消耗系數矩陣，其計算公式如下：。針對表一數據的完全消耗系數矩陣B為。矩陣B從更深層次上揭示了各產業(yè)部門間的相互依賴關系，如：若工業(yè)部門面臨的最終需求增加1元，那么不僅要增加0.2元工業(yè)產品、0.1元的農業(yè)產品和0.1元服務業(yè)產品作為直接消耗，而且還將有約0.12(0.32-0.2)元工業(yè)產品、0.16(0.26-0.1)元農業(yè)產品和0.16(0.26-0.1)元服務業(yè)產品作為間接消耗。這表明，在統(tǒng)籌產品部門的經濟結構時，要充分考慮各個部門的承受能力，協(xié)調發(fā)展，這對經濟系統(tǒng)的計劃決策是十分重要而有意義的。二、企業(yè)產銷預測模型1．問題的提出某企業(yè)2009年的投入產出表如下(單位：萬元)。2011年計劃三種產品的庫存量不變，銷售量分別比2009年增加30%、20%、40%，試預測該企業(yè)的總產品、中間產品、外購產品的投入產出情況。表6-42009年投入產出表(萬元)產出投入中間產品最終產品總產品產品1產品2產品3庫存銷售產品1--4912924410551819產品2----29139920112701產品3------3717061077最終投入外購產品910760302其它投入9091450455總投入1819270110772．解決方案根據表6-4，求得直接消耗系數矩陣為，而2011年三種產品的最終產出分別為設2011年三種產品的總產值則解得即2011年三種產品的總產值分別為2230.1萬元、3179.5萬元和1359.4萬元。下面討論該企業(yè)2011年中間產品和外購產品的投入產出情況。以產品2為例，2011年產品2的總投入為3179.5萬元，而單位價值產品2所消耗的產品1為0.1818元(見直接消耗系數矩陣)，所以，2011年產品2所消耗的產品1價值為3179.5×0.1818=578萬元。類似地，可得2011年的中間產品使用情況表(見表8-6)。由表6-4，可得三種產品生產過程中外購產品占總投入的比例系數分別為0.5003、0.2814和0.2804，所以2011年三種產品生產過程中的外購產品價值分別為1115.7萬元、894.6萬元和381.2萬元。類似可得2011年其他投入分別為1114.4萬元、1706.9萬元和574.3萬元。匯總以上數據，得該企業(yè)2011年的投入產出情況表，見表6-5。表6-52011年投入產出表產出投入中間產品最終產品總產品產品1產品2產品3庫存銷售產品1--578.036.62441371.52230.1產品2----367.33992413.23179.5產品3------371988.41359.4最終投入外購產品1115.7894.6381.2其它投入1114.41706.9574.3總投入2230.13179.51359.4可見，總產品、中間產品、外購產品以及其它投入(如折舊、利潤稅金、企業(yè)管理費和工資等)會隨著三種產品的銷量增長而增長。習題1.表6-7是某經濟體系中A、B兩個部門的投入產出資料,如果最終需求變成對A為210百萬元,對B為147百萬元,那么這個經濟體系中各部門的總產出是多少?表6-7投入產出表單位:百萬元產出投入使用方最終需求總產出AB生產方AB1206040401401003002002.對由M(制造)、L(勞動)和A(農業(yè))三個部門組成的經濟體系進行調查,它們的產品投入產出分析資料如表6-8所示.表6-8投入產出表單位:億元產出投入買方最終需求總產出MLA賣方MLA12030667.5112.59201030392.5297.5155600450200當對M、L和A的最終需求變?yōu)?50億元、330億元和67億元時,列出相應的表格,建立方程組,然后求出M、L和A新的總產出是多少.3.假定國民經濟分為農業(yè)、工業(yè)和其他三個部門,其投入產出的相互關系見表6-9.表6-9投入產出表單位:億元中間產品最終產品總產出農業(yè)工業(yè)其他中間投入農業(yè)工業(yè)其他3249469046606900865039001150700050007845141219414191443446122974增加值6545150119824總投入191443446122974又假定計劃年度內,農業(yè)、工業(yè)和其他三個部門的增加值指標分別為8433億元、15067億元、9885億元.試就下列問題進行討論:(1)為實現(xiàn)各部門的計劃指標,三個部門應分別生產多少總產出?(2)為實現(xiàn)各部門的計劃指標,三個部門生產及相互提供的中間產品是多少?(3)為實現(xiàn)各部門的計劃指標,各部門的最終使用產品將達到多少?第四講最優(yōu)配置與最佳效果分析-------安排生產問題及解決方案教學目標：掌握安排生產問題的解決方案。教學內容：討論安排生產問題問題，線性規(guī)劃概念及圖解法。教學重點：建立線性規(guī)劃模型教學難點：安排生產問題與線性規(guī)劃模型的聯(lián)系一、問題引入引例：美國空軍為了保證士兵的營養(yǎng)，規(guī)定每餐的食品中，要保證一定的營養(yǎng)成份，例如蛋白質、脂肪、維生素等等，都有定量的規(guī)定。當然這些營養(yǎng)成分可以由各種不同的食物來提供，例如牛奶提供蛋白質和維生素，黃油提供蛋白質和脂肪，胡蘿卜提供維生素，等等。由于戰(zhàn)爭條件的限制，食品種類有限，又要盡量降低成本，于是在一盒套餐中，如何決定各種食品的數量，使得既能滿足營養(yǎng)成分的需求，又可以降低成本？問題分析：在本例中要利用有限的資源，去使得一份套餐既能滿足營養(yǎng)要求又可以降低成本。用數學語言來說，就是在一定的約束條件下，求線性函數的最大和最小值問題。更加廣義的來看待配餐問題，我們知道，現(xiàn)代的企業(yè)管理問題千變萬化，企業(yè)內部的生產計劃有各種不同的情況。從空間層次看，在工廠要根據外部需求和內部設備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標制定產品的生產計劃，在車間級則要根據產品生產計劃、工藝流程、資源約束及費用參數等，以最小成本為目標制定生產批量計劃。而這類問題都可以通過建立相應的線性規(guī)劃模型來解決。那么，什么是線性規(guī)劃？怎樣建立線性規(guī)劃模型？這正是我們要學習的內容。二、典型問題解決方案案例1：某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，要用、、3種不同的原料．從工藝資料知道：每生產1噸甲產品，需耗用3種原料分別為1，1，0單位；生產1噸乙產品，需耗用3種原料分別為1，2，1單位．每天原料供應的能力分別為6，8，3單位．又知道每生產1噸甲產品，企業(yè)的利潤收入為300元，每生產1噸乙產品，企業(yè)利潤收入為400元．那么該企業(yè)應該如何安排生產計劃，使一天的總利潤最大呢？解決方案：設企業(yè)每天生產甲產品為噸，生產乙產品為噸，稱，為決策變量，他們不能任意取值，要受到可供利用的原料資源數量的限制．又因為產品的產量一般是一個非負數，所以有，，稱為非負約束．由于生產1噸甲產品需耗用3種原料分別為1，1，0單位，因而生產噸甲產品需要耗用3種原料分別為，，0單位；由于生產1噸乙產品需耗用3種原料分別為1，2，1單位，因而生產噸乙產品需要耗用3種原料分別為，2，單位．又因為每天3種原料的供應能力分別為6，8，3單位，所以當企業(yè)每天生產甲產品噸，乙產品噸時，對于原料、、，我們有如下的不等式：原料：，原料：，原料：.上面得到的3種原料的線性不等式是決策變量，取值所必須滿足的條件，它們約束了決策變量，不能取任意值，稱它們?yōu)榧s束條件．容易看出，滿足約束條件的變量，的值不唯一，即表示約束條件的線性不等式組有無窮多組解．如是一組解，此外也是一組解，還可以找出許多．這說明僅考慮到原料供應量的制約，對生產的安排是有選擇余地的．這些安排生產的方案都是可行的，應該從中挑選出最優(yōu)方案．那么，根據什么挑選最優(yōu)方案？由于每一個可行方案，即每一組滿足約束條件的變量值，都對應一個兩種產品的總利潤，在一般情況下，不同可行方案所對應的總利潤也不相同，所以應該找出使得總利潤最大的可行方案，這就是最優(yōu)方案．由于生產1噸甲產品企業(yè)的利潤收入為300元，生產1噸乙產品企業(yè)的利潤收入為400元．于是甲乙兩種產品的總利潤為元，它是決策變量，的線性函數，稱函數為目標函數．這樣，最優(yōu)方案就是使得目標函數最大的可行方案．綜上所述，得到描述原問題的數學模型如下：（1）利用Excel求解可得，當時，取得最大值元．線性規(guī)劃的相關概念從引例1可知最優(yōu)化問題就是在給定條件下尋找最優(yōu)方案的問題，其數學模型由三部分組成的：=1\*GB3①決策變量；=2\*GB3②目標函數；=3\*GB3③約束條件．進一步，如果目標函數和約束條件均為線性關系，我們把這樣的最優(yōu)化問題稱為線性規(guī)劃問題，條件=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③稱為線性規(guī)劃問題的三要素．=1\*GB3①決策變量決策變量是指最優(yōu)化問題中所涉及的與約束條件和目標函數有關的待確定的量.一般來說，它們都有一些限制條件（約束條件），與目標函數緊密關聯(lián).如引例2企業(yè)生產的甲、乙兩種產品數量,是兩個決策變量，決策變量一般表示為.=2\*GB3②目標函數線性規(guī)劃問題中與變量有關的可以是求最大值，也可以是求最小值的函數稱為目標函數，例如，若目標函數表示生產費用，則希望生產費用最?。疅o論目標函數是最大還是最小，總之是希望目標函數達到最優(yōu)．目標函數一般表達式為：.=3\*GB3③約束條件在最優(yōu)化問題中，求目標函數的最值時，決策變量必須滿足的限制稱為約束條件.例如，許多實際問題變量要求必須非負，這是一種限制；在產品的安排生產問題時，產品的產量受到原材料、人力資源的限制等.在研究問題時，這些限制我們必須用數學表達式準確地描述它們.約束條件按照表達式可分為等式約束和不等式約束：不等式約束;等式約束.綜上所述，本章將要討論的線性規(guī)劃問題的數學模型可表示如下(7.1)在線性規(guī)劃問題模型中，滿足約束條件的解稱為可行解，所有可行解的集合稱為可行集；使目標函數取值最大或最小的可行解稱為最優(yōu)解，對應于最優(yōu)解的目標函數值稱為最優(yōu)值．三、圖解法學習圖解法的主要目的在于幫助理解線性規(guī)劃問題解的性質.下面首先通過一個具體實例來說明圖解法的原理和步驟.例7.1求解線性規(guī)劃問題解(1)建立平面直角坐標系，畫出可行域.因為，所以滿足約束條件的點都落在第一象限及坐標軸的正半軸上.在坐標系中畫出直線，這條直線將整個坐標平面分成兩個半平面，顯然，坐標原點滿足不等式，所以，滿足約束條件的所有點落在直線上及原點所在一側的半平面內.同理，滿足約束條件的所有點位于直線上及以該直線為分割線的原點所在一側的半平面內；滿足約束條件的所有點位于直線上及以該直線為分割線的原點所在一側的半平面內.上述三個平面點集在第一象限的交集即為可行域（包含邊界），如圖7-1.可行域內任意一點的坐標都是該線性規(guī)劃問題的可行解.圖7-1可行域圖(2)繪制目標函數等值線.在幾何上，目標函數代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對應一個值.落在同一條直線上的點，如果又落在可行域上，那么這樣的點就是具有相同目標函數值的可行解，所以平行直線族中的每一條直線又稱為等值線.試探性給定值，如、，畫出相應的等值線，如圖7-1.不難發(fā)現(xiàn)，等值線離原點越遠，的值越大.(3)確定最優(yōu)解.最優(yōu)解必須是滿足約束條件，并使目標函數達到最優(yōu)值的解，故的值只能在可行域中去尋找.當等值線由原點開始向右上方移動時，的值逐漸增大，于是，當移動到與可行域相切時，切點就是代表最優(yōu)解的點.本例中等值線與可行域的切點為，點是直線和的交點，坐標為，所以，最優(yōu)解為，最優(yōu)值為19.通過例7.1，不難總結出圖解法的基本步驟如下：（1）根據約束條件畫出可行域；（2）根據目標函數的表達式畫出目標函數等值線，并標明目標函數值增加的方向；（3）在可行域中，尋求符合要求的等值線與可行域邊界相切的點或點集，并求出最優(yōu)解和最優(yōu)值.例7.2某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100g含蛋白質6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100g含蛋白質3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質和10個單位的淀粉.問：應如何配制盒飯，才既科學又費用最少?1.模型建立決策變量：設每盒盒飯需要面食（百克），米食（百克）.目標函數：使費用最少，即.約束條件：營養(yǎng)需求約束：每盒盒飯至少需要含有8個單位的蛋白質和10個單位的淀粉，故可得非負約束：每盒盒飯需要面食和米食的重量均必須大于等于0，所以有綜上所述，得藥品生產問題的數學規(guī)劃模型為：2.圖解法求解(1)建立平面直角坐標系，根據約束條件畫出可行域，如圖7-2所示.圖7-2配餐問題的可行域圖(2)目標函數代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對應一個值，如圖中虛線所示.(3)本例中等值線與可行域的切點為，此時目標函數取得最小值，點是直線和的交點，坐標為，所以，最優(yōu)解為，最優(yōu)值為.因此，當每盒盒飯面食（百克），米食（百克）時既符合營養(yǎng)要求又費用最少，最少費用為元.例7.3某工廠在計劃期內要安排生產=1\*ROMANI、=2\*ROMANII兩種產品的生產，已知生產單位產品所需的設備臺時及A、B兩種原材料的消耗、資源的限制，如下表：表7-1產品的消耗、資源的限制表=1\*ROMANI=2\*ROMANII資源限制設備11300（臺時）原料A21400（千克）原料B01250（千克）單位產品獲利（元）50100問：工廠應分別生產多少單位=1\*ROMANI、=2\*ROMANII產品才能使工廠獲利最多？1.模型建立決策變量：設產品=1\*ROMANI生產單位，產品=2\*ROMANII生產單位.目標函數：要使得獲利最多，即約束條件：資源限制約束：設備的最多可用臺時為300臺時，即同理，原料A、B的消耗量不能超過資源限制，因此可得非負約束：每種原料的含量均必須大于等于0，所以有綜上所述，得藥品生產問題的數學規(guī)劃模型為：2.圖解法求解(1)建立平面直角坐標系，根據約束條件畫出可行域，如圖所示.圖7-3安排生產問題的可行域圖(2)目標函數代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對應一個值，如圖中直線.(3)本例中等值線與可行域的切點為，點是直線和的交點，坐標為，所以，最優(yōu)解為，最優(yōu)值為27500.因此，當工廠生產產品=1\*ROMANI：50單位，=2\*ROMANII：250單位時，獲得最大利潤為27500元.線性規(guī)劃問題解的性質圖解法雖然只能用來求解只含兩個變量的線性規(guī)劃問題，但通過它的解題思路和幾何直觀所得到的一些性質，對線性規(guī)劃問題解的理解有很大的幫助.一般地，含兩個變量的線性規(guī)劃問題的解有下面四種情況：（1）有可行解且有唯一最優(yōu)解；（2）有可行解且有無窮多最優(yōu)解；（3）有可行解但無最優(yōu)解；（4）無可行解.同時，若線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，它一定在可行域的某個頂點得到，若在兩個頂點同時得到最優(yōu)解，則它們連線段上的任意一點都是最優(yōu)解，即有無窮多最優(yōu)解.上述結論可以推廣到變量多于兩個的一般情形，得線性規(guī)劃問題解的性質如下：性質1求解線性規(guī)劃問題時，解的情況有：唯一最優(yōu)解、無窮多最優(yōu)解、無界解、無可行解.性質2若線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則最優(yōu)解或最優(yōu)解之一（如果有無窮多最優(yōu)解）一定可以在基可行解(頂點)中找到.習題1．試述線性規(guī)劃問題數學模型的組成部分及特征，判別下列數學模型是否為線性規(guī)劃模型（模型中為常數，為可取某一常數值的參變量，為變量）。2.考慮如表9.2所示的生產計劃問題，建立線性規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)生產方案。表9.23某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時1h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2h.該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，問工廠應如何安排生產，以使得總利潤最大？4．某礦山車隊有4輛載重量為10t的甲型卡車和7輛載重量為6t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠，已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?5．某家具制造廠生產五種不同規(guī)格的家具，每件家具都要經過機械成型、打磨和上漆等主要生產工序。每種家具在每道工序所使用的時間、每道工序的可用時間、每種家具的利潤等數據如下表9.3所示。問工廠應如何安排生產，才能使總利潤最大？表9.3家具生產數據表長沙民政職業(yè)技術學院教案課程名稱長沙民政職業(yè)技術學院教案經濟數學課題描述性統(tǒng)計分析授課課時2課型新授課教案編號教學目標（知識、技能、素質）：1、知識目標：掌握基本統(tǒng)計量及線性相關的度量。2、技能目標：分析解決問題的能力和嚴謹的邏輯思維能力3、素質目標：培養(yǎng)學生理性的思維方式和數學應用意識教學重點：掌握基本統(tǒng)計量，散點圖和相關系數教學難點：隨機變量的分布形狀，用EXCEL求常用統(tǒng)計量主要教學方法：啟發(fā)引導式、講授法教學環(huán)節(jié)與內容一、問題引入統(tǒng)計在日常生活和各類職業(yè)中有著廣泛的應用，例如，在社會學領域，需要調查青年對婚姻家庭、經濟收入、相貌等因素的態(tài)度以便進行正確引導；在康復醫(yī)療領域，需要對患有抑郁癥的病人，按照測量得到的指標，進行恰當地歸類以便進行有針對性的治療；在經濟活動中，需要考慮商品的市場反應與價格、消費者收入和廣告等因素之間的相互關系，以及建立數學模型進行預測等問題。二、新課講授（1）重要統(tǒng)計概念在一個描述性統(tǒng)計問題中，往往涉及到三個主要概念：總體、樣本以及描述性統(tǒng)計。定義1：總體是指研究對象的某一個指標(或多個)全體，組成總體的每一個單元稱為個體，總體中所包含個體的總數稱為總體容量。定義2：在總體中隨機地抽取n個個體，記其指標值為X1,X2,…,Xn，則X1,X2,…,Xn稱為總體的一個樣本，n稱為樣本容量，樣本中的個體稱為樣品。（2）常用統(tǒng)計量定義5統(tǒng)計量是統(tǒng)計理論中用來對數據進行分析、檢驗的變量。=1\*romani）中心趨勢中心趨勢又稱為定位度量或者平均數，是一組數據典型的或者有代表意義的值。由于這些典型值趨向于落在根據數值大小排列的數據的中心，因此被稱為中心趨勢度量?？梢远x中心趨勢的統(tǒng)計量包括：算數平均數、幾何平均數、中位數和眾數等。算數平均數(簡稱為樣本均值)：設一個樣本的觀測值為，樣本算數平均數記為，則有.其中，符號“”表示將記作的意思，讀成“記作”。幾何平均數：度量平均值的另一種方法，特別是在計算平均增長率、平均收益率時被經常使用。中位數：把所有觀測值依序排列(遞增或遞減)，位于最中間的觀測值就是中位數。當觀測值個數為偶數時，則中位數是位于中間的兩個觀測值的平均數。眾數：樣本觀測值中發(fā)生次數最多的觀測值。使用眾數作為中心趨勢統(tǒng)計量，會有兩個問題：第一，在一個小樣本內，它可能不是一個很好的觀測值；第二，它可能不唯一。例9.1求引例9.1牙膏銷售問題中的本公司銷售價格的平均價格，價格的眾數和中位數？解平均價格；因為本公司銷售價格3.7元出現(xiàn)的次數最多，所以眾數；將本公司銷售價格從低到高排序，第15位、第16位都是3.75，因此中位數.對于一組數據，僅僅知道平均數、眾數、中位數等這些描述數據中心趨勢的統(tǒng)計量還不夠，還需知道數據的分散程度.描述數據的分散程度的常用統(tǒng)計量有極差、樣本方差和樣本標準差等.=2\*romanii）離散趨勢除了知道中心趨勢外，對數據進行統(tǒng)計描述還需要知道數據圍繞中心點是如何分散的，稱之為離散趨勢。常用的統(tǒng)計量有：極差、樣本方差、樣本標準差和方差系數等。極差：樣本最大觀測值和最小觀測值之間的差。樣本方差：一個樣本的觀測值為，樣本算數平均數記為，樣本方差記為，則有.需要注意的是，樣本方差的計算公式中，是使用偏差平方和除以，而不是除以，這是因為我們在用樣本估計總體時，除以所建立起的統(tǒng)計量是對總體方差更好的估計。樣本標準差：樣本方差的算術平方根，即。樣本方差在比較兩組或者更多組數據的離散程度時，是一個很好的統(tǒng)計量。通常，樣本方差越大，代表數據本身的離散程度越大。而樣本標準差則可以幫助我們了解數據大致集中在哪個區(qū)域。方差(或標準差)能較好的反映出數據的離散程度，是描述一組數據變異程度或離散程度大小的重要指標.例9.2求引例9.1牙膏銷售問題中的本公司銷售價格的極差、方差和標準差.解因為本公司銷售價格的最大值為3.9，最小值為3.55，所以極差為R=3.9－3.55=0.35,,.方差系數：樣本觀測值的標準差除以樣本均值的結果，即.例9.3表3-7給出了東風汽車和上海機場兩種股票在12個交易日的價格，試比較兩種股票價格在這12個交易日內的活躍程度。表3-7兩只股票12個交易日的價格表日期東風汽車上海機場日期東風汽車上海機場200503103.1716.06200503182.9716.52200503113.1616.55200503212.9416.65200503143.1017.27200503222.71171016.82200503232.7416.90200503163.0916.60200503242.7616.86200503173.0216.65200503252.7516.79解分別計算兩組樣本均值，樣本標準差和方差系數，得東風汽車：均值為2.96，標準差為0.176，方差系數為0.059；上海機場：均值為16.74，標準差為0.316，方差系數為0.019。如果從標準差來看，上海機場的股票活躍程度要大于東風汽車，但從方差系數來看，上海機場的方差系數僅為0.019，遠小于東風汽車的0.059。兩者存在矛盾是因為上海機場的股價要高于東風汽車，因此含有量綱的標準差就會偏高，而采用方差系數考慮了股價的均值，因此能更好地反映股價的活躍程度，因此可以從方差系數做出判斷，東風汽車股價的活躍度高于上海機場。=3\*romaniii）分布形狀隨機變量的分布形狀主要包括偏度和峰度。偏度：反映以平均值為中心的分布的不對稱程度的量，其計算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標準差，為樣本容量。若sk<0，則分布具有負偏態(tài)，此時數據位于均值左邊的比位于右邊的少，直觀表現(xiàn)為左邊的尾部相對于右邊的尾部要長，因為有少數變量值很小，使曲線左側尾部拖得很長.若sk>0，則分布具有正偏態(tài)，此時數據位于均值右邊的比位于左邊的少，直觀表現(xiàn)為右邊的尾部相對于左邊的尾部要長，因為有少數變量值很大，使曲線右側尾部拖得很長.而sk接近0則可認為分布是對稱的。如圖3-11所示。圖3-11三種偏態(tài)示意圖如果偏度表示的是數據分布的對稱程度，則峰度用來表述分布的尖銳度或者平坦度，用與正態(tài)分布的比較值來度量。峰度：反映與正態(tài)分布相比某一分布的尖銳度或平坦度，其計算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標準差，為樣本容量。若bk<0，則表示峰度比正態(tài)分布平坦；若bk>0，則表示峰度比正態(tài)分布陡峭；若bk=0，則表示峰度跟正態(tài)分布相同。如圖3-12所示。圖3-11三種峰度示意圖例9.4表3-8給出某股票在18個交易日的價格，試求該股票價格的偏度和峰度。表3-8某股票18個交易日的價格表日期價格日期價格日期價格200503106.4200503186.29200503285.97200503116.38200503216.16200503295.93200503146.44200503226.12200503305.94200503156.36200503236.08200503315.54200503166.24200503245.99200504015.36200503176.35200503255.93200504045.4解數據的偏度和峰度的計算公式較為復雜，我們可以借助EXCEL輔助計算。其中，偏度的EXCEL指令是“=SKEW(數據對象)”，峰度的EXCEL指令是“=KURT(數據對象)”。借助EXCEL求解，可得該股票價格的偏度，峰度為。說明股票價格成負偏態(tài)；峰度值接近于0，其陡峭程度與正態(tài)分布接近。事實上，由于上述統(tǒng)計量的應用十分廣泛，EXCEL在分析工具中專門編寫了“描述統(tǒng)計”指令來實現(xiàn)快速和智能化的計算，其調用步驟為：單擊【數據】中的【數據分析】命令，在彈出的數據分析對話框中，選中【描述統(tǒng)計】。注意：如果在【數據】中沒有見到【數據分析】選項，則要依次通過【文件】【選項】【加載項】【轉到】，在出現(xiàn)的【加載宏】對話框中選定【分析工具庫】。（3）相關分析與回歸分析現(xiàn)實生活中，事物之間存在相互關系.比如，職業(yè)種類和收入之間的關系、商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系、糧食產量與施肥量之間的關系、人體類內的脂肪含量與年齡之間的關系、工業(yè)產值與用電量等等.認識事物之間的關系可以對經濟現(xiàn)象進行預測和推斷.下面將介紹線性相關關系，并利用線性相關關系進行回歸分析.1.變量間相關關系的描述與度量什么是線性相關關系？由表9-1看出，隨著其他廠家平均價格與本公司銷售價格之差(即價格差)的增加，牙膏銷售量也在增加，這就說明牙膏銷售量與價格差有關系，但是這種關系不是我們以前研究過的函數關系.也就是說當一個變量(如價格差)確定后，無法確定另一個變量(如牙膏銷售量).相關關系是指變量之間確實存在密切關系，但是一個變量或幾個變量取的確定值時，不能求出另一個變量的確定值，而在大量的資料中，這種關系又具有統(tǒng)計規(guī)律性的關系.為了刻畫變量之間是否具有線性相關關系，可以通過散點圖直接觀察，也可以通過相關系數的大小進行判斷.=1\*GB2⑴散點圖用坐標的水平軸代表自變量，縱軸代表因變量，每組數據在坐標系中用一個點表示，組數據在坐標系中形成的個點稱為散點，由坐標及其散點形成的二維數據圖稱為散點圖(scatterdiagram).散點圖是描述變量之間關系的一種直觀方法，從中可以大體上看出變量之間的關系形態(tài)及關系強度.如果散點圖中的散點都大致分布在一條直線的周圍，這就說明變量之間存在線性相關關系，否則不存在線性相關關系.以引例9.1中所給的數據為例，得到牙膏銷售量對價格差及廣告費用的散點圖分別如圖9-1、圖9-2所示.圖9-1銷售量對價格差散點圖圖9-2銷售量對廣告費用散點圖由圖9-1、圖9-2可以看出，雖然數據點不全在一條直線上，但近似在一條直線附近.因此可以認為牙膏銷售量對價格差及廣告費用之間存在線性相關關系.=2\*GB2⑵相關系數相關系數(correlationcoefficient)是對變量之間線性關系密切程度的度量.若變量的個數據，，則變量相關系數r的計算公式為.其中.可以證明，相關系數的取值范圍在+1和－1之間，即.若，表明變量之間存在正線性相關關系；若，表明變量之間存在負線性相關關系.當時，變量可視為高度相關;時，變量可視為中度相關;時，變量可視為低度相關;當時，說明變量之間的相關程度極弱，可視為不線性相關.例9.5根據表9-1中所給的數據，計算牙膏銷售量和價格差以及牙膏銷售量和廣告費用之間的相關系數.解牙膏銷售量和價格差之間的相關系數為.牙膏銷售量和廣告費用之間的相關系數為.從牙膏銷售量對價格差及廣告費用之間的相關系數可知，牙膏銷售量對價格差及廣告費用是高度相關的，它們之間有比較明顯的線性相關關系.一般地，越接近于1，線性關系越顯著，用一條直線來描述它們之間的相關關系就越有意義.越接近于0，線性關系越不顯著，用一條直線來描述它們之間的相關關系則意義不大.但這種解釋必須建立在對相關系數的顯著性進行檢驗的基礎之上.從相關系數的計算公式不難發(fā)現(xiàn)，根據數據計算兩個變量的相關系數的計算量比較大，在實際應用過程中，我們可通過EXCEL的CORREL函數求兩組數據的相關系數.課后小記長沙民政職業(yè)技術學院教案課程名稱長沙民政職業(yè)技術學院教案經濟數學課題相關分析與線性回歸授課課時2課型新授課教案編號教學目標（知識、技能、素質）：1、知識目標：掌握相關分析的含義及相關系數的計算；掌握一元線性回歸和多元線性回歸的過程2、技能目標：分析解決問題的能力和嚴謹的邏輯思維能力3、素質目標：培養(yǎng)學生理性的思維方式和數學應用意識教學重點：相關系數的計算；一元線性回歸和多元線性回歸方法教學難點：多元線性回歸方法主要教學方法：啟發(fā)引導式、講授法教學環(huán)節(jié)與內容一、新課講授回歸分析的含義相關分析研究的是現(xiàn)象之間是否相關、相關的方向和密切程度，而回歸分析則要分析現(xiàn)象之間相關的具體形式，確定其因果關系，并用數學模型來表現(xiàn)其具體關系?；貧w的種類=1\*romani）根據自變量的個數，可分為一元回歸與多元回歸=2\*romanii）根據回歸的表現(xiàn)形式，可分為線性回歸與非線性回歸一元線性回歸設隨機變量與之間存在著線性相關關系。這里，是可以控制或可以精確觀測的變量，如年齡、試驗時的溫度、電壓等。對于的一組不完全相同的值，作獨立試驗得到n對觀測結果，其中，是處對隨機變量的觀測結果，構成一個容量為n的樣本。我們假定與之間有如下關系：其中，表示所有的隨機因素對影響的總和(也稱為隨機誤差)，并假定是一組相互獨立且同分布的隨機變量。則一元線性回歸的任務就是從樣本出發(fā)去估計上式中的未知參數。案例1從我校學生中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表3-9所示。表3-9隨機選取的8名女大學生身高與體重數據編號12345678身高/cm150152157160162165168170體重/kg4350485761545964試求根據女大學生的身高預報體重的回歸方程，并預報身高為172cm的女大學生的體重。解由于問題中要求根據身高預報體重，因此選取身高為自變量x，體重為因變量y，設一元線性回歸方程為：，其中，分別是的估計值。當變量取時，可以得到，它與實際體重之間的偏差是(如圖3-12所示).若記,則問題轉化為：當取什么值時使Q值最小，即總體偏差最小。也可以理解為確定回歸直線，使得樣本數據的點到它的距離的平方和最小。這一方法叫做最小二乘法。圖3-12據最小二乘法的思想和數學推導，可得回歸系數在本例中，，因此，.于是，得到回歸方程.據此可以預測，對于身高172cm的女大學生，其體重的估計值為(kg).顯然，身高172cm的女大學生的體重不一定是64.357kg，但一般可以認為她的體重接近于64.357kg，圖3-12中的樣本點和回歸直線的相互位置說明了這一點。在實際應用中，通過回歸方程得到的預報值與實測值之間會有一個誤差，該誤差的產生可歸結為以下兩個原因：(1)預報值與實測值之間會產生一個隨機誤差。因為一個人的體重除了受身高的影響外，還受到許多其他因素的影響，如飲食習慣、是否喜歡運動等。這些因素對預報值的干擾即產生了隨機誤差。(2)根據回歸系數公式得到的估計值，它們與真是值之間也存在誤差。對于任何一組實驗數據，不管它們實際上是否存在線性關系，我們都可以用最小二乘法在形式上得到y(tǒng)對x的回歸方程，這顯然有問題。因此，還需要對隨機變量y與非隨機變量x之間的線性關系的存在性進行統(tǒng)計檢驗。對于統(tǒng)計檢驗的數學原理，我們不做介紹，這里只根據EXCEL求解結果分析回歸模型的有效性。單擊【數據】中的【數據分析】選項，選中【回歸】，按要求輸入數據，選擇求解參數(置信度定為95%)，可得回歸分析的部分結果如表3-10所示(詳細求解方法見實訓三)。表3-10例9的EXCEL求解結果回歸系數估計值置信區(qū)間－83.0714[－161.3310,－4.8118]0.8571[0.3699,1.3443]r=0.8692,R2=0.7554,SignificanceF=0.0051表3-10顯示，相關系數r=0.8692，說明身高與體重高度線性相關。R2表示身高變量對于體重變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好。在例9中，R2=0.7554，表明“女大學生的身高解釋了75.54%的體重變化”，或者說“女大學生的體重差異有64%是由身高引起的”。SignificanceF對應的是在顯著性水平下的模型棄真概率，即模型為不可靠的概率。顯然，SignificanceF的值越小越好，本例中，其值為0.0051，故置信度達到99.49%。表3-10不僅給出了回歸系數的估計值，還給出了回歸系數的置信度為95%的置信區(qū)間，即我們可以有95%的把握保證回歸系數，。多元線性回歸在線性回歸分析中，如果有兩個或兩個以上的自變量，就稱為多元線性回歸。案例3某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產品市場，有效地管理庫存，公司董事會要求銷售部門根據市場調查，找出公司生產的牙膏銷售量與銷售價格、廣告投人等之間的關系，從而預測出在不同價格和廣告費用下的銷售量。為此，銷售部的研究人員收集了過去30個銷售周期(每個銷售周期為4周)公司生產的牙膏的銷售量、銷售價格、投人的廣告費用，以及同期其它廠家生產的同類牙膏的市場平均銷售價格，見表3-11。試根據這些數據，分析牙膏銷售量與這些因素之間的關系，為制訂價格策略和廣告投人策略提供數量依據。表3-11牙膏銷售量與銷售價格、廣告費用等數據銷售周期公司銷售價格其他廠家平均價格（元）廣告費用（百萬元）價格差（元）銷售量（百萬支）13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.5133.704.307.250.609.5243.703.705.500.007.5053.603.857.000.259.3363.603.806.500.208.2873.603.756.750.158.7583.803.855.250.057.8793.803.655.25-0.157.10103.854.006.000.158.00113.904.106.500.207.89123.904.005133.704.107.000.409.10143.754.206.900.458.86153.754.106.800.358.90163.804.106.800.308.87173.7009.26183.804.307.000.509.00193.704.106.800.408.75203.803.756.50-0.057.95213.803.756.25-0.057.65223.753.656.00-0.107.27233.703.906.500.208.00243.553.657.000.108.50253.604.106.800.508.75263.654.256.800.609.21273.703.656.50-0.058.27283.753.756.750.007.67293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.26注：價格差指其它廠家平均價格與公司銷售價格之差解由于牙膏是生活必需品，對大多數顧客來說，在購買同類產品的牙膏時更多地會在意不同品牌之間的價格差異，而不是它們的價格本身，因此，在研究各個因素對銷售量的影響時，用價格差代替公司銷售價格和其它廠家平均價格更為合適。記牙膏銷售量為，其它廠家平均價格與公司銷售價格之差(價格差)為，公司投入的廣告費用為,為了大致地分析與及的關系，首先利用表3-11的數據分別作出y對及的散點圖，如圖3-13和3-14。圖3-13銷售量對價格散點圖圖3-14銷售量對廣告費用散點圖從圖3-13及3-14可以發(fā)現(xiàn)，隨著、的增加，的值有比較明顯的線性增長趨勢，可用線性回歸模型來擬合銷售量與廣告費用及價格差二者之間的數量關系。借助Excel回歸分析工具，得到回歸分析結果如表3-12所示。表3-10例10的EXCEL求解結果回歸系數估計值置信區(qū)間4.8469[3.2986,6.3951]1.8061[1.1860,2.4261]0.4857[0.2332,0.7382]r=0.9316,R2=0.8678,SignificanceF=1.37×10-12根據表3-10的結果，得回歸方程模型為=4.8469+1.8061+0.4857相關系數r=0.9316,，說明牙膏銷售量與價格差、廣告費用高度線性相關。R2=0.8678表明“價格差和廣告費用兩個因素解釋了86.78%的銷售量的變化”。SignificanceF的值為1.37×10-12，故置信度幾乎達到100%。回歸系數的置信度為95%的置信區(qū)間分別為，，。一、問題引入時間序列的一個重要目的，就是要掌握事物發(fā)展變化的規(guī)律和趨勢，對客觀現(xiàn)象未來發(fā)展的可能狀態(tài)進行認識。二、新課講授（1）時間序列的概念時間序列是指反映客觀現(xiàn)象的同一指標在不同時間上的數值，按時間先后順序排列而形成的序列，它由兩個基本要素組成：一個是現(xiàn)象的所屬時間；另一個是反映該現(xiàn)象的同一指標在不同時間條件下的具體數值。也稱為時間數列，或動態(tài)數列。時間序列的一般形式是：時間順序:……指標數值:……例如，表3-11是國內生產總值及其部分構成統(tǒng)計表,為一個時間序列。 表3-11國內生產總值及其部分構成統(tǒng)計表 年份（年）國內生產總值（億元）第一產業(yè)增加值比重（%）年末人口總數（萬人）年均國內生產總值（元∕人）199558478.120.511211214584199667884.620.391223895576199774462.619.091236266054199878345.218.571247616308199982067.517.631257866551200089468.116.351267437086200197314.815.8412762776512002105172.315.3212845382142003117390.214.4212922791112004136875.915.1712998810561（2）時間序列的趨勢分析研究時間序列的一個重要目的，就是要掌握事物發(fā)展變化的規(guī)律和趨勢，對客觀現(xiàn)象未來發(fā)展的可能狀態(tài)進行認識。時間序列的趨勢分析提供了一系列有效的方法。時間序列的形成是各種不同的影響事物發(fā)展變化的因素共同作用的結果。影響事物發(fā)展變化的因素很多，有起決定性作用的基本因素，也有起臨時作用的、局部作用的偶然因素。影響時間序列的因素歸納起來有四類，即長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)波動和不規(guī)則變動。由于現(xiàn)階段較為成熟的趨勢分析的數學方法主要是對長期趨勢和季節(jié)變動的測定，故這里只介紹這兩種情形。1.長期趨勢：指客觀現(xiàn)象在一段較長時期內,持續(xù)呈現(xiàn)為同一方向發(fā)展變化的趨勢。2.季節(jié)變動：指客觀現(xiàn)象因受自然條件或社會經濟季節(jié)因素的影響，在一年或更短的時間內，隨時序變化而引起的有規(guī)律的周期性變動。一般以一年為周期，也有以月、周、日為周期的。（3）長期趨勢的測定測定長期趨勢就是用一定的方法對時間序列進行修勻，以消除序列中季節(jié)變動、循環(huán)波動和不規(guī)則變動等因素的影響，以顯示出現(xiàn)象變動的基本趨勢，作為預測的依據。=1\*romani）簡單平均法根據過去已有的n期觀測值通過簡單平均來預測下一期的數值的一種預測方法，稱為簡單平均法。設時間序列已有的n期觀測值為，則第期的預測值為,當有了第期的實際值，便可計算出第期的預測誤差。,且第n+2期的預測值為.案例1已知某商場2008~2014年的年銷售額如表3-12所示，試用簡單平均法預測2015年該商場的年銷售額。表3-12某商場2008~2015年銷售額年份2008200920102011201220132014銷售額(萬元)989610510199110103解根據簡單平均法的計算公式，可得即預測2015年該商場的年銷售額為101.71萬元。=2\*romanii）移動平均法移動平均法包括簡單移動平均法和加權移動平均法。簡單移動平均是將最近的k期觀測數據加以平均，作為下一期的預測值。設移動間隔為，則第n期的移動平均值為，它是對時間序列的平滑結果，通過這些平滑值就可以描述出時間序列的變化形態(tài)或趨勢。當然，也可以用它來進行預測。第n+1期的簡單移動平均預測值為.使用移動平均法分析時間序列的變化趨勢，關鍵在于移動步長(或叫移動項數)的選擇。=3\*romaniii）指數平滑法指數平滑法是對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法，指數平滑法有一次指數平滑、二次指數平滑、三次指數平滑等；由于二次指數平滑是在一次指數平滑的基礎上再平滑，三次指數平滑是在二次指數平滑的基礎上再平滑。設為第n期的實際觀察值，為第n期的預測值，為平滑系數，則第n+1期的預測值為.從該公式可知，是和的加權平均數，的取值決定和對的影響程度。當時，；當時，。因此，合理的取值十分重要。一般來說，如果數據波動較大，值應取大一些，可以增加近期數據對預測結果的影響；如果數據波動平穩(wěn)，值應取小一些。案例2已知某種產品最近15個月的銷售量如表3-14所示。試用一次指數平滑預測下一個月的銷售量。表3-14某產品最近15個月的銷售量時間序列123456789101112131415銷售量10158201016182022242026272929解為了分析加權系數的不同取值的特點，分別取計算一次指數平滑。當時，取,則,,…………..依次計算，得表3-15。表3-15一次指數平滑值計算表時間序列銷售量α=0.5α=0.7α=0.9110.00————215.0010.0010.0010.0038.0012.5013.5014.50420.0010.259.658.65510.0015.1316.9018.87616.0012.5612.0710.89718.0014.2814.8215.49820.0016.1417.0517.75922.0018.0719.1119.771024.0020.0421.1321.781120.0022.0223.1423.781226.0021.0120.9420.381327.0023.5024.4825.441429.0025.2526.2426.841529.0027.1328.1728.781628.0628.7528.98根據表3-15，分別取時，下一個月的銷售量預測值為28.06，28.75,28.98。課后小記長沙民政職業(yè)技術學院教案課程名稱長沙民政職業(yè)技術學院教案經濟數學課題邊際成本問題及解決方案授課課時2課型新授課教案編號教學目標（知識、技能、素質）：1、知識目標：掌握邊際成本、邊際函數的定義與計算,掌握邊際收益、邊際利潤的定義與計算2、技能目標：分析解決問題的能力和嚴謹的邏輯思維能力3、素質目標：培養(yǎng)學生理性的思維方式和數學應用意識教學重點：邊際成本、邊際函數的經濟意義,邊際收益、邊際利潤的計算以及導數的運算教學難點：理解邊際成本、邊際收益、邊際利潤的經濟意義,主要教學方法：啟發(fā)引導式、講授法教學環(huán)節(jié)與內容一、問題引入引例：從杭州開往南京的長途車即將出發(fā)。無論哪個公司的車，票價均為50元。一個匆匆趕來的乘客見一家國營公司的車上尚有空位，要求以30元上車，被拒絕了。他又找到一家也有空位的私人公司的車，售票員二話沒說，收了30元允許他上車了。哪家公司的行為更理性呢？問題分析：乍一看，私人公司允許這名乘客用30元享受50元的運輸服務，當然虧了。但如果用邊際分析法分析，私人公司的確比國營公司精明。當我們考慮是否讓這名乘客以30元的票價上車時，實際上我們應該考慮的是邊際成本和邊際收益這兩個概念。簡單地說，邊際分析就是把追加的成本（即邊際成本）和追加成本后增加的收入（即邊際收入或邊際收益）相比較，來分析選擇的“得”與“失”。邊際成本是增加一名乘客(自變量)所增加的收益