高等數(shù)學課后習題答案第十二章

習題十

1.寫出下列級數(shù)的一般項：

.111

1H----1----1----F???

⑴357；

y/xxXy/X一…

——+----+--------+

⑵22?42,4,62,4,6,8

a3a5a7a9

⑶牙—《+7一丁+…；

1

解:⑴6

2〃一1.

n

戶

U〃

(2)(2〃)！.

2n+l

a

(3)2〃+1.

2.求下列級數(shù)的和：

±產(chǎn)~--------------1-----------------

⑴"=1(x+〃-D(x+〃)(x+〃+1)；

00

):(+2—2J〃+1+\/~n)

(2)”=i；

__________1__________

(x+n-l)(x+n)(x+n+l)

1___1_______1___

2((x+〃-l)(x+〃)(x+〃)(x+〃+l).

]

2(x(x+l)(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)

+???-!-----------1---------------------1---------

(x+〃-l)(x+〃)(x+〃)(x+〃+l)

if11

—----------------------------------

從而2(x(x+l)(x+")(x+〃+l)

c1

limSn=-----------——

因此—2x(x+l),故級數(shù)的和為2x(x+l)

(2)因為""=(J〃+2-J"+l)-(J"+l-

s“=（百-夜H亞-&）+（4-百）-（6-逝）

+（逐--百）+…+（J”+2-J〃+l）-（J〃+1-VH）

>//?+2-Jz?+1+1-5/2

+1-V2

，〃+2++1

從而

limS=1-72

所以"+0,即級數(shù)的和為i—J5.

5

V）

(3)因為4

limSn=——

從而"f84,即級數(shù)的和為4.

3.判定下列級數(shù)的斂散性：

00

E（1n+1-0

⑴”=1

1I11

-------1-----------1------------F???H------------------------------F???

1-66111116（5〃一4）（5〃+1）

⑵

22223

-----F一

33

⑶333

1111

—I----產(chǎn)H----產(chǎn)+…-I----；=+…

（4）5百為V5

S”—（>/2—V1）^~（A/3—V2）^-***■*-（Vn-i-T—Vn）

=>/71+1-1

解：⑴

從而!吧s’4-00

,故級數(shù)發(fā)散.

1111111

S=-1----1-------F-------!-???+

"5661111165〃―45〃+1

⑵515〃+"

c11

limSn—

從而“f85,故原級數(shù)收斂，其和為5.

2

q——

(3)此級數(shù)為3的等比級數(shù)，且同＜1,故級數(shù)收斂.

U，，=赤l(xiāng)imU,,=lNO

(4)V73,而"T8,故級數(shù)發(fā)散.

4.利用柯西申斂原理判別下列級數(shù)的斂散性：

￡（一1產(chǎn)oocos/ir

n=1nz2"

（1）；⑵n=l

刈，+」———

⑶〃=113〃+13〃+23nq4-3/

解：（1）當P為偶數(shù)時，

當尸為奇數(shù)時，

因而，對于任何自然數(shù)P,都有

|u“+i+Un+2+???+t/,I+|<-i-<-

11n+1n

N=[1]+1

取民」,則當心N時，對任何自然數(shù)尸恒有+""+2+???+""+/<￡成立，由柯西審斂原理

?eX),

y（-ir'

知，級數(shù)"Tn收斂.

⑵對于任意自然數(shù)P,都有

log口

于是，？￡>0（0<￡<1）,?N=1?￡」，當心N時，對任意的自然數(shù)「都有+""+2+,,.+""+/<￡成立，由

柯西審斂原理知，該級數(shù)收斂.

⑶取P="，則

從而取”12,則對任意的"CN,都存在P="所得1"田+""+2+一,+0"+/>￡<>,由柯西審斂原理知，原級

數(shù)發(fā)散.

5.用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性.

111

---+----+??,+--------------+

⑴4.65-7(〃+3)(〃+5)

22

⑵1+21+31+〃2

8_

Vsin一

⑶〃TJ;

產(chǎn)一1

(Q〉0)

⑸〃=11+a

解：⑴?.?(〃+3)(〃+5)/

8100

而〃=1〃收斂，由比較審斂法知〃=】收斂.

-1+〃1+H1

U〃=---72----7=一

（2）v1+〃~n+nn

1

而"E=|〃發(fā)散，由比較審斂法知，原級數(shù)發(fā)散.

lim—二一=lim兀------=兀

1〃T871

(3)V3"3"

007_100.7_T

Z還\sm9

而”=2收斂，故"1。也收斂.

〃11

U,i=/<

，2+“一~

2

(4)vn

81

夕1

X-r=^

而I〃2收斂,故n=\42+〃收斂.

u[<]f￡]

⑸當°>1時，“]+。"。"，而“=|收斂，故"=|1+"，也收斂.

當日時，啖

'1822,級數(shù)發(fā)散.

1

limU“l(fā)im=1H0

n—>aon

當o<“<i時，”+°\+a,級數(shù)發(fā)散.

綜上所述，當a>l時，原級數(shù)收斂，當0<aWl時，原級數(shù)發(fā)散.

2

2"-1

lim=ln2<l

2'-1XT81_1

lim=ln2E

⑹由1°x知n而心|〃發(fā)散，由比較審斂法知發(fā)散.

6.用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:

2

(I/700n\

乙懣

n=1Z

(1)°;(2)?='3"+1

--------1----------H---------+???-!-------------F

⑶1,22-223-23幾?2〃

⑴“In

2IJ3"1,

U-ZLlim—limF=一<I

n2

〃fOO7J—>00

解：(1)3,uIJ?n3

由比值審斂法知，級數(shù)收斂.

則^=陽霽3〃+1

n\

3"+1

=lim(〃+1>

”->83n+l+1

⑵=+8

所以原級數(shù)發(fā)散.

Ue,,3,,+1n-2"

limlim-----------------

〃一>8U.—(?+1)-2n+,3"

3n

=lim

〃T82(n+l)

=->l

⑶2

所以原級數(shù)發(fā)散.

Hm媼=lim絲3?上

fU,(〃+l)2n-n!

n

n

lim2

rt-X?71+1

2<i

2lim--

n—>QO(e

1+-

(4)n

故原級數(shù)收斂.

7.用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:

yCO—1—

⑵

b,。均為正數(shù).

=lim-"=—>1

解:(1)“T8V“T83"+l3

故原級數(shù)發(fā)散.

lim=lim----J----=0<1

⑵“f8z81n(〃+1)

故原級數(shù)收斂.

n(2-?1

lim=lim

"TOOns

(3)3〃一1

故原級數(shù)收斂.

(lim—

lim《

?->ooy

⑷V“T0°ana

bbb

當txa時，a<1.原級數(shù)收斂；當b>a時,a>1,原級數(shù)發(fā)散；當反a時,4=1,無法判定其斂散性.

8.判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？

1118,i1

Z(-D"

i-~7=+-r---------------

V2V3V4ln(n+l).

(i)⑵a=l

11111

⑶53~5V+5F+"'

2"

Z(-iF'1

(ae

%-1產(chǎn)aR)

(4)Mn\⑸"=|n

1

H----F,??+_L3

3n

(6)si4n

u“=(-1)"」11

lim—=0

且滿足G斤，

解：(1)"J",級數(shù)"=i"是交錯級數(shù),"f7n,由萊布尼茨判別法

00001

00

?=1w=l“2

級數(shù)收斂，又〃-是P<1的P級數(shù)，所以"T發(fā)散,故原級數(shù)條件收斂.

111

Z(-ir'------------------>----------

n-]ln(〃+l)為交錯級數(shù)，且ln("+l)ln("+2).

lim——=0|U“|=--—>—

iln(〃+l),由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，但由于ln(/?+l)n+1

00

所以，"T發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.

⑶5-3民，顯然〃川〃=CP"I，，而〃=2是收斂的等比級數(shù)，故收

斂，所以原級數(shù)絕對收斂.

lim—=lim----=+oo

w->ocTJw—>oo>74-1

(4)因為口"n+l.

故可得得則

limU“#0

…,原級數(shù)發(fā)散.

￡*口1

⑸當a>l時，由級數(shù)"=1"收斂得原級數(shù)絕對收斂.

31111

/>7~=0

當(XaWl時，交錯級數(shù)"=in滿足條件：〃+"；"-8〃，由萊布尼茨判別法知級數(shù)收

t(-1F'

斂,但這時,,=|發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.

limU,產(chǎn)0

當a《0時，”fK,所以原級數(shù)發(fā)散.

r,111V1

⑹由于123nJnn

1

而E“=i〃發(fā)散，由此較審斂法知級數(shù)

1

+-+?..iw

3+nn發(fā)散.

￡

U.=

1+2L3L..Jn).

記n,則

即U〃>S+i

r〃1"111

limUn—lim1H---F-i-???4—

〃T823n

1rl

=——ax

又nJox

1

lim-[—dx=lim-=0

rH—/J。％fT+001

limU〃=0El1+1+1+...iw

+n

知，由萊布尼茨判別法，原級數(shù)"T、23n收斂，而且是條件收斂.

9.判別下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性.

Q0x8

〃T)1,向-3,3]；%,g。.

⑴n=lI⑵

aosinnx

z3〃

⑶n=1,工￡(-8,+8)；(4),w<5；

(cos/u

n=\-Vn5+x2

(5),%e(-oo,+co)

3"

(〃-1)/(〃-1)!,XG[-3,3],

解:⑴???

z83〃

而由比值審斂法可知“T收斂，所以原級數(shù)在「3,3)上一致收斂.

<—1

2,2

⑵：nn,xe[O,l],

產(chǎn)一1

而〃=1〃收斂,所以原級數(shù)在［0,1］上一致收斂.

1

3〃

⑶???l.3〃,xG(-oo,4-oo),

81

而w=,J是收斂的等比級數(shù)，所以原級數(shù)在(-8,+8)上一致收斂.

(4)因為n\，工u￡(/-5〈,5人),

由比值審斂法可知收斂，故原級數(shù)在(-5,5)上一致收斂.

cosnx1

<—

一5

〃,工￡(-8,+8),

81

〃=11

而11是收斂的P-級數(shù)，所以原級數(shù)在(-8,+8)上一致收斂.

名匕(X)￡u,C)

10.若在區(qū)間I上，對任何自然數(shù)”.都有|U“(x)|WV“(x),則當"T在I上一致收斂時，級數(shù)”1在這

區(qū)間I上也一致收斂.

EKG)

證：由"T在I上一致收斂知，？￡>0,?N(e)>0，使得當〃>N時，？xCI有

I%+1(X)+Vn+2(X)+…+Vn+p(X)|<e,

于是，?f；>0,?N(e)>0，使得當，AN時，?xGI有

|U”+I(X)+U"+2(X)+…+U”+0(X)|WK+l(X)+%+2(X)+…+%+,>(%)W|V6T+I(X)+%+2(X)+…+V”+,,(X)|<6,

tuMtu?(x)

因此，級數(shù)”=l在區(qū)間I上處處收斂，由X的任意性和與X的無關性，可知"T在I上一致收斂.

II.求下列察級數(shù)的收斂半徑及收斂域：

春仔1

(l)x+2jr+3x3+???+M+…:⑵n=\\nj.

co2n-loo/f\〃

y—vzM2-

⑶,,=|2〃—1：⑷

p=lirnl^-l==1/?=—=1

解：⑴因為iHn,所以收斂半徑P收斂區(qū)間為(-1,1),而當戶土1時、級數(shù)變?yōu)?/p>

由*1"。知級數(shù)2).〃發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為心

lim±i±i)L^=lim^r=limrr1+iYT'

i(〃+l)"l〃！+U3」

(2)因為

R=—=e

所以收斂半徑P,收斂區(qū)間為(-e,e).

6?lim(l+幻e=e-

當x=e時，級數(shù)變?yōu)?=in"；應用洛必達法則求得2°X2,故有14)2由

拉阿伯判別法知，級數(shù)發(fā)散；易知x=-e時，級數(shù)也發(fā)散，故收斂域為(-e,e).

(3)級數(shù)缺少偶次聚項.根據(jù)比值審斂法求收斂半徑.

所以當即因<1時，級數(shù)收斂，/>1即|巾1時，級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑R=l.

1

lim2,丁1=」)0

當后1時，級數(shù)變?yōu)?=12〃-1,當戶-i時，級數(shù)變?yōu)椋?12〃-1,由〃知,

CO1

E—

散，從而也發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為(-1」).

(t"1'an+\i-,2〃.

〉—；----p-lim---=lim-------；--------=1

⑷令/=尸1,貝ij級數(shù)變?yōu)?T〃一?2〃，因為n>/(?+0-,2(/?+l)

所以收斂半徑為R=i.收斂區(qū)間為-1令T<I即(Xx<2.

當/=1時，級數(shù)"=12"收斂，當ut時，級數(shù)，I2.〃為交錯級數(shù)，由萊布尼茨判別法知其收斂.

所以，原級數(shù)收斂域為0WxW2,即[0,2]

12.利用哥級數(shù)的性質(zhì)，求下列級數(shù)的和函數(shù)：

0000丫2"+2

V-一

⑴〃T;⑵〃=0“十’；

Hm-3

解：(1)由"78知，當R=<1時，原級數(shù)收斂，而當R=I時，"T的通項不趨于0,從而發(fā)

散，故級數(shù)的收斂域為(T,l).

S(x)=￡nr"+2心"IS|(X)=￡MT

記"=l"T易知"T的收斂域為(-1,1),記"T

J；S|(x)這八X

則?=,\-x

S|(x)=(1一x)2,所以()(1一(kl<0

于是

一+42/2+1

lim=x2

.〃一>82〃+3.》2"+2

(2)由知，原級數(shù)當因<1時收斂，而當忖=1時，原級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為(-1,1),

oo271+282n+l82n+loo2/J+I

=-二迂^—一S,(x)=^--

記“=。2〃+1”=。2〃+1,易知級數(shù)“=。2〃+1收斂域為記"=()2〃+1,則

S；(x)=￡x,2n1

1-x2

n=0

"(X曲=5皿=即￡(外/(°)=5皿0，5(0)=。，所以

故

S(x)=x5(x)=21np(|x|<l)

21-x

13.將下列函數(shù)展開成x的基級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間:

(lM?=ln(2+x)；(2)/(X)=COS2X；

2

")=7%

(3次v)=(l+x)ln(l+x)；(4)，1+X；

/(6=4(6,-尸)

(6)2

⑻"'A』.

(7V(x)=e*cosx；

“x)=ln(2+x)=ln2[l+]=In2+In(1+5

解：⑴

ln(l+x)=￡(-l)"X

由于〃句〃+1,(T4W1)

00x"+l

=2(-1)"

ln(〃+l)2"M

故rf/i=0,(-2WxW2)

ln(2+x)=ln2+f(—1)"

(〃+l)2"i,(-2WXW2)

因此n=0

1+cos2x

/(x)=cos2x=

⑵2

x2"

COSX=￡(T)"

由〃=°(2〃)!，(-co<x<+oo)

得〃=。(2〃)！n=o\2n)'

所以

2x

f(x)-cos~~+；cos2x

」+加aa

22〃=()(2〃)！，(_8<x<+8)

(3孫)=(1+/)皿1+工)

ln(l+x)=￡(-l)"xn+l

(〃+l),(T4W1)

由〃=°

所以

.〃x)=(l+x)f(T)"xn+]

n=0〃+l

00x"+'xn+2

n

+E(-D

n=0〃+1"=072+1

="(T)"xn+[

-----4-

n=}〃+l

一§(一1)"〃+(-1產(chǎn)(”+l)-T

X+7----------------------------------X

"=|〃(〃+1)

“1〃(〃+1)(―)

，/、f21

f(x)=-j===X--r=----

(4)v1++X

由于01+X?=1(2〃)-(TWxWl)

故In=\(2〃)!！)

=.+.(->生I*"

n=1(2〃)!！(-0W1)

八,3,x2

1+——

3

co2n+l

=￡(T)"^7F(lxl<K)

n=0,

00Y〃

e'W

(6)由〃=°,jce(-oo,+oo)

J?!

得"=?！?，*e(-8,+8)

/(x)=^-(ex-e-r)

-J尸](-心"、

2In=Q〃！H=01>

z〃=on\

ooX2??+l

M(2〃+l)!XW(-oo,+oo)

所以

⑺因為e'cosx為e"(cosx+zsinx)=的實部,

加+加=工々[(1+辦]"

”=0〃?

兀..兀

cos—+zsin—

44

C2I〃兀??〃兀、

2cos—+zsin—

I44)

而

g22cos—

e*xcosx=V---------—?xn

士加

取上式的實部.得

8

]工叱

(8)由于(1-X)n=0

W<1

11

fix)

472

而,所以

4+?=0'乙)〃=0乙(M<2)

/(幻=，2°

將X+3X+2展開成(x+4)的哥級數(shù).

1_11

解x2+3x+2x+1x+2

而

又

/('=210

x+3x+2

_.(x+4)"寸(x+4)"

o?+lL^4,〃+]

(—6<x<-2)

所以

15.將函數(shù),〈XI—”展開成(x~l)的累級數(shù).

(1+x)=1+—x+----------x+???+---------------；-------------x+???(-1<x<l)

解：因為1?2?〃?

/(》)=&

3

=[1+(尤-1)口

--W+1

2

(工一1)〃+…

所以IV.

(-l<r-l<l)

即

,/、13/、3-1/、23-1-(-I)(、33」?（一1）?（一3）…（一2〃+5）

/(x)=l+-(x-l)+^r—(x-l)+3(x-l)+???(工一1)"+…

2〃?加

0034?(一1)(5-2〃)

i+￡(x-l)"(0<x<2)

n=\2〃?幾!

16.利用函數(shù)的事級數(shù)展開式,求下列各數(shù)的近似值：

（l）ln3（誤差不超過0.0001）；（2）cos2?（誤差不超過0.0001）

352n-l

XXA,

In—=2x+一+-+???+

1-x2n-\+

解：⑴35，不￡（一1,1）

1+x=3,可得xf㈠』）

1+g

111

In3=In2—I---------F--------+?..+---------------------+.?.

1-1_23-235-25(2〃一I)"』

故

又

1

<?0.00012

8

故3xllx2

1

?0.00003

kl<3xl3x210

因而取n=6則

2n

兀71

90190；1

cos2°=cos—=1一-----+(-1)〃

⑵90-2!(2〃)！

24

71

jl。

4!

2

o,90

cos2———亡1-0.0006a0.9994

故2!

17.利用被積函數(shù)的嘉級數(shù)展開式，求定積分

產(chǎn)arctanx

Jodx

X（誤差不超過0.001）的近似值.

352/>+l

xxn

arctanx-x--------1----.-.-.+(_l)-+…

解:由于352"+l,(TWxWl)

242n

?05arctanx,ro.5XXx

-------dx=|[???-(-1)——+??.(U

0Jo

x352/?+1

X3X5E

X--------F-------------F

92549

]1111

+…

25F-49'F

故~2~92^

11?0.01394-?0.0013—--4?0.0002

而行,2525,4927

5

「。arctanxdx?l_l.-L+-L._L?0.487

Jo35

因此X292252

18.判別下列級數(shù)的斂散性:

n+-

00n2

zn(nx

n\cos——

18I3

n=ln+—z

(1)n⑵〃TT

00

zln(〃+2)

〃=1

3+-

⑶n

n+—

n"rin2\

-------->------

111+H2>

〃+一n+—

解:(i)vnn

-n

7、

n"一1

limlim1+二1。0

〃一＞一l+?2>"T8I2

而l+n

002、〃

zn

2

故級數(shù)”=ll+n＞發(fā)散，由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散.

rue、2

ncos——

3n

0<-<——

⑵：2〃一2八

2

(nx

n\cos——

z力二n￡8I3

由比值審斂法知級數(shù)"T2,收斂，由比較審斂法知，原級數(shù)"=12"收斂.

01ln(〃+2),ln(〃+2)

3+13〃

⑶；n

lim?ln(〃+3)3”

=lim

n+1

7J->0CTJM->003In(〃+2)

n

3，T8ln(〃+2)

由二K

oO

zln(〃+2)

n

￡ln(〃+2)”=1

3+-

rt=,

知級數(shù)3收斂,由比較審斂法知，原級數(shù)n收斂.

0

limtvUn

19.若〃-8存在，證明：級數(shù)"=1收斂.

limtvUn

證：8存在，???？M>0,使2alWM,

M

2

即"2防|WM,n

8

ZU,

收斂，故"=l絕對收斂.

00

IX

20.證明，若"T收斂，則"T〃絕對收斂.

2

AI〃|---------r-\----^=-ct/?〃+C--A2

nn222n

00001

而由〃=]收斂，"=l"收斂，知

家小產(chǎn)）名支

〃=11，2n,收斂，故”=】〃收斂,

因而”=1n絕對收斂.

00

Z（a〃cosnx+hnsinnx）

21.若級數(shù)與"=1都絕對收斂,則函數(shù)項級數(shù)〃=1在R上一致收斂.

證：Un(x)=ancosnx+bnsinnx,?x￡R有

￡《，為”￡（㈤+同）

由于〃=1與〃=1都絕對收斂，故級數(shù)〃=1收斂.

Z（?！╟osnx+bnsin

由魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項級數(shù)〃=1在R上一致收斂.

22.計算下列級數(shù)的收斂半徑及收斂域：

00V3/1+1

￡sin弟(x+1)”

1〃+17

(1)〃=1⑵n=\]

00

X

〃2.2"

(3)?=1

p=lim|—^1

…|a?|

解：⑴=1e=V3

1

K———------

P3,

8

+在回耳+1]「勺"￡(±i)

x-

又當3時，級數(shù)變?yōu)?=1\〃+1)\3>n=\<3〃+3>

3〃+yfi]層3

lim廠

n->oo3724-3)

因為

8V3V3>/3

x=±D

所以當3,級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂半徑3,收斂域(-3,3).

.7171

sin-y+i--9?+i-1

p=lim=lim——--=lim——=-

〃一>8“T8?！?>8712

sin——

⑵2〃2〃

R=—=2

故P

.71

7Tsin

limsin-2〃=limn

〃->82”〃一>007U

又???

￡sin-+])”

所以當a+i)=±2時，級數(shù)?發(fā)散,

從而原級數(shù)的收斂域為-24+1<2,即-3令<1,即(-3,1)

1.2〃2

Plim=lim

?TOO8(n+l)2.2n+,2

(3)

：.R=2f收斂區(qū)間-2vLi<2,即-l<x<3.

001產(chǎn)i

當x=T時，級數(shù)變?yōu)?=i〃,其絕對收斂，當x=3時，級數(shù)變?yōu)?=1〃，收斂.

因此原級數(shù)的收斂域為[-1,3].

e、產(chǎn)arctan，

F(x)=J。一dt

23.將函數(shù)展開成X的幕級數(shù).

cof2n+\

arctant=Z(-l)”

2〃+1

解：由于〃=°

、rvarctant,r-v-A,、“t2n,

”x)川丁八仁(一1)五石"

2〃+1

(2〃+1)2

所以

(同W1)

24.判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:

y(-1)"

乙r4-V

⑴"=i"十,,*er3,+8)；(2)”=1人,xe(2,4-00)；

00n

y-------

(22)[%2+(〃+1廠]

⑶n=\\X+Tl,工￡(-8,+8)；

11

IJi)"