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文檔簡介
習題十
1.寫出下列級數(shù)的一般項:
.111
1H----1----1----F???
⑴357;
y/xxXy/X一…
——+----+--------+
⑵22?42,4,62,4,6,8
a3a5a7a9
⑶牙—《+7一丁+…;
1
解:⑴6
2〃一1.
n
戶
U〃
(2)(2〃)!.
2n+l
a
(3)2〃+1.
2.求下列級數(shù)的和:
±產(chǎn)~--------------1-----------------
⑴"=1(x+〃-D(x+〃)(x+〃+1);
00
):(+2—2J〃+1+\/~n)
(2)”=i;
__________1__________
(x+n-l)(x+n)(x+n+l)
1___1_______1___
2((x+〃-l)(x+〃)(x+〃)(x+〃+l).
]
2(x(x+l)(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)
+???-!-----------1---------------------1---------
(x+〃-l)(x+〃)(x+〃)(x+〃+l)
if11
—----------------------------------
從而2(x(x+l)(x+")(x+〃+l)
c1
limSn=-----------——
因此—2x(x+l),故級數(shù)的和為2x(x+l)
(2)因為""=(J〃+2-J"+l)-(J"+l-
s“=(百-夜H亞-&)+(4-百)-(6-逝)
+(逐--百)+…+(J”+2-J〃+l)-(J〃+1-VH)
>//?+2-Jz?+1+1-5/2
+1-V2
,〃+2++1
從而
limS=1-72
所以"+0,即級數(shù)的和為i—J5.
5
V)
(3)因為4
limSn=——
從而"f84,即級數(shù)的和為4.
3.判定下列級數(shù)的斂散性:
00
E(1n+1-0
⑴”=1
1I11
-------1-----------1------------F???H------------------------------F???
1-66111116(5〃一4)(5〃+1)
⑵
22223
-----F一
33
⑶333
1111
—I----產(chǎn)H----產(chǎn)+…-I----;=+…
(4)5百為V5
S”—(>/2—V1)^~(A/3—V2)^-***■*-(Vn-i-T—Vn)
=>/71+1-1
解:⑴
從而!吧s’4-00
,故級數(shù)發(fā)散.
1111111
S=-1----1-------F-------!-???+
"5661111165〃―45〃+1
⑵515〃+"
c11
limSn—
從而“f85,故原級數(shù)收斂,其和為5.
2
q——
(3)此級數(shù)為3的等比級數(shù),且同<1,故級數(shù)收斂.
U,,=赤l(xiāng)imU,,=lNO
(4)V73,而"T8,故級數(shù)發(fā)散.
4.利用柯西申斂原理判別下列級數(shù)的斂散性:
£(一1產(chǎn)oocos/ir
n=1nz2"
(1);⑵n=l
刈,+」———
⑶〃=113〃+13〃+23nq4-3/
解:(1)當P為偶數(shù)時,
當尸為奇數(shù)時,
因而,對于任何自然數(shù)P,都有
|u“+i+Un+2+???+t/,I+|<-i-<-
11n+1n
N=[1]+1
取民」,則當心N時,對任何自然數(shù)尸恒有+""+2+???+""+/<£成立,由柯西審斂原理
?eX),
y(-ir'
知,級數(shù)"Tn收斂.
⑵對于任意自然數(shù)P,都有
log口
于是,?£>0(0<£<1),?N=1?£」,當心N時,對任意的自然數(shù)「都有+""+2+,,.+""+/<£成立,由
柯西審斂原理知,該級數(shù)收斂.
⑶取P=",則
從而取”12,則對任意的"CN,都存在P="所得1"田+""+2+一,+0"+/>£<>,由柯西審斂原理知,原級
數(shù)發(fā)散.
5.用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性.
111
---+----+??,+--------------+
⑴4.65-7(〃+3)(〃+5)
22
⑵1+21+31+〃2
8_
Vsin一
⑶〃TJ;
產(chǎn)一1
(Q〉0)
⑸〃=11+a
解:⑴?.?(〃+3)(〃+5)/
8100
而〃=1〃收斂,由比較審斂法知〃=】收斂.
-1+〃1+H1
U〃=---72----7=一
(2)v1+〃~n+nn
1
而"E=|〃發(fā)散,由比較審斂法知,原級數(shù)發(fā)散.
lim—二一=lim兀------=兀
1〃T871
(3)V3"3"
007_100.7_T
Z還\sm9
而”=2收斂,故"1。也收斂.
〃11
U,i=/<
,2+“一~
2
(4)vn
81
夕1
X-r=^
而I〃2收斂,故n=\42+〃收斂.
u[<]f£]
⑸當°>1時,“]+。"。",而“=|收斂,故"=|1+",也收斂.
當日時,啖
'1822,級數(shù)發(fā)散.
1
limU“l(fā)im=1H0
n—>aon
當o<“<i時,”+°\+a,級數(shù)發(fā)散.
綜上所述,當a>l時,原級數(shù)收斂,當0<aWl時,原級數(shù)發(fā)散.
2
2"-1
lim=ln2<l
2'-1XT81_1
lim=ln2E
⑹由1°x知n而心|〃發(fā)散,由比較審斂法知發(fā)散.
6.用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:
2
(I/700n\
乙懣
n=1Z
(1)°;(2)?='3"+1
--------1----------H---------+???-!-------------F
⑶1,22-223-23幾?2〃
⑴“In
2IJ3"1,
U-ZLlim—limF=一<I
n2
〃fOO7J—>00
解:(1)3,uIJ?n3
由比值審斂法知,級數(shù)收斂.
則^=陽霽3〃+1
n\
3"+1
=lim(〃+1>
”->83n+l+1
⑵=+8
所以原級數(shù)發(fā)散.
Ue,,3,,+1n-2"
limlim-----------------
〃一>8U.—(?+1)-2n+,3"
3n
=lim
〃T82(n+l)
=->l
⑶2
所以原級數(shù)發(fā)散.
Hm媼=lim絲3?上
fU,(〃+l)2n-n!
n
n
lim2
rt-X?71+1
2<i
2lim--
n—>QO(e
1+-
(4)n
故原級數(shù)收斂.
7.用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:
yCO—1—
⑵
b,。均為正數(shù).
=lim-"=—>1
解:(1)“T8V“T83"+l3
故原級數(shù)發(fā)散.
lim=lim----J----=0<1
⑵“f8z81n(〃+1)
故原級數(shù)收斂.
n(2-?1
lim=lim
"TOOns
(3)3〃一1
故原級數(shù)收斂.
(lim—
lim《
?->ooy
⑷V“T0°ana
bbb
當txa時,a<1.原級數(shù)收斂;當b>a時,a>1,原級數(shù)發(fā)散;當反a時,4=1,無法判定其斂散性.
8.判定下列級數(shù)是否收斂?若收斂,是絕對收斂還是條件收斂?
1118,i1
Z(-D"
i-~7=+-r---------------
V2V3V4ln(n+l).
(i)⑵a=l
11111
⑶53~5V+5F+"'
2"
Z(-iF'1
(ae
%-1產(chǎn)aR)
(4)Mn\⑸"=|n
1
H----F,??+_L3
3n
(6)si4n
u“=(-1)"」11
lim—=0
且滿足G斤,
解:(1)"J",級數(shù)"=i"是交錯級數(shù),"f7n,由萊布尼茨判別法
00001
00
?=1w=l“2
級數(shù)收斂,又〃-是P<1的P級數(shù),所以"T發(fā)散,故原級數(shù)條件收斂.
111
Z(-ir'------------------>----------
n-]ln(〃+l)為交錯級數(shù),且ln("+l)ln("+2).
lim——=0|U“|=--—>—
iln(〃+l),由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂,但由于ln(/?+l)n+1
00
所以,"T發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂.
⑶5-3民,顯然〃川〃=CP"I,,而〃=2是收斂的等比級數(shù),故收
斂,所以原級數(shù)絕對收斂.
lim—=lim----=+oo
w->ocTJw—>oo>74-1
(4)因為口"n+l.
故可得得則
limU“#0
…,原級數(shù)發(fā)散.
£*口1
⑸當a>l時,由級數(shù)"=1"收斂得原級數(shù)絕對收斂.
31111
/>7~=0
當(XaWl時,交錯級數(shù)"=in滿足條件:〃+";"-8〃,由萊布尼茨判別法知級數(shù)收
t(-1F'
斂,但這時,,=|發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂.
limU,產(chǎn)0
當a《0時,”fK,所以原級數(shù)發(fā)散.
r,111V1
⑹由于123nJnn
1
而E“=i〃發(fā)散,由此較審斂法知級數(shù)
1
+-+?..iw
3+nn發(fā)散.
£
U.=
1+2L3L..Jn).
記n,則
即U〃>S+i
r〃1"111
limUn—lim1H---F-i-???4—
〃T823n
1rl
=——ax
又nJox
1
lim-[—dx=lim-=0
rH—/J。%fT+001
limU〃=0El1+1+1+...iw
+n
知,由萊布尼茨判別法,原級數(shù)"T、23n收斂,而且是條件收斂.
9.判別下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性.
Q0x8
〃T)1,向-3,3];%,g。.
⑴n=lI⑵
aosinnx
z3〃
⑶n=1,工£(-8,+8);(4),w<5;
(cos/u
n=\-Vn5+x2
(5),%e(-oo,+co)
3"
(〃-1)/(〃-1)!,XG[-3,3],
解:⑴???
z83〃
而由比值審斂法可知“T收斂,所以原級數(shù)在「3,3)上一致收斂.
<—1
2,2
⑵:nn,xe[O,l],
產(chǎn)一1
而〃=1〃收斂,所以原級數(shù)在[0,1]上一致收斂.
1
3〃
⑶???l.3〃,xG(-oo,4-oo),
81
而w=,J是收斂的等比級數(shù),所以原級數(shù)在(-8,+8)上一致收斂.
(4)因為n\,工u£(/-5〈,5人),
由比值審斂法可知收斂,故原級數(shù)在(-5,5)上一致收斂.
cosnx1
<—
一5
〃,工£(-8,+8),
81
〃=11
而11是收斂的P-級數(shù),所以原級數(shù)在(-8,+8)上一致收斂.
名匕(X)£u,C)
10.若在區(qū)間I上,對任何自然數(shù)”.都有|U“(x)|WV“(x),則當"T在I上一致收斂時,級數(shù)”1在這
區(qū)間I上也一致收斂.
EKG)
證:由"T在I上一致收斂知,?£>0,?N(e)>0,使得當〃>N時,?xCI有
I%+1(X)+Vn+2(X)+…+Vn+p(X)|<e,
于是,?f;>0,?N(e)>0,使得當,AN時,?xGI有
|U”+I(X)+U"+2(X)+…+U”+0(X)|WK+l(X)+%+2(X)+…+%+,>(%)W|V6T+I(X)+%+2(X)+…+V”+,,(X)|<6,
tuMtu?(x)
因此,級數(shù)”=l在區(qū)間I上處處收斂,由X的任意性和與X的無關性,可知"T在I上一致收斂.
II.求下列察級數(shù)的收斂半徑及收斂域:
春仔1
(l)x+2jr+3x3+???+M+…:⑵n=\\nj.
co2n-loo/f\〃
y—vzM2-
⑶,,=|2〃—1:⑷
p=lirnl^-l==1/?=—=1
解:⑴因為iHn,所以收斂半徑P收斂區(qū)間為(-1,1),而當戶土1時、級數(shù)變?yōu)?/p>
由*1"。知級數(shù)2).〃發(fā)散,所以級數(shù)的收斂域為心
lim±i±i)L^=lim^r=limrr1+iYT'
i(〃+l)"l〃!+U3」
(2)因為
R=—=e
所以收斂半徑P,收斂區(qū)間為(-e,e).
6?lim(l+幻e=e-
當x=e時,級數(shù)變?yōu)?=in";應用洛必達法則求得2°X2,故有14)2由
拉阿伯判別法知,級數(shù)發(fā)散;易知x=-e時,級數(shù)也發(fā)散,故收斂域為(-e,e).
(3)級數(shù)缺少偶次聚項.根據(jù)比值審斂法求收斂半徑.
所以當即因<1時,級數(shù)收斂,/>1即|巾1時,級數(shù)發(fā)散,故收斂半徑R=l.
1
lim2,丁1=」)0
當后1時,級數(shù)變?yōu)?=12〃-1,當戶-i時,級數(shù)變?yōu)椋?12〃-1,由〃知,
CO1
E—
散,從而也發(fā)散,故原級數(shù)的收斂域為(-1」).
(t"1'an+\i-,2〃.
〉—;----p-lim---=lim-------;--------=1
⑷令/=尸1,貝ij級數(shù)變?yōu)?T〃一?2〃,因為n>/(?+0-,2(/?+l)
所以收斂半徑為R=i.收斂區(qū)間為-1令T<I即(Xx<2.
當/=1時,級數(shù)"=12"收斂,當ut時,級數(shù),I2.〃為交錯級數(shù),由萊布尼茨判別法知其收斂.
所以,原級數(shù)收斂域為0WxW2,即[0,2]
12.利用哥級數(shù)的性質(zhì),求下列級數(shù)的和函數(shù):
0000丫2"+2
V-一
⑴〃T;⑵〃=0“十’;
Hm-3
解:(1)由"78知,當R=<1時,原級數(shù)收斂,而當R=I時,"T的通項不趨于0,從而發(fā)
散,故級數(shù)的收斂域為(T,l).
S(x)=£nr"+2心"IS|(X)=£MT
記"=l"T易知"T的收斂域為(-1,1),記"T
J;S|(x)這八X
則?=,\-x
S|(x)=(1一x)2,所以()(1一(kl<0
于是
一+42/2+1
lim=x2
.〃一>82〃+3.》2"+2
(2)由知,原級數(shù)當因<1時收斂,而當忖=1時,原級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)的收斂域為(-1,1),
oo271+282n+l82n+loo2/J+I
=-二迂^—一S,(x)=^--
記“=。2〃+1”=。2〃+1,易知級數(shù)“=。2〃+1收斂域為記"=()2〃+1,則
S;(x)=£x,2n1
1-x2
n=0
"(X曲=5皿=即£(外/(°)=5皿0,5(0)=。,所以
故
S(x)=x5(x)=21np(|x|<l)
21-x
13.將下列函數(shù)展開成x的基級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間:
(lM?=ln(2+x);(2)/(X)=COS2X;
2
")=7%
(3次v)=(l+x)ln(l+x);(4),1+X;
/(6=4(6,-尸)
(6)2
⑻"'A』.
(7V(x)=e*cosx;
“x)=ln(2+x)=ln2[l+]=In2+In(1+5
解:⑴
ln(l+x)=£(-l)"X
由于〃句〃+1,(T4W1)
00x"+l
=2(-1)"
ln(〃+l)2"M
故rf/i=0,(-2WxW2)
ln(2+x)=ln2+f(—1)"
(〃+l)2"i,(-2WXW2)
因此n=0
1+cos2x
/(x)=cos2x=
⑵2
x2"
COSX=£(T)"
由〃=°(2〃)!,(-co<x<+oo)
得〃=。(2〃)!n=o\2n)'
所以
2x
f(x)-cos~~+;cos2x
」+加aa
22〃=()(2〃)!,(_8<x<+8)
(3孫)=(1+/)皿1+工)
ln(l+x)=£(-l)"xn+l
(〃+l),(T4W1)
由〃=°
所以
.〃x)=(l+x)f(T)"xn+]
n=0〃+l
00x"+'xn+2
n
+E(-D
n=0〃+1"=072+1
="(T)"xn+[
-----4-
n=}〃+l
一§(一1)"〃+(-1產(chǎn)(”+l)-T
X+7----------------------------------X
"=|〃(〃+1)
“1〃(〃+1)(―)
,/、f21
f(x)=-j===X--r=----
(4)v1++X
由于01+X?=1(2〃)-(TWxWl)
故In=\(2〃)!!)
=.+.(->生I*"
n=1(2〃)!!(-0W1)
八,3,x2
1+——
3
co2n+l
=£(T)"^7F(lxl<K)
n=0,
00Y〃
e'W
(6)由〃=°,jce(-oo,+oo)
J?!
得"=?!?,*e(-8,+8)
/(x)=^-(ex-e-r)
-J尸](-心"、
2In=Q〃!H=01>
z〃=on\
ooX2??+l
M(2〃+l)!XW(-oo,+oo)
所以
⑺因為e'cosx為e"(cosx+zsinx)=的實部,
加+加=工々[(1+辦]"
”=0〃?
兀..兀
cos—+zsin—
44
C2I〃兀??〃兀、
2cos—+zsin—
I44)
而
g22cos—
e*xcosx=V---------—?xn
士加
取上式的實部.得
8
]工叱
(8)由于(1-X)n=0
W<1
11
fix)
472
而,所以
4+?=0'乙)〃=0乙(M<2)
/(幻=,2°
將X+3X+2展開成(x+4)的哥級數(shù).
1_11
解x2+3x+2x+1x+2
而
又
/('=210
x+3x+2
_.(x+4)"寸(x+4)"
o?+lL^4,〃+]
(—6<x<-2)
所以
15.將函數(shù),〈XI—”展開成(x~l)的累級數(shù).
(1+x)=1+—x+----------x+???+---------------;-------------x+???(-1<x<l)
解:因為1?2?〃?
/(》)=&
3
=[1+(尤-1)口
--W+1
2
(工一1)〃+…
所以IV.
(-l<r-l<l)
即
,/、13/、3-1/、23-1-(-I)(、33」?(一1)?(一3)…(一2〃+5)
/(x)=l+-(x-l)+^r—(x-l)+3(x-l)+???(工一1)"+…
2〃?加
0034?(一1)(5-2〃)
i+£(x-l)"(0<x<2)
n=\2〃?幾!
16.利用函數(shù)的事級數(shù)展開式,求下列各數(shù)的近似值:
(l)ln3(誤差不超過0.0001);(2)cos2?(誤差不超過0.0001)
352n-l
XXA,
In—=2x+一+-+???+
1-x2n-\+
解:⑴35,不£(一1,1)
1+x=3,可得xf㈠』)
1+g
111
In3=In2—I---------F--------+?..+---------------------+.?.
1-1_23-235-25(2〃一I)"』
故
又
1
<?0.00012
8
故3xllx2
1
?0.00003
kl<3xl3x210
因而取n=6則
2n
兀71
90190;1
cos2°=cos—=1一-----+(-1)〃
⑵90-2!(2〃)!
24
71
jl。
4!
2
o,90
cos2———亡1-0.0006a0.9994
故2!
17.利用被積函數(shù)的嘉級數(shù)展開式,求定積分
產(chǎn)arctanx
Jodx
X(誤差不超過0.001)的近似值.
352/>+l
xxn
arctanx-x--------1----.-.-.+(_l)-+…
解:由于352"+l,(TWxWl)
242n
?05arctanx,ro.5XXx
-------dx=|[???-(-1)——+??.(U
0Jo
x352/?+1
X3X5E
X--------F-------------F
92549
]1111
+…
25F-49'F
故~2~92^
11?0.01394-?0.0013—--4?0.0002
而行,2525,4927
5
「。arctanxdx?l_l.-L+-L._L?0.487
Jo35
因此X292252
18.判別下列級數(shù)的斂散性:
n+-
00n2
zn(nx
n\cos——
18I3
n=ln+—z
(1)n⑵〃TT
00
zln(〃+2)
〃=1
3+-
⑶n
n+—
n"rin2\
-------->------
111+H2>
〃+一n+—
解:(i)vnn
-n
7、
n"一1
limlim1+二1。0
〃一>一l+?2>"T8I2
而l+n
002、〃
zn
2
故級數(shù)”=ll+n>發(fā)散,由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散.
rue、2
ncos——
3n
0<-<——
⑵:2〃一2八
2
(nx
n\cos——
z力二n£8I3
由比值審斂法知級數(shù)"T2,收斂,由比較審斂法知,原級數(shù)"=12"收斂.
01ln(〃+2),ln(〃+2)
3+13〃
⑶;n
lim?ln(〃+3)3”
=lim
n+1
7J->0CTJM->003In(〃+2)
n
3,T8ln(〃+2)
由二K
oO
zln(〃+2)
n
£ln(〃+2)”=1
3+-
rt=,
知級數(shù)3收斂,由比較審斂法知,原級數(shù)n收斂.
0
limtvUn
19.若〃-8存在,證明:級數(shù)"=1收斂.
limtvUn
證:8存在,????M>0,使2alWM,
M
2
即"2防|WM,n
8
ZU,
收斂,故"=l絕對收斂.
00
IX
20.證明,若"T收斂,則"T〃絕對收斂.
2
AI〃|---------r-\----^=-ct/?〃+C--A2
nn222n
00001
而由〃=]收斂,"=l"收斂,知
家小產(chǎn))名支
〃=11,2n,收斂,故”=】〃收斂,
因而”=1n絕對收斂.
00
Z(a〃cosnx+hnsinnx)
21.若級數(shù)與"=1都絕對收斂,則函數(shù)項級數(shù)〃=1在R上一致收斂.
證:Un(x)=ancosnx+bnsinnx,?x£R有
£《,為”£(㈤+同)
由于〃=1與〃=1都絕對收斂,故級數(shù)〃=1收斂.
Z(?!╟osnx+bnsin
由魏爾斯特拉斯判別法知,函數(shù)項級數(shù)〃=1在R上一致收斂.
22.計算下列級數(shù)的收斂半徑及收斂域:
00V3/1+1
£sin弟(x+1)”
1〃+17
(1)〃=1⑵n=\]
00
X
〃2.2"
(3)?=1
p=lim|—^1
…|a?|
解:⑴=1e=V3
1
K———------
P3,
8
+在回耳+1]「勺"£(±i)
x-
又當3時,級數(shù)變?yōu)?=1\〃+1)\3>n=\<3〃+3>
3〃+yfi]層3
lim廠
n->oo3724-3)
因為
8V3V3>/3
x=±D
所以當3,級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)的收斂半徑3,收斂域(-3,3).
.7171
sin-y+i--9?+i-1
p=lim=lim——--=lim——=-
〃一>8“T8?!?>8712
sin——
⑵2〃2〃
R=—=2
故P
.71
7Tsin
limsin-2〃=limn
〃->82”〃一>007U
又???
£sin-+])”
所以當a+i)=±2時,級數(shù)?發(fā)散,
從而原級數(shù)的收斂域為-24+1<2,即-3令<1,即(-3,1)
1.2〃2
Plim=lim
?TOO8(n+l)2.2n+,2
(3)
:.R=2f收斂區(qū)間-2vLi<2,即-l<x<3.
001產(chǎn)i
當x=T時,級數(shù)變?yōu)?=i〃,其絕對收斂,當x=3時,級數(shù)變?yōu)?=1〃,收斂.
因此原級數(shù)的收斂域為[-1,3].
e、產(chǎn)arctan,
F(x)=J。一dt
23.將函數(shù)展開成X的幕級數(shù).
cof2n+\
arctant=Z(-l)”
2〃+1
解:由于〃=°
、rvarctant,r-v-A,、“t2n,
”x)川丁八仁(一1)五石"
2〃+1
(2〃+1)2
所以
(同W1)
24.判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:
y(-1)"
乙r4-V
⑴"=i"十,,*er3,+8);(2)”=1人,xe(2,4-00);
00n
y-------
(22)[%2+(〃+1廠]
⑶n=\\X+Tl,工£(-8,+8);
11
IJi)"
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