浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月綜合測試數(shù)學(xué)試題

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2023學(xué)年第一學(xué)期高一12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合的真子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】利用集合元素個數(shù)即可求出集合共有三個真子集.【詳解】根據(jù)題意可知集合中有3個元素，所以共有個，即有三個真子集.故選：A2.若，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用存在量詞命題的否定求解即可.【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題的否定為.故選：.3.若，，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷，注意基本不等式的應(yīng)用即在的情況下，判斷兩個命題和．.【詳解】解：取，，滿足，但，充分性不滿足；反過來，成立，故必要性成立.故選：A．4.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】畫圖設(shè)外接圓半徑，利用正三角形性質(zhì)可得圓弧長，再由弧度制定義可得.【詳解】不妨設(shè)正的外接圓半徑，圓心為，取的中點(diǎn)為，連接，易知在上，且，；如下圖所示：在中，，所以；依題意可知該圓弧長，所以圓心角.故選：C5.已知為角終邊上一點(diǎn)，則（）A.7 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用齊次化將弦化切進(jìn)行求解.【詳解】為角終邊上一點(diǎn)，故，故.故選：B6.若，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出和、的關(guān)系以及和、的關(guān)系，結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以和一個大于，一個小于，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以和一個大于，一個小于，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選：C.7.已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由得到的解析式，根據(jù)函數(shù)的特殊點(diǎn)和正負(fù)判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的圖象過點(diǎn)(0，3)，排除A；當(dāng)x＝－2時，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的圖象過點(diǎn)(－2，－1)，排除B；當(dāng)時，，排除C，故選：D．8.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式解集可知,且滿足，將化簡變形可得，利用基本不等式即可求得當(dāng)時的最小值是2.【詳解】由一元二次不等式的解集為可得，利用韋達(dá)定理可得，即可得，且,；所以可得；易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；即的最小值是2.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算公式分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，得，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.10.已知，且，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由，結(jié)合分情況討論即可求解.【詳解】由題意得，，因?yàn)?，?dāng)時，因?yàn)?，所以，此時，故B項(xiàng)正確；當(dāng)時，因?yàn)?，所以，此時，故C項(xiàng)正確.故選：BC11.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則下列命題成立的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.C.函數(shù)為偶函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由及奇偶性可得函數(shù)的周期性與對稱性，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于軸對稱，且，又，所以，且，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且周期為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，A選項(xiàng)錯誤；，B選項(xiàng)正確；由向右平移一個單位得到，則關(guān)于點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，C選項(xiàng)錯誤；由向左平移一個單位得到，則關(guān)于點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：BD.12.函數(shù)，已知實(shí)數(shù)，，且，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.存在，使得D.恒成立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，C選項(xiàng)，結(jié)合基本不等式可判斷A，D選項(xiàng).【詳解】由，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則，即，可得，A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，則，A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)：，，則或，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)：若，則，則恒成立，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)：由，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，又，所以，則，即，D選項(xiàng)正確；故選：D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（其中第16題第一空2分，第二空3分）13.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，再根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)，可得.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，即，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，則，故答案為：.14.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜邊.現(xiàn)將兩個全等的直角三角形拼接成一個矩形，若其中一個三角形“弦”的長度為4，則該矩形周長的最大值為____________.【答案】【解析】【分析】確定，矩形周長為，根據(jù)均值不等式計算得到答案.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為，，則，，矩形周長為，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故周長的最大值為.故答案為：.15.已知實(shí)數(shù)，且，則__________.【答案】【解析】【分析】通過換底公式可得，可得，即可得解.【詳解】由，換成以為底，可得，設(shè)，則，解得或，又，，則，所以，即即，故答案為：.16.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為__________；若關(guān)于的方程有5個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】①.和②.【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)令即可解得的兩個零點(diǎn)為和，畫出函數(shù)圖象，利用換元法以及數(shù)形結(jié)合將方程根的問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)根且滿足，；再由一元二次方程根的分布即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可得當(dāng)時，，令，解得或（舍）；當(dāng)時，，令，解得，所以可得函數(shù)的零點(diǎn)為和；因此可得，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：令，則方程可轉(zhuǎn)化為；結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)有三個交點(diǎn)，當(dāng)或時，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)有一個交點(diǎn)；若關(guān)于的方程有5個不同的實(shí)數(shù)根，則方程有兩個不相等的實(shí)根，且滿足或；若可得，解得，；經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時，方程即為，解得，不合題意；當(dāng)時，關(guān)于的方程可化為，解得，不合題意；所以可知方程有兩個不相等的實(shí)根需滿足且；若,故，解得或，若，可得，即或；檢驗(yàn)當(dāng)時，關(guān)于的方程可化為，此時，滿足題意；當(dāng)時，關(guān)于的方程可化為，此時，滿足題意；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：和；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解方程根的嵌套問題時，經(jīng)常利用換元法將方程轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)圖象利用根的分布情況得出參數(shù)滿足的條件即可求得參數(shù)取值范圍.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入可得，由交集運(yùn)算即可求得出結(jié)果；（2）根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求得.【小問1詳解】由可得，由可得；【小問2詳解】若可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的非負(fù)半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn).（1）若，求及的值；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】18.；19.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式化簡可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)定義式列方程，解方程.【小問1詳解】由已知角的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，則，，，，且，由，得，則，再由誘導(dǎo)公式可得【小問2詳解】由，得，，又，則，解得，所以，所以，所以，，即.19.某園林建設(shè)公司計劃購買一批機(jī)器投入施工.據(jù)分析，這批機(jī)器可獲得的利潤（單位：萬元）與運(yùn)轉(zhuǎn)時間（單位：年）的函數(shù)關(guān)系式為（，且）（1）當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？（2）當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時，這批機(jī)器的年平均利潤最大？【答案】（1）當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第年時，可獲得最大利潤，最大利潤為（2）當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)年時，這批機(jī)器的年平均利潤最大【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得最大利潤；（2）根據(jù)基本不等式可得年平均利潤的最大值.【小問1詳解】由，，可知當(dāng)時，取最大值為，即當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第年時，可獲得最大利潤，最大利潤為；【小問2詳解】由已知可得年平均利潤，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)年時，這批機(jī)器的年平均利潤最大.20.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）利用單調(diào)性定義證明在上為增函數(shù)；（3）解不等式.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義以及函數(shù)值可求得，可得解析式；（2）根據(jù)單調(diào)性定義按照取值、作差、變形定號、下結(jié)論等步驟證明即可；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合定義域得出不等關(guān)系即可解得不等式解集為.【小問1詳解】對于，都有，所以；又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，可得，所以；由可得，解得；所以，因此的解析式為【小問2詳解】取，且，則，因?yàn)?，且，所以，即，可得，所以，即；所以在上為增函?shù)；【小問3詳解】將不等式轉(zhuǎn)化為，又是定義在上的奇函數(shù),所以可得，再根據(jù)（2）中的結(jié)論可知，解得；即不等式的解集為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解關(guān)于的方程；（2）當(dāng)時，恒有，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）或；（2）；（3）答案見解析；【解析】【分析】（1）將代入即可解出方程的根為或；（2）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)單調(diào)性即可得滿足題意；（3）對參數(shù)取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合不等式即可求得其解集.【小問1詳解】當(dāng)時，方程即為，解得或；【小問2詳解】當(dāng)時，不等式可化為，依題意可知，需滿足，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問3詳解】由可得，①當(dāng)時，可得，不等式等價，此時不等式解集為；②當(dāng)時，方程有兩根，即，且；此時不等式解集為；③當(dāng)時，方程僅有一根，即，此時不等式解集為；④當(dāng)時，方程有兩根，即，且；此時不等式解集為；22.設(shè)，若滿足，則稱比更接近.（1）設(shè)比更接近0，求的取值范圍；（2）判斷“”是“比更接近”的什么條件，并說明理由；（3）設(shè)且，試判斷與哪一個更接近.【答案】（1）（2）充分不必要條件，理由見解析；（3）更接近【解析】【分析】（1）依據(jù)定義列出不等式，結(jié)合一元二次不等式解法即可求得的取值范圍；（2）根據(jù)已知條件分別判斷充分性和必要性是否成立即可得出結(jié)論；（3）由且利用函數(shù)單調(diào)性，分別對和時與的大小進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，即；可得，解得；即的取值范圍為；【小問2詳解】充分性：顯然，由可得，①若，則，可得；又可得，所以；即可得，此時可以得出“比更接近”；②若，則，可得；又可得，所以；即可