化工過程課件

化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化4.1概述數(shù)學(xué)模型是對實(shí)際過程系統(tǒng)進(jìn)行模擬的基礎(chǔ)。建立數(shù)學(xué)模型不僅僅是為了對過程進(jìn)行模擬，其最終目的是要對過程進(jìn)行優(yōu)化什么是優(yōu)化？在化工裝置的設(shè)計(jì)及操作中，人們一直都在自覺或不自覺地應(yīng)用優(yōu)化的概念過程系統(tǒng)中優(yōu)化的分類參數(shù)優(yōu)化流程結(jié)構(gòu)給定在實(shí)際生產(chǎn)中不斷調(diào)節(jié)反應(yīng)器的溫度、壓力以保證原料的轉(zhuǎn)化率最大；在精餾塔設(shè)計(jì)中選擇適當(dāng)?shù)幕亓鞅?，以保證較少的熱量消耗和塔板數(shù)；過程系統(tǒng)中優(yōu)化的分類結(jié)構(gòu)優(yōu)化

流程方案的優(yōu)化

在多種可行方案中找出費(fèi)用最小的流程結(jié)構(gòu)，保證該方案滿足安全、環(huán)保、易操作等方面的要求確定冷、熱物流的匹配方式，以便充分利用系統(tǒng)內(nèi)部熱量，降低公用工程消耗不論是結(jié)構(gòu)優(yōu)化還是參數(shù)優(yōu)化，最終目的都是為了以最小的投入獲得最大的收益。4.2化工過程系統(tǒng)優(yōu)化問題基本概念4.2.1最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述在數(shù)學(xué)上，求解最優(yōu)化問題就是要找到一組使得目標(biāo)函數(shù)J達(dá)到最大或最小的決策變量求最小值的方法完全可以用于求解最大值問題最優(yōu)化問題的通用表達(dá)式求目標(biāo)函數(shù)的最小值：(4-1)服從于不等式約束條件：(4-2)及n個等式約束條件：(4-3)

為n維優(yōu)化變量向量最優(yōu)化問題的組成要素：目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化變量，約束條件與可行域。1目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)（又稱性能函數(shù)，評價(jià)函數(shù)）是最優(yōu)化問題所要達(dá)到的目標(biāo)。兩組不同的決策，其好壞優(yōu)劣要以它們使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到多少為評判標(biāo)準(zhǔn)。系統(tǒng)的產(chǎn)量最大；系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)收益最大；系統(tǒng)的能量消耗最??；系統(tǒng)的原料利用率最高；系統(tǒng)的操作成本最低；系統(tǒng)的投資成本最低；系統(tǒng)的穩(wěn)定操作周期最長。還有多目標(biāo)問題——各目標(biāo)加權(quán)2優(yōu)化變量對于過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題，優(yōu)化變量向量就是過程變量向量。過程變量向量包括決策變量和狀態(tài)變量決策變量等于系統(tǒng)的自由度，它們是系統(tǒng)變量中可以獨(dú)立變化以改變系統(tǒng)行為的變量；狀態(tài)變量是決策變量的函數(shù)，它們是不能獨(dú)立變化的變量，服從于描述系統(tǒng)行為的模型方程。w表示決策變量，x表示狀態(tài)變量，則過程系統(tǒng)模型方程確定了x與w的函數(shù)關(guān)系（4-4）通常稱之為狀態(tài)方程，它表示的是系統(tǒng)狀態(tài)變量與決策變量之間的關(guān)系。狀態(tài)方程數(shù)目與狀態(tài)變量x的維數(shù)相同。自由度為零的系統(tǒng)優(yōu)化問題就是系統(tǒng)模擬問題3約束條件和可行域當(dāng)過程變量向量y的各分量為一組確定的數(shù)值時(shí)，稱為一個方案變量y的取值范圍一般都要給以一定的限制，這種限制稱為約束條件

狀態(tài)方程限制了狀態(tài)變量與決策變量間的關(guān)系，因此，也可以看作是一種約束條件。對于設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)規(guī)定要求也是一種約束條件。約束條件有等式約束和不等式約束滿足約束條件的方案集合，構(gòu)成了最優(yōu)化問題的可行域，記作R可行域中的方案稱為可行方案每組方案y為n維向量，它確定了n維空間中的一個點(diǎn)因此，過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題是在可行域中尋求使目標(biāo)函數(shù)取最小值的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)稱為最優(yōu)化問題的最優(yōu)解過程系統(tǒng)優(yōu)化問題可表示為w－決策變量向量（w1，…，wr）

x－狀態(tài)變量向量（x1，…，xm）z－過程單元內(nèi)部變量向量（z1，…，zs）

F－目標(biāo)函數(shù)

f－m維流程描述方程組（狀態(tài)方程）c－s維尺寸成本方程組h－l維等式設(shè)計(jì)約束方程g－不等式設(shè)計(jì)約束方程討論對于上述優(yōu)化問題，變量數(shù)為m+r+s，等式約束方程數(shù)為m+l+s，問題的自由度為d=變量數(shù)－方程數(shù)＝r

－l若l=0，自由度等于決策變量數(shù)r；若l=r，自由度等于零，此時(shí)最優(yōu)化問題的解是唯一的（即等于約束方程的交點(diǎn)），沒有選擇最優(yōu)點(diǎn)的余地；若l>r，則最優(yōu)化問題無解。由此可見，l<r是最優(yōu)化問題有解的必要條件之一

例4－1求一個受不等式約束的最優(yōu)化問題服從于約束條件：解：可行域是由:

三邊所圍成的區(qū)域,最優(yōu)解只能是可行域內(nèi)與點(diǎn)（3，2）距離最近的點(diǎn)(2,1)(3,2)4.2.2最優(yōu)化問題的建模方法

過程機(jī)理清楚的問題——采用機(jī)理模型進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)點(diǎn)：結(jié)果比較精確缺點(diǎn)：形式往往比較復(fù)雜，一般具有大型稀疏性特點(diǎn)，需要用特殊的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解，求解方法選擇不當(dāng)，會影響優(yōu)化迭代計(jì)算速度。建立過程系統(tǒng)優(yōu)化問題的模型方程時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況，采用不同的建模方法。過程機(jī)理不很清楚，或者機(jī)理模型非常復(fù)雜——建立黑箱模型進(jìn)行優(yōu)化。常用的就是統(tǒng)計(jì)模型優(yōu)化方法。優(yōu)點(diǎn)：模型關(guān)系式簡單，不需要特殊的最優(yōu)化求解算法缺點(diǎn)：外延性能較差，只適用于原裝置操作條件的優(yōu)化，而不適用于其他場合。黑箱建模另一種方法——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。它被廣泛用于過程系統(tǒng)模擬和優(yōu)化。它也是基于實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，但在許多方面優(yōu)于一般的統(tǒng)計(jì)回歸模型。它尋優(yōu)速度較快，具有自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力（也稱為智能模型），尤其適用于多目標(biāo)優(yōu)化問題。多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的求解都有相應(yīng)的算法，比如常用的BP算法等。不過多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模需要大量的樣本數(shù)據(jù)，而且存在局部極值問題。（第五章介紹）4.2.3化工過程系統(tǒng)最優(yōu)化方法的分類最優(yōu)化問題的機(jī)理模型通常為一套描述過程特性的方程組，需要特殊的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解。求解最優(yōu)化問題的方法很多，大致有如下幾種分類原則：（1）無約束最優(yōu)化與有約束最優(yōu)化在尋求使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)時(shí)，如果對于決策變量及狀態(tài)變量無任何附加限制，則稱為無約束最優(yōu)化。問題的最優(yōu)解就是目標(biāo)函數(shù)的極值。這類問題比較簡單，其求解方法是最優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)。在建立最優(yōu)化模型方程時(shí)，若直接或間接的對決策變量施以某種限制，則稱為有約束最優(yōu)化。通常求解有約束最優(yōu)化模型的方法是通過把有約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成無約束最優(yōu)化模型進(jìn)行求解。（2）線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃根據(jù)目標(biāo)函數(shù)及約束條件線性與非線性性質(zhì)，可將求解方法分為線性規(guī)劃LP和非線性規(guī)劃NLP兩大類。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)及約束條件均為線性函數(shù)時(shí)，稱為線性最優(yōu)化。線性規(guī)劃是最優(yōu)化方法中比較成熟的技術(shù)。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個為非線性函數(shù)時(shí)，則稱為非線性最優(yōu)化，由于求解非線性規(guī)則問題往往比較困難，所以有時(shí)也將其近似地線性化，然后用比較成熟的線性規(guī)劃技術(shù)求解。如果目標(biāo)函數(shù)為二次型，而約束條件為線性函數(shù)，則稱為二次規(guī)劃問題。二次規(guī)劃是從線性規(guī)劃到非線性規(guī)劃的過渡，是最簡單的一種非線性規(guī)劃。（3）單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化根據(jù)優(yōu)化變量的數(shù)目，可將問題分為單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化。只有一個可以調(diào)節(jié)的決策變量的單維最優(yōu)化問題是最簡單的典型問題研究單維最優(yōu)化的方法具有基本的意義，這是因?yàn)閺?fù)雜的多維最優(yōu)化問題往往可以轉(zhuǎn)化為反復(fù)應(yīng)用單維最優(yōu)化方法來解決。

（4）解析法與數(shù)值法解析法又稱為間接最優(yōu)化方法。這種方法只適用于目標(biāo)函數(shù)（或泛函）及約束條件有顯函數(shù)表達(dá)式的情況。它要求把一個最優(yōu)化問題用數(shù)學(xué)方程式表示出來，然后用導(dǎo)數(shù)法或變分法得到最優(yōu)化的必要條件，再通過必要條件，對方程求解得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。古典的微分法、變分法、拉格朗日乘子法等都屬于解析法。

數(shù)值法又稱為直接最優(yōu)化方法，或優(yōu)選法。這類方法不要求目標(biāo)函數(shù)為各種變量的顯函數(shù)表達(dá)式，而是利用函數(shù)在某一局部區(qū)域的性質(zhì)或一些已知點(diǎn)的數(shù)值，逐步搜索、逼近，最后達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。

（5）可行路徑法和不可行路徑法可行路徑法的整個搜索過程是在可行域內(nèi)進(jìn)行的，也就是說，對于變量的每次取值，約束條件均必須滿足。因此，對于每一次優(yōu)化迭代計(jì)算均必須解算一次過程系統(tǒng)模型方法，也就是做一次全流程模擬計(jì)算。這類方法簡單可靠，但計(jì)算量很大。不可行路徑法的整個搜索過程并不要求必須在可行域內(nèi)進(jìn)行，可以從不可行域向最優(yōu)解逐步逼近，但在最優(yōu)解處必須滿足條件。所有的過程變量同時(shí)向使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)而又能滿足所要求條件的方向移動。其求解過程有可能不穩(wěn)定，但計(jì)算量比可行路徑法顯著減少。

4.3化工過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題的類型過程系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化過程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程系統(tǒng)管理的優(yōu)化4.3.1過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化包括設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化和操作參數(shù)優(yōu)化。尋求一組使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)又滿足各項(xiàng)設(shè)計(jì)規(guī)定要求的決策變量（即設(shè)計(jì)變量）。并根據(jù)情況調(diào)節(jié)決策變量（即操作變量），從而使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。4.3.2過程系統(tǒng)管理最優(yōu)化

過程系統(tǒng)管理的最優(yōu)化主要從以下幾個方面考慮：（1）資源的合理分配工廠里的蒸汽、冷卻水等公用工程，通常都是供給全廠所有車間使用的，只有合理地分配，才可以減少外購公用工程量，從而獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益。

（2）時(shí)序問題多組反應(yīng)器中的催化劑再生；間歇操作的流程中每個設(shè)備的運(yùn)行周期；設(shè)備的維護(hù)和檢修；多產(chǎn)品車間的生產(chǎn)運(yùn)行。（3）多產(chǎn)品生產(chǎn)過程的排產(chǎn)計(jì)劃，會出現(xiàn)利潤最大的優(yōu)化問題。4.4化工過程中的線性規(guī)劃問題運(yùn)籌學(xué)規(guī)劃論：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃更新論存儲論控制論排隊(duì)論對策論線性規(guī)劃線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的的一個分支。線性規(guī)劃的理論、方法簡捷，只要把所探討的問題的性質(zhì)、指標(biāo)等因素限制在約束條件中，求出滿足約束條件的最優(yōu)方案。發(fā)展史1939年康特洛維奇從運(yùn)輸問題入手開始研究，代表作“生產(chǎn)組織與計(jì)劃的數(shù)學(xué)方法”20世紀(jì)40年代末Dantzig等人進(jìn)一步完善了線性規(guī)劃學(xué)科，與Hurwicz一起發(fā)明了單純形法，從而奠定了線性規(guī)劃的基礎(chǔ)20世紀(jì)50年代我國開始線性規(guī)劃方面的研究1975年康特洛維奇和庫甫曼獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎4.4.1線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)描述線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式（引例）例題：某廠有生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的能力，生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要3個工日和0.35噸小麥，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要4個工日和0.25噸小麥，該廠僅有技工12人，一個月只能出300個工日，小麥一個月只能進(jìn)21噸，甲產(chǎn)品可盈利80/噸，乙產(chǎn)品可盈利90/噸。該廠在一月中如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，使之獲得最大盈利？建立這個問題的數(shù)學(xué)模型。解：設(shè)x1,x2分別表示一月中生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量，則最大盈利為：S=80x1+90x2工日的約束為3x1+4x2≤300；原料小麥的約束為0.35x1+0.25x2≤21,該問題的數(shù)學(xué)模型即為maxS=80x1+90x2s.t.3x1+4x2≤3000.35x1+0.25x2≤21x1,x2≥0S.t.是“subjectto”的縮寫，即約束條件線性規(guī)劃是求一組非負(fù)變量，這些變量在滿足一定的線性約束條件下，使一個線性函數(shù)達(dá)到極小或極大即：把上述線性規(guī)劃一般模型轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式具有以下四點(diǎn)：目標(biāo)函數(shù)是求最小值（也可以把目標(biāo)函數(shù)定為求最大值）在約束條件中，除了非負(fù)約束用“≥”號外，其他所有約束條件均用等式（或稱方程）表示每個約束方程的常數(shù)項(xiàng)均是非負(fù)的（bi≥0）所有未知量受非負(fù)限制各種不同形式的模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法將求極大值化為求極小值將不等式約束化為等式約束將自由變量化為非負(fù)變量約束條件帶有絕對值號的轉(zhuǎn)化(1)將求極大值化為求極小值如果目標(biāo)函數(shù)J是求極大值，則可以采用以下方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：max(J)=min(-J)(2)將不等式約束化為等式約束ai1x1+ai2x2+···+ainxn≤bi引入“松弛變量”yi(

≥0)化“≤”為“=”將不等式化為：ai1x1+ai2x2+···+ainxn+yi=bi對于大于等于型不等式ai1x1+ai2x2+···+ainxn≥bi引入“剩余變量”yi(≥0)化“≥”為“=”將不等式化為：ai1x1+ai2x2+···+ainxn-yi=bi（3）將自由變量化為非負(fù)變量

如果未知量無非負(fù)約束時(shí)，稱為自由變量，這時(shí)，這個未知量可用兩個受非負(fù)限制的變量xk′,xk″之差描述，如：xk=xk′-xk″其中：xk′,xk″≥0(4)約束條件有絕對值號的轉(zhuǎn)化如果約束條件帶有絕對值號時(shí)，如|a1x1+a2x2|≤b則可以等價(jià)地化為:a1x1+a2x2≤b-a1x1-a2x2≤b從上面的例子看出：當(dāng)引入松弛變量或剩余變量之后，比原來約束條件中的變量增加了m個，使得總變量數(shù)為n+m個，一般來說，對于約束條件引進(jìn)松弛變量后約束條件得系數(shù)矩陣為當(dāng)約束條件時(shí)添加剩余變量后其約束條件的系數(shù)矩陣為：例題2化下式為標(biāo)準(zhǔn)型

引進(jìn)松弛變量y1,y2,y3得標(biāo)準(zhǔn)形式為引進(jìn)的松弛變量y1,y2,y3與x1,x2同等看待,將松弛變量納入目標(biāo)函數(shù)時(shí)，其系數(shù)應(yīng)取零4.4.2求解線性規(guī)劃的圖解法圖解法適用于變量較少的線性規(guī)劃問題,他通過作圖的方式，直觀地顯示滿足約束條件、可行域和目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。先介紹求解兩個變量的線性規(guī)劃問題,這個解法雖然只適用于兩個變量的線性規(guī)劃問題，但是得到的一些結(jié)論也適用于更多變量的線性規(guī)劃問題。例題3用圖解法求解線性規(guī)劃問題解：由于非負(fù)約束，所以可行解允許的范圍只能在第一像限。設(shè)：x1為橫坐標(biāo)，x2為縱坐標(biāo),作圖x1+x2≤5x1-x2≤3x1,x2≥0上述約束條件表示AOCD圍成的四邊形，因此最優(yōu)解落在該四邊形內(nèi)ABx2x1CDx1-x2=3x1+x2=52x1+x2=92x1+x2=02x1+x2=2o目標(biāo)函數(shù)S=2x1+x2當(dāng)S的值為0,2,…由小變大時(shí)，直線x2=-2x1+S向其增大方向平行移動，當(dāng)移到D點(diǎn)時(shí)，他既滿足約束條件，且又使目標(biāo)函數(shù)取得最大值A(chǔ)Bx2x1CDx1-x2=3x1+x2=52x1+x2=92x1+x2=02x1+x2=2ox1+x2=5得x1=4x1-x2=3x2=1即：D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,1）最優(yōu)解為x1=4，x2=1目標(biāo)函數(shù)的最大值為：S=2×4+1=9例題4用圖解法求解線性規(guī)劃問題minS=3x1+2x2s.t.x1+2x2≥4x1-x2≥1x1,x2≥0解：可行解域G為無界開區(qū)域因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是以S為參數(shù)的一族平行線，故分別令S為10,8,0等，可見直線離原點(diǎn)愈近時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值愈小，圖中可知，最小值在B點(diǎn)（2,1）故x1=2,x2=1為問題的最優(yōu)解相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)S=3×2+2×1=8如改為求目標(biāo)函數(shù)最大值maxS=3x1+2x2，則可行解域無上界，問題有無界解，因而不存在最大值，也就沒有最優(yōu)解例題5用圖解法求解線性規(guī)劃問題minS=4x1-2x2s.t.x1+x2≤1x1+2x2≥4x1,x2≥0s.t.x1+x2≤1x1+2x2≥4從圖中可以看出，同時(shí)滿足四個不等式的點(diǎn)不存在，所以沒有可行解，當(dāng)然沒有最優(yōu)解可以看出：線性規(guī)劃問題的任意兩個可行解聯(lián)線上的點(diǎn)都是可行解;線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解如果存在，必在可行解域的某個“頂點(diǎn)”上達(dá)到。線性規(guī)劃基本定理1任意一個線性規(guī)劃問題的可行解集合（如果不是空集）是一個凸集。線性規(guī)劃基本定理2對于線性規(guī)劃問題

minS=CX,s.t.AX=bX≥0(1)若存在一個可行解，則必存在一個基本可行解(2)若存在一個最優(yōu)可行解，則必存在一個最優(yōu)基本可行解線性規(guī)劃基本定理3線性規(guī)劃問題的基本可行解，對應(yīng)于可行解集合所構(gòu)成凸集Ｄ的頂點(diǎn)（極點(diǎn)），且最優(yōu)解將在頂點(diǎn)上獲得。習(xí)題1求解maxZ=x1+3x2s.t.2x1+3x2≤24x1-x2≤7x2≤6x1,x2≥0習(xí)題2求解maxZ=4x1+6x2s.t.2x1+3x2≤24x1-x2≤7x2≤6x1,x2≥04.4.3求解線性規(guī)劃問題的單純形法從線性規(guī)劃問題的圖解法中可以看出，求最優(yōu)過程就是由可行解集合構(gòu)成凸集的一個頂點(diǎn)過渡到另一個頂點(diǎn)的過程，最后獲得的最優(yōu)解在頂點(diǎn)（極點(diǎn)）上得到。這種方法僅在變量個數(shù)及約束條件較少時(shí)方為適用。當(dāng)變量個數(shù)及約束條件比較多時(shí)必須改進(jìn)這種方法。單純形法就是這種簡化和改進(jìn)的方法基本思想：在保證目標(biāo)函數(shù)變優(yōu)的前提下，由一個初始基本可行解開始，向另外一個基本可行解過渡。例題6某工廠有三套設(shè)備A1，A2，A3，生產(chǎn)P1，P2兩種產(chǎn)品，單位產(chǎn)品的產(chǎn)值，所需設(shè)備的加工工時(shí)定額及設(shè)備可用工時(shí)如下表所示。求產(chǎn)值最高的最優(yōu)方案。解：x1,x2分別為產(chǎn)品P1，P2的計(jì)劃產(chǎn)量個數(shù)，得數(shù)學(xué)模型：MaxS=2x1+3x2s.t.2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤16x1,x2≥0引進(jìn)松弛變量x3,x4,x5,化數(shù)學(xué)模型為：2x1+2x2+x3=12x1+2x2+x4=84x1+x5=16-2x1-3x2+s=0且x1,x2,x3,x4,x5非負(fù)，又使S盡可能大在這里S與xj同樣被看作是變量，目標(biāo)函數(shù)的那個等式被看作是增加的一個約束條件，因此，數(shù)學(xué)模型就變?yōu)樯鲜浇o出的4個方程，6個變量的線性方程組，就是把求解線性規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)化為線性方程組的問題。線性方程組的一般解法是：通過初等變換把增廣矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣，然后求解，方程組的增廣矩陣為：它的秩為4，其中第3列到第6列即P3，P4，P5，P6是線性無關(guān)的單位向量，組成了一個單位矩陣，稱它為初始基，相應(yīng)地，x3，x4，x5是基本變量，x1，x2為非基本變量。若令x1=x2=0，得基本可行解：x(１)＝（0,0,12,8,16）T,S1=０為了說明如何從x(１)出發(fā)找到最優(yōu)解，先把增廣矩陣增加幾個標(biāo)記，改為：單純形表其中最后一列為常數(shù)列最后一行為檢驗(yàn)行，是目標(biāo)函數(shù)變量的系數(shù)變號而得來的，原目標(biāo)函數(shù)是求最大，變號后化為求最小。常數(shù)列檢驗(yàn)行首先判斷X(1)是否為最優(yōu)解，其方法是：看檢驗(yàn)行中的所有元素是否都大于零，若是，則X(1)便是最優(yōu)解，否則就不是最優(yōu)解?，F(xiàn)在a41=-2<0,a42=-3<0,所以X(1)不是最優(yōu)解既然X（1）不是最優(yōu)解，就設(shè)法找第二基本可行解X(2)，且目標(biāo)函數(shù)值大于S1。其找法：在檢驗(yàn)行中找出其絕對值最大的負(fù)元素C*2=-3，稱C*2所在的列為主列，主列所對應(yīng)的變量x2作為X(2)的一個基本變量，稱為進(jìn)入變量．然后使X（1）的基本變量x3、x4、x5中某兩個與x2合在一起成為X(2)的三個基本變量．現(xiàn)在x2要進(jìn)基，x3、x4、x5那個出基呢？

方法是：用主列中的正元素aij去除常數(shù)列中的對應(yīng)元素bi，即bi/aij。而后取其比值較小者所在的行為主行，主行與主列交叉處的元素稱為主元素．表中第2列是主列，故第二行是主行，a22＝2是主元素，

故第二行是主行,a22＝2是主元素，這時(shí)與X（1）的基本變量x3、x4、x5相對應(yīng)的列向量在主行中元素為1的第4列P4是需要退出基的列，相應(yīng)的基本變量x4是退出變量．如此即得X（2）的基本變量為x2、x3、x5。由表求X（2）時(shí)，用初等行變換的方法，將主元素化為1，主列中其它元素都化為零，即主列P2應(yīng)化為（0，1，0，0）T，于是得到為將主元素化為1，主列中其它元素都化為零，第2行乘于-2加到第一行為將主元素化為1，主列中其它元素都化為零，第2行乘于3加到第四行令x1=x4=0由最后一列得基本變量的值x2=4,x3=4,x5=16,S2=12即X(2)=(0,4,4,0,16)TS2=12>S1=0再檢驗(yàn)，由于表的檢驗(yàn)行中仍有負(fù)元素，所以X（2）仍不是最優(yōu)解，于是再選主列P1，用P1中的正元素去除常數(shù)列中相應(yīng)的元素，取較小比值所在的行為主行，即

這時(shí)較小比值中同時(shí)有兩個，那么無論任取其中的那一個所在的行為主行均可，取第三行為主行，則主元素a31=4，與X(2)的基本變量x2、x3、x5相應(yīng)的列向量在主行中元素為1的是第5列，因此x5為退出變量，這樣即得X（3）的三個基本變量為xl、x2、x3，對表施行初等行交換將第1列化為(0,0,1,0)T的形式，于是得到第三行除于4；第三行乘于-1/2加到第二行中；第三行乘于-1加到第一行中;第三行乘于1/2加到第四行中。x1令x4=x5=0。可得x1=4,x2=2,x3=0,S3=14，即X(3)=(4，2，0，0，0)T，S3=14>S2=12因?yàn)樵谶x主行時(shí)最小比值同時(shí)有兩個，故所得此解是一個退化解（即基本變量中有零元素）。由于表中檢驗(yàn)行中的元素全部為正，所以X（3）就是所求的最優(yōu)解．去掉其中的松弛變量x3、x4、x5得原來問題的最優(yōu)解X*=(4,2)TS*＝2

4+3

2=14．即生產(chǎn)P1產(chǎn)品4個單位，生產(chǎn)P2產(chǎn)品2個單位，可獲得利潤14個單位單純形法的計(jì)算步驟歸納確定初始基、初始基本可行解最優(yōu)性檢驗(yàn)確定主列確定主行確定主元素進(jìn)行迭代（即施以初等行變換）再檢驗(yàn)，重復(fù)以上步驟直至取得最優(yōu)解1.確定初始基、初始基本可行解：引入松弛變量化線性規(guī)劃問題為標(biāo)準(zhǔn)形式，取對應(yīng)于松弛變量的單位矩陣為基，令非基本變量為0，基本變量就是各約束常數(shù)，得到一個初始基本可行解2.最優(yōu)性檢驗(yàn)：如果檢驗(yàn)行中（除了最后一個元素外）各元素都≥0，則已求得問題的最優(yōu)解，若檢驗(yàn)行中有負(fù)數(shù)，則進(jìn)行下一步。3.確定主列，取檢驗(yàn)行中絕對值最大的負(fù)數(shù)所在的列為主列，主列所對應(yīng)的非基本變量要進(jìn)入基，稱為進(jìn)入變量主列4.確定主行：在主列中用每一個正元素去除常數(shù)列中相應(yīng)行的元素，擇其中比值最小者所在的行為主行，在主行中系數(shù)為1的原基本變量要退出基，稱為退出變量主行5.確定主元素：位于主行、主列交叉處的元素稱為主元素，簡稱主元進(jìn)行迭代（即施以初等行變換）：第一，將主行中各數(shù)除以主元，將主元化為1第二，其它各行（包括檢驗(yàn)行）加上或減去主元行的適當(dāng)倍數(shù)，將主列中其它的數(shù)化為零。從而得到新的單純形表和新的基本可行解。7.再檢驗(yàn)，重復(fù)以上步驟直至取得最優(yōu)解最優(yōu)解單純形方法運(yùn)用中應(yīng)注意5點(diǎn)：在確定主列時(shí)，檢驗(yàn)行中絕對值最大的負(fù)數(shù)有兩個或多個相同時(shí)，一般說來，這時(shí)可以任選其中一個以確定主列。在確定主行時(shí)，也可能出現(xiàn)最小比值不止一個的情況，這時(shí)一般說來同樣可以在它們中任選一行作為主行，不過在這種情況下，得到的解將是退化解（即基本變量中有零元素）。在主列中若沒有一個元素是正的，則可證明原問題有無界解．當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為求最大值時(shí)，化最大為最小，而后將目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)填到單純形表的檢驗(yàn)行上，經(jīng)迭代后，即可從表上直接得到最優(yōu)值S。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為求最小值時(shí)，則直接將目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)填到單純形表的檢驗(yàn)行上，經(jīng)迭代后，取表上S值的相反數(shù)，即為最優(yōu)值．習(xí)題用單純形法解線性規(guī)劃問題maxS=3x1+x2+3x3s.t.2x1+x2+x3≤2x1+2x2+3x3≤52x1+2x2+x3≤6x1,x2,x3≥0規(guī)劃求解簡介規(guī)劃求解是數(shù)學(xué)中的優(yōu)化問題，它通過改變多個輸入單元格求出最優(yōu)解，同時(shí)保證工作表中的其他公式保持在設(shè)置的極限之內(nèi)。用Excel進(jìn)行規(guī)劃求解規(guī)劃求解一般用于解決以下問題：產(chǎn)品比例，給定生產(chǎn)產(chǎn)品的有限資源，求在產(chǎn)品上的最大回報(bào)。人員調(diào)度，用最小成本使職工水平達(dá)到公司指定的滿意水平。優(yōu)化線路，在制造地和銷售地之間求最小運(yùn)輸成本。調(diào)配材料，用最小成本調(diào)配材料達(dá)到指定的質(zhì)量水平。

最適合規(guī)劃求解的問題有以下三個特征：問題有單一目標(biāo)，例如求最大利潤或最小時(shí)間。問題有用不等式給定的約束條件，如使用材料不能超過庫存。問題有直接或間接地同時(shí)影響約束條件和優(yōu)化值的輸入值。關(guān)于規(guī)劃求解的說明1安裝【規(guī)劃求解】如果單擊【工具】菜單找不到【規(guī)劃求解】選項(xiàng)，那么應(yīng)該安裝規(guī)劃求解，安裝的方法是：選擇【工具】菜單中的【加載宏】選項(xiàng)。在【加載宏】對話框中選擇SolverAdd－in復(fù)選框。單擊【確定】按鈕。2．關(guān)于約束條件的說明在使用規(guī)劃求解的過程中，可以對可變單元格的數(shù)值應(yīng)用約束條件，且約束條件可以引用其他影響目標(biāo)單元格公式的單元格。如果在規(guī)劃求解問題中設(shè)置約束條件，則可以將約束條件應(yīng)用于可變單元格、目標(biāo)單元格及其他與目標(biāo)單元格直接或間接有關(guān)的單元格，這取決于實(shí)際問題的需要。使用規(guī)劃求解，設(shè)置的目標(biāo)單元格一定要包含公式。規(guī)劃求解的使用：例題：某廠家生產(chǎn)產(chǎn)品A和B。產(chǎn)品A的產(chǎn)量不超過4000，產(chǎn)品B的產(chǎn)量不超過4000；兩種產(chǎn)品產(chǎn)量之和不超過7000。產(chǎn)品A的單件利潤為200元，每多生產(chǎn)100件，單件利潤增加2元。產(chǎn)品B的單件利潤為190元，每多生產(chǎn)100件單件利潤增加3元。現(xiàn)在進(jìn)行規(guī)劃求解，求出產(chǎn)品A和產(chǎn)品B產(chǎn)量的最佳方案，使總利潤最大化。線性規(guī)劃求解

4.5化工過程中的非線性規(guī)劃問題4.5.1無約束條件最優(yōu)化問題的經(jīng)典來解方法對于一個函數(shù)F(x1,x2,

,xn)，如果其所有的一階導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)F(x1,x2,

,xn)的極小值的必要條件為：對于滿足以上方程的點(diǎn)成為極小值的充分條件是在這個點(diǎn)上所有二階偏均存在，而且其赫森矩陣為正定。

函數(shù)f(X）的赫森矩陣H定義為：如何知道H是否為正定？可定義行列式為：這樣得到一組數(shù)值這稱為{D1,D2,

,Dn},H矩陣的主子式。如果所有的Di＞0（i＝l,2，…，n)則赫森矩陣H為正定根據(jù)函數(shù)存在極小值的充分必要條件，將無約束最優(yōu)化問題的求解，轉(zhuǎn)化為求右面一組非線性方程的求解：

其中滿足的點(diǎn)，就是方程組的解。

這種經(jīng)典方法存在以下缺點(diǎn)：復(fù)雜問題，非線性方程組求解相當(dāng)困難;由于滿足極小，而不是最小，所以找到的解可能是局部極值，而不是全局最優(yōu)值。只能用于導(dǎo)數(shù)連續(xù)的場合，當(dāng)導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時(shí)不能使用。而導(dǎo)數(shù)不連續(xù)之處，可能正好是最小值或最大值所在之處。4.5.2有約束條件最優(yōu)化問題的經(jīng)典求解方法拉格朗日乘子法罰函數(shù)法1.拉格朗日乘子法已知目標(biāo)函數(shù)f（x1，x2，…，xn）服從等式約束條件：

ej（x1，x2，，xn）=0(j=1，2，…，m)引入拉格朗日函數(shù)

（x,）可以將這個有約束的最優(yōu)化問題，轉(zhuǎn)化成無約束的最優(yōu)化問題：式中

稱為拉格朗日乘子根據(jù)無約束最優(yōu)化問題的求解方法，只要式中的函數(shù)f和約束ej的一階偏導(dǎo)數(shù)在所有各點(diǎn)均存在，則只要求解下列非線性方程組，就可得到最優(yōu)解X*和*：以上共n＋m個方程，可解出x1*,x2*,…,xn*及

1*,

2*,…,

m*未知數(shù)。例4-6有一個烴類催化反應(yīng)器。烴類進(jìn)行壓縮并和蒸汽先充分混合后進(jìn)入反應(yīng)器。反應(yīng)后的產(chǎn)物和未反應(yīng)的原料通過蒸餾進(jìn)行分離，使未反應(yīng)的原料再循環(huán)使用。設(shè)原料加壓所需的費(fèi)用為每年1000p元，將原料和蒸汽混合并送入反應(yīng)器的輸送費(fèi)用為每年4109/PR元，其中p為操作壓力，R為循環(huán)比。又設(shè)分離器將產(chǎn)物分離所需費(fèi)用為每年105R元，未反應(yīng)的原料進(jìn)行再循環(huán)和壓縮的費(fèi)用每年為1.5105R元。每年的產(chǎn)量107kg。

(a)試求最優(yōu)的操作壓力p和循環(huán)比R，使每年總費(fèi)用為最小。

(b）若要求的P和R乘積為9000MPa，試求最優(yōu)的P和R。(a)解:這是一個無約束最優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)為：對p和R求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得到：由此解得：p=1000,R=4

代入目標(biāo)函數(shù)得每年得費(fèi)用為：J=3

106元驗(yàn)證此解是否為極小值：將J對P和R求二階導(dǎo)數(shù)，在（1000，4）的點(diǎn)為：此矩陣為正定矩陣，因此這一點(diǎn)為極小點(diǎn)φ對p和R求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得求解三個方程得到P=1500R=6=117.3同樣可以證明赫森矩陣為正定，因而此點(diǎn)為極小點(diǎn)2.罰函數(shù)法利用罰函數(shù)法求解有約束最優(yōu)化問題的基本思想是通過一個懲罰因子把約束條件連接到目標(biāo)函數(shù)上去，從而將有約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的問題。新的目標(biāo)函數(shù)具有如下性質(zhì)：當(dāng)搜索到不可行點(diǎn)時(shí)，附加一個約束懲罰項(xiàng)，會使目標(biāo)函數(shù)變得很大，而且離約束條件愈遠(yuǎn)懲罰就愈大。已知目標(biāo)函數(shù)f（x1，x2，…，xn）服從等式約束條件：

gj（x1，x2，…，xn）=0j=1,2,…,m引入懲罰因子kj將目標(biāo)函數(shù)f轉(zhuǎn)換成帶罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)F（x）：

F（x）=f（x1，x2，…，xn）+

kj[gj（x1，x2，…，xn）]2

這樣有約束的最優(yōu)化問題就被轉(zhuǎn)化為無約束的最優(yōu)化問題，可以用上面的方法進(jìn)行求解。

F（x）=f（x1，x2，…，xn）+

kj[gj（x1，x2，…，xn）]2

（1）當(dāng)kj為很大的正數(shù)時(shí)，只要x違反了約束條件，則懲罰項(xiàng)就會變成一個很大的正值，從而使利F(x)離最小值更遠(yuǎn)。而且x對約束條件偏離愈大，懲罰也就愈大。（2）所求的F(x）最小值會因kj值的不同而不同。kj值愈大，則懲罰項(xiàng)的權(quán)也增加，偏離約束的可能愈小。當(dāng)

kj

時(shí)，則只有g(shù)j(x)=0時(shí)才能使F(x)達(dá)到最小值，這時(shí)的解就是f(x)的解。例題4-7已知目標(biāo)函數(shù)為f(x)=x12+4x22,等式約束條件為：x1+x2-5=0

解：建立帶有罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)：當(dāng)k

，若要使上式成立，可得x2

1，從而得到最優(yōu)解x2*=1，x1*=4目標(biāo)函數(shù)f(x)=42+4

12=20習(xí)題1：用懲罰函數(shù)法解例題4-6習(xí)題2：用拉格朗日乘子法解例題4-7

智能模型—人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

ArtificialNeuralNetwork1943年心理學(xué)家M.McCulloch和數(shù)學(xué)家W.H.Pitts首先提出了簡單神經(jīng)元M-P模型，開創(chuàng)了神經(jīng)科學(xué)研究的時(shí)代。1958年Rosenblatt[1]的感知器(Perceptron)是最早的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。1959年Widdrow和Hiff開發(fā)了一種叫自適應(yīng)線性單元(ADALINE)的網(wǎng)絡(luò)模型，成為第一個用于實(shí)際問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。掀起了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一次高潮。1969年，Minsky和Papert出版“Perseptron”一書中，證明了感知器不能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜邏輯的判斷功能使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究一度趨于低潮。1982年，加州技術(shù)學(xué)院的物理學(xué)家JohnJ.Hopfield博士發(fā)表了一篇十分重要的文章，他所提出的Hopfield網(wǎng)絡(luò)，有意義的是它的網(wǎng)絡(luò)很容易用集成電路來實(shí)現(xiàn)，在1984年、1986年Hopfield連續(xù)發(fā)表了有關(guān)他的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的文章，他的文章得到了重視和理解。掀起了各學(xué)科關(guān)心神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個熱潮。5.1人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的處理單元及結(jié)構(gòu)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)，又稱為“神經(jīng)網(wǎng)”(NeuralNet)，是源于人工智能的一種計(jì)算機(jī)工具。人工神經(jīng)元是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本處理單元(縮寫為PE)，也可以稱其為節(jié)點(diǎn)。如下圖就是簡化的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)。人工神經(jīng)元

它是一多輸入、單輸出的非線性元件，其輸入、輸出關(guān)系可描述為：其中xi(j=1,2,…,n)是從其它細(xì)胞傳來的輸入信號，θj為閾值，wji表示從神經(jīng)元j到神經(jīng)元i的連接權(quán)值，f()稱為傳遞函數(shù)。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

輸入層隱含層隱含層輸出層非線性函數(shù)是Sigmoid函數(shù)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)階段—通過不斷調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)之間的相互連接權(quán)重，直至特定的輸入產(chǎn)生特定的輸出。最為廣泛的為反向傳播算法(BP法)；回響階段—向人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)輸入一系列已在訓(xùn)練階段使用過的輸入模式，調(diào)整系統(tǒng)使之更可靠、更健壯：預(yù)測階段—向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入新的模式，希望系統(tǒng)能進(jìn)行正常工作。為運(yùn)行人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，必須經(jīng)過三個階段：5.2.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及BP算法BP法是一種深入的數(shù)值方法，有許多不同的方法來進(jìn)行反向傳播教會人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何作出反應(yīng)?；旧希瑤缀跛械腂P法都要進(jìn)行以下步驟：(1)送入一特定的輸入，測定其實(shí)際輸出。(2)將實(shí)際輸出與期望輸出值進(jìn)行比較，根據(jù)輸入—輸出分析計(jì)算定量差。(3)通過反復(fù)調(diào)整節(jié)點(diǎn)間的連接權(quán)重，使誤差(或均方根誤差)達(dá)到最小。

(a)由輸出節(jié)點(diǎn)開始，調(diào)整其權(quán)重。

(b)“反向”傳播至與輸出層相鄰的一層，計(jì)算那一層的誤差并調(diào)整其權(quán)重。

(c)繼續(xù)這一反向傳播過程(由網(wǎng)絡(luò)的輸出端向輸入端)直至計(jì)算無誤差，并且所有權(quán)重均被調(diào)整為止。反向傳播(BP)采用的是并行式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它包括輸入層、隱含層和輸出層。如圖所示，輸入層有N+1個神經(jīng)元，對應(yīng)于N個輸入值和一個偏值(bias)，隱含層M+1個節(jié)點(diǎn)，其中也有一個偏值，輸出層有L個神經(jīng)元。

假設(shè)第k(k=1,2,…,P)個實(shí)驗(yàn)樣本的第i個輸入?yún)?shù)為xik，隱含層第h個節(jié)點(diǎn)輸出值為yhk，輸出層第j個節(jié)點(diǎn)輸出值為zjk,每一節(jié)點(diǎn)的輸入與輸出值通過非線型的Sigmoid函數(shù)變換。如果輸入層與隱含層之間的權(quán)值為whi，隱含層與輸出層之間的權(quán)值為wjh，則各節(jié)點(diǎn)的輸出按下式計(jì)算：

h=1,2,…,Mj=1,2,…,L

(2-6)式中，θh和θj分別是，隱含層與輸出層各節(jié)點(diǎn)的內(nèi)部閾值。在輸入層和隱含層之間各設(shè)一個神經(jīng)元bias，即第0個節(jié)點(diǎn)，取它的指定輸出值為1.0，對于隱含層，令θh=wj0x0k(xk0=1.0)，則式(2-6)中的自變量部分可表示成：

對于輸出層也可作類似處理，于是輸出式可改寫為：h=1,2,…,Mj=1,2,…,L數(shù)學(xué)形式上不含閾值θ，它們已經(jīng)隱含在相應(yīng)的權(quán)值里，并且與其它權(quán)值一樣可以在迭代過程中予以優(yōu)化。如果在[-1,1]區(qū)間給權(quán)重whi和wjh隨機(jī)賦值，那么對每一個輸入模式P，網(wǎng)絡(luò)的總平均誤差E：式中：P為送入輸入層的訓(xùn)練模式數(shù)；L為輸出層的處理單元數(shù)：djk為第k個訓(xùn)練模式在第j個處理單元上的期望輸出值；zjk為第k個訓(xùn)練模式在第j個處理單元上的實(shí)際輸出值上式也可寫為：由于轉(zhuǎn)移函數(shù)是連續(xù)可微的，顯然上式是每個加權(quán)的連續(xù)可微函數(shù)，反過來，為了使誤差函數(shù)最小，用梯度下降法求得優(yōu)化的權(quán)值，該權(quán)值總是從輸出層開始修正，然后修正前層權(quán)值。從這一層意思講有反傳的含義。根據(jù)梯度下降法，由隱蔽層至輸出層的連續(xù)加權(quán)調(diào)節(jié)量為：η為學(xué)習(xí)速率，δjk定義為輸出節(jié)點(diǎn)的誤差信號：

對數(shù)Sigmoid型壓縮函數(shù)為：由輸入到隱蔽層的加權(quán)修正量可用分層鏈導(dǎo)法求得：

其中η為學(xué)習(xí)速率，定義為隱含節(jié)點(diǎn)的誤差信號。Rumelnart,Hinton和Williams于1986年提出一種改善BP訓(xùn)練時(shí)間的方法，稱為動量法。同時(shí)保證了過程的穩(wěn)定性。該方法是為每個加權(quán)調(diào)節(jié)量上加一項(xiàng)正比于前次加權(quán)變化的值。這就要求每次調(diào)節(jié)完后，要把調(diào)節(jié)量記住，以便在下面的加權(quán)調(diào)節(jié)使用。從隱含層到輸出層附加有沖量項(xiàng)的加權(quán)調(diào)節(jié)公式為：

計(jì)算權(quán)重：

從輸出到輸入層附加有沖量項(xiàng)的加權(quán)調(diào)節(jié)公式：

計(jì)算新的權(quán)重5.3BP訓(xùn)練算法實(shí)現(xiàn)步驟

BP訓(xùn)練步驟如下：(1)在[-1,1]區(qū)間內(nèi)給權(quán)重wjh和whi隨機(jī)賦值，并設(shè)定訓(xùn)練允許誤差ε(ε>0)。(2)計(jì)算隱含層及輸出層的輸出，依次正向進(jìn)行：隱含層輸出層(3)對于送入輸入層的P個訓(xùn)練模式繼續(xù)步驟(1)-步驟(2)，根據(jù)下式計(jì)算總的平均平方誤差E：(4)開始網(wǎng)絡(luò)的反向傳播：從輸出開始反向轉(zhuǎn)移到輸入，根據(jù)下式，計(jì)算輸出層每一節(jié)點(diǎn)的梯度下降項(xiàng)：(5)繼續(xù)反向傳播：轉(zhuǎn)到隱含層，根據(jù)下式，計(jì)算隱含層相對于每一個δjk的每一節(jié)點(diǎn)的梯度下降項(xiàng)：(6)已知隱含層的δhk輸出層的δjh，用下式計(jì)算權(quán)重變化：(7)已知權(quán)重變化，根據(jù)下式計(jì)算權(quán)重：對所有的訓(xùn)練模式，重復(fù)步驟(2)-步驟(7)，直至平方誤差為0或充分小為止。

遺傳算法

遺傳算法（GA）是模擬自然選擇和遺傳的隨機(jī)搜索算法。密執(zhí)安大學(xué)約翰·郝蘭德（JohnHolland）最早提出這一算法，其最初目的是研究自然系統(tǒng)的自適應(yīng)行為并設(shè)計(jì)具有自適應(yīng)功能的軟件系統(tǒng)。近來，遺傳算法作為問題求解和最優(yōu)化的有效工具，引起越來越多的注意。遺傳算法是一種迭代算法。它在每一次迭代時(shí)都擁有一組解答。這組解答最初是隨機(jī)生成的。在每次迭代時(shí)又有一組新的解答由模擬進(jìn)化和遺傳操作生成。每個解答都由一個目標(biāo)函數(shù)給予評價(jià)，重復(fù)這一過程，直至收斂。新的一組解答不但可以有選擇地保留一些目標(biāo)函數(shù)值高的舊的解答，而且可以包括一些經(jīng)由其它解答結(jié)合而得的新的解答。遺傳算法的術(shù)語

遺傳算法的術(shù)語借鑒于自然遺傳學(xué):一個解稱為一個符號串或染色體染色體由決定其特性的基因構(gòu)成基因有稱為等位基因的不同取值目標(biāo)函數(shù)稱為適度函數(shù)一組染色體稱為群體遺傳算法的一次迭代稱為一代遺傳算法包括如下組成部分：

一個對參數(shù)空間編碼的符號串表示；一個評價(jià)符號串的適度函數(shù)；一組產(chǎn)生成新的符號串的遺傳操作；一組控制遺傳操作的概率值。

典型的遺傳算法步驟有：（1）初始化隨機(jī)生成一個符號串群體。（2）基于適度函數(shù)對符號串進(jìn)行評價(jià)。（3）應(yīng)用一組遺傳操作生成一個新的符號串群體。（4）重復(fù)步驟（2）和（3）直到解答收斂。6.1簡單遺傳操作遺傳操作通過模擬進(jìn)化和繼承過程而生成符號串（新的或舊的）。繁殖、交叉和突變是三個簡單遺傳操作，它們在實(shí)際應(yīng)用中給出了很好的結(jié)果。6.1.1繁殖在大自然中，生命力最強(qiáng)的物種征服弱小的物種以確保其生存。運(yùn)用這一適者生存的法則，繁殖操作在舊的群體中“隨機(jī)”選擇符號串生成一個新的群體。選擇并不是完全隨機(jī)的，它基于一個符號串相對于整個群體的適度值。假定一個群體有6個符號串，而且它們的適度值如下：注意，一個群體中的每個符號串不必是唯一的。fi/Σfi被視為符號串fi在下一代中存活的概率。這意味著具有較高適度值的符號串會有較大的存活機(jī)會。另外，在整個算法運(yùn)行過程中，一個群體的符號串?dāng)?shù)目是一個常數(shù)。繁殖操作生成的是一個同樣大小的群體。這意味著適度值較大的符號串最終會在群體中成為多數(shù)。實(shí)現(xiàn)上述選擇過程的一種方法是偏置輪盤。每個符號串在輪盤上占有一格，而格的大小則與符號串的適度值成正比。在選擇一個新的符號串時(shí)，先轉(zhuǎn)動輪盤，待輪盤停下，落在標(biāo)記處的格所對應(yīng)的符號串被選中。輪盤轉(zhuǎn)動6次生成一代新的群體，且符號串的期望組合為基于期望次數(shù)，新的群體可能是｛A，A，A，B，C，C｝。很明顯，如果繁殖操作被重復(fù)運(yùn)用，適度值較高的符號串最終會在整個群體中占據(jù)主導(dǎo)地位。由于繁殖操作并不生成新的符號串，我們需要其它操作以探究新的解答。5.1.2交叉交叉操作利用了來自不同符號串的基因經(jīng)由交配而混合，以產(chǎn)生新符號串的概念。由于基因表達(dá)了符號串的特性，如果不同符號串的“好的”特性得以結(jié)合，所得符號串可能會有更好的特性。

假定一個符號串的基因被排成一條直線則兩個符號串的交叉可按如下步驟進(jìn)行：（1）隨機(jī)選擇一個將每個符號串?dāng)嚅_為兩部分的點(diǎn)（截點(diǎn)）。（2）交換符號串的后一部分。兩個具有其父母雙方基因成分的符號串由此生成。這一交叉操作是交換信息、生成新解的簡單而有效的方法。需要注意的是，如果整個群體只有一種符號串，交叉操作不會生成任何新的符號串。可以利用突變操作來避免這種情況的發(fā)生。6.1.3突變隨機(jī)選取符號串中的一個基因，將其改變?yōu)橐粋€不同的等位基因以生成一個新的符號串見圖。它將可變性引入群體，從而提供逃脫局部最小值的手段。一個僅應(yīng)用突變操作的算法等同于隨機(jī)搜索。

因?yàn)橥蛔儾僮骺梢杂泻軓?qiáng)的破壞性，并非總要用到它，而是由一個突變概率（Pm）來控制。與此類似的，交叉操作的運(yùn)用也由交叉概率（Pc）來控制。一個簡單的遺傳算法可歸納如下：（1）生成一個具有m個符號串的起始群體。（2）重復(fù)步驟（3）直至解答的適度值收斂。（3）生成一個新的m個符號串群體。步驟如下：①應(yīng)用繁殖操作兩次，亦即用輪盤選出兩個符號串。②如果Pc＞rand［0，l］，則應(yīng)用交叉操作于這一對符號串。③如果Pm＞rand［0，1]，則應(yīng)用突變操作于這一對符號串。

④將生成的兩個符號串加入新的群體。示例1:以求解下列函數(shù)的最大值為例。圖給出了函數(shù)f(x)在變量x取值[-2，2]時(shí)的曲線。f的最大值1.501564對應(yīng)于

x=-0.507179。在運(yùn)用遺傳算法求解f的最大值時(shí)，可以將x（[2，-2]）的值用一個二近制數(shù)表達(dá)。一個16位的二進(jìn)制數(shù)提供的分辨率是每位(2-(-2))/(216-1)=0.000061。下式將變量域[2，-2]離散化為二進(jìn)制數(shù)[0，65535]。其中b是[0，65535]中的一個二進(jìn)制數(shù)。例如：0.93596在運(yùn)用遺傳算法求解例題給出的函數(shù)的最大值時(shí)，用到了繁殖、交叉和突變等三個遺傳操作。

繁殖操作由上節(jié)給出的偏置輪盤實(shí)現(xiàn)。交叉操作將兩個二值向量混合在一起，并生成兩個新的二值向量。在這里我們采用最簡單的交叉形式，即隨機(jī)選取兩相鄰位之間作為截點(diǎn)，交換兩向量在截點(diǎn)后的尾部以獲取兩個新的向量。

例如，若選取截點(diǎn)如下（以||表示）：則兩個新的二進(jìn)制量為：突變操作十分直截了當(dāng)。給定一個二進(jìn)制向量，隨機(jī)選取一位并將其反置即可。例如，若

1中帶下劃線的一位被選中，則突變后的新向量為

1′

在求解中用到了下列參數(shù)：群體大小=30；交叉概率=0.3；突變概率=0.01。從不同的起始群體出發(fā)，運(yùn)用遺傳算法100次。算法找到最優(yōu)解的成功率為80％。圖給出了一次成功運(yùn)用的收斂過程。注意，經(jīng)過400次選代，一個群體大小為30的遺傳算法在終止時(shí)已經(jīng)評價(jià)了400

30個二進(jìn)制值向量（有些向量會重復(fù)出現(xiàn)）。例題2二元函數(shù)

此函數(shù)有無限個局部極大點(diǎn)，其中只有一個(0,0)為全局最大，最大值為1。自變量的取值范圍為-100<x,y<100。此函數(shù)最大值峰周圍有一個圈脊，它們?nèi)≈稻鶠?.992083，因此很容易停滯在此局部極大點(diǎn)。但是只要達(dá)到一定的迭代次數(shù)最終結(jié)果會達(dá)到>0.9999。其模擬結(jié)果如表所示。

換熱網(wǎng)絡(luò)合成7.1換熱網(wǎng)絡(luò)的作用和意義換熱是化工生產(chǎn)不可缺少的單元操作過程。對于一個含有換熱物流的工藝流程，將其中的換熱物流提取出來，就組成了換熱網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其中被加熱的物流稱為冷物流，被冷卻的物流稱為熱物流。圖7-1所示的乙烯裂解氣甲烷化流程，把氫氣進(jìn)料加熱到310℃，以便在反應(yīng)器中進(jìn)行反應(yīng)。出反應(yīng)器的物流先與進(jìn)反應(yīng)器的物流換熱，以便回收熱量，然后繼續(xù)冷卻，以完成氣、液相的分離。換熱網(wǎng)絡(luò)的消耗代價(jià)來自三個方面：換熱單元（設(shè)備）數(shù)；傳熱面積；公用工程消耗。換熱網(wǎng)絡(luò)合成追求的目標(biāo)，是使這三方面的消耗都為最小值。實(shí)際生產(chǎn)裝置很難達(dá)到這一目標(biāo)。通常，最小公用工程消耗意味著較多的換熱單元數(shù)，而較少的換熱單元數(shù)又需要較大的換熱面積。實(shí)際進(jìn)行換熱網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)時(shí)，需要在某方面做出犧牲，以獲得一個折衷的方案。7.2換熱網(wǎng)絡(luò)合成問題7.2.1換熱網(wǎng)絡(luò)合成問題的描述一組需要冷卻的熱物流H和一組需要加熱的冷物流C；每條物流的熱容流率FCp；熱物流從初始溫度TH初冷卻到目標(biāo)TH終；冷物流從初始溫度TC初加熱到目標(biāo)溫度TC終。通過確定物流間的匹配關(guān)系，使所有的物流均達(dá)到它們的目標(biāo)溫度，同時(shí)使裝置成本、公用工程消耗成本最少。7.2.2換熱網(wǎng)絡(luò)合成的研究主要經(jīng)歷（1）Hohmann的開創(chuàng)性工作的意義在于從理論上導(dǎo)出了換熱網(wǎng)絡(luò)的兩個理想狀：在溫焓圖上進(jìn)行過程物流的熱復(fù)合，找到了換熱網(wǎng)絡(luò)的能量最優(yōu)解，即最小公用消耗。提出了換熱網(wǎng)絡(luò)最少換熱單元數(shù)的計(jì)算公式。從而為換熱網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)指明了方向。(2）Linnhoff和Flower在Hohmann的基礎(chǔ)上，從方法上提出分兩步走。第一步是合成能量最優(yōu)的換熱網(wǎng)絡(luò)。從熱力學(xué)的角度出發(fā)，劃分溫度區(qū)間和進(jìn)行熱平衡計(jì)算。通過簡單的代數(shù)運(yùn)算找到能量最優(yōu)解，這就是著名的溫度區(qū)間法。第二步是對能量最優(yōu)解進(jìn)行調(diào)優(yōu)。通過一些調(diào)優(yōu)法則，在少增加或不增加公用工程消耗的情況下，減少系統(tǒng)的換熱單元數(shù)，使網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)向操作和投資總費(fèi)用最小的方向調(diào)整。（3）夾點(diǎn)（PinchPoint也譯為狹點(diǎn)，窄點(diǎn)）概念以及夾點(diǎn)設(shè)計(jì)法的建立。Linnhoff繼溫度區(qū)間法之后提出了夾點(diǎn)的概念，最后發(fā)展了一套夾點(diǎn)設(shè)計(jì)法。（4）人工智能方法的建立。從20世紀(jì)80年代起，隨著人工智能研究的發(fā)展，人工智能技術(shù)也被應(yīng)用到換熱網(wǎng)絡(luò)合成領(lǐng)域，如專家系統(tǒng)模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、遺傳算法模型等。7.3換熱網(wǎng)絡(luò)合成---夾點(diǎn)技術(shù)

節(jié)能工作的發(fā)展經(jīng)歷了這樣幾個過程：第一階段，屬于撿浮財(cái)?shù)碾A段，主要表現(xiàn)在回收余熱，但在此階段所著眼的只是單個的余熱流，而不是整個的熱回收系統(tǒng)；第二階段，考慮單個設(shè)備的節(jié)能，例如將蒸發(fā)設(shè)備從雙效改為三效，采用熱泵裝置，減少精餾塔的回流比，強(qiáng)化換熱器的傳熱，等等；第三階段，也就是現(xiàn)在所處的階段，考慮過程系統(tǒng)節(jié)能，這是由于八十年代以來過程系統(tǒng)工程學(xué)的發(fā)展，使人們認(rèn)識到，要把一個過程工業(yè)的工廠設(shè)計(jì)得能耗最小、費(fèi)用最小和環(huán)境污染最少，就必須把整個系統(tǒng)集成起來作為一個有機(jī)結(jié)合的整體來看待，達(dá)到整體設(shè)計(jì)最優(yōu)化。因此，九十年代是過程系統(tǒng)節(jié)能的時(shí)代。夾點(diǎn)技術(shù)已成功地應(yīng)用在2500多個項(xiàng)目中，在世界范圍內(nèi)取得了顯著的節(jié)能效果。采用這種技術(shù)對新廠設(shè)計(jì)而言，比傳統(tǒng)方法可節(jié)能30％～50％，節(jié)省投資10％左右；對老廠改造而言，通常可節(jié)能20％～35％，改造投資的回收年限一般只有0.5～3年。7.4夾點(diǎn)的形成及其意義7.4.1溫-焓圖和復(fù)合曲線溫-焓圖以溫度T為縱軸，以熱焓H為橫軸。熱物流線的走向是從高溫向低溫，冷物流線的走向是從低溫向高溫。物流的熱量用橫坐標(biāo)兩點(diǎn)之間的距離（即焓差

H）表示，因此物流線左右平移，并不影響其物流的溫位和熱量。當(dāng)一股物流吸入或放出dQ熱量時(shí)，其溫度發(fā)生dT的變化，則dQ=FCp·dT

式中，F(xiàn)Cp為熱容流率，單位為kw／oC。熱容流率是質(zhì)量流率與定壓比熱的乘積。

如果把一股物流從供給溫度Ts加熱或冷卻至目標(biāo)溫度TT，則所傳的總熱量為:若熱容流率FCp可作為常數(shù)，則

Q=FCp（TT-TS）=H這樣就可以用溫-焓圖上的一條直線表示一股熱流被冷卻或一股冷流被加熱的過程。FCp值越大，T－H圖上的線越平緩。THTSTTQTHTTTSQ（a）一股熱流被冷卻（b）一股冷流被加熱

在過程工業(yè)的生產(chǎn)系統(tǒng)中，通?？偸怯腥舾衫湮锪餍枰患訜幔钟辛硗馊舾蔁嵛锪餍枰焕鋮s。對于多股熱流，將它們合并成一根熱復(fù)合曲線；對于多股冷流，將它們合并成一根冷復(fù)合曲線。下圖表示了如何在溫-焓圖上把三股熱流合并成一根復(fù)合曲線。設(shè)有三股熱流，其熱容流率分別為A、B、C（kw/℃），其溫位分別為（T1

T3）、（T2

T4）、（T2

T5），在T1到T2溫度區(qū)間，只有一股熱流提供熱量，熱量值為（T1-T2）B=

H1，所以這段曲線的斜率等于曲線B的斜率；在T2到T3的溫區(qū)內(nèi)，有三股熱流提供熱量，總熱量值為(T2-T3)(A＋B＋C)=

H2，于是這段復(fù)合曲線要改變斜率，即兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，而在橫軸上的距離等于原來三股流在橫軸上的距離的疊加。即，在每一個溫區(qū)的總熱量可表示為：照此方法，就可形成每個溫區(qū)的線段，使原來的三條曲線合成一條復(fù)合曲線，如圖所示。以同樣的方法，也可將多股冷流在溫-焓圖上合并成一根冷復(fù)合曲線。7.2.4夾點(diǎn)的形成當(dāng)有多股熱流和多股冷流進(jìn)行換熱時(shí)，可將所有的熱流合并成一根熱復(fù)合曲線，所有的冷流合并成一根冷復(fù)合曲線，然后將兩者一起表示在溫-焓圖上。在溫-焓圖上，冷、熱復(fù)合曲線的相對位置有三種不同的情況，如下圖所示。(a)全部冷流Ⅱ由加熱公用工程加熱，全部熱流Ⅰ由冷卻公用工程冷卻，過程中的熱量全部沒有回收。此時(shí)，加熱公用工程所提供的熱量QH和冷卻公用工程所提供的冷卻量QC為最大。(b)將冷復(fù)合曲線II平行左移，則熱流所放出的一部分熱量可以用來加熱冷流，所以加熱公用工程所提供的熱量QH和冷卻公用工程所提供的冷卻量QC均相應(yīng)減少。但此時(shí)由于是以最高溫度的熱流加熱最低溫度的冷流，傳熱溫差很大，可回收利用的余熱QR也有限。(C)如果繼續(xù)將冷復(fù)合曲線II向左推移至如圖所示，使熱復(fù)合曲線I和冷復(fù)合曲線II在某點(diǎn)幾乎重合，此時(shí)，加熱公用工程所提供的熱量QH和冷卻公用工程所提供的冷卻量QC均達(dá)到最小，所回收的熱量QR達(dá)到最大。冷、熱復(fù)合曲線在某點(diǎn)重合時(shí)是該系統(tǒng)內(nèi)部換熱的極限，重合即該點(diǎn)的傳熱溫差為零，該點(diǎn)即為夾點(diǎn)。但是，在夾點(diǎn)溫差為零下操作需要無限大的傳熱面積，既不現(xiàn)實(shí)，也不經(jīng)濟(jì)。不過，可以通過技術(shù)經(jīng)濟(jì)評價(jià)而確定一個系統(tǒng)最小的傳熱溫差——夾點(diǎn)溫差。因此，夾點(diǎn)可定義為冷熱復(fù)合溫焓線上傳熱溫差最小的地方。確定了夾點(diǎn)溫差之后的冷熱復(fù)合曲線圖如圖所示。圖中，冷、熱曲線的重疊部分ABCEFG，即陰影部分，為過程內(nèi)部冷、熱流體的換熱區(qū)，包括多股熱流和多股冷流，物流的焓變?nèi)客ㄟ^換熱器來實(shí)現(xiàn)；冷復(fù)合曲線上端剩余部分GH，已沒有合適的熱流與之換熱，需用公用工程加熱器使這部分冷流升高到目標(biāo)溫度，GH為在該夾點(diǎn)溫差下所需的最小加熱公用工程量QHmin；熱復(fù)合曲線下端剩余部分CD，已沒有合適的冷流與之換熱，需用公用工程冷卻器使這部分熱流降低到目標(biāo)溫度，CD為在該夾點(diǎn)溫差下所需的最小冷卻公用工程量QCmin。7.4.3問題表法當(dāng)物流較多時(shí)，采用復(fù)合溫焓線很繁瑣，且不夠準(zhǔn)確，此時(shí)常采用問題表來精確計(jì)算。問題表法的步驟如下：

(1)以冷、熱流體的平均溫度為標(biāo)尺，劃分溫度區(qū)間。冷、熱流體的平均溫度:相對熱流體，下降1/2個夾點(diǎn)溫差（Tmin/2）；相對冷流體，上升1/2個夾點(diǎn)溫差（Tmin/2）。這樣可保證在每個溫區(qū)內(nèi)熱物流比冷物流高Tmin,而滿足了傳熱的需要。

(2)計(jì)算每個溫區(qū)內(nèi)的熱平衡，以確定各溫區(qū)所需的加熱量和冷卻量，計(jì)算式為:

Hi=(FCPC-FCPH)(Ti-Ti+1)式中

Hi為第i區(qū)間所需外加熱量，kw；FCPC，F(xiàn)CPH

，分別為該溫區(qū)內(nèi)冷、熱物流熱容流率之和，kW／oC；Ti，Ti+1分別為該溫區(qū)的進(jìn)、出口溫度。

(3)進(jìn)行熱級聯(lián)計(jì)算:計(jì)算外界無熱量輸入時(shí)各溫區(qū)之間的熱通量。各溫區(qū)之間可進(jìn)行自高向低的熱流流通，但不能有逆向熱流流通。為保證各溫區(qū)之間的熱通量＞0，根據(jù)第一步級聯(lián)計(jì)算結(jié)果，確定所需外界加入的最小熱量，即最小加熱公用工程用量，而由最后一個溫區(qū)流出的熱量，就是最小冷卻公用工程用量。計(jì)算外界輸入最小加熱公用工程量時(shí)各溫區(qū)之間的熱通量。(4)溫區(qū)之間熱通量為零處，即為夾點(diǎn)。例題7-1某一換熱系統(tǒng)的工藝物流為兩股熱流和兩股冷流，其物流參數(shù)如表所示。取冷、熱流體之間最小傳熱溫差為10℃?，F(xiàn)用問題表法確定該換熱系統(tǒng)的夾點(diǎn)位置以及最小加熱公用工程量和最小冷卻公用工程量。CP=FCP步驟一劃分溫區(qū)（1）分別將所有熱流和所有冷流的進(jìn)、出口溫度從小到大排列起來：熱流體：30，60，150，170

冷流體：20，80，135，140

熱流體：30，60，150，170

冷流體：20，80，135，140（2）計(jì)算冷熱流體的平均溫度，即將熱流體溫度下降

Tmin/2，將冷流體溫度上升上

Tmin/2

熱流體：25，55，145，165

冷流體：25，85，140，145（3）將所有冷熱流體的平均溫度從小到大排列起來：冷熱流體：25，55，85，140，145，165冷流加熱熱流冷卻（4）劃分溫區(qū)：整個系統(tǒng)可以劃分為五個溫區(qū)，它們分別為第一溫區(qū)165

145第二溫區(qū)145

140第三溫區(qū)140

85第四溫區(qū)85

55第五溫區(qū)55

25步驟二溫區(qū)內(nèi)熱平衡計(jì)算，用公式

Hi=(FCPC-FCPH)(Ti-Ti+1)

FCPC，F(xiàn)CPH

，分別為該溫區(qū)內(nèi)冷、熱物流熱容流率之和，kW／oC；

結(jié)果命名為“虧缺熱量”列于表第三列：第一溫區(qū)：

H1=-3.0(165-145)=-60第二溫區(qū)：

H2=（4.0-3.0-1.5）(145-140)=-2.5第三溫區(qū)：

H3=（4.0+2-3.0-1.5）(140-85)=82.5第四溫區(qū)：

H4=（2.0-3.0-1.5）(85-55)=-75第五溫區(qū)：

H5=（2.0-1.5）(55-25)=15虧缺熱量

Hi為負(fù)值表示該溫區(qū)有剩余熱量。CP=4,2,1.5,3步驟三計(jì)算外界無熱量輸入時(shí)各溫區(qū)之間的熱通量，命名為“累積熱量”，此時(shí)，每一溫區(qū)的輸入熱量等于上一溫區(qū)的輸出熱量，每一溫區(qū)的輸出熱量等于本溫區(qū)的輸入熱量減去本溫區(qū)的虧缺熱

Hi

，計(jì)算結(jié)果列于問題表第四列：第一溫區(qū)：輸入熱量=0(因外界無熱量輸入),輸出熱量=0＋60=60第二溫區(qū)：輸入熱量=60，輸出熱量=60＋2.5=62.5第三溫區(qū)：輸入熱量=62.5，輸出熱量=62.5-82.5=-20第四溫區(qū)：輸入熱量=-20，輸出熱量=-20＋75=55第五溫區(qū)：輸入熱量=55，輸出熱量=55-15=40步驟四確定最小加熱公用工程用量。從步驟三的計(jì)算中可以看到，當(dāng)外界無熱量輸入時(shí)，溫區(qū)三向溫區(qū)四輸出的熱量為負(fù)值，這意味著溫區(qū)四向溫區(qū)三提供熱量，在熱力學(xué)上是不合理的。為消除這種不合理現(xiàn)象，使各溫區(qū)之間的熱通量＞0，就必須從外界輸入熱量，使原來的負(fù)值至少變?yōu)榱悖虼说玫阶钚〖訜峁霉こ塘繛?0kW。

步驟五計(jì)算外界輸入最小加熱公用工程量時(shí)各溫區(qū)之間的熱通量。換熱網(wǎng)絡(luò)所需的最小加熱量可從第三溫區(qū)以上的任何溫區(qū)中輸入，本例假定該熱量從溫區(qū)一輸入。計(jì)算方法同步驟三的完全相同計(jì)算結(jié)果形成問題表的最后一列——熱通量。第一溫區(qū)：輸入熱量=20，輸出熱量=20＋60=80第二溫區(qū)：輸入熱量=80，輸出熱量=80＋2.5=82.5第三溫區(qū)：輸入熱量=82.5，輸出熱量=82.5-82.5=0第四溫區(qū)：輸入熱量=0，輸出熱量=0＋75=75第五溫區(qū)：輸入熱量=75，輸出熱量=75-15=60由最后溫區(qū)輸出的熱量60kW即為最小冷卻公用工程用量步驟六確定夾點(diǎn)位置。溫區(qū)三和溫區(qū)四之間熱通量為零，此處就是夾點(diǎn)，即夾點(diǎn)在平均溫度85℃(熱流溫度90℃,冷流溫度80℃)處。7.4.4夾點(diǎn)的意義

由上面的分析可知，夾點(diǎn)是冷熱復(fù)合溫焓線中傳熱溫差最小的地方，此處熱通量為零。

夾點(diǎn)將換熱網(wǎng)絡(luò)分成兩部分：夾點(diǎn)之上和夾點(diǎn)之下：夾點(diǎn)之上是熱端，只有換熱和加熱公用工程，沒有任何熱量流出，可看成是一個熱阱；夾點(diǎn)之下是冷端，只有換熱和冷卻公用工程，沒有任何熱量流入，可看成是一個熱源；在夾點(diǎn)處，熱流量為零，如圖所示。如果在夾點(diǎn)之上熱阱子系統(tǒng)上設(shè)置冷卻器，用冷卻公用工程移走部分熱量，其量為

，根據(jù)夾點(diǎn)之上子系統(tǒng)熱平衡可知，

這部分熱量必然要由加熱公用工程額外輸入，結(jié)果加熱和冷卻公用工程量均增加了