化工過(guò)程課件

化工過(guò)程系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)模擬與分析

化工過(guò)程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬與分析，就是對(duì)化工工藝流程系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)模擬與分析。模擬是對(duì)過(guò)程系統(tǒng)模型的求解。通過(guò)這種求解可以解決下述的三類問(wèn)題：

①過(guò)程系統(tǒng)的模擬分析

②過(guò)程系統(tǒng)設(shè)計(jì)

③過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化①過(guò)程系統(tǒng)的模擬分析

對(duì)某個(gè)給定的過(guò)程系統(tǒng)模型進(jìn)行模擬求解，可得出該系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從而可以對(duì)該過(guò)程系統(tǒng)進(jìn)行工況分析，如圖所示能量流、反應(yīng)程度、幾何尺寸等②過(guò)程系統(tǒng)設(shè)計(jì)

當(dāng)對(duì)某個(gè)或某些系統(tǒng)變量提出設(shè)計(jì)規(guī)定要求時(shí)，通過(guò)調(diào)整某些決策變量使模擬結(jié)果滿足設(shè)計(jì)規(guī)定要求，如圖2－2所示③過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

過(guò)程系統(tǒng)模型與最優(yōu)化模型聯(lián)解得到一組使工況目標(biāo)函數(shù)最佳的決策變量（優(yōu)化變量），從而實(shí)施最佳工況，如圖所示。①過(guò)程系統(tǒng)的模擬分析

②過(guò)程系統(tǒng)設(shè)計(jì)

③過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化比較上面三類問(wèn)題可以看出，針對(duì)所要解決問(wèn)題的不同，其求解的復(fù)雜程度也不同。設(shè)計(jì)問(wèn)題比模擬分析問(wèn)題增加了一層選代，因而求解起來(lái)要復(fù)雜一些。而最優(yōu)化問(wèn)題不僅增加了循環(huán)迭代，而且還增加了目標(biāo)函數(shù)模型和最優(yōu)化模型，以致求解過(guò)程更加復(fù)雜。2.1過(guò)程系統(tǒng)模擬的三種基本方法過(guò)程系統(tǒng)模擬往往非常復(fù)雜，手工計(jì)算是難以勝任的。計(jì)算機(jī)的發(fā)展，為過(guò)程系統(tǒng)的整體研究提供了技術(shù)手段。各種類型的過(guò)程系統(tǒng)模擬軟件如雨后春筍不斷出現(xiàn)。但就其模擬計(jì)算求解方法而言，可以歸納為三類：①序貫?zāi)K法（SequentialModularMethod）；②面向方程法（EquationOrientedMetdod）；③聯(lián)立模塊法（SimultaneouslyModularMethod）。2.1.1過(guò)程系統(tǒng)模擬的序貫?zāi)K法序貫?zāi)K法是開(kāi)發(fā)最早、應(yīng)用最廣的過(guò)程系統(tǒng)模擬方法。這種方法的基本部分是模塊（子程序），是一些用以描述物性、單元操作以及系統(tǒng)其他功能的模塊。序貫?zāi)K法優(yōu)點(diǎn)：與實(shí)際過(guò)程的直觀聯(lián)系強(qiáng)；模擬系統(tǒng)軟件的建立、維護(hù)和擴(kuò)充都很方便，易于通用化；計(jì)算出錯(cuò)時(shí)易于診斷出錯(cuò)位置。缺點(diǎn)：是計(jì)算效率較低，尤其是解決設(shè)計(jì)和優(yōu)化問(wèn)題時(shí)計(jì)算效率更低。仍不失為一種優(yōu)秀的方法。在處理過(guò)程設(shè)計(jì)和優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，由于其循環(huán)迭代嵌套甚至可高達(dá)五層以至其求解效率就太低。2.1.2過(guò)程系統(tǒng)模擬的面向方程法面向方程法又稱聯(lián)立方程法，是將描述整個(gè)過(guò)程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程式聯(lián)立求解，從而得出模擬計(jì)算結(jié)果。面向方程法可以根據(jù)問(wèn)題的要求靈活地確定輸入、輸出變量，而不受實(shí)際物流和流程結(jié)構(gòu)的影響。面向方程法就好像把圖2-4中的循環(huán)圈1～4合并成為一個(gè)循環(huán)圈,這種合并意味著其中所有的方程同時(shí)計(jì)算和同步收斂。因此，面向方程法解算過(guò)程系統(tǒng)模型快速有效，對(duì)設(shè)計(jì)、優(yōu)化問(wèn)題靈活方便，效率較高。面向方程法一直被認(rèn)為是求解過(guò)程系統(tǒng)的理想方法，但由于在實(shí)踐上存在的一些問(wèn)題而沒(méi)被廣泛采用。難點(diǎn)：形成通用軟件比較困難；不能利用現(xiàn)有大量豐富的單元模塊；缺乏與實(shí)際流程的直觀聯(lián)系；計(jì)算失敗之后難于診斷錯(cuò)誤所在；對(duì)初值的要求比較苛刻；計(jì)算技術(shù)難度較大等。但是由于其具有顯著優(yōu)勢(shì)，這種方法一直備受人們的青睞。2.1.3過(guò)程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法

聯(lián)立模塊法最早是由Rosen提出的。這種方法將過(guò)程系統(tǒng)的近似模型方程與單元模塊交替求解。聯(lián)立模塊法又被稱作雙層法。聯(lián)立模塊法的思路如圖2-6所示。該法在每次選代過(guò)程中都要求解過(guò)程的簡(jiǎn)化方程，以產(chǎn)生的新的猜值作為嚴(yán)格模型單元模塊的輸入。通過(guò)嚴(yán)格模型的計(jì)算產(chǎn)生簡(jiǎn)化模型的可調(diào)參數(shù)。聯(lián)立模塊法兼有序貫?zāi)K法和面向方程法的優(yōu)點(diǎn)。這種方法既能使用序貫?zāi)K法積累的大量模塊，又能將最費(fèi)計(jì)算時(shí)間的流程收斂和設(shè)計(jì)約束收斂等迭代循環(huán)合并處理（如圖2-7），通過(guò)聯(lián)立求解達(dá)到同時(shí)收斂。

2.2過(guò)程系統(tǒng)模擬的序貫?zāi)K法2.2.1序貫?zāi)K法的基本原理序貫?zāi)K法的基礎(chǔ)是單元模塊（子程序），通常單元模塊與過(guò)程單元是一一對(duì)應(yīng)的。單元模塊是依據(jù)相應(yīng)過(guò)程單元的數(shù)學(xué)模型和求解算法編制而成的子程序。如圖中的閃蒸單元，可依據(jù)閃蒸單元模型和算法編制成閃蒸單元模塊。單元模塊具有單向性特點(diǎn)。給定其輸入物流變量及參數(shù)可計(jì)算出相應(yīng)的輸出物流變量，但不能由輸出變量計(jì)算輸入變量，也不能由輸入、輸出變量計(jì)算模塊參數(shù)。序貫?zāi)K法的基本思想是：從系統(tǒng)入口物流開(kāi)始，經(jīng)過(guò)接受該物流變量的單元模塊的計(jì)算得到輸出物流變量，這個(gè)輸出物流變量就是下一個(gè)相鄰單元的輸入物流變量。依此逐個(gè)的計(jì)算過(guò)程系統(tǒng)中的各個(gè)單元，最終計(jì)算出系統(tǒng)的輸出物流。計(jì)算得出過(guò)程系統(tǒng)中所有的物流變量值，即狀態(tài)變量值。以序貫?zāi)K法實(shí)施過(guò)程系統(tǒng)的模擬計(jì)算，通常是把系統(tǒng)輸入物流變量及單元模塊參數(shù)（如與環(huán)境交換但與物流無(wú)關(guān)的能量流、反應(yīng)程度、分割比。幾何尺寸等）作為決策變量。序貫?zāi)K法的求解與過(guò)程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)涉及的系統(tǒng)為無(wú)反饋聯(lián)結(jié)（無(wú)再循環(huán)流）的樹(shù)形結(jié)構(gòu)時(shí)，系統(tǒng)的模擬計(jì)算順序與過(guò)程單元的排列順序是完全一致的。具有反饋聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)，其中至少存在這樣一個(gè)單元，其某個(gè)輸入物流是后面某個(gè)單元的輸出物流，如圖中的單元A。這時(shí)就不能直接實(shí)施序貫的求解計(jì)算。因?yàn)樵谏形从?jì)算A，B，C等模塊之前還不知道物流S4的變量值。因此，在用序貫?zāi)K法處理具有再循環(huán)物流系統(tǒng)的模擬計(jì)算時(shí)，需要用到斷裂和收斂技術(shù)。2.2.2再循環(huán)物流的斷裂（1）斷裂的基本概念首先考察方程組的斷裂。假設(shè)有一個(gè)由四個(gè)方程、四個(gè)未知變量組成的方程組：上述方程組需要聯(lián)立求解才能得到它的解。但是，也可以由另外的方式進(jìn)行求解。把一個(gè)四維求解問(wèn)題降階成為了四個(gè)一維問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算難度。這種通過(guò)迭代把高維方程組降階為低維方程組的辦法稱為“斷裂”。例題：用斷裂法解下列方程組斷裂法解方程組（2）斷裂方法的研究最佳斷裂的準(zhǔn)則分為四類：

①斷裂的物流數(shù)最少；(Barkley&Motard)②斷裂物流的變量數(shù)最少；(Rubin)③斷裂物流的權(quán)重因子之和最少；(Christensen)④斷裂回路的總次數(shù)最少。(Upadhye&Grens)準(zhǔn)則①與②都是企圖使計(jì)算工作量最少，但是有人證明，不論斷裂流股數(shù)目最少或變量數(shù)目最少都不一定導(dǎo)致收斂最快。目前實(shí)際上用得最多的是準(zhǔn)則③與④，有人認(rèn)為準(zhǔn)則④是現(xiàn)有準(zhǔn)則中最優(yōu)的，至少對(duì)使用直接迭代法求收斂時(shí)如此。（3）回路矩陣在介紹再循環(huán)回路斷裂方法之前，先介紹一下回路的表示方法。要斷裂再循環(huán)物流，必須先識(shí)別再循環(huán)回路，并借助一定的方法描述它們。

通常，一個(gè)不可分隔子系統(tǒng)包含若于個(gè)再循環(huán)回路，如圖給出的系統(tǒng)就是一個(gè)不可分隔子系統(tǒng)，其中包含有四個(gè)再循環(huán)回路。那種包含兩個(gè)以上流股，且其中的任何單元只被通過(guò)一次，稱作簡(jiǎn)單回路。如圖中I－SI－II－S2－III－S4－II－S2－III－S5－I構(gòu)成的回路就不是一個(gè)簡(jiǎn)單回路，因?yàn)槠渲械膯卧狪I和單元III都被通過(guò)了兩次。過(guò)程系統(tǒng)中的簡(jiǎn)單回路可以用回路矩陣表示。矩陣中的行代表回路，列代表物流。對(duì)于比較簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，可以由人工方法找出其全部簡(jiǎn)單回路；對(duì)于大型的復(fù)雜系統(tǒng)則難于用人工的辦法去識(shí)別其簡(jiǎn)單回路，就需要由專門(mén)的算法去識(shí)別。（4）Upadyhe－Grens斷裂法為了對(duì)該不可分隔子系統(tǒng)的高維求解進(jìn)行降維運(yùn)算，需將該子系統(tǒng)中的某些回路進(jìn)行斷裂。從相應(yīng)于圖2-13回路矩陣可見(jiàn)，使回路（A，B，C，D）都達(dá)到斷裂的方案并不是惟一的。如斷裂物流2或是斷裂物流4，5，6，7（斷裂物流組）都可以實(shí)現(xiàn)回路（A，B，C，D）的斷裂。

這就有兩個(gè)需要解決的問(wèn)題：一是要有一種能把所有的有效斷裂物流組都能搜索出來(lái)的辦法；二是要能把最優(yōu)斷裂組從中選擇出來(lái)。對(duì)此，Upadyhe等人提出了搜索斷裂組的替代規(guī)則?！纠?-1】用Upadhye－Grens斷裂法尋求圖2-13中的最優(yōu)斷裂組。

解：從有效斷裂組{S1，S2，S3｝開(kāi)始，反復(fù)利用替代規(guī)則，過(guò)程如下:輸入：S2輸出：S3，S4，S5標(biāo)記**表示找到多余斷裂組，消去重復(fù)物流后，再重新開(kāi)始替代過(guò)程輸入：S3輸出：S6，S7輸入：S1，S4，S7輸出：S2輸入：S5，S6輸出：S1標(biāo)記**表示找到多余斷裂組，消去重復(fù)物流后，再重新開(kāi)始替代過(guò)程輸入：S1,S4,S7輸出：S2輸入：S2輸出：S3,S4,S5輸入：S3輸出：S6,S7輸入：S5,S6輸出：S1標(biāo)記*表示重復(fù)出現(xiàn)的斷裂組，在此終止替代過(guò)程從圖2-14的替代過(guò)程中找出了如下的非多余斷裂族：{S2}{S1，S4，S7}{S3，S4，S5}{S4，S5，S6，S7}由步驟④得到它們相應(yīng)的總權(quán)值為：92+3+2=72+3+3=83+3+4+2=12所以，斷裂組{S1，S4，S7｝為最優(yōu)斷裂組。2.2.3斷裂物流變量的收斂執(zhí)行斷裂物流變量收斂功能的模塊稱收斂單元模塊不可分隔子系統(tǒng)的斷裂物流斷裂物流變量的收斂問(wèn)題實(shí)際上是個(gè)迭代求解非線性方程組的問(wèn)題

x=y=G(x)

當(dāng)斷裂物流變量猜值x與計(jì)算值y之差小于收斂容差ε時(shí)y－x=G（x）－x<ε則x為斷裂物流變量的收斂解。收斂單元的功能總計(jì)有如下作用：(Ⅰ)獲取猜值的初值x0(Ⅱ)根據(jù)計(jì)算值y，以一定的方法確定新的猜值x(Ⅲ)比較猜值x和計(jì)算值y，若其結(jié)果滿足給定精度要求，則結(jié)束迭代計(jì)算，否則繼續(xù)迭代計(jì)算過(guò)程。收斂單元實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)值迭代求解非線性方程組的子程序。求解非線性方程組的數(shù)值計(jì)算方法很多，適合于收斂單元的數(shù)值計(jì)算方法一般應(yīng)盡可能滿足下列要求：1.對(duì)初值的要求不高。2．?dāng)?shù)值穩(wěn)定性好3．收斂速度快4．占用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間少1.對(duì)初值的要求不高。1)初值易得，不易引起迭代計(jì)算的發(fā)散；

2)初值的組數(shù)少。例:用直接迭代法求解下列方程組解：令猜值為X1＝2；X2＝10；X3＝5105解：令猜值為X1＝6；X2＝3.5；X3＝5例題2-2直接迭代法2.數(shù)值穩(wěn)定性好例題2-2直接迭代法3收斂速度快對(duì)收斂速度的影響主要有三個(gè)因素：一是迭代次數(shù)；二是函數(shù)G(x)的計(jì)算次數(shù)；三是矩陣求逆的次數(shù)。序貫?zāi)K法中的函數(shù)沒(méi)有具體的函數(shù)形式，每計(jì)算一次函數(shù)值就相當(dāng)于做一次流程回路的模擬計(jì)算。好的非線性方程組的數(shù)值迭代次數(shù)少，而且應(yīng)該盡量避免導(dǎo)數(shù)計(jì)算和矩陣求逆。這樣才可能獲得高的收斂速度。收斂速度示例4.占用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間少進(jìn)行斷裂物流計(jì)算的很多，應(yīng)用較為廣泛的有：直接迭代法；有界wegstein法；主特征值法；Broyden法等幾種。（2）直接迭代法直接迭代法是將計(jì)算值yk作為下一輪迭代的猜值xk+1而實(shí)施迭代計(jì)算。這種算法的程序如下：重新把函數(shù)f(x)=0，安排成x=G(x)的形式。選擇初始值x(0)和一個(gè)精度截止判據(jù)0；計(jì)算x(k+1)=G(x(k))檢驗(yàn)收斂性，如果|x(k+1)-x(k)|，則停止迭代，否則重回第一步。例題2-3：迭代求解以下方程f(x)=x2-5x+4=0初值x(0)=0,要求精度0.0001解x=(x2+4)/5=G(x)當(dāng)x(0)=0時(shí)，G(x(0))=(0+4)/5=0.8檢驗(yàn)精度|x(1)-x(0)|=|0.8-0|=0.8>0.0001重新迭代直到精度<0.0001為止例題2-3迭代過(guò)程但是把函數(shù)f(x)=0，可以安排成各種x=G(x)的形式。其收斂性如何？收斂的充分條件（并非必要條件）是：|dG(x)/dx|<1|dG/dx|>1|dG/dx|<1直接迭代法的特點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單，且只需要一組初值，不需計(jì)算導(dǎo)數(shù)和逆矩陣。然而該法的弱點(diǎn)是迭代次數(shù)多、收斂速度慢，且對(duì)初值要求較高。為了改善直接迭代法的收斂行為。人們提出了阻尼直接迭代法，或稱加權(quán)直接迭代法，其公式為：xk+1=qxk+(1-q)G(xk)式中q為阻尼因子，可以人為給定：q=0為直接迭代；0<q<1為加權(quán)直接迭代，可改善收斂的穩(wěn)定性；q<0為外推直接迭代，可以加速收斂，但穩(wěn)定性下降；q>=1無(wú)意義。阻尼法示例（3）Wegstein法為了加快收斂Wegstein提出了一種簡(jiǎn)便的方法，至今仍然是應(yīng)用最廣泛的加速收斂方法一維Wegstein法有界Wegstein法多維Wegstein法嚴(yán)格多維Wegstein法一維Wegstein法對(duì)于方程x=G(x)，初始猜值算為x(0)，則第二點(diǎn)x(1)可以用直接迭代法得到：x(1)=G(x(0))以下為了找到x=G(x)的根，用以上兩個(gè)試算點(diǎn)之間的直線代替G(x)，則此直線的斜率為sG(x)-G(x(1))=s(x-x(1))式中：q為一指定的參數(shù)。因?yàn)槲覀兪且业揭粋€(gè)x解，以滿足x=G(x)，所以估算方程G(x)-G(x(1))=s(x-x(1))變?yōu)椋夯蛘?，按此式解出x值：這種方法的圖解意義見(jiàn)圖。因?yàn)閰?shù)q是斜率s的函數(shù)，所以每次迭代后q都不斷在變化經(jīng)過(guò)幾步迭代后，q就逐步達(dá)到比較穩(wěn)定的值；可以根據(jù)q值的大小判斷收斂性質(zhì)：

q<0單調(diào)收斂

0<q<0.5震蕩收斂

0.5<q<1震蕩發(fā)散

1<q單調(diào)發(fā)散這就引出了“有界Wegstein法”，即人為地把q限制在一定的范圍內(nèi)：

qmin<q<qmaxFLOWTRAN模擬系統(tǒng)通常推薦-5<q<0CHESS模擬系統(tǒng)則使用：當(dāng)q>0令q=0當(dāng)q<-10令q=0例題2-5用Wegstein法求解以下方程F(x)=x-2(1-x)3=0，設(shè)x(0)=0.5，精度為0.0001解:第一步首先將方程轉(zhuǎn)化為x=G(x)的形式G(x)=x=2(1-x)3然后計(jì)算最初兩點(diǎn)x(1)=G(x(0))及G(x(1))x(0)=0.5x(1)=G(x(0))=2(1-0.5)3=0.25G(x(1))=2(1-0.25)3=0.844第二步計(jì)算斜率s及參數(shù)q第三步計(jì)算x(2)

顯然沒(méi)有收斂。因此，重復(fù)第二步然后重復(fù)第三步，得到新的x值X(3)=0.726(0.426)+(1-0.726)0.378=0.413X(4)=0.4102X(5)=0.41026達(dá)到精度要求而停止。如果用直接迭代法則引起發(fā)散。例題2-5Wegstein

法習(xí)題用Wegstein法求方程的根，收斂精度為0.0001Sinx-x/2=0與直接法比較2.3過(guò)程系統(tǒng)模擬的面向方程法序貫?zāi)K法的缺點(diǎn)：收斂過(guò)程十分緩慢，甚至不能收斂；對(duì)于過(guò)程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算問(wèn)題和參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，情況將更為嚴(yán)重，甚至不能用序貫?zāi)K法去求解。因此，人們把注意力投向了面向方程法。2.3.1面向方程法的原理面向方程法的基本思想是，把描述過(guò)程系統(tǒng)的所有數(shù)學(xué)模型匯集到一起，形成一個(gè)非線性方程組進(jìn)行求解。即：

F（x，w）＝0（2-28）

F:系統(tǒng)模型方程組，其中包括：

①物性方程；

②物料、能量、化學(xué)平衡方程；

③過(guò)程單元間的聯(lián)結(jié)方程；

④設(shè)計(jì)規(guī)定方程等。X——狀態(tài)變量向量；W——決策變量向量；通常過(guò)程系統(tǒng)模型方程組總是稀疏方程組。其中每個(gè)方程只含有幾個(gè)非零元素。例如方程組：這是個(gè)1000階的線性方程組。其中任意一個(gè)方程：該方程只有三個(gè)非零系數(shù)。其他的999個(gè)方程也具有類似的形式。過(guò)程系統(tǒng)模型的方程數(shù)和變量數(shù)往往都很大，但每個(gè)方程涉及的變量數(shù)一般只有幾個(gè)。方程的稀疏性可以用稀疏比

來(lái)衡量：

對(duì)于n—1000，N—5000的方程，其稀疏比中為0.5％。僅系數(shù)矩陣就要占用n2=106個(gè)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)單元，而其中995000個(gè)單元的內(nèi)容為零，因此大量的運(yùn)算是在零與零之間進(jìn)行的。由此可見(jiàn)，用常規(guī)數(shù)值法求解稀疏方程組是很不經(jīng)濟(jì)的，有時(shí)還會(huì)因計(jì)算機(jī)容量的限制而無(wú)法運(yùn)算。因此，人們開(kāi)發(fā)了大量的處理稀疏方程組的數(shù)值算法。面向方程法的核心問(wèn)題是求解超大型稀疏非線性方程組，求解方法大致分為兩類：①降維求解法；②聯(lián)立求解法。2.3.2大型稀疏非線性方程組的降維解法

即把大型稀疏方程組分解成若干個(gè)小的非稀疏方程組，然后依次分別求解，從而達(dá)到降維和增大稀疏比的目的。（1）方程組的分解概念對(duì)于n階稀疏方程組，常?？梢哉业揭粋€(gè)包含有k1個(gè)變量的k1階子方程組。這個(gè)k1階子方程組可以單獨(dú)求解。其余的n—k1個(gè)方程中還可以再找出包含有k2個(gè)變量的k2階子方程組，這個(gè)子方程組也可以單獨(dú)求解。重復(fù)這一過(guò)程，最終將把原方程組分解成一系列可順序求解的子方程組。由上例可見(jiàn)，把原方程組分解成若干個(gè)聯(lián)立求解的小方程組后，使這些小方程組的稀疏比與原方程組相比要大得多。若小方程組的稀疏比接近1，可用常規(guī)數(shù)值解法求解，若稀疏比仍很小可繼續(xù)分解。方程組的分解方法有回路搜索法和矩陣法兩大類。下面僅討論基于有向圖的回路搜索法。(2）回路搜索法分解方程組回路搜索法分解方程組，是在描述方程組的有向圖上進(jìn)行的。為了用有向圖表示方程組的結(jié)構(gòu)，首先必須對(duì)每個(gè)方程指定一個(gè)變量作為其輸出變量。①輸出變量的指定方法輸出變量是可由方程中其他變量求解的變量，且每個(gè)變量只能被指定一次作為輸出變量。輸出變量指定方法的步驟是，選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點(diǎn)處元素對(duì)應(yīng)的變量，作為優(yōu)先指定的輸出變量，然后從事件矩陣中刪去該輸出變量對(duì)應(yīng)的行和列；重復(fù)上述過(guò)程直至矩陣中所有的行和列都被刪掉。例外情況的處理：最后剩下了方程f7和變量x9,而f7中沒(méi)有x9在遇到這種情況時(shí)，必須盡力找出所謂的Steward通道。即方程f7行中的任一元素和變量x0列中的任一元素之間的聯(lián)系。這一通道開(kāi)始于未被指定為輸出變量的元素x9，平移到一已被指定為輸出變量的元素（9，10），改變900方向到一未指定元素（10，10），再改變900方向到一指定元素（10，8），此過(guò)程一直繼續(xù)到未指定輸出變量的方程的元素（7，l）。在Steward通道上指定元素和未指定元素交替出現(xiàn)，而其首尾均為未指定元素，在全通道上未指定元素比指定元素多一個(gè)。把Steward通道上的指定元素和未指定元素互換，即將通道上的指定元素變?yōu)槲粗付ㄔ?，而將未指定元素變?yōu)橹付ㄔ?，于是，得到另一種輸出變量指定方式，如下圖所示。可見(jiàn)，各方程的輸出變量已全部指定，并符合前面所說(shuō)的要求。當(dāng)需要Steward通道而又找不到這樣的通道時(shí)，必然存在無(wú)法指定為輸出變量的變量，這表明方程組是奇異的。②畫(huà)出有向圖用有向圖表示方程和變量的關(guān)系。圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)方程。如果方程fi的輸出變量存在于fj中，則從節(jié)點(diǎn)fi向fj作一有向邊。圖2－20為式（2－30）的有向圖表示。這個(gè)圖代表了方程間的信息流動(dòng)方向。③回路搜索例2-5:對(duì)例2-4所給的方程組用回路搜索法進(jìn)行分解。從節(jié)點(diǎn)f1開(kāi)始回路搜索得到數(shù)串：f1f3f2f5f2將節(jié)點(diǎn)f2和5合并得到組合節(jié)點(diǎn)（f2f5），由于組合節(jié)點(diǎn)（f2f5）無(wú)任何輸出邊，刪去（f2f5）及其所有輸入邊，得到數(shù)串：f1

f3,節(jié)點(diǎn)f3也無(wú)輸出邊，刪去f3及其輸入邊,然后從f1繼續(xù)搜索,得到數(shù)串：f1f4f1。合并節(jié)點(diǎn)f1和f4得到組合節(jié)點(diǎn)(f1f4)。依次刪去的節(jié)點(diǎn)和組合節(jié)點(diǎn)記入下表它們分別代表原方程組分解后得到的小方程組，其求解即從后到前的順序進(jìn)行。

④不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法該式也是個(gè)稀疏方程組。利用回路搜索法對(duì)其分解后發(fā)現(xiàn)，該方程組是不可分解方程組，該原方程組必須聯(lián)立求解。對(duì)于這種情況，需要通過(guò)斷裂來(lái)達(dá)到進(jìn)一步降維和增大稀疏比的目的。斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂后的系統(tǒng)必須通過(guò)收斂得以求解。為了易于收斂，因而總是希望斷裂的變量數(shù)最少。所以，總是要選擇包含變量數(shù)最少的方程中的變量作為斷裂變量，斷裂變量數(shù)等于該方程中的變量數(shù)減1。然后給斷裂變量賦初值，再進(jìn)行迭代計(jì)算直至收斂。

以右矩陣式為例進(jìn)行斷裂降維求解。矩陣中f3,f4,f5行的變量數(shù)最少，都只有兩個(gè)。選擇f3中的x5為斷裂變量。從而解出x6。把f3行和x5,x6列刪去，得到下式該式為五行四列，有一個(gè)多余方程（它是由刪除斷裂變量x5產(chǎn)生的）。f6行含有的變量最多，暫不考慮（因?yàn)槿菀滓瘃盥?lián)，不利于分解），對(duì)其余的四行、四列進(jìn)行重排，可得到：左式中可聯(lián)解f1f4和f2f5（此時(shí)f5f6為已知）。然后計(jì)算f6，檢驗(yàn)是否滿足，若不滿足，則修改斷裂變量x5的值，重復(fù)上述的計(jì)算，直至滿足f6方程為止。通過(guò)此例可以看到，斷裂可以使不可分解的稀疏方程組繼續(xù)分解。2.3.3聯(lián)立擬線性方程組法解大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把非線性方程組線性化。然后聯(lián)立求解線性方程組。由于線性化引人了誤差，所以要借助迭代使線性化方程組的解，逐漸逼近非線性方程組的解。（1）線性化方法對(duì)于n維非線性方程組將該方程組在x1(k),x2(k)…xn(k)處作臺(tái)勞展開(kāi)，(即Nowton-Raphson聯(lián)立線性化方法)得：為雅可比矩陣記J在進(jìn)行第k+1次迭代時(shí)，上式中的f(k)、J(k)和X(k)均為已知，因此，上式為x(k+1)的線性方程組，于是可用Newton-Raphson法的迭代公式：X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)例2-6組分A的稀溶液在常溫下離解：

A

2B

其數(shù)學(xué)模型如下：

質(zhì)量平衡:CA+CB/2=CA*熱力學(xué)平衡:KCA-CB2=0

式中，CA與CB分別是組分A、B的濃度；CA*是組分A的初始濃度；K是該反應(yīng)的平衡常數(shù)。求當(dāng)K=2，CA*=1時(shí)平衡態(tài)的組分濃度。X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)方程組兩邊乘于雅可比矩陣J于是：變化為如下形式：所以取CB的初值為1.5迭代過(guò)程如下：迭代過(guò)程（2）稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組經(jīng)線性化后得到的線性方程組仍然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求解稀疏線性方程組的問(wèn)題。用常規(guī)的消去法求解大型稀疏線性方程組是不經(jīng)濟(jì)的，而且計(jì)算效率較低。為了減少求解大型稀疏線性方程組所需的計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間，通常采用下列兩方面的技術(shù)：

①只對(duì)非零元素進(jìn)行計(jì)算；

②只存儲(chǔ)非零元素（如壓縮存儲(chǔ)技術(shù)）。填充量和主元容限填充量：用高斯消去法消元過(guò)程的同時(shí),會(huì)在原來(lái)零元素處引入非零元素。新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。在求解大型稀疏線性方程組時(shí)，應(yīng)該盡可能地減少填充，否則將會(huì)使計(jì)算效率大大下降。然而，減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度是矛盾的。用高斯消去法對(duì)矩陣進(jìn)行消元的過(guò)程

新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。用左矩陣中對(duì)角線上的第一個(gè)元素作為主元素，消去第一列上的其他元素將導(dǎo)致在所有的零元素處產(chǎn)生非零元素，即填充量達(dá)到最大。而右矩陣的填充量減少到零。

54321123451234554321為了減少填充量，需要把右矩陣中的元素a55作為主元素，但如果它的絕對(duì)值很小時(shí)，將會(huì)引人較大的誤差，致使計(jì)算精度、數(shù)值穩(wěn)定性變差。(b)主元容限在主元消去法中，通常把絕對(duì)值最大的元素作為主元進(jìn)行消元。其目的是為了提高計(jì)算的精度。但是如果這樣選取的主元恰好導(dǎo)致較大的填充，那么計(jì)算效率的將下降。因此，寧愿選擇一個(gè)絕對(duì)值不是最大，且不會(huì)引起填充量過(guò)大的元素作為主元。（c）Bending－Hutchison算法。該算法是在全元消去法的基礎(chǔ)上派生出來(lái)，其核心是避免填充，同時(shí)保證計(jì)算的精度?！纠?-7】圖2-23為一個(gè)物流分割器及混合器構(gòu)成的簡(jiǎn)化流程。圖上括號(hào)中的數(shù)字為分割比。由此可以得出各流股關(guān)系的方程。共9股物流有9個(gè)方程-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0第2列和第8列均只含有一個(gè)元素，即縱列等于1。這兩個(gè)元素必須分別選作方程（1）和方程（8）的主元。由于這兩列中并無(wú)其他元素，所以不用執(zhí)行消元過(guò)程。第3，5，7，9列均含有兩個(gè)非零元素，即縱列等于2。人為地選第三列。方程（2）橫列為2，方程（9）的橫列為3，選：主元素消去元素產(chǎn)生元素V8E8V2E1V3E2V3E9V1E9V7E6V7E9V6E9-0.333主元素消去元素產(chǎn)生元素V5E4V5E3V4E3V9E7V9E3RHSE3-0.3331主元素消去元素產(chǎn)生元素改變?cè)豓1E3V1E9RHSE9V4E9-0.333-0.33310.6670.7780.555V6E5V6E9V4E9S4=0.667/0.555=1.2S5=0.333*1.2=0.4S6=0.667*1.2=0.8S1=0.333*1.2+1=1.4S8=0.667*0.8=0.533S9=1S2=1.4*0.333=0.466S3=0.667*1.4=0.933S7=0.333*0.8=0.2662.4過(guò)程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法序貫?zāi)K法和面向方程法比較2.4.1聯(lián)立模塊法的原理程法聯(lián)立模塊法：兼?zhèn)淞松鲜鰞煞N方法的優(yōu)點(diǎn)，更重要的是它可以使花費(fèi)了大量人力、物力開(kāi)發(fā)出的過(guò)程單元模塊得以充分利用。聯(lián)立模塊法可定義為利用黑箱過(guò)程模塊，靈活求解模擬問(wèn)題的方法。聯(lián)立模塊法與序貫?zāi)K法的共同之處在于面向模塊；與面向方程法共同之處在于聯(lián)立求解過(guò)程系統(tǒng)模型方程。利用嚴(yán)格模塊產(chǎn)生相應(yīng)的簡(jiǎn)化模型方程的系數(shù),然后把所有的簡(jiǎn)化模型方程匯集到一起進(jìn)行聯(lián)解，得到系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。由于簡(jiǎn)化模型是嚴(yán)格模塊的近似，所以計(jì)算結(jié)果往往不是問(wèn)題的解，必須用嚴(yán)格模塊對(duì)這組解進(jìn)行計(jì)算，修正簡(jiǎn)化模型的系數(shù)。重復(fù)這一過(guò)程，直到收斂到原問(wèn)題的解。聯(lián)立模塊法的特點(diǎn)：①聯(lián)立模塊法計(jì)算效率較高。②簡(jiǎn)化模型方程組的維數(shù)比面向方程法也小得多，求解起來(lái)也容易。③能利用大量原有的豐富的序貫?zāi)K軟件。

聯(lián)立模塊法兼有序貫?zāi)K法和聯(lián)立方程法的優(yōu)點(diǎn)：①計(jì)算效率較高；②對(duì)初值要求較低；③迭代循環(huán)圈較少；④計(jì)算出錯(cuò)時(shí)診斷較容易；⑤能利用大量原有的軟件。模擬計(jì)算過(guò)程初值的取得可以采用兩種辦法：①猜值②用序貫?zāi)K法迭代求解幾次，得到各點(diǎn)的初值。聯(lián)立模塊法的計(jì)算效率主要依賴于簡(jiǎn)化模型的形式。簡(jiǎn)化模型應(yīng)該是嚴(yán)格模塊的近似，同時(shí)具有容易建立、求解方便的特點(diǎn)。下面介紹如何利用嚴(yán)格模塊產(chǎn)生近似簡(jiǎn)化模型。2.4.2建立簡(jiǎn)化模型的兩種切斷方式

為了建立簡(jiǎn)化模型，必須首先劃分簡(jiǎn)化模型的對(duì)象范圍。有兩種劃分方法：

①以過(guò)程單元為基本單位建立簡(jiǎn)化模型；

②以回路為基本單位建立簡(jiǎn)化模型。這兩種劃分策略分別與兩種切斷方式相對(duì)應(yīng)：

①聯(lián)結(jié)物流全切斷方式；

②回路切斷方式。(1)聯(lián)結(jié)物流全切斷方式

這種方式相當(dāng)于把所有過(guò)程單元之間的聯(lián)結(jié)物流全部切斷，形成一系列互相獨(dú)立的過(guò)程單元。[例2-8]用聯(lián)立模塊法對(duì)圖2-17給出的三級(jí)閃蒸過(guò)程進(jìn)行穩(wěn)態(tài)模擬解：①建立簡(jiǎn)化模型嚴(yán)格單元模塊的輸入流股變量向量x與輸出流股變量y之間有嚴(yán)格模型：

y=G(x)對(duì)上式進(jìn)行一階臺(tái)勞展開(kāi)為：y-y0=G

(x)(x-x0)便可得到嚴(yán)格模型的線性增量簡(jiǎn)化模型:y=Ax利用上式分別對(duì)每個(gè)過(guò)程單元寫(xiě)出其簡(jiǎn)化模型：由于混合器的嚴(yán)格模型為線性模型，且系統(tǒng)入料流股變量為給定值，所以有：把上述線性簡(jiǎn)化模型寫(xiě)成矩陣形式的迭代格式②從嚴(yán)格模塊計(jì)算簡(jiǎn)化模型的系數(shù)式（2－50）中的系數(shù)矩陣可通過(guò)對(duì)嚴(yán)格模塊的擾動(dòng)計(jì)算得到。前面我們假定A=G

(x)，也就得到了A。而A是從一階臺(tái)勞展開(kāi)式得到的。偏離x0點(diǎn)后便會(huì)產(chǎn)生偏差，因此要不斷進(jìn)行修正。流股全切斷方式很類似于面向方程法。主要區(qū)別在于后者是嚴(yán)格模型方程，變量數(shù)也要大得多,對(duì)于一個(gè)包括100個(gè)聯(lián)結(jié)流股，每個(gè)流股有8個(gè)組分，10個(gè)設(shè)計(jì)規(guī)定系統(tǒng)，其系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型數(shù)為：

ne＝2*（8十2）*100＋10＝2010（2-51）由此可見(jiàn)，對(duì)于較大的系統(tǒng)，流股全切斷方式建立的簡(jiǎn)化模型方程數(shù)是很大的。（2）回路切斷方式回路切斷方式相當(dāng)于把若干個(gè)單元作為一個(gè)“虛擬單元”處理，建立虛擬單元的簡(jiǎn)化模型。虛擬單元所包含的各單元間的聯(lián)結(jié)流股變量則不出現(xiàn)在簡(jiǎn)化模型中，從而大大降低了簡(jiǎn)化模型的維數(shù)。通常是以循環(huán)回路為一個(gè)虛擬單元，切斷再循環(huán)流股，故稱之為回路切斷方式。圖2-27虛線內(nèi)的回路構(gòu)成了一個(gè)虛擬單元?！纠?-9】以回路切斷方式建立三級(jí)閃蒸過(guò)程系統(tǒng)的線性增量簡(jiǎn)化模型。

對(duì)于圖2-17中給出的三級(jí)閃蒸系統(tǒng)，不難憑觀察選定最佳切斷流為S2，因?yàn)樗梢酝瑫r(shí)切斷兩個(gè)再循環(huán)流。為了更加直觀，將圖2-17改畫(huà)成圖2-28（a）。若把圖2-28(a）中虛線框內(nèi)的部分看作黑箱（虛擬單元），則系統(tǒng)簡(jiǎn)化成圖2-28（b）用線性增量模型作虛擬單元的簡(jiǎn)化模型如下：上式中的第一行可以獨(dú)立求解，得到S2。一旦解出S2，分別代入第二、三行，則可得到

S7、

S8。因此，可以把（2-60）式看作三級(jí)閃蒸過(guò)程回路切斷方式的系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型。（2-60）氨合成工藝流程模擬與分析可以作為小論文

化工過(guò)程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模擬與分析★

化工過(guò)程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與模型▲確定性動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)處理(難點(diǎn))★連續(xù)攪拌罐反應(yīng)器的動(dòng)態(tài)特性，精餾塔的動(dòng)態(tài)特性（重點(diǎn)）★▲變壓吸附過(guò)程的模擬與分析（自習(xí)）3.1.1化工過(guò)程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性涉及的問(wèn)題：間歇過(guò)程；連續(xù)過(guò)程的開(kāi)停工；連續(xù)過(guò)程本征參數(shù)依時(shí)變化；控制系統(tǒng)的合成；過(guò)程系統(tǒng)局部與全局特性分析以及利用；人為非定常態(tài)操作。化工過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性知識(shí)，十分重要的、基本的。3.1.2化工過(guò)程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型無(wú)論碰到和處理上述哪一類與過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，所需要的最核心、最本質(zhì)的知識(shí)，是如何科學(xué)地描述過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的規(guī)律，這必須選擇或者建立一種既能反映過(guò)程系統(tǒng)本質(zhì)特性，又相對(duì)簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)對(duì)過(guò)程系統(tǒng)中狀態(tài)變量分布特征的不同描述方式，一般可以把數(shù)學(xué)模型分為：集中參數(shù)模型分布參數(shù)模型多級(jí)集中參數(shù)模型集中參數(shù)模型：狀態(tài)變量在系統(tǒng)中呈空間均勻分布，如強(qiáng)烈攪拌的反應(yīng)罐就可以用這一類模型來(lái)描述。分布參數(shù)模型：狀態(tài)變量在系統(tǒng)內(nèi)呈現(xiàn)非均勻，但一般是連續(xù)的空間分布，如管式反應(yīng)器的模型通常就用分布參數(shù)模型。多級(jí)集中參數(shù)模型：一般用于描述多級(jí)串聯(lián)、級(jí)內(nèi)狀態(tài)變量均勻分布的過(guò)程，如板式塔內(nèi)的傳質(zhì)分離過(guò)程等。

根據(jù)建立模型的不同方法，一般可以將數(shù)學(xué)模型分為統(tǒng)計(jì)模型、確定性模型和介于兩者之間的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。統(tǒng)計(jì)模型又稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，純粹由統(tǒng)計(jì)、關(guān)聯(lián)輸入輸出數(shù)據(jù)而得。

優(yōu)點(diǎn)：表達(dá)方式很簡(jiǎn)單，只需做少量計(jì)算就能得到所要的結(jié)果；

缺點(diǎn)：只能應(yīng)用到建立模型時(shí)采集數(shù)據(jù)所涉及到的那些操作條件，或者可以略作小范圍的外推。確定性模型又稱為機(jī)理模型：是通過(guò)對(duì)所研究的系統(tǒng)或者系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)微元，列出質(zhì)量、能量和動(dòng)量守恒關(guān)系式，系統(tǒng)（或微元）內(nèi)外質(zhì)量、能量和動(dòng)量交換速率系數(shù)計(jì)算式，相關(guān)的相平衡關(guān)系，以及化學(xué)反應(yīng)速率表達(dá)式和化學(xué)反應(yīng)平衡常數(shù)計(jì)算式而建立起來(lái)的。該模型的普遍適用性更強(qiáng)。3.1.3確定性動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)處理：（1）正問(wèn)題——模型方程組的求解（2）逆問(wèn)題——模型參數(shù)的估計(jì)（3）過(guò)程系統(tǒng)的定性分析（1）正問(wèn)題——模型方程組的求解模型方程（組）的正問(wèn)題：指所有的參數(shù)（包括設(shè)計(jì)、物性、傳遞和操作參數(shù)等）都已給定，要求利用模型來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)分布及其在時(shí)間域的運(yùn)動(dòng)（變化）情況。這一類問(wèn)題在工程實(shí)際上經(jīng)常會(huì)碰到。例如：簡(jiǎn)單問(wèn)題

模型參數(shù)已給定，利用模型來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的結(jié)果如：解決正問(wèn)題，要求在給定的初值條件或初、邊值條件下求解模型方程組。這就可能涉及代數(shù)方程組、常微分方程組和偏微分方程組，以及其混合方程組的求解，由于方程組強(qiáng)烈的非線性特性，求模型方程組的分析解往往是不可能的，不得不借助于計(jì)算機(jī)求數(shù)值解。（2）逆問(wèn)題——模型參數(shù)的估計(jì)已經(jīng)從實(shí)驗(yàn)裝置或生產(chǎn)裝置上采集到在非定常態(tài)條件下系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的信息，要求從中估計(jì)出描述這一非定常態(tài)過(guò)程的模型中，某些未知參數(shù)的數(shù)值。即：已知狀態(tài)在時(shí)間域的運(yùn)動(dòng)情況，要求估計(jì)模型參數(shù)。求的函數(shù)表達(dá)式完成這類計(jì)算，涉及到計(jì)算數(shù)學(xué)中最優(yōu)化方法這一分支。一些常用的、相對(duì)較成熟的最優(yōu)化方法，通常都已編寫(xiě)成通用程序，在手冊(cè)、專著中都可以查到，只需結(jié)合參數(shù)估計(jì)的實(shí)際問(wèn)題，掌握這些通用程序的具體應(yīng)用就可以了。近年來(lái)又發(fā)展出一些新的算法，如遺傳算法、模擬退火算法等。（3）過(guò)程系統(tǒng)的定性分析由于化工過(guò)程系統(tǒng)通常具有很強(qiáng)的非線性性質(zhì)，因而有可能出現(xiàn)定常態(tài)多重性、定常態(tài)穩(wěn)定性、參數(shù)敏感性、自激振蕩，甚至更復(fù)雜的時(shí)間序列結(jié)構(gòu)。原則上講，這些問(wèn)題都可以通過(guò)確定性模型來(lái)分析、處理。這一類問(wèn)題歸結(jié)為動(dòng)態(tài)微分方程（組）的定性分析—非線性分析或非線性現(xiàn)象與復(fù)雜性分析。3.2連續(xù)攪拌反應(yīng)器的動(dòng)態(tài)特性

選擇連續(xù)攪拌反應(yīng)器作為研究對(duì)象，是非常具有代表性的：用集中參數(shù)模型來(lái)描述系統(tǒng)的特性，在模型的類型上有典型性；模型的數(shù)學(xué)處理方法方面，與其他類型的化工過(guò)程系統(tǒng)集中參數(shù)模型有相似性；涉及到非線性系統(tǒng)的定性分析問(wèn)題，所運(yùn)用的分析方法具有普遍意義。3.2.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通過(guò)實(shí)際的示例，介紹集中參數(shù)模型的建立和數(shù)學(xué)處理方法?！纠?-1】敞口連續(xù)攪拌釜的流量計(jì)算。如圖所示，進(jìn)料量為Fi，攪拌釜中原有料液高度為H。，試求取自開(kāi)工后排料量的變化關(guān)系。假設(shè)攪拌釜的橫截面積為A，排液量與罐中料液的高度成正比關(guān)系，即：F0=kH根據(jù)質(zhì)量守恒原理，對(duì)敞口連續(xù)攪拌釜列出質(zhì)量衡算關(guān)系：質(zhì)量累積速率=質(zhì)量流入速率-質(zhì)量流出速率初始化條件：t=0時(shí)，H=H0代入并化簡(jiǎn):上式就是釜中液位高度隨時(shí)間的變化關(guān)系，排液量與時(shí)間的變化關(guān)系為：不同的k值，釜中液位高度隨時(shí)間變化關(guān)系的示意圖。圖中每條曲線的右側(cè)分別指明了計(jì)算所用的kH0-Fi的值，即t=0時(shí)刻料液排出速度與流入速度之差。從圖中可以看出，隨時(shí)間的增加，釜中液位高度呈指數(shù)式變化，并逐漸達(dá)到一個(gè)近似的穩(wěn)定值。對(duì)于不同的kH0-Fi

的值，液位高度隨時(shí)間的變化關(guān)系有所不同。高度變化1高度變化2【例3-2】攪拌槽內(nèi)含鹽量的動(dòng)態(tài)模型。攪拌槽示意圖。初始情況是槽內(nèi)盛有V0的水，把濃度為Ci的鹽水以恒定流量Fi加入槽內(nèi)，與此同時(shí)完全混合后的鹽水以恒定流量F0排放，試求槽內(nèi)鹽水濃度C的變化規(guī)律。鹽水溶液的總物料衡算關(guān)系：鹽組分的物料平衡：即：

式（3－13a）表明有兩項(xiàng)累積量，第一項(xiàng)是因濃度變化而引起的，第二項(xiàng)是由體積變化所引起的，這兩項(xiàng)皆與求解有重要關(guān)系。將式（3－12）代人式（3－13a），并化簡(jiǎn)，可得：將式（3－12）積分，并利用初始條件t=0時(shí)，V=V0，可以得出：代入式（3－14），并化簡(jiǎn)為：積分式（3－16），當(dāng)Fi>F0時(shí)可以求出：其中，B為積分常數(shù)將初期條件：t=0時(shí)，c=0代入式（3-17），可以解出B，于是式(3－17)可以化簡(jiǎn)為：當(dāng)Fi=F0時(shí)：積分時(shí)式（3-16）圖3－3給出了ci=1時(shí)，對(duì)不同的Fi，本例釜中濃度隨時(shí)間的變化關(guān)系?？梢钥闯觯瑢?duì)任何一種情況，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，罐中濃度最終將逐漸達(dá)到ci濃度隨時(shí)間的變化一般的連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器，除總物料衡算和組分物料衡算外，還伴隨化學(xué)反應(yīng)的熱效應(yīng)以及反應(yīng)釜本身的熱衡算。對(duì)于這種復(fù)雜的過(guò)程，是不太可能通過(guò)數(shù)學(xué)方法精確求解的，一般要通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行積分運(yùn)算，方可求得過(guò)程的解。

連續(xù)攪拌反應(yīng)器假定：反應(yīng)器內(nèi)處于分子級(jí)理想混合，且為液相均相反應(yīng)，即反應(yīng)混合物的溫度和組成在反應(yīng)區(qū)里是均勻的。假定反應(yīng)區(qū)的容積不隨時(shí)間變化，則加料與排料的流量也可以認(rèn)為是近似相等的，即Fin=Fout＝F。對(duì)于一個(gè)包含M個(gè)組分和N個(gè)反應(yīng)的系統(tǒng)，可以分別寫(xiě)出每一個(gè)組分的質(zhì)量守恒和反應(yīng)區(qū)的能量守恒式，如：i組分質(zhì)量守衡

V、F—反應(yīng)區(qū)容積和加料容積流量；Ci、Ci,f—反應(yīng)器內(nèi)和加料中第i組分的濃度；t—時(shí)間；R—因化學(xué)反應(yīng)引起的第i個(gè)組分濃度的變化速率，并且有

i,j—第j反應(yīng)計(jì)量式中i組分的系數(shù)3-203-22反應(yīng)區(qū)能量守衡T、Tf—反應(yīng)區(qū)內(nèi)和加料混合物的溫度；U—反應(yīng)液體與冷卻劑之間熱交換的總傳熱系數(shù)；A—反應(yīng)液體與冷卻劑之間的總傳熱面；T—冷卻劑平均溫度；

、Cp—反應(yīng)混合物的平均密度與比熱容；（-H）—第j個(gè)反應(yīng)的熱效應(yīng)；Rj—第j個(gè)反應(yīng)的速率。3-21

以上二式通常受下列初始條件的約束；在t=0時(shí)，ci=ci,0,T=T0

從而就構(gòu)成所討論的連續(xù)操作攪拌反應(yīng)器的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。3-23應(yīng)當(dāng)指出，運(yùn)用反應(yīng)工程課程中關(guān)于化學(xué)反應(yīng)計(jì)量學(xué)的知識(shí)，可以對(duì)上述模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。不必對(duì)所有M個(gè)組分，而僅僅需要對(duì)少于M的幾個(gè)著眼組分寫(xiě)出質(zhì)量守恒式，從而減少了模型涉及的常微分方程的個(gè)數(shù)。至于其他非著眼組分的濃度，完全可以利用化學(xué)計(jì)量學(xué)基本原理，通過(guò)相應(yīng)的代數(shù)方程（組）來(lái)推算。3.2.2模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用（I）上面方程構(gòu)成的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的正問(wèn)題，可以利用龍格庫(kù)塔法（R—K）和基爾（Gear）法等通用程序來(lái)求數(shù)值解。一般情況，R—K法已能滿足要求。對(duì)于某些熱效應(yīng)強(qiáng)、活化能高的反應(yīng)，濃度和溫度隨著時(shí)間的變化在某些時(shí)段可能非常激烈，采用R—K方法可能引起計(jì)算的不穩(wěn)定性，難以收斂，就需要采用像Gear法之類具有一定自適應(yīng)性的方法。3.2.2模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用（I）應(yīng)用1：開(kāi)工過(guò)程分析上述動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，可以用于連續(xù)操作攪拌罐反應(yīng)器的開(kāi)工過(guò)程分析。（a）計(jì)算開(kāi)工過(guò)程所需要的時(shí)間：從給定的初始條件出發(fā)，對(duì)上式求數(shù)值解，求取直至狀態(tài)變量的每一個(gè)分量Ci（i=1～M）、T接近定常值所需要的時(shí)間，就是近似的開(kāi)工時(shí)間。

(b)研究初始條件對(duì)開(kāi)工過(guò)程的影響。反復(fù)改變不同的初始條件，通過(guò)數(shù)值分析考察初始條件（開(kāi)工條件）的不同對(duì)開(kāi)工時(shí)間的影響，從而可以幫助制訂適當(dāng)?shù)拈_(kāi)工方案，達(dá)到既縮短開(kāi)工時(shí)間，又不致使開(kāi)工過(guò)程出現(xiàn)某些工藝上不允許的溫度和（或）濃度。應(yīng)用2：動(dòng)態(tài)響應(yīng)的數(shù)字仿真利用數(shù)字仿真技術(shù)來(lái)了解對(duì)象的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，即輸入輸出關(guān)系。通常的做法是，首先建立過(guò)程系統(tǒng)的確定性動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型；然后需要確定變量；最后把給定的定常狀態(tài)作為初始條件，逐一考察每一個(gè)輸入變量的改變對(duì)狀態(tài)變量（輸出）的影響。3.2.3模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用（II）（1）定態(tài)多重性系統(tǒng)的定態(tài)對(duì)應(yīng)于令下式左端為零時(shí)，得相應(yīng)非線性代數(shù)方程組的解。如果有多重根，就意味著系統(tǒng)有可能出現(xiàn)多重定態(tài)。即在設(shè)計(jì)參數(shù)、物性參數(shù)和操作參數(shù)都不變的情況下，我們可以看到不只一個(gè)定常狀態(tài)。（2）定態(tài)的局部穩(wěn)定性是指由瞬時(shí)小干擾引起的對(duì)定常態(tài)的偏離，在擾動(dòng)因素消失后，系統(tǒng)是否具有自動(dòng)回復(fù)原始定常態(tài)的能力？如果有，就說(shuō)該定常態(tài)是局部穩(wěn)定的，或者說(shuō)對(duì)小擾動(dòng)是穩(wěn)定的。反之，就是局部不穩(wěn)定的。定常態(tài)局部穩(wěn)定性判據(jù)：非線性集中參數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的定常態(tài)局部穩(wěn)定性判據(jù)：如果在給定的定態(tài)近旁，模型常微分方程組的雅可必矩陣的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則該定常態(tài)是漸近穩(wěn)定的。（3）狀態(tài)空間分析

狀態(tài)空間分析是一種圖解方法，借助于它，可以非常直觀地了解非線性集中參數(shù)系統(tǒng)的一系列動(dòng)態(tài)性質(zhì)。所謂狀態(tài)空間，也稱為相空間，在這里是指以每一個(gè)獨(dú)立變量作為一個(gè)坐標(biāo)軸定義的實(shí)數(shù)空間。前面例題描述的系統(tǒng)，指由C1，C2，…，CL和T作為坐標(biāo)軸定義的實(shí)空間，在其中的一個(gè)點(diǎn)，表示一個(gè)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)也稱為相點(diǎn)。相點(diǎn)的軌跡稱為相軌線（軌線），它反映了從某個(gè)特定的初始狀態(tài)出發(fā)，狀態(tài)演變的歷史，由眾多的軌線構(gòu)成，反映了在所關(guān)心的狀態(tài)變量變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)所有動(dòng)態(tài)學(xué)定性特征的圖形稱為相軌線圖（相圖）。相圖制作原理假定討論單個(gè)一級(jí)不可逆反應(yīng)A

B的特殊情況。這時(shí)，只有一個(gè)著眼組分，設(shè)為A。式（3－20～23）相應(yīng)地可以寫(xiě)成：對(duì)于任意給定的某一初始條件，利用龍格一庫(kù)塔或其他適當(dāng)?shù)那蠼獬Ｎ⒎址匠探M初值問(wèn)題的方法，可以得到數(shù)值解：S表示定常態(tài)由于只有cA、T兩個(gè)狀態(tài)變量，所以這時(shí)的狀態(tài)空間是一個(gè)二維空間，即狀態(tài)平面或稱為相平面。將上面得到的CA

和T的瞬時(shí)數(shù)據(jù)標(biāo)注在相平面上并連成標(biāo)注了運(yùn)動(dòng)方向的光滑曲線就得到一條相軌線。從不同的初始條件出發(fā)，仿照上述方法可以作出不同的軌線。由足夠多的軌線就可以繪出類似右圖的相平面圖。相平面圖繪制過(guò)程3.3精餾塔的動(dòng)態(tài)特性在化工生產(chǎn)中經(jīng)常會(huì)遇到一些具有相似的多級(jí)系統(tǒng)，最典型的就是多級(jí)串聯(lián)的CSTR反應(yīng)器和板式精餾塔。在這些過(guò)程中，通常每一級(jí)都可用一相似的一階或二階微分方程來(lái)表示，尤其當(dāng)這些方程式的系數(shù)矩陣呈雙或三對(duì)角線形式排列時(shí)，它的特征解可用解析法求得，求解時(shí)可用有限差分和差分微分法本節(jié)以二元板式精餾塔作為研究對(duì)象，討論怎樣利用多級(jí)集中參數(shù)模型對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行模擬與分析。3.3.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型全塔共有N塊塔板，塔頂為全冷凝器，塔底有間接加熱的再沸器，在第NF板加料?；炯僭O(shè)：I每塊塔板上汽相與液相分別為理想混合，因而兩相都可以采用集中參數(shù)模型來(lái)描述II兩組分的摩爾汽化熱近似相等，III泡點(diǎn)進(jìn)料IV塔內(nèi)壓力恒定V離開(kāi)每一塊塔板的汽液兩相處于平衡狀態(tài)VI每塊塔板上持液量遠(yuǎn)大于持汽量，后者及其變化可以忽略不計(jì)利用基本假設(shè)II和III，可以導(dǎo)出：任意兩塊塔板間上升蒸汽量恒定，從而使模型變量的數(shù)目大大減少，因此不必對(duì)每一塊塔板都做熱量衡算，使模型方程的數(shù)目也就相應(yīng)地減少引入基本假設(shè)V，是為暫時(shí)避開(kāi)塔板上的傳質(zhì)動(dòng)力學(xué)這一至今并末很好解決的復(fù)雜問(wèn)題精餾塔的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型全凝器及餾出罐總物料衡算全凝器及餾出液罐易揮發(fā)組分衡算

第n塊塔板總物料衡算第n塊塔板易揮發(fā)組分衡算離開(kāi)第n塊塔板汽液相濃度關(guān)系對(duì)于加料板，與第n塊塔板相似的可以得到下列守恒關(guān)系與平衡關(guān)系式再沸器及塔底總物料衡算再沸器及塔底易揮發(fā)組分衡算離開(kāi)再沸器及塔底的汽液相濃度關(guān)系再沸器熱量衡算此外，根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)原理，還可以得到每一塊塔板上經(jīng)降液管回流的液體量與該板上持液量的函數(shù)關(guān)系:獨(dú)立方程數(shù):4N+6變量數(shù):4N+10N個(gè)Xn、N個(gè)Yn、N個(gè)塔板回流量Ln、N個(gè)塔板持液量，餾出液貯罐持液量MD、餾出液成分XD、餾出液采出量D、回流至第一塊塔板的液體量LR、再沸器與塔底持液量MB、再沸器液相采出量B、上升蒸汽量V和離開(kāi)再沸器汽、液相成分YB

與XB，輸入再沸器的熱量Q3.3.2模型的數(shù)學(xué)處理與應(yīng)用在討論動(dòng)態(tài)模型的具體應(yīng)用前，應(yīng)先將涉及易揮發(fā)組分衡算的微分方程左端按函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)展開(kāi)的規(guī)則將其展開(kāi)，然后利用相應(yīng)的總物料衡算式代入其中，以消去展開(kāi)式中關(guān)于M的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，從而使所有常微分方程的左端都化為單變量導(dǎo)數(shù)的形式，并使模型轉(zhuǎn)化成為相對(duì)容易處理的代數(shù)―常微分方程組。模型處理的另一個(gè)一般性問(wèn)題：各塊塔板溫度的計(jì)算。塔板溫度的計(jì)算多組分混合物任一組分兩相平衡的條件應(yīng)當(dāng)寫(xiě)成：其中i表示組分代號(hào)，n與前述相同，表示塔板序號(hào)?？紤]到塔內(nèi)壓力恒定的假設(shè)后，可以把Pn作為常參數(shù)從上式剔除，因此有：顯然，如果用上式去代替前述模型中所有易揮發(fā)組分的相平衡關(guān)系，又變成了一個(gè)未知量數(shù)目大于獨(dú)立函數(shù)與獨(dú)立微分方程個(gè)數(shù)之和的不定問(wèn)題。從多元混合物相平衡原理補(bǔ)充汽相組成歸一化條件：由于溫度是以隱函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中，所以無(wú)論是把整個(gè)模型作為一個(gè)大的聯(lián)立代數(shù)―常微分方程組來(lái)求解，還是逐板迭代計(jì)算，每塊塔板上兩相組成與溫度的確定都必需通過(guò)反復(fù)迭代。從上面的分析看出，盡管為了使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化已經(jīng)做了很多假設(shè)，而且僅僅討論一個(gè)二元精餾問(wèn)題，要利用其動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行過(guò)程系統(tǒng)的模擬與分析，計(jì)算量也是很大的。因此，精餾塔數(shù)學(xué)模型的處理方法和計(jì)算策略歷來(lái)是從事過(guò)程模擬研究的人十分關(guān)注的。（1）開(kāi)工過(guò)程模擬與分析

以下討論連續(xù)操作精餾塔開(kāi)工過(guò)程模擬的問(wèn)題。經(jīng)過(guò)上面所述的初步處理，消去微分方程中乘積（MX）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)后，模型可以寫(xiě)成為：假設(shè)給定了M和X的初始值，并且F、Q為已知，要求考察在全回流（D=0）和不采出塔底殘液（B=0）的條件下，開(kāi)工過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性。如前所述，在F，Q，D和B已知并給定了M和X的初值后，問(wèn)題是可解的，圖3－7表示一種可行的計(jì)算策略。由每塊塔板上M的初值可以計(jì)算L。根據(jù)X的初值，和假定的溫度T的初值，從相平衡關(guān)系計(jì)算Y，然后檢驗(yàn)每塊板和再沸器內(nèi)汽相組成是否滿足

Yi,n=1，若不滿足，重新調(diào)整各塔板及再沸器溫度，再算，直至滿足上述汽相組成歸一化條件。利用V，L，X，Y數(shù)據(jù)對(duì)給定的時(shí)間步長(zhǎng)求解常微分方程的初值問(wèn)題，檢驗(yàn)餾出液濃度是否達(dá)到要求？殘液濃度是否達(dá)到要求？若任一指標(biāo)不合格，再以所得M,X更新原始數(shù)據(jù)后重新計(jì)算，若餾出液和殘液濃度都達(dá)到要求，則輸出M，X等隨時(shí)間變化的結(jié)果，并停止計(jì)算。

精餾塔模擬計(jì)算可以作為小論文（二元或多元組分）

化工過(guò)程系統(tǒng)的優(yōu)化4.1概述數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際過(guò)程系統(tǒng)進(jìn)行模擬的基礎(chǔ)。建立數(shù)學(xué)模型不僅僅是為了對(duì)過(guò)程進(jìn)行模擬，其最終目的是要對(duì)過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化什么是優(yōu)化？在化工裝置的設(shè)計(jì)及操作中，人們一直都在自覺(jué)或不自覺(jué)地應(yīng)用優(yōu)化的概念過(guò)程系統(tǒng)中優(yōu)化的分類參數(shù)優(yōu)化流程結(jié)構(gòu)給定在實(shí)際生產(chǎn)中不斷調(diào)節(jié)反應(yīng)器的溫度、壓力以保證原料的轉(zhuǎn)化率最大；在精餾塔設(shè)計(jì)中選擇適當(dāng)?shù)幕亓鞅?，以保證較少的熱量消耗和塔板數(shù)；過(guò)程系統(tǒng)中優(yōu)化的分類結(jié)構(gòu)優(yōu)化

流程方案的優(yōu)化

在多種可行方案中找出費(fèi)用最小的流程結(jié)構(gòu)，保證該方案滿足安全、環(huán)保、易操作等方面的要求確定冷、熱物流的匹配方式，以便充分利用系統(tǒng)內(nèi)部熱量，降低公用工程消耗不論是結(jié)構(gòu)優(yōu)化還是參數(shù)優(yōu)化，最終目的都是為了以最小的投入獲得最大的收益。4.2化工過(guò)程系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題基本概念4.2.1最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述在數(shù)學(xué)上，求解最優(yōu)化問(wèn)題就是要找到一組使得目標(biāo)函數(shù)J達(dá)到最大或最小的決策變量求最小值的方法完全可以用于求解最大值問(wèn)題最優(yōu)化問(wèn)題的通用表達(dá)式求目標(biāo)函數(shù)的最小值：(4-1)服從于不等式約束條件：(4-2)及n個(gè)等式約束條件：(4-3)

為n維優(yōu)化變量向量最優(yōu)化問(wèn)題的組成要素：目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化變量，約束條件與可行域。1目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)（又稱性能函數(shù)，評(píng)價(jià)函數(shù)）是最優(yōu)化問(wèn)題所要達(dá)到的目標(biāo)。兩組不同的決策，其好壞優(yōu)劣要以它們使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到多少為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。系統(tǒng)的產(chǎn)量最大；系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)收益最大；系統(tǒng)的能量消耗最??；系統(tǒng)的原料利用率最高；系統(tǒng)的操作成本最低；系統(tǒng)的投資成本最低；系統(tǒng)的穩(wěn)定操作周期最長(zhǎng)。還有多目標(biāo)問(wèn)題——各目標(biāo)加權(quán)2優(yōu)化變量對(duì)于過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化變量向量就是過(guò)程變量向量。過(guò)程變量向量包括決策變量和狀態(tài)變量決策變量等于系統(tǒng)的自由度，它們是系統(tǒng)變量中可以獨(dú)立變化以改變系統(tǒng)行為的變量；狀態(tài)變量是決策變量的函數(shù)，它們是不能獨(dú)立變化的變量，服從于描述系統(tǒng)行為的模型方程。w表示決策變量，x表示狀態(tài)變量，則過(guò)程系統(tǒng)模型方程確定了x與w的函數(shù)關(guān)系（4-4）通常稱之為狀態(tài)方程，它表示的是系統(tǒng)狀態(tài)變量與決策變量之間的關(guān)系。狀態(tài)方程數(shù)目與狀態(tài)變量x的維數(shù)相同。自由度為零的系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題就是系統(tǒng)模擬問(wèn)題3約束條件和可行域當(dāng)過(guò)程變量向量y的各分量為一組確定的數(shù)值時(shí)，稱為一個(gè)方案變量y的取值范圍一般都要給以一定的限制，這種限制稱為約束條件

狀態(tài)方程限制了狀態(tài)變量與決策變量間的關(guān)系，因此，也可以看作是一種約束條件。對(duì)于設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)計(jì)規(guī)定要求也是一種約束條件。約束條件有等式約束和不等式約束滿足約束條件的方案集合，構(gòu)成了最優(yōu)化問(wèn)題的可行域，記作R可行域中的方案稱為可行方案每組方案y為n維向量，它確定了n維空間中的一個(gè)點(diǎn)因此，過(guò)程系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題是在可行域中尋求使目標(biāo)函數(shù)取最小值的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)稱為最優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解過(guò)程系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題可表示為w－決策變量向量（w1，…，wr）

x－狀態(tài)變量向量（x1，…，xm）z－過(guò)程單元內(nèi)部變量向量（z1，…，zs）

F－目標(biāo)函數(shù)

f－m維流程描述方程組（狀態(tài)方程）c－s維尺寸成本方程組h－l維等式設(shè)計(jì)約束方程g－不等式設(shè)計(jì)約束方程討論對(duì)于上述優(yōu)化問(wèn)題，變量數(shù)為m+r+s，等式約束方程數(shù)為m+l+s，問(wèn)題的自由度為d=變量數(shù)－方程數(shù)＝r

－l若l=0，自由度等于決策變量數(shù)r；若l=r，自由度等于零，此時(shí)最優(yōu)化問(wèn)題的解是唯一的（即等于約束方程的交點(diǎn)），沒(méi)有選擇最優(yōu)點(diǎn)的余地；若l>r，則最優(yōu)化問(wèn)題無(wú)解。由此可見(jiàn)，l<r是最優(yōu)化問(wèn)題有解的必要條件之一

例4－1求一個(gè)受不等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題服從于約束條件：解：可行域是由:

三邊所圍成的區(qū)域,最優(yōu)解只能是可行域內(nèi)與點(diǎn)（3，2）距離最近的點(diǎn)(2,1)(3,2)4.2.2最優(yōu)化問(wèn)題的建模方法

過(guò)程機(jī)理清楚的問(wèn)題——采用機(jī)理模型進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)點(diǎn)：結(jié)果比較精確缺點(diǎn)：形式往往比較復(fù)雜，一般具有大型稀疏性特點(diǎn)，需要用特殊的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解，求解方法選擇不當(dāng)，會(huì)影響優(yōu)化迭代計(jì)算速度。建立過(guò)程系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題的模型方程時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，采用不同的建模方法。過(guò)程機(jī)理不很清楚，或者機(jī)理模型非常復(fù)雜——建立黑箱模型進(jìn)行優(yōu)化。常用的就是統(tǒng)計(jì)模型優(yōu)化方法。優(yōu)點(diǎn)：模型關(guān)系式簡(jiǎn)單，不需要特殊的最優(yōu)化求解算法缺點(diǎn)：外延性能較差，只適用于原裝置操作條件的優(yōu)化，而不適用于其他場(chǎng)合。黑箱建模另一種方法——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。它被廣泛用于過(guò)程系統(tǒng)模擬和優(yōu)化。它也是基于實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，但在許多方面優(yōu)于一般的統(tǒng)計(jì)回歸模型。它尋優(yōu)速度較快，具有自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力（也稱為智能模型），尤其適用于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的求解都有相應(yīng)的算法，比如常用的BP算法等。不過(guò)多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模需要大量的樣本數(shù)據(jù)，而且存在局部極值問(wèn)題。（第五章介紹）4.2.3化工過(guò)程系統(tǒng)最優(yōu)化方法的分類最優(yōu)化問(wèn)題的機(jī)理模型通常為一套描述過(guò)程特性的方程組，需要特殊的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解。求解最優(yōu)化問(wèn)題的方法很多，大致有如下幾種分類原則：（1）無(wú)約束最優(yōu)化與有約束最優(yōu)化在尋求使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)時(shí)，如果對(duì)于決策變量及狀態(tài)變量無(wú)任何附加限制，則稱為無(wú)約束最優(yōu)化。問(wèn)題的最優(yōu)解就是目標(biāo)函數(shù)的極值。這類問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，其求解方法是最優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)。在建立最優(yōu)化模型方程時(shí)，若直接或間接的對(duì)決策變量施以某種限制，則稱為有約束最優(yōu)化。通常求解有約束最優(yōu)化模型的方法是通過(guò)把有約束最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束最優(yōu)化模型進(jìn)行求解。（2）線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃根據(jù)目標(biāo)函數(shù)及約束條件線性與非線性性質(zhì)，可將求解方法分為線性規(guī)劃LP和非線性規(guī)劃NLP兩大類。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)及約束條件均為線性函數(shù)時(shí)，稱為線性最優(yōu)化。線性規(guī)劃是最優(yōu)化方法中比較成熟的技術(shù)。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)為非線性函數(shù)時(shí)，則稱為非線性最優(yōu)化，由于求解非線性規(guī)則問(wèn)題往往比較困難，所以有時(shí)也將其近似地線性化，然后用比較成熟的線性規(guī)劃技術(shù)求解。如果目標(biāo)函數(shù)為二次型，而約束條件為線性函數(shù)，則稱為二次規(guī)劃問(wèn)題。二次規(guī)劃是從線性規(guī)劃到非線性規(guī)劃的過(guò)渡，是最簡(jiǎn)單的一種非線性規(guī)劃。（3）單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化根據(jù)優(yōu)化變量的數(shù)目，可將問(wèn)題分為單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化。只有一個(gè)可以調(diào)節(jié)的決策變量的單維最優(yōu)化問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的典型問(wèn)題研究單維最優(yōu)化的方法具有基本的意義，這是因?yàn)閺?fù)雜的多維最優(yōu)化問(wèn)題往往可以轉(zhuǎn)化為反復(fù)應(yīng)用單維最優(yōu)化方法來(lái)解決。

（4）解析法與數(shù)值法解析法又稱為間接最優(yōu)化方法。這種方法只適用于目標(biāo)函數(shù)（或泛函）及約束條件有顯函數(shù)表達(dá)式的情況。它要求把一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題用數(shù)學(xué)方程式表示出來(lái)，然后用導(dǎo)數(shù)法或變分法得到最優(yōu)化的必要條件，再通過(guò)必要條件，對(duì)方程求解得到優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。古典的微分法、變分法、拉格朗日乘子法等都屬于解析法。

數(shù)值法又稱為直接最優(yōu)化方法，或優(yōu)選法。這類方法不要求目標(biāo)函數(shù)為各種變量的顯函數(shù)表達(dá)式，而是利用函數(shù)在某一局部區(qū)域的性質(zhì)或一些已知點(diǎn)的數(shù)值，逐步搜索、逼近，最后達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。

（5）可行路徑法和不可行路徑法可行路徑法的整個(gè)搜索過(guò)程是在可行域內(nèi)進(jìn)行的，也就是說(shuō)，對(duì)于變量的每次取值，約束條件均必須滿足。因此，對(duì)于每一次優(yōu)化迭代計(jì)算均必須解算一次過(guò)程系統(tǒng)模型方法，也就是做一次全流程模擬計(jì)算。這類方法簡(jiǎn)單可靠，但計(jì)算量很大。不可行路徑法的整個(gè)搜索過(guò)程并不要求必須在可行域內(nèi)進(jìn)行，可以從不可行域向最優(yōu)解逐步逼近，但在最優(yōu)解處必須滿足條件。所有的過(guò)程變量同時(shí)向使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)而又能滿足所要求條件的方向移動(dòng)。其求解過(guò)程有可能不穩(wěn)定，但計(jì)算量比可行路徑法顯著減少。

4.3化工過(guò)程系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題的類型過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化過(guò)程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過(guò)程系統(tǒng)管理的優(yōu)化4.3.1過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化包括設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化和操作參數(shù)優(yōu)化。尋求一組使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)又滿足各項(xiàng)設(shè)計(jì)規(guī)定要求的決策變量（即設(shè)計(jì)變量）。并根據(jù)情況調(diào)節(jié)決策變量（即操作變量），從而使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。4.3.2過(guò)程系統(tǒng)管理最優(yōu)化

過(guò)程系統(tǒng)管理的最優(yōu)化主要從以下幾個(gè)方面考慮：（1）資源的合理分配工廠里的蒸汽、冷卻水等公用工程，通常都是供給全廠所有車間使用的，只有合理地分配，才可以減少外購(gòu)公用工程量，從而獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益。

（2）時(shí)序問(wèn)題多組反應(yīng)器中的催化劑再生；間歇操作的流程中每個(gè)設(shè)備的運(yùn)行周期；設(shè)備的維護(hù)和檢修；多產(chǎn)品車間的生產(chǎn)運(yùn)行。（3）多產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程的排產(chǎn)計(jì)劃，會(huì)出現(xiàn)利潤(rùn)最大的優(yōu)化問(wèn)題。4.4化工過(guò)程中的線性規(guī)劃問(wèn)題運(yùn)籌學(xué)規(guī)劃論：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃更新論存儲(chǔ)論控制論排隊(duì)論對(duì)策論線性規(guī)劃線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的的一個(gè)分支。線性規(guī)劃的理論、方法簡(jiǎn)捷，只要把所探討的問(wèn)題的性質(zhì)、指標(biāo)等因素限制在約束條件中，求出滿足約束條件的最優(yōu)方案。發(fā)展史1939年康特洛維奇從運(yùn)輸問(wèn)題入手開(kāi)始研究，代表作“生產(chǎn)組織與計(jì)劃的數(shù)學(xué)方法”20世紀(jì)40年代末Dantzig等人進(jìn)一步完善了線性規(guī)劃學(xué)科，與Hurwicz一起發(fā)明了單純形法，從而奠定了線性規(guī)劃的基礎(chǔ)20世紀(jì)50年代我國(guó)開(kāi)始線性規(guī)劃方面的研究1975年康特洛維奇和庫(kù)甫曼獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)4.4.1線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式（引例）例題：某廠有生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的能力，生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要3個(gè)工日和0.35噸小麥，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要4個(gè)工日和0.25噸小麥，該廠僅有技工12人，一個(gè)月只能出300個(gè)工日，小麥一個(gè)月只能進(jìn)21噸，甲產(chǎn)品可盈利80/噸，乙產(chǎn)品可盈利90/噸。該廠在一月中如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，使之獲得最大盈利？建立這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。解：設(shè)x1,x2分別表示一月中生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量，則最大盈利為：S=80x1+90x2工日的約束為3x1+4x2≤300；原料小麥的約束為0.35x1+0.25x2≤21,該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型即為maxS=80x1+90x2s.t.3x1+4x2≤3000.35x1+0.25x2≤21x1,x2≥0S.t.是“subjectto”的縮寫(xiě)，即約束條件線性規(guī)劃是求一組非負(fù)變量，這些變量在滿足一定的線性約束條件下，使一個(gè)線性函數(shù)達(dá)到極小或極大即：把上述線性規(guī)劃一般模型轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式具有以下四點(diǎn)：目標(biāo)函數(shù)是求最小值（也可以把目標(biāo)函數(shù)定為求最大值）在約束條件中，除了非負(fù)約束用“≥”號(hào)外，其他所有約束條件均用等式（或稱方程）表示每個(gè)約束方程的常數(shù)項(xiàng)均是非負(fù)的（bi≥0）所有未知量受非負(fù)限制各種不同形式的模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法將求極大值化為求極小值將不等式約束化為等式約束將自由變量化為非負(fù)變量約束條件帶有絕對(duì)值號(hào)的轉(zhuǎn)化(1)將求極大值化為求極小值如果目標(biāo)函數(shù)J是求極大值，則可以采用以下方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：max(J)=min(-J)(2)將不等式約束化為等式約束ai1x1+ai2x2+···+ainxn≤bi引入“松弛變量”yi(

≥0)化“≤”為“=”將不等式化為：ai1x1+ai2x2+···+ainxn+yi=bi對(duì)于大于等于型不等式ai1x1+ai2x2+···+ainxn≥bi引入“剩余變量”yi(≥0)化“≥”為“=”將不等式化為：ai1x1+ai2x2+···+ainxn-yi=bi（3）將自由變量化為非負(fù)變量

如果未知量無(wú)非負(fù)約束時(shí)，稱為自由變量，這時(shí)，這個(gè)未知量可用兩個(gè)受非負(fù)限制的變量xk′,xk″之差描述，如：xk=xk′-xk″其中：xk′,xk″≥0(4)約束條件有絕對(duì)值號(hào)的轉(zhuǎn)化如果約束條件帶有絕對(duì)值號(hào)時(shí)，如|a1x1+a2x2|≤b則可以等價(jià)地化為:a1x1+a2x2≤b-a1x1-a2x2≤b從上面的例子看出：當(dāng)引入松弛變量或剩余變量之后，比原來(lái)約束條件中的變量增加了m個(gè)，使得總變量數(shù)為n+m個(gè)，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于約束條件引進(jìn)松弛變量后約束條件得系數(shù)矩陣為當(dāng)約束條件時(shí)添加剩余變量后其約束條件的系數(shù)矩陣為：例題2化下式為標(biāo)準(zhǔn)型

引進(jìn)松弛變量y1,y2,y3得標(biāo)準(zhǔn)形式為引進(jìn)的松弛變量y1,y2,y3與x1,x2同等看待,將松弛變量納入目標(biāo)函數(shù)