化工過程課件

化工過程系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)模擬與分析

化工過程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬與分析，就是對化工工藝流程系統(tǒng)進行穩(wěn)態(tài)模擬與分析。模擬是對過程系統(tǒng)模型的求解。通過這種求解可以解決下述的三類問題：

①過程系統(tǒng)的模擬分析

②過程系統(tǒng)設(shè)計

③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化①過程系統(tǒng)的模擬分析

對某個給定的過程系統(tǒng)模型進行模擬求解，可得出該系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從而可以對該過程系統(tǒng)進行工況分析，如圖所示能量流、反應(yīng)程度、幾何尺寸等②過程系統(tǒng)設(shè)計

當對某個或某些系統(tǒng)變量提出設(shè)計規(guī)定要求時，通過調(diào)整某些決策變量使模擬結(jié)果滿足設(shè)計規(guī)定要求，如圖2－2所示③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

過程系統(tǒng)模型與最優(yōu)化模型聯(lián)解得到一組使工況目標函數(shù)最佳的決策變量（優(yōu)化變量），從而實施最佳工況，如圖所示。①過程系統(tǒng)的模擬分析

②過程系統(tǒng)設(shè)計

③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化比較上面三類問題可以看出，針對所要解決問題的不同，其求解的復雜程度也不同。設(shè)計問題比模擬分析問題增加了一層選代，因而求解起來要復雜一些。而最優(yōu)化問題不僅增加了循環(huán)迭代，而且還增加了目標函數(shù)模型和最優(yōu)化模型，以致求解過程更加復雜。2.1過程系統(tǒng)模擬的三種基本方法過程系統(tǒng)模擬往往非常復雜，手工計算是難以勝任的。計算機的發(fā)展，為過程系統(tǒng)的整體研究提供了技術(shù)手段。各種類型的過程系統(tǒng)模擬軟件如雨后春筍不斷出現(xiàn)。但就其模擬計算求解方法而言，可以歸納為三類：①序貫?zāi)K法（SequentialModularMethod）；②面向方程法（EquationOrientedMetdod）；③聯(lián)立模塊法（SimultaneouslyModularMethod）。2.1.1過程系統(tǒng)模擬的序貫?zāi)K法序貫?zāi)K法是開發(fā)最早、應(yīng)用最廣的過程系統(tǒng)模擬方法。這種方法的基本部分是模塊（子程序），是一些用以描述物性、單元操作以及系統(tǒng)其他功能的模塊。序貫?zāi)K法優(yōu)點：與實際過程的直觀聯(lián)系強；模擬系統(tǒng)軟件的建立、維護和擴充都很方便，易于通用化；計算出錯時易于診斷出錯位置。缺點：是計算效率較低，尤其是解決設(shè)計和優(yōu)化問題時計算效率更低。仍不失為一種優(yōu)秀的方法。在處理過程設(shè)計和優(yōu)化問題時，由于其循環(huán)迭代嵌套甚至可高達五層以至其求解效率就太低。2.1.2過程系統(tǒng)模擬的面向方程法面向方程法又稱聯(lián)立方程法，是將描述整個過程系統(tǒng)的數(shù)學方程式聯(lián)立求解，從而得出模擬計算結(jié)果。面向方程法可以根據(jù)問題的要求靈活地確定輸入、輸出變量，而不受實際物流和流程結(jié)構(gòu)的影響。面向方程法就好像把圖2-4中的循環(huán)圈1～4合并成為一個循環(huán)圈,這種合并意味著其中所有的方程同時計算和同步收斂。因此，面向方程法解算過程系統(tǒng)模型快速有效，對設(shè)計、優(yōu)化問題靈活方便，效率較高。面向方程法一直被認為是求解過程系統(tǒng)的理想方法，但由于在實踐上存在的一些問題而沒被廣泛采用。難點：形成通用軟件比較困難；不能利用現(xiàn)有大量豐富的單元模塊；缺乏與實際流程的直觀聯(lián)系；計算失敗之后難于診斷錯誤所在；對初值的要求比較苛刻；計算技術(shù)難度較大等。但是由于其具有顯著優(yōu)勢，這種方法一直備受人們的青睞。2.1.3過程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法

聯(lián)立模塊法最早是由Rosen提出的。這種方法將過程系統(tǒng)的近似模型方程與單元模塊交替求解。聯(lián)立模塊法又被稱作雙層法。聯(lián)立模塊法的思路如圖2-6所示。該法在每次選代過程中都要求解過程的簡化方程，以產(chǎn)生的新的猜值作為嚴格模型單元模塊的輸入。通過嚴格模型的計算產(chǎn)生簡化模型的可調(diào)參數(shù)。聯(lián)立模塊法兼有序貫?zāi)K法和面向方程法的優(yōu)點。這種方法既能使用序貫?zāi)K法積累的大量模塊，又能將最費計算時間的流程收斂和設(shè)計約束收斂等迭代循環(huán)合并處理（如圖2-7），通過聯(lián)立求解達到同時收斂。

2.2過程系統(tǒng)模擬的序貫?zāi)K法2.2.1序貫?zāi)K法的基本原理序貫?zāi)K法的基礎(chǔ)是單元模塊（子程序），通常單元模塊與過程單元是一一對應(yīng)的。單元模塊是依據(jù)相應(yīng)過程單元的數(shù)學模型和求解算法編制而成的子程序。如圖中的閃蒸單元，可依據(jù)閃蒸單元模型和算法編制成閃蒸單元模塊。單元模塊具有單向性特點。給定其輸入物流變量及參數(shù)可計算出相應(yīng)的輸出物流變量，但不能由輸出變量計算輸入變量，也不能由輸入、輸出變量計算模塊參數(shù)。序貫?zāi)K法的基本思想是：從系統(tǒng)入口物流開始，經(jīng)過接受該物流變量的單元模塊的計算得到輸出物流變量，這個輸出物流變量就是下一個相鄰單元的輸入物流變量。依此逐個的計算過程系統(tǒng)中的各個單元，最終計算出系統(tǒng)的輸出物流。計算得出過程系統(tǒng)中所有的物流變量值，即狀態(tài)變量值。以序貫?zāi)K法實施過程系統(tǒng)的模擬計算，通常是把系統(tǒng)輸入物流變量及單元模塊參數(shù)（如與環(huán)境交換但與物流無關(guān)的能量流、反應(yīng)程度、分割比。幾何尺寸等）作為決策變量。序貫?zāi)K法的求解與過程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當涉及的系統(tǒng)為無反饋聯(lián)結(jié)（無再循環(huán)流）的樹形結(jié)構(gòu)時，系統(tǒng)的模擬計算順序與過程單元的排列順序是完全一致的。具有反饋聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)，其中至少存在這樣一個單元，其某個輸入物流是后面某個單元的輸出物流，如圖中的單元A。這時就不能直接實施序貫的求解計算。因為在尚未計算A，B，C等模塊之前還不知道物流S4的變量值。因此，在用序貫?zāi)K法處理具有再循環(huán)物流系統(tǒng)的模擬計算時，需要用到斷裂和收斂技術(shù)。2.2.2再循環(huán)物流的斷裂（1）斷裂的基本概念首先考察方程組的斷裂。假設(shè)有一個由四個方程、四個未知變量組成的方程組：上述方程組需要聯(lián)立求解才能得到它的解。但是，也可以由另外的方式進行求解。把一個四維求解問題降階成為了四個一維問題，從而簡化了計算難度。這種通過迭代把高維方程組降階為低維方程組的辦法稱為“斷裂”。例題：用斷裂法解下列方程組斷裂法解方程組（2）斷裂方法的研究最佳斷裂的準則分為四類：

①斷裂的物流數(shù)最少；(Barkley&Motard)②斷裂物流的變量數(shù)最少；(Rubin)③斷裂物流的權(quán)重因子之和最少；(Christensen)④斷裂回路的總次數(shù)最少。(Upadhye&Grens)準則①與②都是企圖使計算工作量最少，但是有人證明，不論斷裂流股數(shù)目最少或變量數(shù)目最少都不一定導致收斂最快。目前實際上用得最多的是準則③與④，有人認為準則④是現(xiàn)有準則中最優(yōu)的，至少對使用直接迭代法求收斂時如此。（3）回路矩陣在介紹再循環(huán)回路斷裂方法之前，先介紹一下回路的表示方法。要斷裂再循環(huán)物流，必須先識別再循環(huán)回路，并借助一定的方法描述它們。

通常，一個不可分隔子系統(tǒng)包含若于個再循環(huán)回路，如圖給出的系統(tǒng)就是一個不可分隔子系統(tǒng)，其中包含有四個再循環(huán)回路。那種包含兩個以上流股，且其中的任何單元只被通過一次，稱作簡單回路。如圖中I－SI－II－S2－III－S4－II－S2－III－S5－I構(gòu)成的回路就不是一個簡單回路，因為其中的單元II和單元III都被通過了兩次。過程系統(tǒng)中的簡單回路可以用回路矩陣表示。矩陣中的行代表回路，列代表物流。對于比較簡單的系統(tǒng)，可以由人工方法找出其全部簡單回路；對于大型的復雜系統(tǒng)則難于用人工的辦法去識別其簡單回路，就需要由專門的算法去識別。（4）Upadyhe－Grens斷裂法為了對該不可分隔子系統(tǒng)的高維求解進行降維運算，需將該子系統(tǒng)中的某些回路進行斷裂。從相應(yīng)于圖2-13回路矩陣可見，使回路（A，B，C，D）都達到斷裂的方案并不是惟一的。如斷裂物流2或是斷裂物流4，5，6，7（斷裂物流組）都可以實現(xiàn)回路（A，B，C，D）的斷裂。

這就有兩個需要解決的問題：一是要有一種能把所有的有效斷裂物流組都能搜索出來的辦法；二是要能把最優(yōu)斷裂組從中選擇出來。對此，Upadyhe等人提出了搜索斷裂組的替代規(guī)則。【例2-1】用Upadhye－Grens斷裂法尋求圖2-13中的最優(yōu)斷裂組。

解：從有效斷裂組{S1，S2，S3｝開始，反復利用替代規(guī)則，過程如下:輸入：S2輸出：S3，S4，S5標記**表示找到多余斷裂組，消去重復物流后，再重新開始替代過程輸入：S3輸出：S6，S7輸入：S1，S4，S7輸出：S2輸入：S5，S6輸出：S1標記**表示找到多余斷裂組，消去重復物流后，再重新開始替代過程輸入：S1,S4,S7輸出：S2輸入：S2輸出：S3,S4,S5輸入：S3輸出：S6,S7輸入：S5,S6輸出：S1標記*表示重復出現(xiàn)的斷裂組，在此終止替代過程從圖2-14的替代過程中找出了如下的非多余斷裂族：{S2}{S1，S4，S7}{S3，S4，S5}{S4，S5，S6，S7}由步驟④得到它們相應(yīng)的總權(quán)值為：92+3+2=72+3+3=83+3+4+2=12所以，斷裂組{S1，S4，S7｝為最優(yōu)斷裂組。2.2.3斷裂物流變量的收斂執(zhí)行斷裂物流變量收斂功能的模塊稱收斂單元模塊不可分隔子系統(tǒng)的斷裂物流斷裂物流變量的收斂問題實際上是個迭代求解非線性方程組的問題

x=y=G(x)

當斷裂物流變量猜值x與計算值y之差小于收斂容差ε時y－x=G（x）－x<ε則x為斷裂物流變量的收斂解。收斂單元的功能總計有如下作用：(Ⅰ)獲取猜值的初值x0(Ⅱ)根據(jù)計算值y，以一定的方法確定新的猜值x(Ⅲ)比較猜值x和計算值y，若其結(jié)果滿足給定精度要求，則結(jié)束迭代計算，否則繼續(xù)迭代計算過程。收斂單元實質(zhì)上就是一個數(shù)值迭代求解非線性方程組的子程序。求解非線性方程組的數(shù)值計算方法很多，適合于收斂單元的數(shù)值計算方法一般應(yīng)盡可能滿足下列要求：1.對初值的要求不高。2．數(shù)值穩(wěn)定性好3．收斂速度快4．占用計算機存儲空間少1.對初值的要求不高。1)初值易得，不易引起迭代計算的發(fā)散；

2)初值的組數(shù)少。例:用直接迭代法求解下列方程組解：令猜值為X1＝2；X2＝10；X3＝5105解：令猜值為X1＝6；X2＝3.5；X3＝5例題2-2直接迭代法2.數(shù)值穩(wěn)定性好例題2-2直接迭代法3收斂速度快對收斂速度的影響主要有三個因素：一是迭代次數(shù)；二是函數(shù)G(x)的計算次數(shù)；三是矩陣求逆的次數(shù)。序貫?zāi)K法中的函數(shù)沒有具體的函數(shù)形式，每計算一次函數(shù)值就相當于做一次流程回路的模擬計算。好的非線性方程組的數(shù)值迭代次數(shù)少，而且應(yīng)該盡量避免導數(shù)計算和矩陣求逆。這樣才可能獲得高的收斂速度。收斂速度示例4.占用計算機存儲空間少進行斷裂物流計算的很多，應(yīng)用較為廣泛的有：直接迭代法；有界wegstein法；主特征值法；Broyden法等幾種。（2）直接迭代法直接迭代法是將計算值yk作為下一輪迭代的猜值xk+1而實施迭代計算。這種算法的程序如下：重新把函數(shù)f(x)=0，安排成x=G(x)的形式。選擇初始值x(0)和一個精度截止判據(jù)0；計算x(k+1)=G(x(k))檢驗收斂性，如果|x(k+1)-x(k)|，則停止迭代，否則重回第一步。例題2-3：迭代求解以下方程f(x)=x2-5x+4=0初值x(0)=0,要求精度0.0001解x=(x2+4)/5=G(x)當x(0)=0時，G(x(0))=(0+4)/5=0.8檢驗精度|x(1)-x(0)|=|0.8-0|=0.8>0.0001重新迭代直到精度<0.0001為止例題2-3迭代過程但是把函數(shù)f(x)=0，可以安排成各種x=G(x)的形式。其收斂性如何？收斂的充分條件（并非必要條件）是：|dG(x)/dx|<1|dG/dx|>1|dG/dx|<1直接迭代法的特點是方法簡單，且只需要一組初值，不需計算導數(shù)和逆矩陣。然而該法的弱點是迭代次數(shù)多、收斂速度慢，且對初值要求較高。為了改善直接迭代法的收斂行為。人們提出了阻尼直接迭代法，或稱加權(quán)直接迭代法，其公式為：xk+1=qxk+(1-q)G(xk)式中q為阻尼因子，可以人為給定：q=0為直接迭代；0<q<1為加權(quán)直接迭代，可改善收斂的穩(wěn)定性；q<0為外推直接迭代，可以加速收斂，但穩(wěn)定性下降；q>=1無意義。阻尼法示例（3）Wegstein法為了加快收斂Wegstein提出了一種簡便的方法，至今仍然是應(yīng)用最廣泛的加速收斂方法一維Wegstein法有界Wegstein法多維Wegstein法嚴格多維Wegstein法一維Wegstein法對于方程x=G(x)，初始猜值算為x(0)，則第二點x(1)可以用直接迭代法得到：x(1)=G(x(0))以下為了找到x=G(x)的根，用以上兩個試算點之間的直線代替G(x)，則此直線的斜率為sG(x)-G(x(1))=s(x-x(1))式中：q為一指定的參數(shù)。因為我們是要找到一個x解，以滿足x=G(x)，所以估算方程G(x)-G(x(1))=s(x-x(1))變?yōu)椋夯蛘?，按此式解出x值：這種方法的圖解意義見圖。因為參數(shù)q是斜率s的函數(shù)，所以每次迭代后q都不斷在變化經(jīng)過幾步迭代后，q就逐步達到比較穩(wěn)定的值；可以根據(jù)q值的大小判斷收斂性質(zhì)：

q<0單調(diào)收斂

0<q<0.5震蕩收斂

0.5<q<1震蕩發(fā)散

1<q單調(diào)發(fā)散這就引出了“有界Wegstein法”，即人為地把q限制在一定的范圍內(nèi)：

qmin<q<qmaxFLOWTRAN模擬系統(tǒng)通常推薦-5<q<0CHESS模擬系統(tǒng)則使用：當q>0令q=0當q<-10令q=0例題2-5用Wegstein法求解以下方程F(x)=x-2(1-x)3=0，設(shè)x(0)=0.5，精度為0.0001解:第一步首先將方程轉(zhuǎn)化為x=G(x)的形式G(x)=x=2(1-x)3然后計算最初兩點x(1)=G(x(0))及G(x(1))x(0)=0.5x(1)=G(x(0))=2(1-0.5)3=0.25G(x(1))=2(1-0.25)3=0.844第二步計算斜率s及參數(shù)q第三步計算x(2)

顯然沒有收斂。因此，重復第二步然后重復第三步，得到新的x值X(3)=0.726(0.426)+(1-0.726)0.378=0.413X(4)=0.4102X(5)=0.41026達到精度要求而停止。如果用直接迭代法則引起發(fā)散。例題2-5Wegstein

法習題用Wegstein法求方程的根，收斂精度為0.0001Sinx-x/2=0與直接法比較2.3過程系統(tǒng)模擬的面向方程法序貫?zāi)K法的缺點：收斂過程十分緩慢，甚至不能收斂；對于過程系統(tǒng)的設(shè)計計算問題和參數(shù)優(yōu)化問題，情況將更為嚴重，甚至不能用序貫?zāi)K法去求解。因此，人們把注意力投向了面向方程法。2.3.1面向方程法的原理面向方程法的基本思想是，把描述過程系統(tǒng)的所有數(shù)學模型匯集到一起，形成一個非線性方程組進行求解。即：

F（x，w）＝0（2-28）

F:系統(tǒng)模型方程組，其中包括：

①物性方程；

②物料、能量、化學平衡方程；

③過程單元間的聯(lián)結(jié)方程；

④設(shè)計規(guī)定方程等。X——狀態(tài)變量向量；W——決策變量向量；通常過程系統(tǒng)模型方程組總是稀疏方程組。其中每個方程只含有幾個非零元素。例如方程組：這是個1000階的線性方程組。其中任意一個方程：該方程只有三個非零系數(shù)。其他的999個方程也具有類似的形式。過程系統(tǒng)模型的方程數(shù)和變量數(shù)往往都很大，但每個方程涉及的變量數(shù)一般只有幾個。方程的稀疏性可以用稀疏比

來衡量：

對于n—1000，N—5000的方程，其稀疏比中為0.5％。僅系數(shù)矩陣就要占用n2=106個計算機存儲單元，而其中995000個單元的內(nèi)容為零，因此大量的運算是在零與零之間進行的。由此可見，用常規(guī)數(shù)值法求解稀疏方程組是很不經(jīng)濟的，有時還會因計算機容量的限制而無法運算。因此，人們開發(fā)了大量的處理稀疏方程組的數(shù)值算法。面向方程法的核心問題是求解超大型稀疏非線性方程組，求解方法大致分為兩類：①降維求解法；②聯(lián)立求解法。2.3.2大型稀疏非線性方程組的降維解法

即把大型稀疏方程組分解成若干個小的非稀疏方程組，然后依次分別求解，從而達到降維和增大稀疏比的目的。（1）方程組的分解概念對于n階稀疏方程組，常?？梢哉业揭粋€包含有k1個變量的k1階子方程組。這個k1階子方程組可以單獨求解。其余的n—k1個方程中還可以再找出包含有k2個變量的k2階子方程組，這個子方程組也可以單獨求解。重復這一過程，最終將把原方程組分解成一系列可順序求解的子方程組。由上例可見，把原方程組分解成若干個聯(lián)立求解的小方程組后，使這些小方程組的稀疏比與原方程組相比要大得多。若小方程組的稀疏比接近1，可用常規(guī)數(shù)值解法求解，若稀疏比仍很小可繼續(xù)分解。方程組的分解方法有回路搜索法和矩陣法兩大類。下面僅討論基于有向圖的回路搜索法。(2）回路搜索法分解方程組回路搜索法分解方程組，是在描述方程組的有向圖上進行的。為了用有向圖表示方程組的結(jié)構(gòu)，首先必須對每個方程指定一個變量作為其輸出變量。①輸出變量的指定方法輸出變量是可由方程中其他變量求解的變量，且每個變量只能被指定一次作為輸出變量。輸出變量指定方法的步驟是，選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點處元素對應(yīng)的變量，作為優(yōu)先指定的輸出變量，然后從事件矩陣中刪去該輸出變量對應(yīng)的行和列；重復上述過程直至矩陣中所有的行和列都被刪掉。例外情況的處理：最后剩下了方程f7和變量x9,而f7中沒有x9在遇到這種情況時，必須盡力找出所謂的Steward通道。即方程f7行中的任一元素和變量x0列中的任一元素之間的聯(lián)系。這一通道開始于未被指定為輸出變量的元素x9，平移到一已被指定為輸出變量的元素（9，10），改變900方向到一未指定元素（10，10），再改變900方向到一指定元素（10，8），此過程一直繼續(xù)到未指定輸出變量的方程的元素（7，l）。在Steward通道上指定元素和未指定元素交替出現(xiàn)，而其首尾均為未指定元素，在全通道上未指定元素比指定元素多一個。把Steward通道上的指定元素和未指定元素互換，即將通道上的指定元素變?yōu)槲粗付ㄔ?，而將未指定元素變?yōu)橹付ㄔ?，于是，得到另一種輸出變量指定方式，如下圖所示。可見，各方程的輸出變量已全部指定，并符合前面所說的要求。當需要Steward通道而又找不到這樣的通道時，必然存在無法指定為輸出變量的變量，這表明方程組是奇異的。②畫出有向圖用有向圖表示方程和變量的關(guān)系。圖中每個節(jié)點代表一個方程。如果方程fi的輸出變量存在于fj中，則從節(jié)點fi向fj作一有向邊。圖2－20為式（2－30）的有向圖表示。這個圖代表了方程間的信息流動方向。③回路搜索例2-5:對例2-4所給的方程組用回路搜索法進行分解。從節(jié)點f1開始回路搜索得到數(shù)串：f1f3f2f5f2將節(jié)點f2和5合并得到組合節(jié)點（f2f5），由于組合節(jié)點（f2f5）無任何輸出邊，刪去（f2f5）及其所有輸入邊，得到數(shù)串：f1

f3,節(jié)點f3也無輸出邊，刪去f3及其輸入邊,然后從f1繼續(xù)搜索,得到數(shù)串：f1f4f1。合并節(jié)點f1和f4得到組合節(jié)點(f1f4)。依次刪去的節(jié)點和組合節(jié)點記入下表它們分別代表原方程組分解后得到的小方程組，其求解即從后到前的順序進行。

④不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法該式也是個稀疏方程組。利用回路搜索法對其分解后發(fā)現(xiàn)，該方程組是不可分解方程組，該原方程組必須聯(lián)立求解。對于這種情況，需要通過斷裂來達到進一步降維和增大稀疏比的目的。斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂后的系統(tǒng)必須通過收斂得以求解。為了易于收斂，因而總是希望斷裂的變量數(shù)最少。所以，總是要選擇包含變量數(shù)最少的方程中的變量作為斷裂變量，斷裂變量數(shù)等于該方程中的變量數(shù)減1。然后給斷裂變量賦初值，再進行迭代計算直至收斂。

以右矩陣式為例進行斷裂降維求解。矩陣中f3,f4,f5行的變量數(shù)最少，都只有兩個。選擇f3中的x5為斷裂變量。從而解出x6。把f3行和x5,x6列刪去，得到下式該式為五行四列，有一個多余方程（它是由刪除斷裂變量x5產(chǎn)生的）。f6行含有的變量最多，暫不考慮（因為容易引起耦聯(lián)，不利于分解），對其余的四行、四列進行重排，可得到：左式中可聯(lián)解f1f4和f2f5（此時f5f6為已知）。然后計算f6，檢驗是否滿足，若不滿足，則修改斷裂變量x5的值，重復上述的計算，直至滿足f6方程為止。通過此例可以看到，斷裂可以使不可分解的稀疏方程組繼續(xù)分解。2.3.3聯(lián)立擬線性方程組法解大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把非線性方程組線性化。然后聯(lián)立求解線性方程組。由于線性化引人了誤差，所以要借助迭代使線性化方程組的解，逐漸逼近非線性方程組的解。（1）線性化方法對于n維非線性方程組將該方程組在x1(k),x2(k)…xn(k)處作臺勞展開，(即Nowton-Raphson聯(lián)立線性化方法)得：為雅可比矩陣記J在進行第k+1次迭代時，上式中的f(k)、J(k)和X(k)均為已知，因此，上式為x(k+1)的線性方程組，于是可用Newton-Raphson法的迭代公式：X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)例2-6組分A的稀溶液在常溫下離解：

A

2B

其數(shù)學模型如下：

質(zhì)量平衡:CA+CB/2=CA*熱力學平衡:KCA-CB2=0

式中，CA與CB分別是組分A、B的濃度；CA*是組分A的初始濃度；K是該反應(yīng)的平衡常數(shù)。求當K=2，CA*=1時平衡態(tài)的組分濃度。X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)方程組兩邊乘于雅可比矩陣J于是：變化為如下形式：所以取CB的初值為1.5迭代過程如下：迭代過程（2）稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組經(jīng)線性化后得到的線性方程組仍然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問題，轉(zhuǎn)化成求解稀疏線性方程組的問題。用常規(guī)的消去法求解大型稀疏線性方程組是不經(jīng)濟的，而且計算效率較低。為了減少求解大型稀疏線性方程組所需的計算時間和存儲空間，通常采用下列兩方面的技術(shù)：

①只對非零元素進行計算；

②只存儲非零元素（如壓縮存儲技術(shù)）。填充量和主元容限填充量：用高斯消去法消元過程的同時,會在原來零元素處引入非零元素。新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。在求解大型稀疏線性方程組時，應(yīng)該盡可能地減少填充，否則將會使計算效率大大下降。然而，減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計算精度是矛盾的。用高斯消去法對矩陣進行消元的過程

新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。用左矩陣中對角線上的第一個元素作為主元素，消去第一列上的其他元素將導致在所有的零元素處產(chǎn)生非零元素，即填充量達到最大。而右矩陣的填充量減少到零。

54321123451234554321為了減少填充量，需要把右矩陣中的元素a55作為主元素，但如果它的絕對值很小時，將會引人較大的誤差，致使計算精度、數(shù)值穩(wěn)定性變差。(b)主元容限在主元消去法中，通常把絕對值最大的元素作為主元進行消元。其目的是為了提高計算的精度。但是如果這樣選取的主元恰好導致較大的填充，那么計算效率的將下降。因此，寧愿選擇一個絕對值不是最大，且不會引起填充量過大的元素作為主元。（c）Bending－Hutchison算法。該算法是在全元消去法的基礎(chǔ)上派生出來，其核心是避免填充，同時保證計算的精度。【例2-7】圖2-23為一個物流分割器及混合器構(gòu)成的簡化流程。圖上括號中的數(shù)字為分割比。由此可以得出各流股關(guān)系的方程。共9股物流有9個方程-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0第2列和第8列均只含有一個元素，即縱列等于1。這兩個元素必須分別選作方程（1）和方程（8）的主元。由于這兩列中并無其他元素，所以不用執(zhí)行消元過程。第3，5，7，9列均含有兩個非零元素，即縱列等于2。人為地選第三列。方程（2）橫列為2，方程（9）的橫列為3，選：主元素消去元素產(chǎn)生元素V8E8V2E1V3E2V3E9V1E9V7E6V7E9V6E9-0.333主元素消去元素產(chǎn)生元素V5E4V5E3V4E3V9E7V9E3RHSE3-0.3331主元素消去元素產(chǎn)生元素改變元素V1E3V1E9RHSE9V4E9-0.333-0.33310.6670.7780.555V6E5V6E9V4E9S4=0.667/0.555=1.2S5=0.333*1.2=0.4S6=0.667*1.2=0.8S1=0.333*1.2+1=1.4S8=0.667*0.8=0.533S9=1S2=1.4*0.333=0.466S3=0.667*1.4=0.933S7=0.333*0.8=0.2662.4過程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法序貫?zāi)K法和面向方程法比較2.4.1聯(lián)立模塊法的原理程法聯(lián)立模塊法：兼?zhèn)淞松鲜鰞煞N方法的優(yōu)點，更重要的是它可以使花費了大量人力、物力開發(fā)出的過程單元模塊得以充分利用。聯(lián)立模塊法可定義為利用黑箱過程模塊，靈活求解模擬問題的方法。聯(lián)立模塊法與序貫?zāi)K法的共同之處在于面向模塊；與面向方程法共同之處在于聯(lián)立求解過程系統(tǒng)模型方程。利用嚴格模塊產(chǎn)生相應(yīng)的簡化模型方程的系數(shù),然后把所有的簡化模型方程匯集到一起進行聯(lián)解，得到系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。由于簡化模型是嚴格模塊的近似，所以計算結(jié)果往往不是問題的解，必須用嚴格模塊對這組解進行計算，修正簡化模型的系數(shù)。重復這一過程，直到收斂到原問題的解。聯(lián)立模塊法的特點：①聯(lián)立模塊法計算效率較高。②簡化模型方程組的維數(shù)比面向方程法也小得多，求解起來也容易。③能利用大量原有的豐富的序貫?zāi)K軟件。

聯(lián)立模塊法兼有序貫?zāi)K法和聯(lián)立方程法的優(yōu)點：①計算效率較高；②對初值要求較低；③迭代循環(huán)圈較少；④計算出錯時診斷較容易；⑤能利用大量原有的軟件。模擬計算過程初值的取得可以采用兩種辦法：①猜值②用序貫?zāi)K法迭代求解幾次，得到各點的初值。聯(lián)立模塊法的計算效率主要依賴于簡化模型的形式。簡化模型應(yīng)該是嚴格模塊的近似，同時具有容易建立、求解方便的特點。下面介紹如何利用嚴格模塊產(chǎn)生近似簡化模型。2.4.2建立簡化模型的兩種切斷方式

為了建立簡化模型，必須首先劃分簡化模型的對象范圍。有兩種劃分方法：

①以過程單元為基本單位建立簡化模型；

②以回路為基本單位建立簡化模型。這兩種劃分策略分別與兩種切斷方式相對應(yīng)：

①聯(lián)結(jié)物流全切斷方式；

②回路切斷方式。(1)聯(lián)結(jié)物流全切斷方式

這種方式相當于把所有過程單元之間的聯(lián)結(jié)物流全部切斷，形成一系列互相獨立的過程單元。[例2-8]用聯(lián)立模塊法對圖2-17給出的三級閃蒸過程進行穩(wěn)態(tài)模擬解：①建立簡化模型嚴格單元模塊的輸入流股變量向量x與輸出流股變量y之間有嚴格模型：

y=G(x)對上式進行一階臺勞展開為：y-y0=G

(x)(x-x0)便可得到嚴格模型的線性增量簡化模型:y=Ax利用上式分別對每個過程單元寫出其簡化模型：由于混合器的嚴格模型為線性模型，且系統(tǒng)入料流股變量為給定值，所以有：把上述線性簡化模型寫成矩陣形式的迭代格式②從嚴格模塊計算簡化模型的系數(shù)式（2－50）中的系數(shù)矩陣可通過對嚴格模塊的擾動計算得到。前面我們假定A=G

(x)，也就得到了A。而A是從一階臺勞展開式得到的。偏離x0點后便會產(chǎn)生偏差，因此要不斷進行修正。流股全切斷方式很類似于面向方程法。主要區(qū)別在于后者是嚴格模型方程，變量數(shù)也要大得多,對于一個包括100個聯(lián)結(jié)流股，每個流股有8個組分，10個設(shè)計規(guī)定系統(tǒng)，其系統(tǒng)簡化模型數(shù)為：

ne＝2*（8十2）*100＋10＝2010（2-51）由此可見，對于較大的系統(tǒng)，流股全切斷方式建立的簡化模型方程數(shù)是很大的。（2）回路切斷方式回路切斷方式相當于把若干個單元作為一個“虛擬單元”處理，建立虛擬單元的簡化模型。虛擬單元所包含的各單元間的聯(lián)結(jié)流股變量則不出現(xiàn)在簡化模型中，從而大大降低了簡化模型的維數(shù)。通常是以循環(huán)回路為一個虛擬單元，切斷再循環(huán)流股，故稱之為回路切斷方式。圖2-27虛線內(nèi)的回路構(gòu)成了一個虛擬單元?！纠?-9】以回路切斷方式建立三級閃蒸過程系統(tǒng)的線性增量簡化模型。

對于圖2-17中給出的三級閃蒸系統(tǒng)，不難憑觀察選定最佳切斷流為S2，因為它可以同時切斷兩個再循環(huán)流。為了更加直觀，將圖2-17改畫成圖2-28（a）。若把圖2-28(a）中虛線框內(nèi)的部分看作黑箱（虛擬單元），則系統(tǒng)簡化成圖2-28（b）用線性增量模型作虛擬單元的簡化模型如下：上式中的第一行可以獨立求解，得到S2。一旦解出S2，分別代入第二、三行，則可得到

S7、

S8。因此，可以把（2-60）式看作三級閃蒸過程回路切斷方式的系統(tǒng)簡化模型。（2-60）氨合成工藝流程模擬與分析可以作為小論文

化工過程系統(tǒng)的動態(tài)模擬與分析★

化工過程系統(tǒng)的動態(tài)特性與模型▲確定性動態(tài)模型的數(shù)學處理(難點)★連續(xù)攪拌罐反應(yīng)器的動態(tài)特性，精餾塔的動態(tài)特性（重點）★▲變壓吸附過程的模擬與分析（自習）3.1.1化工過程系統(tǒng)的動態(tài)特性動態(tài)特性涉及的問題：間歇過程；連續(xù)過程的開停工；連續(xù)過程本征參數(shù)依時變化；控制系統(tǒng)的合成；過程系統(tǒng)局部與全局特性分析以及利用；人為非定常態(tài)操作?；み^程系統(tǒng)動態(tài)特性知識，十分重要的、基本的。3.1.2化工過程系統(tǒng)的動態(tài)模型無論碰到和處理上述哪一類與過程系統(tǒng)動態(tài)特性有關(guān)的實際問題，所需要的最核心、最本質(zhì)的知識，是如何科學地描述過程系統(tǒng)動態(tài)特性的規(guī)律，這必須選擇或者建立一種既能反映過程系統(tǒng)本質(zhì)特性，又相對簡單明了的數(shù)學模型。根據(jù)對過程系統(tǒng)中狀態(tài)變量分布特征的不同描述方式，一般可以把數(shù)學模型分為：集中參數(shù)模型分布參數(shù)模型多級集中參數(shù)模型集中參數(shù)模型：狀態(tài)變量在系統(tǒng)中呈空間均勻分布，如強烈攪拌的反應(yīng)罐就可以用這一類模型來描述。分布參數(shù)模型：狀態(tài)變量在系統(tǒng)內(nèi)呈現(xiàn)非均勻，但一般是連續(xù)的空間分布，如管式反應(yīng)器的模型通常就用分布參數(shù)模型。多級集中參數(shù)模型：一般用于描述多級串聯(lián)、級內(nèi)狀態(tài)變量均勻分布的過程，如板式塔內(nèi)的傳質(zhì)分離過程等。

根據(jù)建立模型的不同方法，一般可以將數(shù)學模型分為統(tǒng)計模型、確定性模型和介于兩者之間的半經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。統(tǒng)計模型又稱為經(jīng)驗?zāi)Ｐ停兇庥山y(tǒng)計、關(guān)聯(lián)輸入輸出數(shù)據(jù)而得。

優(yōu)點：表達方式很簡單，只需做少量計算就能得到所要的結(jié)果；

缺點：只能應(yīng)用到建立模型時采集數(shù)據(jù)所涉及到的那些操作條件，或者可以略作小范圍的外推。確定性模型又稱為機理模型：是通過對所研究的系統(tǒng)或者系統(tǒng)內(nèi)某個微元，列出質(zhì)量、能量和動量守恒關(guān)系式，系統(tǒng)（或微元）內(nèi)外質(zhì)量、能量和動量交換速率系數(shù)計算式，相關(guān)的相平衡關(guān)系，以及化學反應(yīng)速率表達式和化學反應(yīng)平衡常數(shù)計算式而建立起來的。該模型的普遍適用性更強。3.1.3確定性動態(tài)模型的數(shù)學處理數(shù)學模型的數(shù)學處理：（1）正問題——模型方程組的求解（2）逆問題——模型參數(shù)的估計（3）過程系統(tǒng)的定性分析（1）正問題——模型方程組的求解模型方程（組）的正問題：指所有的參數(shù)（包括設(shè)計、物性、傳遞和操作參數(shù)等）都已給定，要求利用模型來預測系統(tǒng)的狀態(tài)分布及其在時間域的運動（變化）情況。這一類問題在工程實際上經(jīng)常會碰到。例如：簡單問題

模型參數(shù)已給定，利用模型來預測系統(tǒng)的結(jié)果如：解決正問題，要求在給定的初值條件或初、邊值條件下求解模型方程組。這就可能涉及代數(shù)方程組、常微分方程組和偏微分方程組，以及其混合方程組的求解，由于方程組強烈的非線性特性，求模型方程組的分析解往往是不可能的，不得不借助于計算機求數(shù)值解。（2）逆問題——模型參數(shù)的估計已經(jīng)從實驗裝置或生產(chǎn)裝置上采集到在非定常態(tài)條件下系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時間變化的信息，要求從中估計出描述這一非定常態(tài)過程的模型中，某些未知參數(shù)的數(shù)值。即：已知狀態(tài)在時間域的運動情況，要求估計模型參數(shù)。求的函數(shù)表達式完成這類計算，涉及到計算數(shù)學中最優(yōu)化方法這一分支。一些常用的、相對較成熟的最優(yōu)化方法，通常都已編寫成通用程序，在手冊、專著中都可以查到，只需結(jié)合參數(shù)估計的實際問題，掌握這些通用程序的具體應(yīng)用就可以了。近年來又發(fā)展出一些新的算法，如遺傳算法、模擬退火算法等。（3）過程系統(tǒng)的定性分析由于化工過程系統(tǒng)通常具有很強的非線性性質(zhì)，因而有可能出現(xiàn)定常態(tài)多重性、定常態(tài)穩(wěn)定性、參數(shù)敏感性、自激振蕩，甚至更復雜的時間序列結(jié)構(gòu)。原則上講，這些問題都可以通過確定性模型來分析、處理。這一類問題歸結(jié)為動態(tài)微分方程（組）的定性分析—非線性分析或非線性現(xiàn)象與復雜性分析。3.2連續(xù)攪拌反應(yīng)器的動態(tài)特性

選擇連續(xù)攪拌反應(yīng)器作為研究對象，是非常具有代表性的：用集中參數(shù)模型來描述系統(tǒng)的特性，在模型的類型上有典型性；模型的數(shù)學處理方法方面，與其他類型的化工過程系統(tǒng)集中參數(shù)模型有相似性；涉及到非線性系統(tǒng)的定性分析問題，所運用的分析方法具有普遍意義。3.2.1動態(tài)數(shù)學模型通過實際的示例，介紹集中參數(shù)模型的建立和數(shù)學處理方法?！纠?-1】敞口連續(xù)攪拌釜的流量計算。如圖所示，進料量為Fi，攪拌釜中原有料液高度為H。，試求取自開工后排料量的變化關(guān)系。假設(shè)攪拌釜的橫截面積為A，排液量與罐中料液的高度成正比關(guān)系，即：F0=kH根據(jù)質(zhì)量守恒原理，對敞口連續(xù)攪拌釜列出質(zhì)量衡算關(guān)系：質(zhì)量累積速率=質(zhì)量流入速率-質(zhì)量流出速率初始化條件：t=0時，H=H0代入并化簡:上式就是釜中液位高度隨時間的變化關(guān)系，排液量與時間的變化關(guān)系為：不同的k值，釜中液位高度隨時間變化關(guān)系的示意圖。圖中每條曲線的右側(cè)分別指明了計算所用的kH0-Fi的值，即t=0時刻料液排出速度與流入速度之差。從圖中可以看出，隨時間的增加，釜中液位高度呈指數(shù)式變化，并逐漸達到一個近似的穩(wěn)定值。對于不同的kH0-Fi

的值，液位高度隨時間的變化關(guān)系有所不同。高度變化1高度變化2【例3-2】攪拌槽內(nèi)含鹽量的動態(tài)模型。攪拌槽示意圖。初始情況是槽內(nèi)盛有V0的水，把濃度為Ci的鹽水以恒定流量Fi加入槽內(nèi)，與此同時完全混合后的鹽水以恒定流量F0排放，試求槽內(nèi)鹽水濃度C的變化規(guī)律。鹽水溶液的總物料衡算關(guān)系：鹽組分的物料平衡：即：

式（3－13a）表明有兩項累積量，第一項是因濃度變化而引起的，第二項是由體積變化所引起的，這兩項皆與求解有重要關(guān)系。將式（3－12）代人式（3－13a），并化簡，可得：將式（3－12）積分，并利用初始條件t=0時，V=V0，可以得出：代入式（3－14），并化簡為：積分式（3－16），當Fi>F0時可以求出：其中，B為積分常數(shù)將初期條件：t=0時，c=0代入式（3-17），可以解出B，于是式(3－17)可以化簡為：當Fi=F0時：積分時式（3-16）圖3－3給出了ci=1時，對不同的Fi，本例釜中濃度隨時間的變化關(guān)系。可以看出，對任何一種情況，隨著時間的延長，罐中濃度最終將逐漸達到ci濃度隨時間的變化一般的連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器，除總物料衡算和組分物料衡算外，還伴隨化學反應(yīng)的熱效應(yīng)以及反應(yīng)釜本身的熱衡算。對于這種復雜的過程，是不太可能通過數(shù)學方法精確求解的，一般要通過數(shù)值方法進行積分運算，方可求得過程的解。

連續(xù)攪拌反應(yīng)器假定：反應(yīng)器內(nèi)處于分子級理想混合，且為液相均相反應(yīng)，即反應(yīng)混合物的溫度和組成在反應(yīng)區(qū)里是均勻的。假定反應(yīng)區(qū)的容積不隨時間變化，則加料與排料的流量也可以認為是近似相等的，即Fin=Fout＝F。對于一個包含M個組分和N個反應(yīng)的系統(tǒng)，可以分別寫出每一個組分的質(zhì)量守恒和反應(yīng)區(qū)的能量守恒式，如：i組分質(zhì)量守衡

V、F—反應(yīng)區(qū)容積和加料容積流量；Ci、Ci,f—反應(yīng)器內(nèi)和加料中第i組分的濃度；t—時間；R—因化學反應(yīng)引起的第i個組分濃度的變化速率，并且有

i,j—第j反應(yīng)計量式中i組分的系數(shù)3-203-22反應(yīng)區(qū)能量守衡T、Tf—反應(yīng)區(qū)內(nèi)和加料混合物的溫度；U—反應(yīng)液體與冷卻劑之間熱交換的總傳熱系數(shù)；A—反應(yīng)液體與冷卻劑之間的總傳熱面；T—冷卻劑平均溫度；

、Cp—反應(yīng)混合物的平均密度與比熱容；（-H）—第j個反應(yīng)的熱效應(yīng)；Rj—第j個反應(yīng)的速率。3-21

以上二式通常受下列初始條件的約束；在t=0時，ci=ci,0,T=T0

從而就構(gòu)成所討論的連續(xù)操作攪拌反應(yīng)器的動態(tài)數(shù)學模型。3-23應(yīng)當指出，運用反應(yīng)工程課程中關(guān)于化學反應(yīng)計量學的知識，可以對上述模型進行簡化。不必對所有M個組分，而僅僅需要對少于M的幾個著眼組分寫出質(zhì)量守恒式，從而減少了模型涉及的常微分方程的個數(shù)。至于其他非著眼組分的濃度，完全可以利用化學計量學基本原理，通過相應(yīng)的代數(shù)方程（組）來推算。3.2.2模型的數(shù)學處理與應(yīng)用（I）上面方程構(gòu)成的動態(tài)數(shù)學模型的正問題，可以利用龍格庫塔法（R—K）和基爾（Gear）法等通用程序來求數(shù)值解。一般情況，R—K法已能滿足要求。對于某些熱效應(yīng)強、活化能高的反應(yīng)，濃度和溫度隨著時間的變化在某些時段可能非常激烈，采用R—K方法可能引起計算的不穩(wěn)定性，難以收斂，就需要采用像Gear法之類具有一定自適應(yīng)性的方法。3.2.2模型的數(shù)學處理與應(yīng)用（I）應(yīng)用1：開工過程分析上述動態(tài)數(shù)學模型，可以用于連續(xù)操作攪拌罐反應(yīng)器的開工過程分析。（a）計算開工過程所需要的時間：從給定的初始條件出發(fā)，對上式求數(shù)值解，求取直至狀態(tài)變量的每一個分量Ci（i=1～M）、T接近定常值所需要的時間，就是近似的開工時間。

(b)研究初始條件對開工過程的影響。反復改變不同的初始條件，通過數(shù)值分析考察初始條件（開工條件）的不同對開工時間的影響，從而可以幫助制訂適當?shù)拈_工方案，達到既縮短開工時間，又不致使開工過程出現(xiàn)某些工藝上不允許的溫度和（或）濃度。應(yīng)用2：動態(tài)響應(yīng)的數(shù)字仿真利用數(shù)字仿真技術(shù)來了解對象的動態(tài)響應(yīng)特性，即輸入輸出關(guān)系。通常的做法是，首先建立過程系統(tǒng)的確定性動態(tài)數(shù)學模型；然后需要確定變量；最后把給定的定常狀態(tài)作為初始條件，逐一考察每一個輸入變量的改變對狀態(tài)變量（輸出）的影響。3.2.3模型的數(shù)學處理與應(yīng)用（II）（1）定態(tài)多重性系統(tǒng)的定態(tài)對應(yīng)于令下式左端為零時，得相應(yīng)非線性代數(shù)方程組的解。如果有多重根，就意味著系統(tǒng)有可能出現(xiàn)多重定態(tài)。即在設(shè)計參數(shù)、物性參數(shù)和操作參數(shù)都不變的情況下，我們可以看到不只一個定常狀態(tài)。（2）定態(tài)的局部穩(wěn)定性是指由瞬時小干擾引起的對定常態(tài)的偏離，在擾動因素消失后，系統(tǒng)是否具有自動回復原始定常態(tài)的能力？如果有，就說該定常態(tài)是局部穩(wěn)定的，或者說對小擾動是穩(wěn)定的。反之，就是局部不穩(wěn)定的。定常態(tài)局部穩(wěn)定性判據(jù)：非線性集中參數(shù)動態(tài)數(shù)學模型的定常態(tài)局部穩(wěn)定性判據(jù)：如果在給定的定態(tài)近旁，模型常微分方程組的雅可必矩陣的所有特征值都具有負實部，則該定常態(tài)是漸近穩(wěn)定的。（3）狀態(tài)空間分析

狀態(tài)空間分析是一種圖解方法，借助于它，可以非常直觀地了解非線性集中參數(shù)系統(tǒng)的一系列動態(tài)性質(zhì)。所謂狀態(tài)空間，也稱為相空間，在這里是指以每一個獨立變量作為一個坐標軸定義的實數(shù)空間。前面例題描述的系統(tǒng)，指由C1，C2，…，CL和T作為坐標軸定義的實空間，在其中的一個點，表示一個狀態(tài)，這個點也稱為相點。相點的軌跡稱為相軌線（軌線），它反映了從某個特定的初始狀態(tài)出發(fā)，狀態(tài)演變的歷史，由眾多的軌線構(gòu)成，反映了在所關(guān)心的狀態(tài)變量變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)所有動態(tài)學定性特征的圖形稱為相軌線圖（相圖）。相圖制作原理假定討論單個一級不可逆反應(yīng)A

B的特殊情況。這時，只有一個著眼組分，設(shè)為A。式（3－20～23）相應(yīng)地可以寫成：對于任意給定的某一初始條件，利用龍格一庫塔或其他適當?shù)那蠼獬Ｎ⒎址匠探M初值問題的方法，可以得到數(shù)值解：S表示定常態(tài)由于只有cA、T兩個狀態(tài)變量，所以這時的狀態(tài)空間是一個二維空間，即狀態(tài)平面或稱為相平面。將上面得到的CA

和T的瞬時數(shù)據(jù)標注在相平面上并連成標注了運動方向的光滑曲線就得到一條相軌線。從不同的初始條件出發(fā)，仿照上述方法可以作出不同的軌線。由足夠多的軌線就可以繪出類似右圖的相平面圖。相平面圖繪制過程3.3精餾塔的動態(tài)特性在化工生產(chǎn)中經(jīng)常會遇到一些具有相似的多級系統(tǒng)，最典型的就是多級串聯(lián)的CSTR反應(yīng)器和板式精餾塔。在這些過程中，通常每一級都可用一相似的一階或二階微分方程來表示，尤其當這些方程式的系數(shù)矩陣呈雙或三對角線形式排列時，它的特征解可用解析法求得，求解時可用有限差分和差分微分法本節(jié)以二元板式精餾塔作為研究對象，討論怎樣利用多級集中參數(shù)模型對其動態(tài)特性進行模擬與分析。3.3.1動態(tài)數(shù)學模型全塔共有N塊塔板，塔頂為全冷凝器，塔底有間接加熱的再沸器，在第NF板加料?；炯僭O(shè)：I每塊塔板上汽相與液相分別為理想混合，因而兩相都可以采用集中參數(shù)模型來描述II兩組分的摩爾汽化熱近似相等，III泡點進料IV塔內(nèi)壓力恒定V離開每一塊塔板的汽液兩相處于平衡狀態(tài)VI每塊塔板上持液量遠大于持汽量，后者及其變化可以忽略不計利用基本假設(shè)II和III，可以導出：任意兩塊塔板間上升蒸汽量恒定，從而使模型變量的數(shù)目大大減少，因此不必對每一塊塔板都做熱量衡算，使模型方程的數(shù)目也就相應(yīng)地減少引入基本假設(shè)V，是為暫時避開塔板上的傳質(zhì)動力學這一至今并末很好解決的復雜問題精餾塔的動態(tài)數(shù)學模型全凝器及餾出罐總物料衡算全凝器及餾出液罐易揮發(fā)組分衡算

第n塊塔板總物料衡算第n塊塔板易揮發(fā)組分衡算離開第n塊塔板汽液相濃度關(guān)系對于加料板，與第n塊塔板相似的可以得到下列守恒關(guān)系與平衡關(guān)系式再沸器及塔底總物料衡算再沸器及塔底易揮發(fā)組分衡算離開再沸器及塔底的汽液相濃度關(guān)系再沸器熱量衡算此外，根據(jù)流體動力學原理，還可以得到每一塊塔板上經(jīng)降液管回流的液體量與該板上持液量的函數(shù)關(guān)系:獨立方程數(shù):4N+6變量數(shù):4N+10N個Xn、N個Yn、N個塔板回流量Ln、N個塔板持液量，餾出液貯罐持液量MD、餾出液成分XD、餾出液采出量D、回流至第一塊塔板的液體量LR、再沸器與塔底持液量MB、再沸器液相采出量B、上升蒸汽量V和離開再沸器汽、液相成分YB

與XB，輸入再沸器的熱量Q3.3.2模型的數(shù)學處理與應(yīng)用在討論動態(tài)模型的具體應(yīng)用前，應(yīng)先將涉及易揮發(fā)組分衡算的微分方程左端按函數(shù)乘積的導數(shù)展開的規(guī)則將其展開，然后利用相應(yīng)的總物料衡算式代入其中，以消去展開式中關(guān)于M的導數(shù)項，從而使所有常微分方程的左端都化為單變量導數(shù)的形式，并使模型轉(zhuǎn)化成為相對容易處理的代數(shù)―常微分方程組。模型處理的另一個一般性問題：各塊塔板溫度的計算。塔板溫度的計算多組分混合物任一組分兩相平衡的條件應(yīng)當寫成：其中i表示組分代號，n與前述相同，表示塔板序號。考慮到塔內(nèi)壓力恒定的假設(shè)后，可以把Pn作為常參數(shù)從上式剔除，因此有：顯然，如果用上式去代替前述模型中所有易揮發(fā)組分的相平衡關(guān)系，又變成了一個未知量數(shù)目大于獨立函數(shù)與獨立微分方程個數(shù)之和的不定問題。從多元混合物相平衡原理補充汽相組成歸一化條件：由于溫度是以隱函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中，所以無論是把整個模型作為一個大的聯(lián)立代數(shù)―常微分方程組來求解，還是逐板迭代計算，每塊塔板上兩相組成與溫度的確定都必需通過反復迭代。從上面的分析看出，盡管為了使問題得到簡化已經(jīng)做了很多假設(shè)，而且僅僅討論一個二元精餾問題，要利用其動態(tài)模型進行過程系統(tǒng)的模擬與分析，計算量也是很大的。因此，精餾塔數(shù)學模型的處理方法和計算策略歷來是從事過程模擬研究的人十分關(guān)注的。（1）開工過程模擬與分析

以下討論連續(xù)操作精餾塔開工過程模擬的問題。經(jīng)過上面所述的初步處理，消去微分方程中乘積（MX）對時間的導數(shù)后，模型可以寫成為：假設(shè)給定了M和X的初始值，并且F、Q為已知，要求考察在全回流（D=0）和不采出塔底殘液（B=0）的條件下，開工過程的動態(tài)特性。如前所述，在F，Q，D和B已知并給定了M和X的初值后，問題是可解的，圖3－7表示一種可行的計算策略。由每塊塔板上M的初值可以計算L。根據(jù)X的初值，和假定的溫度T的初值，從相平衡關(guān)系計算Y，然后檢驗每塊板和再沸器內(nèi)汽相組成是否滿足

Yi,n=1，若不滿足，重新調(diào)整各塔板及再沸器溫度，再算，直至滿足上述汽相組成歸一化條件。利用V，L，X，Y數(shù)據(jù)對給定的時間步長求解常微分方程的初值問題，檢驗餾出液濃度是否達到要求？殘液濃度是否達到要求？若任一指標不合格，再以所得M,X更新原始數(shù)據(jù)后重新計算，若餾出液和殘液濃度都達到要求，則輸出M，X等隨時間變化的結(jié)果，并停止計算。

精餾塔模擬計算可以作為小論文（二元或多元組分）

化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化4.1概述數(shù)學模型是對實際過程系統(tǒng)進行模擬的基礎(chǔ)。建立數(shù)學模型不僅僅是為了對過程進行模擬，其最終目的是要對過程進行優(yōu)化什么是優(yōu)化？在化工裝置的設(shè)計及操作中，人們一直都在自覺或不自覺地應(yīng)用優(yōu)化的概念過程系統(tǒng)中優(yōu)化的分類參數(shù)優(yōu)化流程結(jié)構(gòu)給定在實際生產(chǎn)中不斷調(diào)節(jié)反應(yīng)器的溫度、壓力以保證原料的轉(zhuǎn)化率最大；在精餾塔設(shè)計中選擇適當?shù)幕亓鞅?，以保證較少的熱量消耗和塔板數(shù)；過程系統(tǒng)中優(yōu)化的分類結(jié)構(gòu)優(yōu)化

流程方案的優(yōu)化

在多種可行方案中找出費用最小的流程結(jié)構(gòu)，保證該方案滿足安全、環(huán)保、易操作等方面的要求確定冷、熱物流的匹配方式，以便充分利用系統(tǒng)內(nèi)部熱量，降低公用工程消耗不論是結(jié)構(gòu)優(yōu)化還是參數(shù)優(yōu)化，最終目的都是為了以最小的投入獲得最大的收益。4.2化工過程系統(tǒng)優(yōu)化問題基本概念4.2.1最優(yōu)化問題的數(shù)學描述在數(shù)學上，求解最優(yōu)化問題就是要找到一組使得目標函數(shù)J達到最大或最小的決策變量求最小值的方法完全可以用于求解最大值問題最優(yōu)化問題的通用表達式求目標函數(shù)的最小值：(4-1)服從于不等式約束條件：(4-2)及n個等式約束條件：(4-3)

為n維優(yōu)化變量向量最優(yōu)化問題的組成要素：目標函數(shù)，優(yōu)化變量，約束條件與可行域。1目標函數(shù)

目標函數(shù)（又稱性能函數(shù)，評價函數(shù)）是最優(yōu)化問題所要達到的目標。兩組不同的決策，其好壞優(yōu)劣要以它們使目標函數(shù)達到多少為評判標準。系統(tǒng)的產(chǎn)量最大；系統(tǒng)的經(jīng)濟收益最大；系統(tǒng)的能量消耗最??；系統(tǒng)的原料利用率最高；系統(tǒng)的操作成本最低；系統(tǒng)的投資成本最低；系統(tǒng)的穩(wěn)定操作周期最長。還有多目標問題——各目標加權(quán)2優(yōu)化變量對于過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題，優(yōu)化變量向量就是過程變量向量。過程變量向量包括決策變量和狀態(tài)變量決策變量等于系統(tǒng)的自由度，它們是系統(tǒng)變量中可以獨立變化以改變系統(tǒng)行為的變量；狀態(tài)變量是決策變量的函數(shù)，它們是不能獨立變化的變量，服從于描述系統(tǒng)行為的模型方程。w表示決策變量，x表示狀態(tài)變量，則過程系統(tǒng)模型方程確定了x與w的函數(shù)關(guān)系（4-4）通常稱之為狀態(tài)方程，它表示的是系統(tǒng)狀態(tài)變量與決策變量之間的關(guān)系。狀態(tài)方程數(shù)目與狀態(tài)變量x的維數(shù)相同。自由度為零的系統(tǒng)優(yōu)化問題就是系統(tǒng)模擬問題3約束條件和可行域當過程變量向量y的各分量為一組確定的數(shù)值時，稱為一個方案變量y的取值范圍一般都要給以一定的限制，這種限制稱為約束條件

狀態(tài)方程限制了狀態(tài)變量與決策變量間的關(guān)系，因此，也可以看作是一種約束條件。對于設(shè)計參數(shù)優(yōu)化問題，設(shè)計規(guī)定要求也是一種約束條件。約束條件有等式約束和不等式約束滿足約束條件的方案集合，構(gòu)成了最優(yōu)化問題的可行域，記作R可行域中的方案稱為可行方案每組方案y為n維向量，它確定了n維空間中的一個點因此，過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題是在可行域中尋求使目標函數(shù)取最小值的點，這樣的點稱為最優(yōu)化問題的最優(yōu)解過程系統(tǒng)優(yōu)化問題可表示為w－決策變量向量（w1，…，wr）

x－狀態(tài)變量向量（x1，…，xm）z－過程單元內(nèi)部變量向量（z1，…，zs）

F－目標函數(shù)

f－m維流程描述方程組（狀態(tài)方程）c－s維尺寸成本方程組h－l維等式設(shè)計約束方程g－不等式設(shè)計約束方程討論對于上述優(yōu)化問題，變量數(shù)為m+r+s，等式約束方程數(shù)為m+l+s，問題的自由度為d=變量數(shù)－方程數(shù)＝r

－l若l=0，自由度等于決策變量數(shù)r；若l=r，自由度等于零，此時最優(yōu)化問題的解是唯一的（即等于約束方程的交點），沒有選擇最優(yōu)點的余地；若l>r，則最優(yōu)化問題無解。由此可見，l<r是最優(yōu)化問題有解的必要條件之一

例4－1求一個受不等式約束的最優(yōu)化問題服從于約束條件：解：可行域是由:

三邊所圍成的區(qū)域,最優(yōu)解只能是可行域內(nèi)與點（3，2）距離最近的點(2,1)(3,2)4.2.2最優(yōu)化問題的建模方法

過程機理清楚的問題——采用機理模型進行優(yōu)化。優(yōu)點：結(jié)果比較精確缺點：形式往往比較復雜，一般具有大型稀疏性特點，需要用特殊的最優(yōu)化方法進行求解，求解方法選擇不當，會影響優(yōu)化迭代計算速度。建立過程系統(tǒng)優(yōu)化問題的模型方程時，要根據(jù)問題的實際情況，采用不同的建模方法。過程機理不很清楚，或者機理模型非常復雜——建立黑箱模型進行優(yōu)化。常用的就是統(tǒng)計模型優(yōu)化方法。優(yōu)點：模型關(guān)系式簡單，不需要特殊的最優(yōu)化求解算法缺點：外延性能較差，只適用于原裝置操作條件的優(yōu)化，而不適用于其他場合。黑箱建模另一種方法——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。它被廣泛用于過程系統(tǒng)模擬和優(yōu)化。它也是基于實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)或?qū)嶒灁?shù)據(jù)，但在許多方面優(yōu)于一般的統(tǒng)計回歸模型。它尋優(yōu)速度較快，具有自學習、自適應(yīng)能力（也稱為智能模型），尤其適用于多目標優(yōu)化問題。多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的求解都有相應(yīng)的算法，比如常用的BP算法等。不過多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模需要大量的樣本數(shù)據(jù)，而且存在局部極值問題。（第五章介紹）4.2.3化工過程系統(tǒng)最優(yōu)化方法的分類最優(yōu)化問題的機理模型通常為一套描述過程特性的方程組，需要特殊的最優(yōu)化方法進行求解。求解最優(yōu)化問題的方法很多，大致有如下幾種分類原則：（1）無約束最優(yōu)化與有約束最優(yōu)化在尋求使目標函數(shù)達到最優(yōu)時，如果對于決策變量及狀態(tài)變量無任何附加限制，則稱為無約束最優(yōu)化。問題的最優(yōu)解就是目標函數(shù)的極值。這類問題比較簡單，其求解方法是最優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)。在建立最優(yōu)化模型方程時，若直接或間接的對決策變量施以某種限制，則稱為有約束最優(yōu)化。通常求解有約束最優(yōu)化模型的方法是通過把有約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成無約束最優(yōu)化模型進行求解。（2）線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃根據(jù)目標函數(shù)及約束條件線性與非線性性質(zhì)，可將求解方法分為線性規(guī)劃LP和非線性規(guī)劃NLP兩大類。當目標函數(shù)及約束條件均為線性函數(shù)時，稱為線性最優(yōu)化。線性規(guī)劃是最優(yōu)化方法中比較成熟的技術(shù)。當目標函數(shù)或約束條件中至少有一個為非線性函數(shù)時，則稱為非線性最優(yōu)化，由于求解非線性規(guī)則問題往往比較困難，所以有時也將其近似地線性化，然后用比較成熟的線性規(guī)劃技術(shù)求解。如果目標函數(shù)為二次型，而約束條件為線性函數(shù)，則稱為二次規(guī)劃問題。二次規(guī)劃是從線性規(guī)劃到非線性規(guī)劃的過渡，是最簡單的一種非線性規(guī)劃。（3）單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化根據(jù)優(yōu)化變量的數(shù)目，可將問題分為單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化。只有一個可以調(diào)節(jié)的決策變量的單維最優(yōu)化問題是最簡單的典型問題研究單維最優(yōu)化的方法具有基本的意義，這是因為復雜的多維最優(yōu)化問題往往可以轉(zhuǎn)化為反復應(yīng)用單維最優(yōu)化方法來解決。

（4）解析法與數(shù)值法解析法又稱為間接最優(yōu)化方法。這種方法只適用于目標函數(shù)（或泛函）及約束條件有顯函數(shù)表達式的情況。它要求把一個最優(yōu)化問題用數(shù)學方程式表示出來，然后用導數(shù)法或變分法得到最優(yōu)化的必要條件，再通過必要條件，對方程求解得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。古典的微分法、變分法、拉格朗日乘子法等都屬于解析法。

數(shù)值法又稱為直接最優(yōu)化方法，或優(yōu)選法。這類方法不要求目標函數(shù)為各種變量的顯函數(shù)表達式，而是利用函數(shù)在某一局部區(qū)域的性質(zhì)或一些已知點的數(shù)值，逐步搜索、逼近，最后達到最優(yōu)點。

（5）可行路徑法和不可行路徑法可行路徑法的整個搜索過程是在可行域內(nèi)進行的，也就是說，對于變量的每次取值，約束條件均必須滿足。因此，對于每一次優(yōu)化迭代計算均必須解算一次過程系統(tǒng)模型方法，也就是做一次全流程模擬計算。這類方法簡單可靠，但計算量很大。不可行路徑法的整個搜索過程并不要求必須在可行域內(nèi)進行，可以從不可行域向最優(yōu)解逐步逼近，但在最優(yōu)解處必須滿足條件。所有的過程變量同時向使目標函數(shù)最優(yōu)而又能滿足所要求條件的方向移動。其求解過程有可能不穩(wěn)定，但計算量比可行路徑法顯著減少。

4.3化工過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題的類型過程系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化過程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程系統(tǒng)管理的優(yōu)化4.3.1過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化包括設(shè)計參數(shù)優(yōu)化和操作參數(shù)優(yōu)化。尋求一組使目標函數(shù)達到最優(yōu)，同時又滿足各項設(shè)計規(guī)定要求的決策變量（即設(shè)計變量）。并根據(jù)情況調(diào)節(jié)決策變量（即操作變量），從而使目標函數(shù)達到最優(yōu)。4.3.2過程系統(tǒng)管理最優(yōu)化

過程系統(tǒng)管理的最優(yōu)化主要從以下幾個方面考慮：（1）資源的合理分配工廠里的蒸汽、冷卻水等公用工程，通常都是供給全廠所有車間使用的，只有合理地分配，才可以減少外購公用工程量，從而獲得最好的經(jīng)濟效益。

（2）時序問題多組反應(yīng)器中的催化劑再生；間歇操作的流程中每個設(shè)備的運行周期；設(shè)備的維護和檢修；多產(chǎn)品車間的生產(chǎn)運行。（3）多產(chǎn)品生產(chǎn)過程的排產(chǎn)計劃，會出現(xiàn)利潤最大的優(yōu)化問題。4.4化工過程中的線性規(guī)劃問題運籌學規(guī)劃論：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃更新論存儲論控制論排隊論對策論線性規(guī)劃線性規(guī)劃是數(shù)學規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的的一個分支。線性規(guī)劃的理論、方法簡捷，只要把所探討的問題的性質(zhì)、指標等因素限制在約束條件中，求出滿足約束條件的最優(yōu)方案。發(fā)展史1939年康特洛維奇從運輸問題入手開始研究，代表作“生產(chǎn)組織與計劃的數(shù)學方法”20世紀40年代末Dantzig等人進一步完善了線性規(guī)劃學科，與Hurwicz一起發(fā)明了單純形法，從而奠定了線性規(guī)劃的基礎(chǔ)20世紀50年代我國開始線性規(guī)劃方面的研究1975年康特洛維奇和庫甫曼獲諾貝爾經(jīng)濟獎4.4.1線性規(guī)劃問題的數(shù)學描述線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型的標準形式（引例）例題：某廠有生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的能力，生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要3個工日和0.35噸小麥，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要4個工日和0.25噸小麥，該廠僅有技工12人，一個月只能出300個工日，小麥一個月只能進21噸，甲產(chǎn)品可盈利80/噸，乙產(chǎn)品可盈利90/噸。該廠在一月中如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，使之獲得最大盈利？建立這個問題的數(shù)學模型。解：設(shè)x1,x2分別表示一月中生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量，則最大盈利為：S=80x1+90x2工日的約束為3x1+4x2≤300；原料小麥的約束為0.35x1+0.25x2≤21,該問題的數(shù)學模型即為maxS=80x1+90x2s.t.3x1+4x2≤3000.35x1+0.25x2≤21x1,x2≥0S.t.是“subjectto”的縮寫，即約束條件線性規(guī)劃是求一組非負變量，這些變量在滿足一定的線性約束條件下，使一個線性函數(shù)達到極小或極大即：把上述線性規(guī)劃一般模型轉(zhuǎn)化成標準形式線性規(guī)劃的標準形式具有以下四點：目標函數(shù)是求最小值（也可以把目標函數(shù)定為求最大值）在約束條件中，除了非負約束用“≥”號外，其他所有約束條件均用等式（或稱方程）表示每個約束方程的常數(shù)項均是非負的（bi≥0）所有未知量受非負限制各種不同形式的模型轉(zhuǎn)化為標準形式的方法將求極大值化為求極小值將不等式約束化為等式約束將自由變量化為非負變量約束條件帶有絕對值號的轉(zhuǎn)化(1)將求極大值化為求極小值如果目標函數(shù)J是求極大值，則可以采用以下方法進行轉(zhuǎn)化：max(J)=min(-J)(2)將不等式約束化為等式約束ai1x1+ai2x2+···+ainxn≤bi引入“松弛變量”yi(

≥0)化“≤”為“=”將不等式化為：ai1x1+ai2x2+···+ainxn+yi=bi對于大于等于型不等式ai1x1+ai2x2+···+ainxn≥bi引入“剩余變量”yi(≥0)化“≥”為“=”將不等式化為：ai1x1+ai2x2+···+ainxn-yi=bi（3）將自由變量化為非負變量

如果未知量無非負約束時，稱為自由變量，這時，這個未知量可用兩個受非負限制的變量xk′,xk″之差描述，如：xk=xk′-xk″其中：xk′,xk″≥0(4)約束條件有絕對值號的轉(zhuǎn)化如果約束條件帶有絕對值號時，如|a1x1+a2x2|≤b則可以等價地化為:a1x1+a2x2≤b-a1x1-a2x2≤b從上面的例子看出：當引入松弛變量或剩余變量之后，比原來約束條件中的變量增加了m個，使得總變量數(shù)為n+m個，一般來說，對于約束條件引進松弛變量后約束條件得系數(shù)矩陣為當約束條件時添加剩余變量后其約束條件的系數(shù)矩陣為：例題2化下式為標準型

引進松弛變量y1,y2,y3得標準形式為引進的松弛變量y1,y2,y3與x1,x2同等看待,將松弛變量納入目標函數(shù)