高中數(shù)學(xué)必修二《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》測(cè)試卷解析版

高中數(shù)學(xué)必修二《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》測(cè)試卷

解析版

—.選擇題（共40小題）

1.如圖，在下列四個(gè)正方體4BCO-481C1D1中，E,F,G均為所在棱的中點(diǎn)，過(guò)E,F,

G作正方體的截面，則在各個(gè)正方體中，直線BDi與平面EFG不垂直的是（）

【分析】畫(huà)出截面圖形，利用直線與平面垂直的判定定理判斷即可.

【解答】解：如圖在正方體中，E,F,G,M,N,Q均為所在棱的中點(diǎn)，是一個(gè)平面圖

形，直線8D1與平面EFMNQG垂直，并且選項(xiàng)A、B、C中的平面與這個(gè)平面重合，滿

足題意，

只有選項(xiàng)D直線BD\與平面EFG不垂直.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理

能力.

2.如圖，A-8CDE是一個(gè)四棱錐，平面BCQE,且四邊形BCQE為矩形，則圖中互

相垂直的平面共有（)

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A.4組B.5組C.6組D.7組

【分析】先有ABJ_平面BCDE得到3組互相垂直的平面.再利用四邊形BCDE為矩形得

到其他互相垂直的平面即可.

【解答】解：因?yàn)锳8，平面BCDE,所以平面A8C_L平面BCDE,平面ABZ）_L平面BCDE,

平面ABE_L平面BCDE,

又因?yàn)樗倪呅蜝CDE為矩形，所以8C，平面平面A8C，平面ABE,

同理可得平面4c力J_平面ABC.平面AOE_L平面ABE

故圖中互相垂直的平面共有6組.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的判定.在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面

內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直

3.如圖甲所示，在正方形A8CQ中，EF分別是BC、CQ的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿

AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使8、C、。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為

H,如圖乙所示，那么，在四面體A-E尸，中必有（）

甲乙

A.所在平面B.所在平面

C.所在平面D.，G_LZ\AEF所在平面

【分析】本題為折疊問(wèn)題，分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、兒何量的變與不變，可得HA、

HE、”尸三者相互垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，可判斷AH與平面HEF的垂直.

【解答】解：根據(jù)折疊前、后4“，”尸不變，平面EF4,A正確；

???過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，...B不正確；

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,：AGLEF,EF±AH,，《尸，平面”AG,平面〃AG_LAEF,過(guò)，作直線垂直于平面

AEF,一定在平面HAG內(nèi)，

C不正確；

；“6不垂直于46,；.，6_1平面4￡'尸不正確，。不正確.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定，一般利用線線=線面=面面，垂直關(guān)系的相

互轉(zhuǎn)化判斷.

4.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AO為折痕，把△A3。和△AC。折成互

相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論

②△BAC是等邊三角形；

③三棱錐D-ABC是正三棱錐；

④平面AOCJ_平面A8C

其中正確的是（）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

【分析】設(shè)等腰直角三角形AABC的腰為”，則斜邊8C=、/5“，

①利用面面垂直的性質(zhì)定理易證平面ADC,又4Cu平面ADC,從而可知BDLAC,

可判斷①；

②依題意及設(shè)法可知,AB=AC=a,BO=CD=Y0a,利用勾股定理可求得BC=??互7

22

=〃，從而可判斷②；

③又因?yàn)镈A=DB=DC,根據(jù)正三棱錐的定義判斷；

④作出平面AOC與平面A8C的二面角的平面角，利用平面AOC可知，NBDF為

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直角，/8F。不是直角，從而可判斷④.

【解答】解：設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為小則斜邊BC=小，

①：。為BC的中點(diǎn)，J.ADVBC,

又平面ABDJ_平面4CD,平面A8DA平面ACD=A￡>,BDLAD,BOu平面AB。，

J.BDL^-^ADC,又ACu平面ADC,

：.BD±AC,故①正確；

②由A知，80_L平面ADC,CDu平面ADC,

C.BDVCD,又BD=CD=?^a,

2

...由勾股定理得：BC=J5?返a=a,又A8=AC=a,

2

??.△ABC是等邊三角形，故②正確；

③；△ABC是等邊三角形，DA=DB=DC,

...三棱錐。-ABC是正三棱錐，故③正確.

④?.?△4OC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點(diǎn)尸，則。尸，4C,又△4BC為等邊三

角形，連接BF,則8FL4C,

六①

b力L15C

ZBFD為平面AOC與平面ABC的二面角的平面角，

由平面AQC可知，NBDF為直角,N8FC不是直角，故平面43C與平面ABC不

垂直，故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查線面垂直的判定與應(yīng)用，考查二面

角的作圖與運(yùn)算，屬于中檔題.

5.下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.如果a，0,那么a內(nèi)一定存在直線平行于平面p

B.如果a，0,那么a內(nèi)所有直線都垂直于平面0

C.如果平面a不垂直平面0,那么a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面0

D.如果a_Ly,p±y,ar）B=/,那么/J_y

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【分析】如果a，0,則a內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面0,進(jìn)而可推斷出A

命題正確；a內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面0,故可判斷出8命題錯(cuò)誤；根

據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知C命題正確；根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)推斷出。命題

正確.

【解答】解：如果則a內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面0,故可推斷出

A命題正確.

B選項(xiàng)中a內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面0,故B命題錯(cuò)誤.

C根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知C命題正確.

D根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)推斷出D命題正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面與平面垂直的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是對(duì)平面與平面垂直的性

質(zhì)及判定定理熟練記憶.

6.如圖，在斜三棱柱ABC-4B1C1的底面△A8C中，/BAC=90°,且BCi_LAC,過(guò)Ci

作C1H_L底面48C,垂足為，，則點(diǎn)〃在（）

A.直線4c上B.直線4B上C.直線BC上D.ZVIBC內(nèi)部

【分析】由條件，根據(jù)線面垂直的判定定理，AC,平面A8O,又AC在平面A8C內(nèi)，

根據(jù)面面垂直的判定定理，平面ABC,平面A8C1,

則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，在平面ABC\內(nèi)一點(diǎn)C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線

AB上.

【解答】解：如圖：

,：ZBAC=90°,：.AC±AB,

VBCiXAC,：.AC-LBCi,

而B(niǎo)。、A8為平面ABCi的兩條相交直線，根據(jù)線面垂直的判定定理，AC,平面ABCi,

又AC在平面A8C內(nèi)，根據(jù)面面垂直的判定定理，平面ABC,平面ABG,

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則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，在平面ABC\內(nèi)一點(diǎn)Ci向平面ABC作垂線，垂足必落在交線

A2上.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，屬于中檔題.

7.如圖是一兒何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABC。為正方形，APDC,APBC,/XPAB,

△PD4為全等的等邊三角形，E、尸分別為以、PO的中點(diǎn)，在此幾何體中，下列結(jié)論中

錯(cuò)誤的為（）

A.直線BE與直線CF共面

B.直線BE與直線AF是異面直線

C.平面BCE_L平面以。

D.面附。與面P8C的交線與BC平行

【分析】幾何體的展開(kāi)圖，復(fù)原出幾何體，利用異面直線的定義判斷A，B的正誤；

利用直線與平面垂直的判定定理判斷C的正誤；利用直線與平面平行的判定、性質(zhì)定理

判斷。的正誤.

【解答】解：畫(huà)出幾何體的圖形，如圖，

由題意可知，A,直線BE與直線CF共面，正確，

因?yàn)镋,F是以與PO的中點(diǎn)，可知E尸〃AO,

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所以E尸〃BC,直線BE與直線CF是共面直線；

B,直線BE與直線A尸異面；滿足異面直線的定義，正確.

C,因?yàn)槭堑妊切危珺E與m的關(guān)系不能確定，所以平面平面PAD,

不正確.

D,'：AD//BC,〃平面PBC,；.面以。與面PBC的交線與BC平行，正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，考查異面直線

的判斷，基本知識(shí)與定理的靈活運(yùn)用.

8.如圖所示，在四棱錐P-A8C。中，用，底面ABCD,且底面ABC。為菱形，M是PC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使得平面MB。，平面PCD,則應(yīng)補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是（）

A.MD1MBB.MD1PC

C.ABLADD.M是棱PC的中點(diǎn)

【分析】由已知得8O_LB4,BDLAC,從而8O_L平面B4C,進(jìn)而B(niǎo)O_LPC.由此得到當(dāng)

DMA.PC（sKBMlPC）時(shí)，平面MB。_L平面PCD

【解答】解：???在四棱錐P-ABC。中，以，底面ABCD,且底面各邊都相等，

M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，

：.BDLPA,BD±AC,

'：PAC\AC=A,；.8O_L平面以C,:.BD1PC.

當(dāng)。W_LPC（或8例J_PC）時(shí)，即有PCI■平面例80.

而PC屬于平面PCD,二平面MBQ_L平面PCD

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的條件的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中

線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用.

9.已知正方形A8C。的邊長(zhǎng)為2,若將正方形A8CD沿對(duì)角線8。折疊為三棱錐A-8CZ）,

則在折疊過(guò)程中，不能出現(xiàn)（）

A.BDA.ACB.平面平面C8D

C.VD.AB±CD

VA-CBD3

【分析】作出直觀圖，根據(jù)空間線面位置關(guān)系判斷即可.

【解答】解：設(shè)正方形中心為。，則BCOC,BD±OA,

...8￡>_L平面AOC,：.BD±AC,故A正確；

?/NAOC為二面角A-BO-C的平面角，

...當(dāng)NA0C=三時(shí)，平面AB。，平面C8D,故B正確：

2

當(dāng)NA°C=3時(shí)，以.取得最大值*母口@忖*2'血=平，

...三棱錐A-88的體積的取值范圍是（0,平］,故C正確；

若ABJ_CD,又BC工CD,則?！?gt;_1_平面ABC,

：.CDrAC,：.AD>CD,

顯然這與AD=CD矛盾，故AB與CD不垂直.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置故選的判斷，屬于中檔題.

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10.如圖，已知四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD_L平面ABC。，NB_L平面ABCQ,

且M￡)=NB=1,E為MC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是()

A.平面BCE_L平面ABNB.MCLAN

C.平面CMNJ_平面AMND.平面BOE〃平面AMN

【分析】將幾何體補(bǔ)成正方體后再進(jìn)行判斷.

【解答】解：分別過(guò)4,C作平面ABC。的垂線4P,CQ,使得AP=CQ=1,連接PM,

PN,QM,QN,將幾何體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體.

：8C_L平面A2MBCu平面BCE,

平面2CEL平面ABM故A正確；

連接P8,則PB〃MC,顯然P8J_AN,，MC_L4N,故8正確；

取MN的中點(diǎn)F,連接AF,CF,AC.

?:/XAMN和aCMN都是邊長(zhǎng)為我的等邊三角形，

：.AF1MN,CFLMN,

；.NAFC為二面角A-MN-C的平面角，

,:AF=CF=?,4C=&,J.AF^+CF^^AC2,即

22

二平面CMN與平面不垂直，故C錯(cuò)誤；

\'DE//AN,MN//BD,

平面8DE〃平面4MM故O正確.

故選：C.

第9頁(yè)共33頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

11.如圖，四棱錐P-A8CD中，△%B與△P8C是正三角形，平面以B_L平面PBC,AC

LBD,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PB±ACB.平面ABCQ

C.ACVPDD.平面P8O_L平面ABC。

【分析】在4中，取尸8中點(diǎn)0,連結(jié)AO、C0,推導(dǎo)出尸8_L平面A0C,從而尸B_LAC；

在8中，推導(dǎo)出與AC不垂直，從而PC與平面A8C。不垂直；在C中，推導(dǎo)出AC

LPB,AC±BD,PBCBD=B,從而AC_L平面P8Q,進(jìn)而AC_LPQ；在。中，由AC_L

平面PBD,得到平面PBZ）_L平面ABCD.

【解答】解：在4中，取PB中點(diǎn)0,連結(jié)AO、C0,

:四棱錐P-ABC。中，/XBAB與△P8C是正三角形，平面以8_L平面尸BC,ACVBD,

J.AOVPB,COLPB,

；Aonco=。，：.PBmA0C,

；ACu平面AOC,：.PBLAC,故4成立；

在8中，?.?△以B與△P8C是正三角形，：.PA=PC,AB=AC,

設(shè)ACCI8O=M,連結(jié)PM,MPMLAC,與AC不垂直，

.?.PO與平面ABCQ不垂直，故8不成立；

在C中，平面40C,ACu平面AOC,J.ACLPB,

第10頁(yè)共33頁(yè)

'：AC±BD,PBCBD=B,；.AC_L平面

VPDc^?PBD,J.ACLPD,故C成立；

在。中，VAC±￥?PBD,ACu平面A8CD,

平面PBDJ_平面ABC。，故。成立.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查線面、線線、面央間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),

考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

12.如圖，在三棱錐4-BC。中，AB_L平面BCD,NACB=45°,ZADB=30°,NBCD

【分析】設(shè)8C=x,則AB=x,AO=2x,B￡>=J§x,由此利用余弦定理能求出A8.

【解答】解：設(shè)BC=x,

:在三棱錐A-BCD中，BCD,ZACB=45Q,N4OB=30°,

.?./B4C=NAC8=45°,ZBAD=6O0,/48C=/ABO=90°,

.'.AB—x,AD=2x,BD=yf3x,

\'ZBCD=nO°,CD=40,

解得x=40或x=-20（舍）.

：.AB=40.

故選：D.

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形邊長(zhǎng)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及余

弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與

方程思想，是中檔題.

13.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)點(diǎn)，將△AOE沿AE翻折成△SAE,

使得平面必￡，平面ABCE,則下列說(shuō)法中正確的有（）

①存在點(diǎn)E使得直線SAL平面SBC；

②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行

③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面S4E平行；

④存在點(diǎn)E使得SELBA.

圖1圖2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】由已知中點(diǎn)E為正方形ABCD邊CZ）上異于點(diǎn)C,。的動(dòng)點(diǎn)，將△AOE沿AE

翻折成△SAE,使得平面SAE_L平面48CE,我們可得NSE4為銳角，Z5EC不為直角，

逐一分析題目中的四個(gè)結(jié)論，分別分析出它們的真假，即可得到答案.

【解答】解：①若直線SA,平面SBC,

則直線與平面SBC均垂直，則SA_L8C,

又由AD〃BC,貝這與NSAD為銳角矛盾，故①錯(cuò)誤；

②..?平面SBCC直線SA=S,

故平面SBC內(nèi)的直線與SA相交或異面，故②錯(cuò)誤；

③取AB的中點(diǎn)凡則CF〃4E,由線面平行的判定定理，可得CF〃以E平行，故③正

確；

④若SE_LBA,由EC〃AB,可得SELEC,這與NSEC不為直角矛盾，故④錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的性質(zhì)，反證法，其中根據(jù)對(duì)于存在性結(jié)

論的論證，從正面論證難度較大時(shí)，一般使用反證法來(lái)進(jìn)行證明.

14.已知不重合的直線a,b和平面a,p,ala,blp,則是“a_L0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

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C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知a，。，兩平面的法向量垂直則兩平面垂直，最后根據(jù)

“若pnq為真命題且為真命題，則命題p是命題q的充要條件”即可得到結(jié)論.

【解答】解：alp

又?，0,a邙

.".aLb

反之a(chǎn)±b則a±p也成立，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面之間的位

置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABC。為矩形，E,尸分別為以，的中

點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：

①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；

③直線EF〃平面PBC：④平面BCE_L平面物D

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【分析】幾何體的展開(kāi)圖，復(fù)原出幾何體，利用異面直線的定義判斷①，②的正誤;

利用直線與平面平行的判定定理判斷③的正誤；

利用直線與平面垂直的判定定理判斷④的正誤；

【解答】解：畫(huà)出幾何體的圖形，如圖，

由題意可知，①直線BE與直線CF異面，不正確，

因?yàn)镋,F是％與尸。的中點(diǎn)，可知E尸〃AO,

所以EF〃BC,直線BE與直線CF是共面直線；

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②直線8E與直線AF異面；滿足異面直線的定義，正確.

③直線EF〃平面PBC；由E,尸是雨與的中點(diǎn)，可知EF〃A￡>,所以EF〃BC,

平面PBC,8Cu平面尸BC,所以判斷是正確的.

④因?yàn)锽與底面ABC。的關(guān)系不是垂直關(guān)系，BC與平面外8的關(guān)系不能確定，所

以平面BCE_L平面不正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，考查異面直線

的判斷，基本知識(shí)與定理的靈活運(yùn)用.

16.平面a過(guò)正方體ABCC-AiBiCiQi的面對(duì)角線ABJ且平面a,平面CIB。，平面aC

平面4￡）￡>iAi=AS,則N4AS的正切值為（）

A.遮B.立C.返D.A

2532

【分析】推導(dǎo)出AlCL80,A1C1BC1,從而AC平面C1B￡>,以A41為側(cè)棱補(bǔ)作一個(gè)

正方體AEFG-4PQS,使得側(cè)面AG/M1與平面AODA1共面，連結(jié)A。，則AQ〃C4i,

連結(jié)Q8i,交4R于S,則平面A0&就是平面a,且AS為所求作，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：正方體ABC。-AIBICIQI中，BD±AC,BD±AAi,

'.'ACDAAi^A,.\BO_L平面A41C,：.A\C1BD,

同理，得41cl.BC1,

,：BDnBC\=B,平面C1BD,

如圖，以A4i為側(cè)棱補(bǔ)作一個(gè)正方體AEFG-A\PQS,

使得側(cè)面AGRAi與平面ADDiAi共面，

連結(jié)4。，則AQ〃C4,連結(jié)。物，交A1R于S,則平面AQB1就是平面a,且AS為所

求作，

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■：AQ//CAi,；.AQ_L平面CiBO,

?.?AQu平面a,二平面a_L平面CiBZ),

A.Si

/.tanZAiAS=—--.

AAj2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是

中檔題.

17.在底面是菱形的四棱錐P-ABC。中，以，底面ABCC,點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在

棱AO上，平面CEF與南交于點(diǎn)K,且必=AB=3,AF=2,則埋等于（）

PK

A.2B.3C.AD.$

3579

【分析】如圖所示，延長(zhǎng)BA,CF,交于G,連接EG,與必交于K,則AG=6,過(guò)A

做AH〃P8,與EG交于H,則&[=&!=&!,即可得出結(jié)論.

PKPEBE

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)BA,CF,交于G,連接EG,與附交于K,則AG=6,

過(guò)A做A”〃P8,與EG交于，，則由1=￡旦=上旦=乜=2,

PKPEBE93

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查平面與平面交線的求法，屬于中檔題.

18.如圖所示，已知三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱長(zhǎng)均為I,且AAi,底面A8C,則三棱

第15頁(yè)共33頁(yè)

錐Bi-ABC\的體積為（)

A.返B.返C.逅D.逅

124124

【分析】根據(jù)題意，三棱柱48（：-4］劭。是棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱，算出它的體積丫=

返.再根據(jù)錐體的體積公式得三棱錐A-4BCi、三棱錐CLABC的體積都等于三棱

4

柱ABC-AIBICI體積的工，由此用三棱柱ABC-AIBICI體積減去兩個(gè)三棱錐的體積，即

3

可算出三棱錐Bi-ABC\的體積.

【解答】解：?.?三棱柱ABC-AIBICI的所有棱長(zhǎng)均為1,

底面△ABC為正三角形，面積SAABC=?AB2=^

又J_底面ABC,A4i=l

三棱柱4BC-AiBCi的體積7ABe_ABc=SAABC?A41=*

?.?三棱錐4-Ai&Ci、三棱錐Cl-ABC與三棱柱ABC-4B1C1等底等高

,?VA-AXB：Ci="c「ABC=5丫幽＞A：BiCi=嚕

由此可得三棱錐Bi-屈的體積片％c_A/】C「%A1B：C「％1ABe唔

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題給出棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱，求其中的三棱錐Bi-A3。體積.著重考查了

正三棱柱的性質(zhì)、柱體和錐體的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題.

19.在四面體ABC。中，AB±AD,AB=AD=BC=CD=\,且平面ABO_L平面BCD,M為

AB中點(diǎn)，則線段C例的長(zhǎng)為（）

A.A/2B.V3C.返D.返

22

【分析】如圖所示，取BQ的中點(diǎn)。，連接OA,0C,利用等腰三角形的性質(zhì)可得0A,

BD,OCVBD.又平面AB￡）_L平面8CZ）,可得04_L平面BCD,OAA.OC.建立空間直

角坐標(biāo)系.又AB±AD,可得DB=版,取0B中點(diǎn)N,連結(jié)MN、CN,.'.MN//OA,

第16頁(yè)共33頁(yè)

MNmBCD.可得0加=d152憶/=率，

【解答】解：如圖所示，取8。的中點(diǎn)。，連接OA,0C,

\'AB=AD=BC^CD=l,：.OA±BD,OCLBD.

又平面A8￡>_L平面BCD,，。4_1平面BCD,OA±OC.

y.ABLAD,：.DB=y/2-

取。8中點(diǎn)N,連結(jié)MV、CN,.,.MN//OA,MN_L平面BCD

CN2^ON2+OC2,

ACM=VMN2-K：N2=-y-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置關(guān)系、向量夾角公式、等腰三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)

形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊C。上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)點(diǎn)，將△4￡）￡沿AE翻折成△SAE,

使得平面SAEL平面ABCE,則下列三個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①存在點(diǎn)E使得直線S4L平面SBC

②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行

③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行.

圖1

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)題意，將△4OE沿AE翻折成使平面平面ABCE,S與。點(diǎn)

是同一個(gè)點(diǎn)，判斷①錯(cuò)誤；

由異面直線的定義可以判斷平面SBC內(nèi)的直線與SA相交或異面，得出②錯(cuò)誤；

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由線面平行的判定定理，判斷出③正確.

【解答】解：①當(dāng)直線SA_L平面SBC時(shí)，8Cu平面SBC,.?.SA_L8C：

S與。點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，不存在SAL4O,...①錯(cuò)誤；

②..?平面SBCA直線SA=S,

平面SBC內(nèi)的直線與SA相交或異面，②錯(cuò)誤；

③過(guò)點(diǎn)C作CF//AE,交AB于F,：CFC平面SAE,AEu平面SAE,

由線面平行的判定定理得，CF〃平面SAE,.?.③正確：

綜上，正確的命題是③.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了圖形折疊問(wèn)題，是基礎(chǔ)

題目.

21.在四棱錐P-ABC。中，PD_L底面ABC。，底面A8C￡>為矩形，AB=1BC,E是CO上

一點(diǎn)，若平面尸8D,則的值為（）

ED

A.3B.5C.3D.4

22

【分析】推導(dǎo)出當(dāng)AE_LBO時(shí)，AE_L平面P8O,此時(shí)由此

能求出絲的值.

ED

【解答】解：?.?尸。，底面4^。，，「。，4￡

當(dāng)AE_LB￡>時(shí)，AE_L平面尸2￡）,此時(shí)△A8Z>S^OAE,

則幽四，

ADDE

'：AB=2BC,.?.￡>￡?=工杷”CO,

44

...絲=3.

ED

故選：C.

第18頁(yè)共33頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩線段長(zhǎng)的比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、

數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.

22.如圖，附垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A,8的任意一點(diǎn)，則下列

關(guān)系中不正確的是（）

A.PA±BCB.BC_L平面B4cC.ACVPBD.PCIBC

【分析】在A中，由以垂直于以A8為直徑的圓所在平面ABC,得雨，BC；在B中，

推導(dǎo)出8ULAC,PA1BC,從而B(niǎo)CJL平面以C；在C中，由ACJ_BC,得若ACLPB,

則AC_L平面PBC,與AC_Lm矛盾；在。中，由BC_L平面PAC,得PCVBC.

【解答】解：在A中，...BA垂直于以A8為直徑的圓所在平面A8C,

BCu平面ABC,

：.PALBC,故A正確；

在8中，：C為圓上異于A,8的任意一點(diǎn)，...BC,AC,

,JPALBC,PAC\AC=A,

平面B4C,故8正確；

在C中，'：ACVBC,.?.若ACLLPB,則AC_L平面P8C,則AC_LPC,

與ACJ-R1矛盾，故AC與8C不垂直，故C錯(cuò)誤；

在。中，平面B4C,PCu平面陰C,，PC，BC,故。正確.

故選：C.

第19頁(yè)共33頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

23.點(diǎn)尸是AABC所在平面外一點(diǎn)，PA,PB、PC兩兩垂直，且尸0J_平面A8C于點(diǎn)0,則

。是△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【分析】點(diǎn)P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，POmABC,垂足為0,從而證得BE,AC、

ADVBC,符合這一性質(zhì)的點(diǎn)。是AABC垂心.

【解答】證明：連結(jié)A。并延長(zhǎng)，交8c與/）連結(jié)80并延長(zhǎng)，交AC與E；

因府_LPB,B4_LPC,故也，面PBC,故附_LBC；

因故P0_L8C,故BC_L面用0,

故A0_LBC即ADA.BC；

同理：BEA.AC；

故0是△ABC的垂心.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是立體幾何中一道證明題，考查了線面垂直的定義與三角形的全等.

24.設(shè)a,。為不重合的平面，，筌，〃為不重合的直線，則下列命題正確的是（）

A.若wiua,〃u0,m//n,貝ija〃0B.若”_1_。，n±p,根_1_0,貝ijn?J_a

C.若能〃a,n//^>,m-Ln,貝lja_L0D.若&_1_0,mVn,則zn_La

【分析】對(duì)于①兩平面可能相交，對(duì)于②面面平行的性質(zhì)可知正確，對(duì)于③當(dāng)兩平面平

行時(shí)也符合條件，對(duì)于④當(dāng)/nca時(shí)錯(cuò)誤.

【解答】解：A若,"ua,nep,m//n,則a〃0或a與0相交，故不正確；

B若n±a,n±p,/n±p,則zn±a,由〃J_a,〃J_0可得a//0,又因nt_L0,所以w±a.故

正確；

C若〃z〃a,n/7p,mkn,則a_L。不正確，也可能平行；

第20頁(yè)共33頁(yè)

。若a_L0,n±p,m±n,則不正確，可能有mua；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定和平面與

平面垂直的判定等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基本

知識(shí)的考查.

25.空間四邊形A8CD中，若AD_LBC,ADLBD,那么有（）

A.平面A5C_L平面AOCB.平面ABC_L平面AO8

C.平面ABC_L平面DBCD.平面AOCL平面DBC

【分析】用判定定理先證明AC平面8QC,再證明平面AQC,平面。BC即可.

【解答】解?；AO_LBC,AD±BD,BCCBD=B

.*.AD_L平面BDC

又；AD在平面ADC內(nèi),

平面AOC_L平面QBC

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定，屬于基本知

識(shí)的考查.

26.已知棱長(zhǎng)為/的正方體ABC。-AIBICIQI中，E,F,M分別是AB、2D、A4的中點(diǎn),

又尸、。分別在線段AiBi,Ai￡h上，且AiP=AiQ=x,0<x<l,設(shè)面MEFA面MPQ=

I,則下列結(jié)論中不成立的是（)

A./〃面ABC。B.11AC

C.面MEF與面MPQ垂直D.當(dāng)x變化時(shí)，/是定直線

【分析】由已知條件推導(dǎo)出1//EF,從而得到/〃面ABCD；由MN是運(yùn)動(dòng)的，得到面MEF

與面MPQ所成二面角是不確定的，從而平面ME/與平面MP。不垂直；EF//BD,I//

EF,EF與AC所成的角為90°,從而/與AC垂直；"是一個(gè)確定的點(diǎn)，從而當(dāng)x變化

時(shí)，/是定直線.

第21頁(yè)共33頁(yè)

【解答】解：對(duì)于A,丁棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-AiBCiOi中，E,F,M分別是A3、

AD.AAi的中點(diǎn)，

又P、。分別在線段AiBi、A\D\±,且4P=4Q=x,0<x<l,

'：QP//EF,E尸〃中截面，由平面與平面平行的性質(zhì)定理，可知：面ME尸A面例PQ=/,

由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知：/〃面ABCZ),故A結(jié)論正確；

對(duì)于8,?.?正方體ABC。-AIBICIDI中，E,F,M分別是AB、AD,A41的中點(diǎn)...ACl.

EF,由三垂線定理可知：/_LAC,故B結(jié)論正確.

對(duì)于C,是運(yùn)動(dòng)的，，面ME/與面MPQ所成二面角是不確定的，平面ME尸與

平面MPQ不垂直，故C不正確；

對(duì)于力，；〃是/14的中點(diǎn)，是一個(gè)確定的點(diǎn)，.?.當(dāng)x變化時(shí)，/是過(guò)M與所平行的定

直線，故力正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間想象能力，直線與平面，直線與直線的位置關(guān)系，考查邏輯推理

能力.屬于中檔題，

27.直三棱柱A8C-4B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=8C=1,乙4c8=90°,。是A181的中

點(diǎn)，尸是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB\,。尸交于點(diǎn)E,要使平面巴則線段加尸的長(zhǎng)為

()

B.1C.3D.2

2

【分析】作力E-L4B1交AB1于E,延長(zhǎng)。E交281于F,連接C1F,則ABi_L平面CiOF,

點(diǎn)尸即為所求，由Ci￡>_L平面AA\BB,ABiu平面AA\B\B,則C\DLAB\,ABilDF,

DFnCiD=D,滿足線面垂直的判定定理，則，平面C。尸

【解答】解：作。ELAB1交AB1于E,延長(zhǎng)。E交8B1于F,連接C1F,則ABi,平面

CDF,點(diǎn)尸即為所求.

平面A41B18,ABiu平面A41B18,

：.C\DA,AB\.又A8iJ_D尸，DFnC\D=D,

第22頁(yè)共33頁(yè)

平面C\DF.

四邊形A41BB為矩形，此時(shí)點(diǎn)尸為81B的中點(diǎn).

AAAB1

如圖則有△A4I8IS/)B|F,即__L=_!_=B.F=L.

DBt%F12

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面垂直的判定.應(yīng)熟練記憶直線與平面垂直的判定定

理，屬于中檔題.

28.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD對(duì)折使得平面平面CBD,以下四個(gè)結(jié)論中不乖硼

的結(jié)論是()

A.AC1BDB.△ACZ)是正三角形

C.ABLCDD.A8與CD所成的角是60°

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量法逐一分析給定四個(gè)答案的真假，可得答

案.

【解答】解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)48=血，

則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),0(-1,0,0),

AC=(0，1，-1)，BD=(-2,0,0),

AC?BD=0.即ACLB。，故A正確；

AC=CD=AD=近,即△AC。是正三角形，故8正確;

則族=(1,0,-1),而=(-1,-1,0),

.".|cos<AB?CD>I==A,

IABI-1CDI2

...直線AB與直線C。所成的角為60°.

故C錯(cuò)誤，。正確;

故選：C.

第23頁(yè)共33頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量夾角公式求異面直線所成的角、正方形的性質(zhì)，考查了推理能

力與計(jì)算能力，屬于中檔題

29.把正方形ABCD沿對(duì)角線折，使平面平面CBD后,下列命題正確的是（）

A.AB1BCB.AC±BD

C.C"平面ABCD.平面平面AC￡>

【分析】取8。中點(diǎn)。，連結(jié)AO,CO,設(shè)正方形ABC。邊長(zhǎng)為2,則AB=BC=S=

A￡>=2,BD=2近,AO=CO=/BD=V^，從而AO^BD'COLBD,進(jìn)而B(niǎo)Q_L平面AOC,

由此能證明BDLAC,推導(dǎo)出AB與BC所成角為60°,AC與CO所成角為60°,取AC

中點(diǎn)￡,連結(jié)BE、DE,貝i]BE_LAC,DE±AC,NBEC是二面角8-AC-。的平面角,

求出cosZBED=--1,由此能求出正確選項(xiàng).

3

【解答】解：把正方形A8CD沿對(duì)角線折，使平面A8/XL平面C8O,

取8。中點(diǎn)O,連結(jié)AO,CO,

設(shè)正方形ABC。邊長(zhǎng)為2,

則AB=BC=CO=AO=2,點(diǎn),AO=CO=1BD=7^,

：.AOLBD,COVBD,又AOnCO=O,，臺(tái)。，平面AOC,

：ACu平面AOC,J.BDVAC,故3正確；

AC=、0A240（2=2,：.AB=BC=AC,：.ZABC=60°,AB與BC所成角為60°,

故A錯(cuò)誤；

?.?AD=￡）C=4C,；.AC與CD所成角為60°,...C。與平面ABC不垂直，故C錯(cuò)誤；

取AC中點(diǎn)E,連結(jié)BE、DE,則BE_LAC,DELAC,

是二面角B-AC-。的平面角，

22=

VBE=DE=^2-1V3>BQ=2點(diǎn)，