專題2.8 勾股定理的應(yīng)用（重點(diǎn)題專項(xiàng)講練）（浙教版）（解析版）

專題2.8勾股定理的應(yīng)用【典例1】我市夏季經(jīng)常受臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為300km和400km，且AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺風(fēng)的速度為40km/h，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【思路點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；（2）利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．【解題過程】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）海港C受臺風(fēng)影響．理由如下：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．∵S△ABC=12AC?BC=12∴CD=AC?BCAB=300×400∵250＞240，∴海港C受到臺風(fēng)影響；（3）當(dāng)EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時，正好影響C港口．在Rt△CED中，由勾股定理得ED=EC2-CD2=2502-2402=∴EF＝140km，∵臺風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷40＝3.5（h）．∴臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為3.5h．1．（2021秋?阜寧縣期中）中國古代《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折者高幾何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解題過程】解：如圖．設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB＝（10﹣x）尺，BC＝6尺．在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2，解得：x＝3.2，即折斷處離地面的高度為3.2尺．2．（2021秋?鋼城區(qū)期末）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校C與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)A，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠BC之間的距離是多少？【思路點(diǎn)撥】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出∠B度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半，根據(jù)勾股定理即可得出答案．【解題過程】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km），∴BC=AB2-AC故學(xué)校與工廠BC之間的距離是23km．3．（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．【思路點(diǎn)撥】設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因?yàn)橹睆綖?0cm的杯子，可根據(jù)勾股定理列方程求解．【解題過程】解：設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直徑為20cm，∴杯子半徑為10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍長26cm．4．（2021秋?金臺區(qū)期末）《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方50m處，過了4s后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為130m．這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)速度＝路程÷時間求出小汽車的速度，然后化為千米/小時的單位即可得解．【解題過程】解：由勾股定理得，BC=AB∴v＝120÷4＝30（米/秒），∵30×3.6＝108（千米/小時），∴30米/秒＝108千米/小時，108＞70，∴這輛小汽車超速了．5．（2021秋?渭城區(qū)期末）如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機(jī)器人行走的路程相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，得到BC＝AC，設(shè)BC＝AC＝xm，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【解題過程】解：∵小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，∴BC＝AC，設(shè)BC＝AC＝xm，則OC＝（8﹣x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2＝BC2，∴32+（8﹣x）2＝x2，解得x=73∴機(jī)器人行走的路程BC為7316m6．（2021秋?河口區(qū)期末）東營市某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的“試驗(yàn)田”，把課堂的“死教材”轉(zhuǎn)換為生動的“活景觀”，學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到“試驗(yàn)田”實(shí)際操練，對生物的發(fā)展規(guī)律有了更為直觀的認(rèn)識．如圖，四邊形ABCD是規(guī)劃好的“試驗(yàn)田”，經(jīng)過測量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四邊形ABCD的面積．【思路點(diǎn)撥】連接AC，利用勾股定理判斷△ADC為直角三角形，利用分割法，分為△ABC和△ADC，求四邊形面積，【解題過程】解：連接AC，如圖，在Rt△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，∴AC=242+在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC為直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC=12×AD×DC=12×20×15∵S△ABC=12×AB×BC=12×24×7∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），答：四邊形ABCD的面積234m2．7．（2021秋?高郵市期末）圖1是超市購物車，圖2為超市購物車側(cè)面示意圖，測得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．（1）兩輪中心AB之間的距離為dm；（2）若OF的長度為50dm，支點(diǎn)F到底部DO的距離為5dm，試求∠FOD的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB即可；（2）過點(diǎn)F作FH⊥DO，交DO延長線于H，由勾股定理得OH＝5（dm），再證△FHO是等腰直角三角形，得∠FOH＝45°，進(jìn)而得出答案．【解題過程】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+C故答案為：6；（2）過點(diǎn)F作FH⊥DO，交DO延長線于H，如圖所示：則FH＝5dm，在Rt△FHO中，由勾股定理得：OH=OF2-F∴OH＝FH，∴△FHO是等腰直角三角形，∴∠FOH＝45°，∴∠FOD＝180°﹣∠FOH＝180°﹣45°＝135°，∴∠FOD的度數(shù)為135°．8．（2021秋?青島期末）如圖1，青島創(chuàng)建文明城市期間，路邊設(shè)立了一塊宣傳牌，圖2為從此場景中抽象出的數(shù)學(xué)模型，宣傳牌（AB）頂端有一根繩子（AC），自然垂下后，繩子底端離地面還有0.7m（即BC＝0.7），工作人員將繩子底端拉到離宣傳牌3m處（即點(diǎn)E到AB的距離為3m），繩子正好拉直，已知工作人員身高（DE）為1.7m，求宣傳牌（AB）的高度．【思路點(diǎn)撥】過E作EF⊥AB于F，設(shè)AC＝AE＝xm，則AB＝（x+0.7）m，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解題過程】解：過E作EF⊥AB于F，設(shè)AC＝AE＝xm，則AB＝（x+0.7）m，在Rt△AFE中，∵EF＝3m，AF＝AB﹣BF＝x+0.7﹣1.7＝（x﹣1）m，AF2+EF2＝AE2，∴（x﹣1）2+32＝x2，∴x＝5，∴AB＝5+0.7＝5.7（米），答：宣傳牌（AB）的高度約為5.7m．9．（2021秋?玄武區(qū)校級期末）滑撐桿在懸窗中應(yīng)用廣泛．如圖，某款滑撐桿由滑道OC，撐桿AB、BC組成，滑道OC固定在窗臺上．懸窗關(guān)閉或打開過程中，撐桿AB、BC的長度始終保持不變．當(dāng)懸窗關(guān)閉時，如圖①，此時點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，撐桿AB、BC恰與滑道OC完全重合；當(dāng)懸窗完全打開時，如圖②，此時撐桿AB與撐桿BC恰成直角，即∠B＝90°，測量得OA＝12cm，撐桿AB＝15cm，求滑道OC的長度．【思路點(diǎn)撥】設(shè)OC＝xcm，根據(jù)題意得到AC＝（x﹣12）cm，BC＝（x﹣150）cm，根據(jù)勾股定理列方程即可得到答案．【解題過程】解：設(shè)OC＝xcm，∵OA＝12cm，AB＝15cm，∴AC＝（x﹣12）cm，BC＝（x﹣150）cm，∵∠B＝90°，∴BC2+AB2＝AC2，∴（x﹣15）2+152＝（x﹣12）2，解得x＝51，∴滑道OC的長度為51cm．10．（2021秋?麥積區(qū)期末）一架2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時BC為0.7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑動了多少米？【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)梯子的長度不變求出CB1的長，根據(jù)BB1＝B1C﹣BC即可得出結(jié)論．【解題過程】解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，BC＝0.7m．∴AC=AB2-B同理，Rt△CA1B1中，∵A1B1＝2.5m，CA1＝2.4﹣0.4＝2（m），∴B1C=A1B1∴BB1＝B1C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．答：梯子底端B在水平方向上滑動了0.8米．11．（2021秋?任城區(qū)期中）如圖，高速公路上有A，B兩點(diǎn)相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意設(shè)出BE的長為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【解題過程】解：設(shè)BE＝xkm，則AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由題意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的長是4km．12．（2021秋?榆林期末）小王與小林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點(diǎn)為點(diǎn)A，小王的賽車從點(diǎn)C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時小林的賽車從點(diǎn)B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于25米時，遙控信號會產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．（1）出發(fā)3秒鐘時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？（2）當(dāng)兩賽車距A點(diǎn)的距離之和為35米時，遙控信號是否會產(chǎn)生相互干擾？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意求得CC1＝12米，BB1＝9米，得到AC1＝28，AB1＝21，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)AC1＝x米，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解題過程】解：（1）如圖，出發(fā)3秒鐘時，CC1＝12米，BB1＝9米，∵AC＝40米，AB＝30米，∴AC1＝28米，AB1＝21米，∴B1C1=282+2∴出發(fā)3秒鐘時，遙控信號不會產(chǎn)生相互干擾；（2）設(shè)出發(fā)t秒，兩賽車距A點(diǎn)的距離之和為35米，根據(jù)題意得，40﹣4t+30﹣3t＝35，解得t＝5，此時AC12+AB12＝202+152＝252，∴C1B1＝25米，答：當(dāng)兩賽車距A點(diǎn)的距離之和為35米時，遙控信號將會產(chǎn)生相互干擾．13．（2021秋?高州市月考）已知一個三角形工件尺寸（單位：mm）如圖，計算高l的長．【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AD⊥BC，利用勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，從而有AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，可求得BD的值，則可求AD的長，即可求解．【解題過程】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，如圖所示：∴AD＝l，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵CD＝BC﹣BD＝90﹣BD，∴602﹣BD2＝902﹣（90﹣BD）2，解得：BD＝20（mm），∴AD2＝602﹣202，解得：AD＝402（mm），∴l(xiāng)＝402mm．14．（2021秋?滕州市期中）如圖，地面上放著一個小凳子（AB與地面平行），點(diǎn)A到墻面（墻面與地面垂直）的距離為40cm．在圖①中，一木桿的一端與墻角O重合，另一端靠在點(diǎn)A處，OA＝50cm．（1）求小凳子的高度；（2）在圖②中另一木桿的一端與點(diǎn)B重合，另一端靠在墻上的點(diǎn)C處．若OC＝90cm，木桿BC比凳寬AB長60cm，求小凳子寬AB和木桿BC的長度．【思路點(diǎn)撥】（1）過A作AM垂直于墻面，垂足M，根據(jù)勾股定理解答即可；（2）延長BA交墻面于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理解答即可．【解題過程】解：（1）過A作AM垂直于墻面，垂足M，根據(jù)題意可得，AM＝40cm，在Rt△AOM中，OM=AO即凳子的高度為30cm．（2）延長BA交墻面于點(diǎn)N，可得∠BNC＝90°，設(shè)AB＝xcm，則CB＝x+60，BN＝x+40，CN＝90﹣30＝60，在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2，即（40+x）2+602＝（60+x）2，解得x＝40，則BC＝60+40＝100（cm）．15．（2021秋?萬州區(qū)期末）為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設(shè)成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路．如圖所示，現(xiàn)從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一筆直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又從D地修了一條筆直的公路DH與公路AB在H處連接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．（1）求公路CD的長度；（2）若修公路DH每千米的費(fèi)用是2000萬元，請求出修建公路DH的總費(fèi)用．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理得到BC=AB（2）根據(jù)勾股定理得到AD=AC2+CD【解題過程】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，∴BC=AB∵BD＝5千米，∴CD＝12﹣5＝7（千米），答：公路CD的長度為7千米；（2）∵AC＝9千米，CD＝7千米，∴AD=A∵DH⊥AB，∴AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，∴130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，∴BH＝4，∴DH=BD∴修建公路DH的總費(fèi)用為3×2000＝6000（萬元）．16．（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時小船從A移動到B，且繩長始終保持不變．回答下列問題：（1）根據(jù)題意可知：ACBC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝9米，求小男孩需向右移動的距離．（結(jié)果保留根號）【思路點(diǎn)撥】（1）由繩長始終保持不變即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的長，即可解決問題．【解題過程】解：（1）∵AC的長度是男孩未拽之前的繩子長，（BC+CE）的長度是男孩拽之后的繩子長，繩長始終保持不變，∴AC＝BC+CE，故答案為：＝；（2）連接AB，如圖所示：則點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線，在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC=AF∵BF＝AF﹣AB＝12﹣9＝3（米），在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC=C由（1）得：AC＝BC+CE，∴CE＝AC﹣BC＝（13-34∴小男孩需向右移動的距離為（13-3417．（2021秋?重慶期末）如圖是俱樂部新打造的一款兒童游戲項(xiàng)目，工作人員告訴小敏，該項(xiàng)目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形ADCG和長方形DEFC均為木質(zhì)平臺的橫截面，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)C在GF上，點(diǎn)D在AE上，經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯誤，請求出立柱AB段的正確長度；（2）為加強(qiáng)游戲安全性，俱樂部打算再焊接一段鋼索BF，經(jīng)測量DE＝3米，請你求出要焊接的鋼索BF的長．（結(jié)果不必化簡成最簡二次根式）【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)BG＝x米，則BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，則AB＝BG+GA＝9（米），即可得出結(jié)論；（2）由題意得CF＝DE＝3米，則GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，再由勾股定理求出BF的長即可．【解題過程】解：（1）不正確，理由如下：由題意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，設(shè)BG＝x米，則BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得：x＝8，∴BG＝8米，∴AB＝BG+GA＝9（米），∴小敏的猜想不正確，立柱AB段的正確長度長為9米．（2）由題意得：CF＝DE＝3米，∴GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=B18．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點(diǎn)A、B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村莊為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點(diǎn)H（A、B、H在同一直線上），并新建一條路CH，測得CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2（1）CH是不是從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；（2）求新路CH比原路CA短多少千米？【思路點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理的逆定理證明△BCH為直角三角形，∠BHC＝90°，則CH⊥AB，根據(jù)垂線段最短可判斷CH是從村莊C到河邊的最近路；（2）設(shè)AC＝xkm，則AB＝xkm，AH＝（x﹣1）km，則在Rt△ACH中利用勾股定理得到（x﹣1）2+22＝x2，解方程得到AC的長，然后計算AC﹣CH即可．【解題過程】解：（1）CH是從村莊C到河邊的最近路．理由如下：∵CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2∴CB2＝CH2+HB2，∴△BCH為直角三角形，∠BHC＝90°，∴CH⊥AB，∴CH為C點(diǎn)到AB的最短路線；（2）設(shè)AC＝xkm，則AB＝xkm，AH＝（x﹣1）km，在Rt△ACH中，（x﹣2）2+32＝x2，解得x=13即AC=134∵AC﹣CH=134-3＝0.25答：新路CH比原路CA少0.25千米．19．（2021春?南崗區(qū)校級月考）如圖，已知射線MN表示一艘輪船東西方向的航行路線，在M的北偏東60°方向上有一燈塔A，燈塔A到M處的距離為100海里．（1）求燈塔A到航線MN的距離；（2）在航線MN上有一點(diǎn)B，且∠MAB＝15°，若輪船的航速為50海里/時，求輪船從M到B處所用的時間為多少小時？（結(jié)果保留根號）【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得到∠FMA＝60°，AM＝100海里，求得∠AMB＝30°，過點(diǎn)A作AT⊥MN于T，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABT＝∠AMB+∠BAM