人教版九年級上冊數(shù)學(xué)期末測試卷（含解析答案）

第頁人教版九年級數(shù)學(xué)上冊期末測試卷(帶答案與解析)（本試卷三個(gè)大題，25個(gè)小題。滿分120分，考試時(shí)間120分鐘。）學(xué)校班級姓名考號一、單選題（每題3分，共計(jì)30分。）1.已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3），那么下列四個(gè)點(diǎn)中，也在這個(gè)函數(shù)圖象上的是（）A.（﹣6，1） B.（1，6） C.（2，﹣3） D.（3，﹣2）2.從全市份數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取份試卷，其中份成績合格，那么可以估計(jì)全市數(shù)學(xué)成績合格的學(xué)生大約有多少人？（）A. B. C. D.3.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則（）A B. C. D.4.一元二次方程配方后可變形為（）A. B. C. D.5.關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)圖象的開口向下 B.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C.該函數(shù)有最大值，最大值是5 D.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大6.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且7.△ABC與△DEF是相似三角形，且△ABC與△DEF的相似比是1：2，已知△ABC的面積是3，則△DEF的面積是（）A.3 B.6 C.9 D.128.如圖是某攔水壩的橫斷面，堤壩高為6米，斜面坡度為，則斜坡的長為（）A米 B.米 C.米 D.24米9.如圖．利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．已知標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m．BC＝12.4m．則建筑物CD的高是（）A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m10.如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)，的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的面積為4，則的值為A.8 B. C.4 D.二、填空題（本題共計(jì)6小題，每題3分，共計(jì)18分）11.若，則_______________________．12.已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根是________．13.跳高訓(xùn)練時(shí)，甲、乙兩名同學(xué)在相同條件下各跳了10次，統(tǒng)計(jì)他們的平均成績都是1.36米，且方差為，則成績較為穩(wěn)定的是________（填“甲”或“乙”）．14.在中，若，則∠C的度數(shù)是_________15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，則需要增加的一個(gè)條件是______（寫出一個(gè)即可）16.已知二次函數(shù)的圖象如圖，其對稱軸，給出下列結(jié)果：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的序號是__________．三、解答題（本題共計(jì)9小題:17-19題6分；20-23題8分；24題10分；25題12分；共計(jì)72分）17.計(jì)算：．18.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）請畫出關(guān)于y軸對稱的；（2）以原點(diǎn)為位似中心，將放大為原來的2倍．19.如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)A和點(diǎn)．（1）求m的值和反比例函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍．20.某區(qū)教育局為了了解某年級學(xué)生對科學(xué)知識的掌握情況，在全區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行科學(xué)知識測試，按照測試成績分優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級，并繪制了如下兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖．（1）參與本次測試的學(xué)生人數(shù)為______，______．（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）若全區(qū)該年紀(jì)共有5000名學(xué)生，請估計(jì)該年級對科學(xué)知識掌握情況較好（測試成績能達(dá)到良好及以上等級）的學(xué)生人數(shù)．21.某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價(jià)為80元，銷售價(jià)為120元時(shí)，每天可售出20件，為了迎接“十一”國慶節(jié)，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均可多售出2件．（1）設(shè)每件童裝降價(jià)x元時(shí)，每天可銷售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代數(shù)式表示）（2）每件童裝降價(jià)多少元時(shí)，平均每天贏利1200元．（3）要想平均每天贏利2000元，可能嗎？請說明理由．22.如圖，在矩形中，E是的中點(diǎn)，垂足為F．（1）求證：；（2）若，求的長．23.某次軍事演習(xí)中，一艘船以的速度向正東航行，在出發(fā)地測得小島在它的北偏東方向，小時(shí)后到達(dá)處，測得小島在它的北偏西方向，求該船在航行過程中與小島的最近距離（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）．24.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外學(xué)習(xí)與探究中遇到一些新數(shù)學(xué)符號，他們將其中某些材料摘錄如下∶對于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，例如∶．請結(jié)合上述材料，解決下列問題∶（1）__________；（2）若，求x的值；（3）若，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，求a的值．25.如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，且它的對稱軸為．（1）求此拋物線解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求的坐標(biāo)；（3）在（2）條件下，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的坐標(biāo)以及的最大值答案和解析一、選擇題（本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分）1.已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3），那么下列四個(gè)點(diǎn)中，也在這個(gè)函數(shù)圖象上的是（）A.（﹣6，1） B.（1，6） C.（2，﹣3） D.（3，﹣2）【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上求出的值，再根據(jù)的特點(diǎn)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、此點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，不符合題意；B、此點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，符合題意；C、此點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，不符合題意；D、此點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)中的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．2.從全市份數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取份試卷，其中份成績合格，那么可以估計(jì)全市數(shù)學(xué)成績合格的學(xué)生大約有多少人？（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知：抽取400份試卷中合格率為×100%=90%，則估計(jì)全市5000份試卷成績合格的人數(shù)約為5000×90%=4500份．【詳解】5000×=4500（人）．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本的數(shù)據(jù)特征來估計(jì)總體的數(shù)據(jù)特征，利用樣本中的數(shù)據(jù)對整體進(jìn)行估算是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的估算方法．3.如圖，在邊長為1小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形．由三角函數(shù)定義即可得出答案．詳解】解：由圖可得：∴．故選：D．4.一元二次方程配方后可變形為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，根據(jù)配方法的步驟進(jìn)行即可．【詳解】解：變形：配方得：即；故選：A．5.關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)圖象的開口向下 B.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C.該函數(shù)有最大值，最大值是5 D.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】由拋物線的表達(dá)式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．【詳解】解：對于y=（x-1）2+5∵a=1>0，故拋物線開口向上，故A錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），故B錯(cuò)誤；該函數(shù)有最小值，最小值是5，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故D正確故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．6.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程的定義和根的判別式．掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式，建立關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴解得：且．故選：C．7.△ABC與△DEF是相似三角形，且△ABC與△DEF的相似比是1：2，已知△ABC的面積是3，則△DEF的面積是（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】利用相似圖形的面積比等于位似比的平方，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵△ABC～△DEF，相似比為1：2∴△ABC的面積與△DEF的面積比為：1：4∵△ABC的面積是3∴△DEF的面積為12故選D．【點(diǎn)睛】考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方.8.如圖是某攔水壩的橫斷面，堤壩高為6米，斜面坡度為，則斜坡的長為（）A.米 B.米 C.米 D.24米【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，先根據(jù)坡度比求出，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解；由題意得∵斜面坡度為∴∴米∴米故選B．9.如圖．利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．已知標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m．BC＝12.4m．則建筑物CD的高是（）A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m【答案】B【解析】【分析】先證明△ABE∽△ACD，則利用相似三角形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)求出CD即可．【詳解】解：∵EB∥CD∴△ABE∽△ACD∴，即∴CD=10.5（米）．故選B．【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．10.如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)，的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的面積為4，則的值為A.8 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出和根據(jù)三角形的面積公式得到，即可求出．【詳解】∵軸，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同設(shè)，則故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，熟知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共計(jì)6小題，每題3分，共計(jì)18分）11.若，則_______________________．【答案】【解析】【分析】由，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得的值．【詳解】解：∵∴=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，此題比較簡單，注意熟記比例變形．12.已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根是________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，根據(jù)該方程一個(gè)根為，即可求出另一個(gè)根．【詳解】解：根據(jù)題意可得：∴∵該方程一個(gè)根為，令∴，解得：．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩根為和，則和．13.跳高訓(xùn)練時(shí)，甲、乙兩名同學(xué)在相同條件下各跳了10次，統(tǒng)計(jì)他們的平均成績都是1.36米，且方差為和，則成績較為穩(wěn)定的是________（填“甲”或“乙”）．【答案】乙【解析】【分析】根據(jù)方差越大，波動(dòng)越大，成績越不穩(wěn)定，方差越小，波動(dòng)越小，成績越穩(wěn)定即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹退运砸页煽冚^為穩(wěn)定.故答案為：乙.【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的意義，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握方差的意義.14.在中，若，則∠C的度數(shù)是_________【答案】##度【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)性，求出，進(jìn)而求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和，求出即可．【詳解】解：∵和∴∴∴∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的非負(fù)性以及三角形的內(nèi)角和．熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，則需要增加的一個(gè)條件是______（寫出一個(gè)即可）【答案】EF∥BC【解析】【分析】利用平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似進(jìn)行添加條件．【詳解】當(dāng)EF∥BC時(shí)，△AEF∽△ABC．故答案為EF∥BC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．16.已知二次函數(shù)的圖象如圖，其對稱軸，給出下列結(jié)果：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①④##④①【解析】【分析】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸計(jì)算與0的關(guān)系；再由根的判別式與根的關(guān)系，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵圖象和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)∴∴∴①正確；∵從圖象可知：，和和∴∴②錯(cuò)誤；∵∴∴③錯(cuò)誤；∵時(shí)∴∴④正確；故答案為：①④．三、解答題（本題共計(jì)9小題:17-19題6分；20-23題8分；24題10分；25題12分；共計(jì)72分）17.計(jì)算：．【答案】6【解析】【分析】此題考查的是算術(shù)平方根、絕對值、零指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值，掌握其運(yùn)算法則是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：18.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）請畫出關(guān)于y軸對稱的；（2）以原點(diǎn)為位似中心，將放大為原來的2倍．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】本題主要考查了網(wǎng)格作圖．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形的性質(zhì)及坐標(biāo)特征．（1）根據(jù)，和，得到關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，和，描出，和，并順次連接，即得；（2）根據(jù)原點(diǎn)為位似中心，將放大為原來的倍，得到，和或者，和，描出并順次連接，和，即得【小問1詳解】∵，和關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，和∴在平面直角坐標(biāo)系中描出，和，順次連接，和，即得，如圖【小問2詳解】∵以原點(diǎn)為位似中心，將放大為原來的倍，，和∴，和，或者，和19.如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)A和點(diǎn)．（1）求m的值和反比例函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍．【答案】（1）和（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、B兩點(diǎn)可得的值，進(jìn)而可求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）觀察函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【小問1詳解】將點(diǎn)代入得：解得：將代入得：∴【小問2詳解】由得：，解得所以的坐標(biāo)分別為由圖形可得：當(dāng)或時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)．20.某區(qū)教育局為了了解某年級學(xué)生對科學(xué)知識的掌握情況，在全區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行科學(xué)知識測試，按照測試成績分優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級，并繪制了如下兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖．（1）參與本次測試的學(xué)生人數(shù)為______，______．（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）若全區(qū)該年紀(jì)共有5000名學(xué)生，請估計(jì)該年級對科學(xué)知識掌握情況較好（測試成績能達(dá)到良好及以上等級）的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）150人，（2）補(bǔ)全圖形見解析（3）3500人．【解析】【分析】（1）由良好60人除以其占比可得總?cè)藬?shù)，由優(yōu)秀的45人除以總?cè)藬?shù)可得m的值；（2）先利用總?cè)藬?shù)減去優(yōu)秀，良好，不合格，得到合格的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）由5000乘以測試成績能達(dá)到良好及以上等級的學(xué)生人數(shù)的占比可得答案．【小問1詳解】解：（人）∴參與本次測試的學(xué)生人數(shù)為150人∴；故答案為：人；30；【小問2詳解】∵（人）補(bǔ)全圖形如下：．【小問3詳解】（人）；∴全區(qū)該年紀(jì)共有5000名學(xué)生，請估計(jì)該年級對科學(xué)知識掌握情況較好（測試成績能達(dá)到良好及以上等級）學(xué)生人數(shù)有3500人．【點(diǎn)睛】本題考查的是從條形圖與扇形圖中獲取信息，利用樣本估計(jì)總體，能夠正確的讀圖是解本題的關(guān)鍵．21.某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價(jià)為80元，銷售價(jià)為120元時(shí)，每天可售出20件，為了迎接“十一”國慶節(jié)，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均可多售出2件．（1）設(shè)每件童裝降價(jià)x元時(shí)，每天可銷售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代數(shù)式表示）（2）每件童裝降價(jià)多少元時(shí)，平均每天贏利1200元．（3）要想平均每天贏利2000元，可能嗎？請說明理由．【答案】（1）；（2）每件童裝降價(jià)20元時(shí)，平均每天贏利1200元（3）不可能平均每天贏利2000元，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)銷售量＝原銷售量＋因價(jià)格下降增加的銷售量，每件的利潤＝實(shí)際售價(jià)－進(jìn)價(jià)，列式即可；（2）根據(jù)總利潤＝每件的利潤×銷售數(shù)量，列方程求解即可；（3）根據(jù)總利潤＝每件的利潤×銷售數(shù)量，列方程求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)每件童裝降價(jià)x元時(shí)，每天可銷售件，每件盈利元故答案為：和；【小問2詳解】依題可得：∴∴∴擴(kuò)大銷售量，增加利潤答：每件童裝降價(jià)20元時(shí)，平均每天贏利1200元；【小問3詳解】根據(jù)題意得：∴∴△==-4×1×600=-15000∴原方程無解.答：不可能平均每天贏利2000元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，理解題意找出題目蘊(yùn)含的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．22.如圖，在矩形中，E是的中點(diǎn)，垂足為F．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)得到，再利用三角形內(nèi)角和定理和垂線的定義證明，即可證明；（2）先利用矩形的性質(zhì)得到，再由線段中點(diǎn)的定義得到，則可利用勾股定理求出，再由相似三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形∴∵∴∴∴∴；【小問2詳解】解：∵四邊形四邊形是矩形∴∵E是的中點(diǎn)∴∵∴∵∴，即∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，證明是解題的關(guān)鍵．23.某次軍事演習(xí)中，一艘船以的速度向正東航行，在出發(fā)地測得小島在它的北偏東方向，小時(shí)后到達(dá)處，測得小島在它的北偏西方向，求該船在航行過程中與小島的最近距離（參考數(shù)據(jù)：和．結(jié)果精確到）．【答案】該船在航行過程中與小島的最近距離．【解析】【分析】過點(diǎn)作，垂足為，先在中，利用三角函數(shù)求出與的關(guān)系，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出與的關(guān)系，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為解∶∵，和，和∴，和在中，即∴在中，即∴∴∴（）∴該船在航行過程中與小島的最近距離．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與方位角有關(guān)的解直角三角形，作出相應(yīng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外學(xué)習(xí)與探究中遇到一些新的數(shù)學(xué)符號，他們將其中某些材料摘錄如下∶對于三個(gè)實(shí)數(shù)a，