江蘇省南通市田家炳中學2024屆數(shù)學高三上期末考試試題含解析

江蘇省南通市田家炳中學2024屆數(shù)學高三上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A． B． C． D．3．復數(shù)的共軛復數(shù)記作，已知復數(shù)對應復平面上的點，復數(shù):滿足.則等于（）A． B． C． D．4．設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．6．關(guān)于圓周率π，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對；再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值，那么可以估計的值約為（）A． B． C． D．7．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值8．已知拋物線y2=4x的焦點為F，拋物線上任意一點P，且PQ⊥y軸交y軸于點Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．19．平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．10．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．11．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．12．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3,4），則該雙曲線的準線方程為_____．14．在的展開式中，所有的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為-64，則實數(shù)的值為__________.15．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，則球的表面積為__________.16．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）古人云：“腹有詩書氣自華.”為響應全民閱讀，建設書香中國，校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學生一周課外讀書的時間，從全校學生中隨機抽取名學生進行問卷調(diào)査，統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間（單位：）的數(shù)據(jù)如下：一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求，，的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).（2）如果讀書時間按，，分組，用分層抽樣的方法從名學生中抽取20人.①求每層應抽取的人數(shù)；②若從，中抽出的學生中再隨機選取2人，求這2人不在同一層的概率.18．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，需引進一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇，生產(chǎn)線①：有A，B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為15萬元；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②：有a，b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04，0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為14萬元；若a工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加8萬元；若b工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加13萬元.（1）若選擇生產(chǎn)線①，求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率；（2）為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本，你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線？請說明理由.19．（12分）設函數(shù)（）的最小值為.（1）求的值；（2）若，，為正實數(shù)，且，證明：.20．（12分）已知，求的最小值.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點分別為和的中點.（Ⅰ）棱上是否存在點使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.（Ⅱ）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的定義域和值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實軸，所以，得離心率,故選C.【點睛】此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念，屬于基礎題.2、A【解析】

結(jié)合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù)，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎題3、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的幾何意義得出復數(shù)，進而得出，由得出可計算出，由此可計算出.【詳解】由于復數(shù)對應復平面上的點，，則，，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，考查了復數(shù)的坐標表示、共軛復數(shù)以及復數(shù)的除法，考查計算能力，屬于基礎題.4、A【解析】

由復數(shù)的除法運算可整理得到，由此得到對應的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復數(shù)對應的點所在象限的求解，涉及到復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.5、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題.6、D【解析】

由試驗結(jié)果知對0～1之間的均勻隨機數(shù)，滿足，面積為1，再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學取對都小于的正實數(shù)對，即，對應區(qū)域為邊長為的正方形，其面積為，若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.7、D【解析】

A．通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).8、A【解析】

設點，則點，，利用向量數(shù)量積的坐標運算可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解：設點，則點，，，，當時，取最小值，最小值為.故選：A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算，考查學生的計算能力，是基礎題.9、C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關(guān)鍵，是基礎題.10、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．11、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎題.12、A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

代入求解得,再求準線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過點,,解得,即．又,故該雙曲線的準線方程為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了雙曲線的準線方程求解,屬于基礎題.14、3或-1【解析】

設，分別令、，兩式相減即可得，即可得解.【詳解】設，令，則①，令，則②，則①-②得，則，解得或.故答案為：3或-1.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算能力，屬于中檔題.15、【解析】

如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，計算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，將三棱錐補成長方體是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

由題意得，分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價于，當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，中位數(shù)；（2）①三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13；②【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得，得到，，再結(jié)合中位數(shù)的計算方法，即可求解.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；②由①知，設內(nèi)被抽取的學生分別為，內(nèi)被抽取的學生分別為，利用列舉法得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可得，所以，.設一周課外讀書時間的中位數(shù)為小時，則，解得，即一周課外讀書時間的中位數(shù)約為小時.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為，又因為，，的頻數(shù)分別為20，50，130，所以從，，三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13.②由①知，在，兩層中共抽取7人，設內(nèi)被抽取的學生分別為，內(nèi)被抽取的學生分別為，若從這7人中隨機抽取2人，則所有情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21種，其中2人不在同一層的情況為，，，，，，，，，，共有10種.設事件為“這2人不在同一層”，由古典概型的概率計算公式，可得概率為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，以及古典概型的概率計算等知識的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.18、（1）0.0294.（2）應選生產(chǎn)線②.見解析【解析】

（1）由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，利用相互獨立事件的概率公式即可得解；（2）分別算出兩個生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望，進而求出兩個生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值，比較期望值即可得解.【詳解】（1）若選擇生產(chǎn)線①，生產(chǎn)成本恰好為18萬元，即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，故所求的概率為.（2）若選擇生產(chǎn)線①，設增加的生產(chǎn)成本為(萬元)，則的可能取值為0，2，3，5.，，,,所以萬元；故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬元).若選生產(chǎn)線②，設增加的生產(chǎn)成本為（萬元），則的可能取值為0，8，5，13.，，，，所以，故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為(萬元)，故應選生產(chǎn)線②.【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率，考查了離散型隨機變量期望的應用，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）分類討論，去絕對值求出函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出的單調(diào)性，得出取最小值，即可求的值；（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化簡后利用基本不等式求出的最小值，即可證出.【詳解】（1）解：當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以當時，取最小值.（2）證明：由（1）可知.要證明：，即證，因為，，為正實數(shù)，所以.當且僅當，即，，時取等號，所以.【點睛】本題考查絕對值不等式和基本不等式的應用，還運用“乘1法”和分類討論思想，屬于中檔題.20、【解析】

討論和的情況，然后再分對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，最后求出最小值【詳解】當時，，它在上是減函數(shù)故函數(shù)的最小值為當時，函數(shù)的圖象思維對稱軸方程為當時，，函數(shù)的最小值為當時，，函數(shù)的最小值為當時，，函數(shù)的最小值為綜上，【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題。21、（Ⅰ）存在點滿足題意，且，證明詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）可考慮采用補形法