經(jīng)濟數(shù)學（第三版） 教案 5.描述性統(tǒng)計分析

長沙民政職業(yè)技術學院教案長沙民政職業(yè)技術學院教案經(jīng)濟數(shù)學課題描述性統(tǒng)計分析授課課時2課型新授課教案編號教學目標（知識、技能、素質）：1、知識目標：掌握基本統(tǒng)計量及線性相關的度量。2、技能目標：分析解決問題的能力和嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力3、素質目標：培養(yǎng)學生理性的思維方式和數(shù)學應用意識教學重點：掌握基本統(tǒng)計量，散點圖和相關系數(shù)教學難點：隨機變量的分布形狀，用EXCEL求常用統(tǒng)計量主要教學方法：啟發(fā)引導式、講授法教學環(huán)節(jié)與內容一、問題引入統(tǒng)計在日常生活和各類職業(yè)中有著廣泛的應用，例如，在社會學領域，需要調查青年對婚姻家庭、經(jīng)濟收入、相貌等因素的態(tài)度以便進行正確引導；在康復醫(yī)療領域，需要對患有抑郁癥的病人，按照測量得到的指標，進行恰當?shù)貧w類以便進行有針對性的治療；在經(jīng)濟活動中，需要考慮商品的市場反應與價格、消費者收入和廣告等因素之間的相互關系，以及建立數(shù)學模型進行預測等問題。二、新課講授（1）重要統(tǒng)計概念在一個描述性統(tǒng)計問題中，往往涉及到三個主要概念：總體、樣本以及描述性統(tǒng)計。定義1：總體是指研究對象的某一個指標(或多個)全體，組成總體的每一個單元稱為個體，總體中所包含個體的總數(shù)稱為總體容量。定義2：在總體中隨機地抽取n個個體，記其指標值為X1,X2,…,Xn，則X1,X2,…,Xn稱為總體的一個樣本，n稱為樣本容量，樣本中的個體稱為樣品。（2）常用統(tǒng)計量定義5統(tǒng)計量是統(tǒng)計理論中用來對數(shù)據(jù)進行分析、檢驗的變量。=1\*romani）中心趨勢中心趨勢又稱為定位度量或者平均數(shù)，是一組數(shù)據(jù)典型的或者有代表意義的值。由于這些典型值趨向于落在根據(jù)數(shù)值大小排列的數(shù)據(jù)的中心，因此被稱為中心趨勢度量?？梢远x中心趨勢的統(tǒng)計量包括：算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等。算數(shù)平均數(shù)(簡稱為樣本均值)：設一個樣本的觀測值為，樣本算數(shù)平均數(shù)記為，則有.其中，符號“”表示將記作的意思，讀成“記作”。幾何平均數(shù)：度量平均值的另一種方法，特別是在計算平均增長率、平均收益率時被經(jīng)常使用。中位數(shù)：把所有觀測值依序排列(遞增或遞減)，位于最中間的觀測值就是中位數(shù)。當觀測值個數(shù)為偶數(shù)時，則中位數(shù)是位于中間的兩個觀測值的平均數(shù)。眾數(shù)：樣本觀測值中發(fā)生次數(shù)最多的觀測值。使用眾數(shù)作為中心趨勢統(tǒng)計量，會有兩個問題：第一，在一個小樣本內，它可能不是一個很好的觀測值；第二，它可能不唯一。例9.1求引例9.1牙膏銷售問題中的本公司銷售價格的平均價格，價格的眾數(shù)和中位數(shù)？解平均價格；因為本公司銷售價格3.7元出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)；將本公司銷售價格從低到高排序，第15位、第16位都是3.75，因此中位數(shù).對于一組數(shù)據(jù)，僅僅知道平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等這些描述數(shù)據(jù)中心趨勢的統(tǒng)計量還不夠，還需知道數(shù)據(jù)的分散程度.描述數(shù)據(jù)的分散程度的常用統(tǒng)計量有極差、樣本方差和樣本標準差等.=2\*romanii）離散趨勢除了知道中心趨勢外，對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計描述還需要知道數(shù)據(jù)圍繞中心點是如何分散的，稱之為離散趨勢。常用的統(tǒng)計量有：極差、樣本方差、樣本標準差和方差系數(shù)等。極差：樣本最大觀測值和最小觀測值之間的差。樣本方差：一個樣本的觀測值為，樣本算數(shù)平均數(shù)記為，樣本方差記為，則有.需要注意的是，樣本方差的計算公式中，是使用偏差平方和除以，而不是除以，這是因為我們在用樣本估計總體時，除以所建立起的統(tǒng)計量是對總體方差更好的估計。樣本標準差：樣本方差的算術平方根，即。樣本方差在比較兩組或者更多組數(shù)據(jù)的離散程度時，是一個很好的統(tǒng)計量。通常，樣本方差越大，代表數(shù)據(jù)本身的離散程度越大。而樣本標準差則可以幫助我們了解數(shù)據(jù)大致集中在哪個區(qū)域。方差(或標準差)能較好的反映出數(shù)據(jù)的離散程度，是描述一組數(shù)據(jù)變異程度或離散程度大小的重要指標.例9.2求引例9.1牙膏銷售問題中的本公司銷售價格的極差、方差和標準差.解因為本公司銷售價格的最大值為3.9，最小值為3.55，所以極差為R=3.9－3.55=0.35,,.方差系數(shù)：樣本觀測值的標準差除以樣本均值的結果，即.例9.3表3-7給出了東風汽車和上海機場兩種股票在12個交易日的價格，試比較兩種股票價格在這12個交易日內的活躍程度。表3-7兩只股票12個交易日的價格表日期東風汽車上海機場日期東風汽車上海機場200503103.1716.06200503182.9716.52200503113.1616.55200503212.9416.65200503143.1017.27200503222.71171016.82200503232.7416.90200503163.0916.60200503242.7616.86200503173.0216.65200503252.7516.79解分別計算兩組樣本均值，樣本標準差和方差系數(shù)，得東風汽車：均值為2.96，標準差為0.176，方差系數(shù)為0.059；上海機場：均值為16.74，標準差為0.316，方差系數(shù)為0.019。如果從標準差來看，上海機場的股票活躍程度要大于東風汽車，但從方差系數(shù)來看，上海機場的方差系數(shù)僅為0.019，遠小于東風汽車的0.059。兩者存在矛盾是因為上海機場的股價要高于東風汽車，因此含有量綱的標準差就會偏高，而采用方差系數(shù)考慮了股價的均值，因此能更好地反映股價的活躍程度，因此可以從方差系數(shù)做出判斷，東風汽車股價的活躍度高于上海機場。=3\*romaniii）分布形狀隨機變量的分布形狀主要包括偏度和峰度。偏度：反映以平均值為中心的分布的不對稱程度的量，其計算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標準差，為樣本容量。若sk<0，則分布具有負偏態(tài)，此時數(shù)據(jù)位于均值左邊的比位于右邊的少，直觀表現(xiàn)為左邊的尾部相對于右邊的尾部要長，因為有少數(shù)變量值很小，使曲線左側尾部拖得很長.若sk>0，則分布具有正偏態(tài)，此時數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的少，直觀表現(xiàn)為右邊的尾部相對于左邊的尾部要長，因為有少數(shù)變量值很大，使曲線右側尾部拖得很長.而sk接近0則可認為分布是對稱的。如圖3-11所示。圖3-11三種偏態(tài)示意圖如果偏度表示的是數(shù)據(jù)分布的對稱程度，則峰度用來表述分布的尖銳度或者平坦度，用與正態(tài)分布的比較值來度量。峰度：反映與正態(tài)分布相比某一分布的尖銳度或平坦度，其計算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標準差，為樣本容量。若bk<0，則表示峰度比正態(tài)分布平坦；若bk>0，則表示峰度比正態(tài)分布陡峭；若bk=0，則表示峰度跟正態(tài)分布相同。如圖3-12所示。圖3-11三種峰度示意圖例9.4表3-8給出某股票在18個交易日的價格，試求該股票價格的偏度和峰度。表3-8某股票18個交易日的價格表日期價格日期價格日期價格200503106.4200503186.29200503285.97200503116.38200503216.16200503295.93200503146.44200503226.12200503305.94200503156.36200503236.08200503315.54200503166.24200503245.99200504015.36200503176.35200503255.93200504045.4解數(shù)據(jù)的偏度和峰度的計算公式較為復雜，我們可以借助EXCEL輔助計算。其中，偏度的EXCEL指令是“=SKEW(數(shù)據(jù)對象)”，峰度的EXCEL指令是“=KURT(數(shù)據(jù)對象)”。借助EXCEL求解，可得該股票價格的偏度，峰度為。說明股票價格成負偏態(tài)；峰度值接近于0，其陡峭程度與正態(tài)分布接近。事實上，由于上述統(tǒng)計量的應用十分廣泛，EXCEL在分析工具中專門編寫了“描述統(tǒng)計”指令來實現(xiàn)快速和智能化的計算，其調用步驟為：單擊【數(shù)據(jù)】中的【數(shù)據(jù)分析】命令，在彈出的數(shù)據(jù)分析對話框中，選中【描述統(tǒng)計】。注意：如果在【數(shù)據(jù)】中沒有見到【數(shù)據(jù)分析】選項，則要依次通過【文件】【選項】【加載項】【轉到】，在出現(xiàn)的【加載宏】對話框中選定【分析工具庫】。（3）相關分析與回歸分析現(xiàn)實生活中，事物之間存在相互關系.比如，職業(yè)種類和收入之間的關系、商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關系、糧食產量與施肥量之間的關系、人體類內的脂肪含量與年齡之間的關系、工業(yè)產值與用電量等等.認識事物之間的關系可以對經(jīng)濟現(xiàn)象進行預測和推斷.下面將介紹線性相關關系，并利用線性相關關系進行回歸分析.1.變量間相關關系的描述與度量什么是線性相關關系？由表9-1看出，隨著其他廠家平均價格與本公司銷售價格之差(即價格差)的增加，牙膏銷售量也在增加，這就說明牙膏銷售量與價格差有關系，但是這種關系不是我們以前研究過的函數(shù)關系.也就是說當一個變量(如價格差)確定后，無法確定另一個變量(如牙膏銷售量).相關關系是指變量之間確實存在密切關系，但是一個變量或幾個變量取的確定值時，不能求出另一個變量的確定值，而在大量的資料中，這種關系又具有統(tǒng)計規(guī)律性的關系.為了刻畫變量之間是否具有線性相關關系，可以通過散點圖直接觀察，也可以通過相關系數(shù)的大小進行判斷.=1\*GB2⑴散點圖用坐標的水平軸代表自變量，縱軸代表因變量，每組數(shù)據(jù)在坐標系中用一個點表示，組數(shù)據(jù)在坐標系中形成的個點稱為散點，由坐標及其散點形成的二維數(shù)據(jù)圖稱為散點圖(scatterdiagram).散點圖是描述變量之間關系的一種直觀方法，從中可以大體上看出變量之間的關系形態(tài)及關系強度.如果散點圖中的散點都大致分布在一條直線的周圍，這就說明變量之間存在線性相關關系，否則不存在線性相關關系.以引例9.1中所給的數(shù)據(jù)為例，得到牙膏銷售量對價格差及廣告費用的散點圖分別如圖9-1、圖9-2所示.圖9-1銷售量對價格差散點圖圖9-2銷售量對廣告費用散點圖由圖9-1、圖9-2可以看出，雖然數(shù)據(jù)點不全在一條直線上，但近似在一條直線附近.因此可以認為牙膏銷售量對價格差及廣告費用之間存在線性相關關系.=2\*GB2⑵相關系數(shù)相關系數(shù)(correlationcoefficient)是對變量之間線性關系密切程度的度量.若變量的個數(shù)據(jù)，，則變量相關系數(shù)r的計算公式為.其中.可以證明，相關系數(shù)的取值范圍在+1和－1之間，即.若，表明變量之間存在正線性相關關系；若，表明變量之間存在負線性相關關系.當時，變量可視為高度相關;時，變量可視為中度相關;時，變量可視為低度相關;當時，說明變量之間的相關程度極弱，可視為不線性相關.例9.5根據(jù)表9-1中所給的數(shù)據(jù)，計算牙膏銷售量和價格差以及牙膏銷售量和廣告費用之間的相關系數(shù).解牙膏銷售量和價格差之間的相關系數(shù)為.牙膏銷售量和廣告費用之間的相關系數(shù)為.從牙膏銷售量對價格差及廣告費用之間的相關