小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義40講含詳細(xì)分析解答(31-40講)

第三十一講分解質(zhì)因數(shù)法小學(xué)奧數(shù)方法講義、每道題都含有詳細(xì)的分析和解答、以及適合的年級(jí)，一共40講，適合學(xué)生、家長(zhǎng)、輔導(dǎo)教師。是小學(xué)一套難得的奧數(shù)資料。通過(guò)把一個(gè)合數(shù)分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上質(zhì)因數(shù)，來(lái)解容許用題的解題方法叫做分解質(zhì)因數(shù)法。分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)有用，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問(wèn)題提供新穎的解法，有益于開(kāi)辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。例1一塊正方體木塊，體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是多少厘米？〔適于六年級(jí)程度〕解：把1331分解質(zhì)因數(shù)：1331=11×11×11答：這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是11厘米。例2一個(gè)數(shù)的平方等于324，求這個(gè)數(shù)。〔適于六年級(jí)程度〕解：把324分解質(zhì)因數(shù)：324=2×2×3×3×3×3=〔2×3×3〕×〔2×3×3〕=18×18答：這個(gè)數(shù)是18。例3相鄰兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462，求這兩個(gè)數(shù)。〔適于六年級(jí)程度〕解：把462分解質(zhì)因數(shù)：462=2×3×7×11=〔3×7〕×〔2×11〕=21×22答：這兩個(gè)數(shù)是21和22。*例4ABC×D=1673，在這個(gè)乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個(gè)三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)锳BC×D=1673，ABC是一個(gè)三位數(shù)，所以可把1673分解質(zhì)因數(shù)，然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個(gè)三位數(shù)與另一個(gè)數(shù)相乘的形式，這個(gè)三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。1673=239×7答：ABC代表239。例5一塊正方形田地，面積是2304平方米，這塊田地的周長(zhǎng)是多少米？〔適于六年級(jí)程度〕解：先把2304分解質(zhì)因數(shù)，并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù)，每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊長(zhǎng)。2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3=〔2×2×2×2×3〕×〔2×2×2×2×3〕=48×48正方形的邊長(zhǎng)是48米。這塊田地的周長(zhǎng)是：48×4=192〔米〕答略。*例6有3250個(gè)桔子，平均分給一個(gè)幼兒園的小朋友，剩下10個(gè)。每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個(gè)。求這個(gè)幼兒園有多少名小朋友？〔適于六年級(jí)程度〕解：3250-10=3240〔個(gè)〕把3240分解質(zhì)因數(shù)：3240=23×34×5接近40的數(shù)有36、37、38、39這些數(shù)中36=22×32，所以只有36是3240的約數(shù)。23×34×5÷〔22×32〕=2×32×5=90答：這個(gè)幼兒園有90名小朋友。*例7105的約數(shù)共有幾個(gè)？〔適于六年級(jí)程度〕解：求一個(gè)給定的自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，可先將這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后按一個(gè)質(zhì)數(shù)、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積……逐一由小到大寫出，再求出它的個(gè)數(shù)即可。因?yàn)椋?05=3×5×7，所以，含有一個(gè)質(zhì)數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個(gè)；含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5、3×7、5×7共3個(gè)；含有三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5×7共1個(gè)。所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個(gè)。答略。*例8把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個(gè)數(shù)平均分成三組，使每組三個(gè)數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？〔適于六年級(jí)程度〕解：將這九個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)：15=3×522=2×1130=2×3×535=5×739=3×1344=2×2×1152=2×2×1377=7×1191=7×13觀察上面九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不難看出，九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)5，三個(gè)7，三個(gè)11，三個(gè)13，這樣每組中三個(gè)數(shù)應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個(gè)2，一個(gè)3，一個(gè)5，一個(gè)7，一個(gè)11和一個(gè)13。由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是：15、52和77；22、30和91；35、39和44。答略。*例9有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個(gè)學(xué)生的年齡分別是幾歲？〔適于六年級(jí)程度〕解：把5040分解質(zhì)因數(shù)：5040=2×2×2×2×3×3×5×7由于四個(gè)學(xué)生的年齡一個(gè)比一個(gè)大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)。用八個(gè)質(zhì)因數(shù)表示四個(gè)連續(xù)自然數(shù)是：7，2×2×2，3×3，2×5即四個(gè)學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。答略。*例10在等式35×〔

〕×81×27=7×18×〔

〕×162的兩個(gè)括號(hào)中，填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)?！策m于六年級(jí)程度〕解：將等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù)，得：5×37×7×〔

〕=22×36×7×〔

〕把上面的等式化簡(jiǎn)，得：15×〔

〕=4×〔

〕所以，在左邊的括號(hào)內(nèi)填4，在右邊的括號(hào)內(nèi)填15。15×〔4〕=4×〔15〕答略。*例11把84名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組〔每組最少2人〕，一共有幾種分法？〔適于六年級(jí)程度〕解：把84分解質(zhì)因數(shù)：84=2×2×3×7除了1和84外，84的約數(shù)有：2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進(jìn)行分組。84÷2=42〔組〕，84÷3=28〔組〕，84÷4=21〔組〕，84÷6=14〔組〕，84÷7=12〔組〕，84÷12=7〔組〕，84÷14=6〔組〕，84÷21=4〔組〕，84÷28=3〔組〕，84÷42=2〔組〕。因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。答略。*例12把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個(gè)數(shù)分成兩組，每組四個(gè)數(shù)，要使各組數(shù)中四個(gè)數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)?！策m于六年級(jí)程度〕解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個(gè)因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù)，它們所含有的質(zhì)因數(shù)一定相同。因此，首先應(yīng)把八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。14=2×7

143=11×1330=2×3×5

169=13×1333=3×11

4445=5×7×12775=3×5×5

4953=3×13×127在上面的質(zhì)因式中，質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有2個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有4個(gè)。在把題中的八個(gè)數(shù)分為兩組時(shí)，應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有1個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有2個(gè)。按這個(gè)要求每一組四個(gè)數(shù)的積應(yīng)是：2×7×11×127×3×3×5×5×13×13因?yàn)?，?×7〕×〔3×5×5〕×〔11×13〕×〔3×13×127〕=14×75×143×4953，根據(jù)接下來(lái)為“14、75、143、4953〞正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個(gè)數(shù)是：30、33、169、4445。答略。*例13一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是315平方厘米，長(zhǎng)比寬多6厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。〔適于五年級(jí)程度〕解：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x厘米，那么長(zhǎng)為〔x+6〕厘米。根據(jù)題意列方程，得：x〔x+6〕=315x〔x+6〕=3×3×5×7=〔3×5〕×〔3×7〕x〔x+6〕=15×21x〔x+6〕=15×〔15+6〕x=15x+6=21答：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是21厘米，寬是15厘米。*例14三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為210，求這三個(gè)自然數(shù)各是多少？〔適于五年級(jí)程度〕解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是x-1，x，x+1，根據(jù)題意列方程，得：〔x-1〕×x×〔x+1〕=210=21×10=3×7×2×5=5×6×7比擬方程兩邊的因數(shù)，得：x=6，x-1=5，x+1=7。答：這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。*例15將37分為甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，使甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的乘積為1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？〔適于六年級(jí)程度〕解：把1440分解質(zhì)因數(shù)：1440=12×12×10=2×2×3×2×2×3×2×5=〔2×2×2〕×〔3×3〕×〔2×2×5〕=8×9×20如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，那么：8×9=72，20×3+12=72正符合題中條件。答：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是8、9、20。*例16一個(gè)星期天的早晨，母親對(duì)孩子們說(shuō)：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和？〞兒子們齊聲答復(fù)說(shuō)：“是的，我們的年齡和您年齡的乘積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10。〞從這次談話中，你能否確定母親在多大時(shí)，才生下第二個(gè)兒子？〔適于六年級(jí)程度〕解：由題意可知，母親有三個(gè)兒子。母親的年齡與三個(gè)兒子年齡的乘積等于：33×1000+32×10=27090把27090分解質(zhì)因數(shù)：27090=43×7×5×32×2根據(jù)“大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和〞，重新組合上面的質(zhì)因式得：43×14×9×5這個(gè)質(zhì)因式中14就是9與5之和。所以母親43歲，大兒子14歲，二兒子9歲，小兒子5歲。43-9=34〔歲〕答：母親在34歲時(shí)生下第二個(gè)兒子。第三十二講最大公約數(shù)法通過(guò)計(jì)算出幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)來(lái)解題的方法，叫做最大公約數(shù)法。例1甲班有42名學(xué)生，乙班有48名學(xué)生，現(xiàn)在要把這兩個(gè)班的學(xué)生平均分成假設(shè)干個(gè)小組，并且使每個(gè)小組都是同一個(gè)班的學(xué)生。每個(gè)小組最多有多少名學(xué)生？〔適于六年級(jí)程度〕解：要使每個(gè)小組都是同一個(gè)班的學(xué)生，并且要使每個(gè)小組的人數(shù)盡可能多，就要求出42和48的最大公約數(shù)：2×3=642和48的最大公約數(shù)是6。答：每個(gè)小組最多能有6名學(xué)生。例2有一張長(zhǎng)150厘米、寬60厘米的長(zhǎng)方形紙板，要把它分割成假設(shè)干個(gè)面積最大，井已面積相等的正方形。能分割成多少個(gè)正方形？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)榉指畛傻恼叫蔚拿娣e最大，并且面積相等，所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是150和60的最大公約數(shù)。求出150和60的最大公約數(shù)：2×3×5=30150和60的最大公約數(shù)是30，即正方形的邊長(zhǎng)是30厘米。看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。這說(shuō)明，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)是30厘米時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)150厘米中含有5個(gè)30厘米，寬60厘米中含有2個(gè)30厘米。所以，這個(gè)長(zhǎng)方形能分割成正方形：5×2=10〔個(gè)〕答：能分割成10個(gè)正方形。例3有一個(gè)長(zhǎng)方體的方木，長(zhǎng)是3.25米，寬是1.75米，厚是0.75米。如果將這塊方木截成體積相等的小正方體木塊，并使每個(gè)小正方體木塊盡可能大。小木塊的棱長(zhǎng)是多少？可以截成多少塊這樣的小木塊？〔適于六年級(jí)程度〕解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此題實(shí)際是求325、175和75的最大公約數(shù)。5×5=25325、175和75的最大公約數(shù)是25，即小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米。因?yàn)?5、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米，所以，在75厘米中包含3個(gè)25厘米，在175厘米中包含7個(gè)25厘米，在325厘米中包含13個(gè)25厘米。可以截成棱長(zhǎng)是25厘米的小木塊：3×7×13=273〔塊〕答：小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米，可以截成這樣大的正方體273塊。例4有三根繩子，第一根長(zhǎng)45米，第二根長(zhǎng)60米，第三根長(zhǎng)75米?，F(xiàn)在要把三根長(zhǎng)繩截成長(zhǎng)度相等的小段。每段最長(zhǎng)是多少米？一共可以截成多少段？〔適于六年級(jí)程度〕解：此題實(shí)際是求三條繩子長(zhǎng)度的最大公約數(shù)。3×5=1545、60和75的最大公約數(shù)是15，即每一小段繩子最長(zhǎng)15米。因?yàn)槎坛街凶詈蟮纳淌?、4、5，所以在把繩子截成15米這么長(zhǎng)時(shí)，45米長(zhǎng)的繩子可以截成3段，60米長(zhǎng)的繩子可以截成4段，75米長(zhǎng)的繩子可以截成5段。所以有：3+4+5=12〔段〕答：每段最長(zhǎng)15米，一共可以截成12段。例5某校有男生234人，女生146人，把男、女生分別分成人數(shù)相等的假設(shè)干組后，男、女生各剩3人。要使組數(shù)最少，每組應(yīng)是多少人？能分成多少組？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)槟小⑴魇?人，所以進(jìn)入各組的男、女生的人數(shù)分別是：234-3=231〔人〕…男146-3=143〔人〕…女要使組數(shù)最少，每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是最多的，即每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是231人和143人的最大公約數(shù)。231、143的最大公約數(shù)是11，即每一組是11人。因?yàn)?31、143除以11時(shí)，商是21和13，所以男生可以分為21組，女生可以分為13組。21+13=34〔組〕答：每一組應(yīng)是11人，能分成34組。例6把330個(gè)紅玻璃球和360個(gè)綠玻璃球分別裝在小盒子里，要使每一個(gè)盒里玻璃球的個(gè)數(shù)相同且裝得最多。一共要裝多少個(gè)小盒？〔適于六年級(jí)程度〕解：求一共可以裝多少個(gè)盒子，要知道紅、綠各裝多少盒。要將紅、綠分別裝在盒子中，且每個(gè)盒子里球的個(gè)數(shù)相同，裝的最多，那么每盒球的個(gè)數(shù)必定是330和360的最大公約數(shù)。2×3×5=30330和360的最大公約數(shù)是30，即每盒裝30個(gè)球。330÷30=11〔盒〕……………紅球裝11盒360÷30=12〔盒〕……………綠球裝12盒11+12=23〔盒〕……………共裝23盒答略。例7一個(gè)數(shù)除40缺乏2，除68也缺乏2。這個(gè)數(shù)最大是多少？〔適于六年級(jí)程度〕解：“一個(gè)數(shù)除40缺乏2，除68也缺乏2〞的意思是：40被這個(gè)數(shù)除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被這個(gè)數(shù)整除；68被這個(gè)數(shù)除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被這個(gè)數(shù)整除?？磥?lái)，能被這個(gè)數(shù)整除的數(shù)是：40+2=42，68+2=70。這個(gè)數(shù)是42和70的公約數(shù)，而且是最大的公約數(shù)。2×7=14答：這個(gè)數(shù)最大是14。例8李明昨天賣了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐賣了1.04元，第二筐賣了1.95元，第三筐賣了2.34元。每1千克白菜的價(jià)錢都是按當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)規(guī)定的價(jià)格賣的。問(wèn)三筐白菜各是多少千克，李明一共賣了多少千克白菜？〔適于六年級(jí)程度〕解：三筐白菜的錢數(shù)分別是104分、195分、234分，每千克白菜的價(jià)錢一定是這三個(gè)數(shù)的公約數(shù)。把104、195、234分別分解質(zhì)因數(shù)：104=23×13195=3×5×13234=2×32×13104、195、234最大的公有的質(zhì)因數(shù)是13，所以104、195、234的最大公約數(shù)是13，即每千克白菜的價(jià)錢是0.13元。1.04÷0.13=8〔千克〕………第一筐1.95÷0.13=15〔千克〕………第二筐2.34÷0.13=18〔千克〕………第三筐8+15+18=41〔千克〕答：第一、二、三筐白菜的重量分別是8千克、15千克、18千克，李明一共賣了41千克白菜。例9一個(gè)兩位數(shù)除472，余數(shù)是17。這個(gè)兩位數(shù)是多少？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)檫@個(gè)“兩位數(shù)除472，余數(shù)是17〞，所以，472-17=455，455一定能被這個(gè)兩位數(shù)整除。455的約數(shù)有1、5、7、13、35、65、91和455，這些約數(shù)中35、65和91大于17，并且是兩位數(shù)，所以這個(gè)兩位數(shù)可以是35或65，也可以是91。答略。例10把圖32-1的鐵板用點(diǎn)焊的方式焊在一個(gè)大的鐵制部件上，要使每個(gè)角必須有一個(gè)焊點(diǎn)，并且各邊焊點(diǎn)間的距離相等。最少要焊多少個(gè)點(diǎn)？〔單位：厘米〕〔適于六年級(jí)程度〕解：要求焊點(diǎn)最少，焊點(diǎn)間距就要最大；要求每個(gè)角有一個(gè)焊點(diǎn)，焊點(diǎn)間距離相等，焊點(diǎn)間距離就應(yīng)是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公約數(shù)。2×3=6它們的最大公約數(shù)是6，即焊點(diǎn)間距離為6厘米。焊點(diǎn)數(shù)為：7+4+3+6=20〔個(gè)〕按這個(gè)算法每個(gè)角上的焊點(diǎn)是兩個(gè)，因?yàn)橐竺恳粋€(gè)角上要有一個(gè)焊點(diǎn)，所以，要從20個(gè)焊點(diǎn)中減4個(gè)焊點(diǎn)。20-4=16〔個(gè)〕答略。第三十三講最小公倍數(shù)法通過(guò)計(jì)算出幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，從而解答出問(wèn)題的解題方法叫做最小公倍數(shù)法。例1用長(zhǎng)36厘米，寬24厘米的長(zhǎng)方形瓷磚鋪一個(gè)正方形地面，最少需要多少塊瓷磚？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)榍筮@個(gè)正方形地面所需要的長(zhǎng)方形瓷磚最少，所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是36、24的最小公倍數(shù)。2×2×3×3×2=7236、24的最小公倍數(shù)是72，即正方形的邊長(zhǎng)是72厘米。72÷36=272÷24=32×3=6〔塊〕答：最少需要6塊瓷磚。*例2王光用長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體木塊拼最小的正方體模型。這個(gè)正方體模型的體積是多大？用多少塊上面那樣的長(zhǎng)方體木塊？〔適于六年級(jí)程度〕解：此題應(yīng)先求正方體模型的棱長(zhǎng)，這個(gè)棱長(zhǎng)就是6、4和3的最小公倍數(shù)。2×3×2=126、4和3的最小公倍數(shù)是12，即正方體模型的棱長(zhǎng)是12厘米。正方體模型的體積為：12×12×12=1728〔立方厘米〕長(zhǎng)方體木塊的塊數(shù)是：1728÷〔6×4×3〕=1728÷72=24〔塊〕答略。例3有一個(gè)缺乏50人的班級(jí)，每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人。這個(gè)班級(jí)有多少人？〔適于六年級(jí)程度〕解：這個(gè)班的學(xué)生每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人，這說(shuō)明這個(gè)班的人數(shù)比12與16的公倍數(shù)〔50以內(nèi)〕多1人。所以先求12與16的最小公倍數(shù)。2×2×3×4=4812與16的最小公倍數(shù)是48。48+1=49〔人〕49<50，正好符合題中全班缺乏50人的要求。答：這個(gè)班有49人。例4某公共汽車站有三條線路通往不同的地方。第一條線路每隔8分鐘發(fā)一次車；第二條線路每隔10分鐘發(fā)一次車；第三條線路每隔12分鐘發(fā)一次車。三條線路的汽車在同一時(shí)間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過(guò)多少分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車？〔適于六年級(jí)程度〕解：求三條線路的汽車在同一時(shí)間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過(guò)多少分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車，就是要求出三條線路汽車發(fā)車時(shí)間間隔的最小公倍數(shù)，即8、10、12的最小公倍數(shù)。2×2×2×5×3=120答：至少經(jīng)過(guò)120分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車。例5有一筐雞蛋，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)余3個(gè)，6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)余4個(gè)。這筐雞蛋最少有多少個(gè)？〔適于六年級(jí)程度〕解：從題中的條件可以看出.不管是4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，還是5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)、6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)，筐中的雞蛋數(shù)都是只差2個(gè)就正好是能被4、5、6整除的數(shù)。因?yàn)橐筮@筐雞蛋最少是多少個(gè)，所以求出4、5、6的最小公倍數(shù)后再減去2，就得到雞蛋的個(gè)數(shù)。2×2×5×3=604、5、6的最小公倍數(shù)是60。60-2=58〔個(gè)〕答：這筐雞蛋最少有58個(gè)。*例6文化路小學(xué)舉行了一次智力競(jìng)賽。參加競(jìng)賽的人中，平均每15人有3個(gè)人得一等獎(jiǎng)，每8人有2個(gè)人得二等獎(jiǎng)，每12人有4個(gè)人得三等獎(jiǎng)。參加這次競(jìng)賽的共有94人得獎(jiǎng)。求有多少人參加了這次競(jìng)賽？得一、二、三等獎(jiǎng)的各有多少人？〔適于六年級(jí)程度〕解：15、8和12的最小公倍數(shù)是120，參加這次競(jìng)賽的人數(shù)是120人。得一等獎(jiǎng)的人數(shù)是：3×〔120÷15〕=24〔人〕得二等獎(jiǎng)的人數(shù)是：2×〔120÷8〕=30〔人〕得三等獎(jiǎng)的人數(shù)是：4×〔120÷12〕=40〔人〕答略。*例7有一個(gè)電子鐘，每到整點(diǎn)響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈。中午12點(diǎn)整時(shí)，電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘？〔適于六年級(jí)程度〕解：每到整點(diǎn)響一次鈴，就是每到60分鐘響一次鈴。求間隔多長(zhǎng)時(shí)間后，電子鐘既響鈴又亮燈，就是求60與9的最小公倍數(shù)。60與9的最小公倍數(shù)是180。180÷60=3〔小時(shí)〕由于是中午12點(diǎn)時(shí)既響鈴又亮燈，所以下一次既響鈴又亮燈是下午3點(diǎn)鐘。答略。*例8一個(gè)植樹(shù)小組原方案在96米長(zhǎng)的一段土地上每隔4米栽一棵樹(shù)，并且已經(jīng)挖好坑。后來(lái)改為每隔6米栽一棵樹(shù)。求重新挖樹(shù)坑時(shí)可以少挖幾個(gè)？〔適于六年級(jí)程度〕解：這一段地全長(zhǎng)96米，從一端每隔4米挖一個(gè)坑，一共要挖樹(shù)坑：96÷4+1=25〔個(gè)〕后來(lái)，改為每隔6米栽一棵樹(shù)，原來(lái)挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍數(shù)是12，所以從第一個(gè)坑開(kāi)始，每隔12米的那個(gè)坑不必挖。96÷12+1=9〔個(gè)〕96米中有8個(gè)12米，有8個(gè)坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個(gè)坑，一共有9個(gè)坑不必重新挖。答略。例9一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要18天，乙隊(duì)單獨(dú)做需要24天。兩隊(duì)合作8天后，余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)還要做幾天？〔適于六年級(jí)程度〕解：由18、24的最小公倍數(shù)是72，可把全工程分為72等份。72÷18=4〔份〕…………是甲一天做的份數(shù)72÷24=3〔份〕…………是乙一天做的份數(shù)〔4+3〕×8=56份〕………兩隊(duì)8天合作的份數(shù)72-56=16〔份〕…………余下工程的份數(shù)16÷4=4〔天〕……………甲還要做的天數(shù)答略。*例10甲、乙兩個(gè)碼頭之間的水路長(zhǎng)234千米，某船從甲碼頭到乙碼頭需要9小時(shí)，從乙碼頭返回甲碼頭需要13小時(shí)。求此船在靜水中的速度？〔適于高年級(jí)程度〕解：9、13的最小公倍數(shù)是117，可以把兩碼頭之間的水路234千米分成117等份。每一份是：234÷117=2〔千米〕靜水中船的速度占總份數(shù)的：〔13+9〕÷2=11〔份〕船在靜水中每小時(shí)行：2×11=22〔千米〕答略。*例11王勇從山腳下登上山頂，再按原路返回。他上山的速度為每小時(shí)3千米，下山的速度為每小時(shí)5千米。他上、下山的平均速度是每小時(shí)多少千米？〔適于六年級(jí)程度〕解：設(shè)山腳到山頂?shù)木嚯x為3與5的最小公倍數(shù)。3×5=15〔千米〕上山用：15÷3=5〔小時(shí)〕下山用：15÷5=3〔小時(shí)〕總距離÷總時(shí)間=平均速度〔15×2〕÷〔5+3〕=3.75〔千米〕答：他上、下山的平均速度是每小時(shí)3.75千米。*例12某工廠生產(chǎn)一種零件，要經(jīng)過(guò)三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)做50個(gè)；第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)做30個(gè)；第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)做25個(gè)。在要求均衡生產(chǎn)的條件下，這三道工序至少各應(yīng)分配多少名工人？〔適于六年級(jí)程度〕解：50、30、25三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是150。第一道工序至少應(yīng)分配：150÷50=3〔人〕第二道工序至少應(yīng)分配：150÷30=5〔人〕第三道工序至少應(yīng)分配：150÷25=6〔人〕答略。第三十四講解平均數(shù)問(wèn)題的方法幾個(gè)不相等的數(shù)及它們的份數(shù)，求總平均值的問(wèn)題，叫做平均數(shù)問(wèn)題。解答平均數(shù)問(wèn)題時(shí)，要先求出總數(shù)量和總份數(shù)?？倲?shù)量是幾個(gè)數(shù)的和，總份數(shù)是這幾個(gè)數(shù)的份數(shù)的和。解答這類問(wèn)題的公式是；總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)例1氣象小組在一天的2點(diǎn)、8點(diǎn)、14點(diǎn)、20點(diǎn)測(cè)得某地的溫度分別是13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度。算出這一天的平均溫度?！策m于四年級(jí)程度〕解：此題可運(yùn)用求平均數(shù)的解題規(guī)律“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)〞進(jìn)行計(jì)算。這里的總數(shù)量是指測(cè)得的四個(gè)溫度的和，即13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度的和；這里的總份數(shù)是指測(cè)量氣溫的次數(shù)，一天測(cè)量四次氣溫，所以總份數(shù)為4?！?3+16+25+18〕÷4=72÷4=18〔攝氏度〕答：這一天的平均氣溫為18攝氏度。例2王師傅加工一批零件，前3天加工了148個(gè)，后4天加工了167個(gè)。王師傅平均每天加工多少個(gè)零件？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題的總數(shù)量是指前3天和后4天一共加工的零件數(shù)，總份數(shù)是指前、后加工零件的天數(shù)之和。用總數(shù)量除以總份數(shù)，便求出平均數(shù)。前、后共加工的零件數(shù)：148+167=315〔個(gè)〕前、后加工零件共用的天數(shù)：3+4=7〔天〕平均每天加工的零件數(shù)：315÷7=45〔個(gè)〕綜合算式：〔148+167〕÷〔3+4〕＝315÷7=45〔個(gè)〕答：平均每天加工45個(gè)零件。例3某工程隊(duì)鋪一段自來(lái)水管道。前3天每天鋪150米，后2天每天鋪200米，正好鋪完。這個(gè)工程隊(duì)平均每天鋪多少米？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題的總數(shù)量是指工程隊(duì)前3天、后2天一共鋪?zhàn)詠?lái)水管道的米數(shù)?？偡輸?shù)是指鋪?zhàn)詠?lái)水管道的總天數(shù)。用鋪?zhàn)詠?lái)水管道的總米數(shù)除以鋪?zhàn)詠?lái)水管道的總天數(shù)，就可以求出平均每天鋪的米數(shù)。前3天鋪的自來(lái)水管道米數(shù)：150×3=450〔米〕后2天鋪的自來(lái)水管道米數(shù)：200×2=400〔米〕一共鋪的自來(lái)水管道米數(shù)：450+400=850〔米〕一共鋪的天數(shù)：3+2=5〔天〕平均每天鋪的米數(shù)：850÷5=170〔米〕綜合算式：〔150×3+200×2〕÷〔3+2〕＝〔450+400〕÷5＝850÷5＝170〔米〕答略。例4有兩塊實(shí)驗(yàn)田，第一塊有地3.5畝，平均畝產(chǎn)小麥480千克；第二塊有地1.5畝，共產(chǎn)小麥750千克。這兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題的總數(shù)量是指兩塊地小麥的總產(chǎn)量，總份數(shù)是指兩塊地的總畝數(shù)，用兩塊地的總產(chǎn)量除以兩塊地的總畝數(shù)，可求出兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克。3.5畝共產(chǎn)小麥：480×3.5=1680〔千克〕兩塊地總產(chǎn)量：1680+750=2430〔千克〕兩塊地的總畝數(shù)：3.5+1.5=5〔畝〕兩塊地平均畝產(chǎn)小麥：2430÷5=486〔千克〕綜合算式：〔480×3.5+750〕÷〔3.5+1.5〕＝〔1680+750〕÷5＝2430÷5=486〔千克〕答略。例5東風(fēng)機(jī)器廠，五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬(wàn)元，比下半月的產(chǎn)值少70萬(wàn)元。這個(gè)廠五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題的總數(shù)量是指五月份的總產(chǎn)值。五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬(wàn)元，比下半月的產(chǎn)值少70萬(wàn)元，也就是下半月比上半月多70萬(wàn)元，所以下半月產(chǎn)值為125.2+70=195.2〔萬(wàn)元〕。把上半月的產(chǎn)值和下半月的產(chǎn)值相加，求出五月份的總產(chǎn)值。此題的總份數(shù)是指五月份的實(shí)際天數(shù)。五月份為大月，共有31天。用五月份的總產(chǎn)值除以五月份的實(shí)際天數(shù)，可求出五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元。下半月產(chǎn)值：125.2+70=195.2〔萬(wàn)元〕五月份的總產(chǎn)值：125.2+195.2=320.4〔萬(wàn)元〕五月份平均每天的產(chǎn)值：320.4÷31≈10.3〔萬(wàn)元〕綜合算式：〔125.2+125.2+70〕÷31=320.4÷31≈10.3〔萬(wàn)元〕答略。例6崇光軸承廠六月上旬平均每天生產(chǎn)軸承527只，中旬生產(chǎn)5580只，下旬生產(chǎn)5890只。這個(gè)月平均每天生產(chǎn)軸承多少只？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題的總數(shù)量是指六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)，總份數(shù)是指六月份生產(chǎn)軸承的總天數(shù)。用六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)除以六月份的總天數(shù)，可求出六月份平均每天生產(chǎn)軸承數(shù)。六月上旬生產(chǎn)軸承的只數(shù)：527×10=5270〔只〕六月中、下旬共生產(chǎn)軸承：5580+5890=11470(只〕六月份共生產(chǎn)軸承：5270+11470=16740〔只〕六月份平均每天生產(chǎn)軸承：16740÷30=558〔只〕綜合算式：〔527×10+5580+5890〕÷30=〔5270+5580+5890〕÷30=16740÷30=558〔只〕答略。例7糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖5千克，每千克3.6元的軟糖10千克，每千克2.4元的硬糖10千克。這樣配成的混合糖，每千克應(yīng)賣多少元？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題中的總數(shù)量是指三種糖的總錢數(shù)；總份數(shù)是指三種糖的總重量。總錢數(shù)除以總重量，可求出每千克混合糖應(yīng)賣多少錢。三種糖總的錢數(shù)：4.8×5+3.6×10+2.4×10=24+36+24=84〔元〕三種糖的總的重量：5+10+10=25〔千克〕每千克混合糖應(yīng)賣的價(jià)錢：84÷25=3.36〔元〕綜合算式：〔4.8×5+3.6×10+2.4×10〕÷(5+10+10〕＝84÷25＝3.36〔元〕答略。例8一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，在平地上行駛了2.5小時(shí)，每小時(shí)行駛42千米；在上坡路行駛了1.5小時(shí)，每小時(shí)行駛30千米；在下坡路行駛了2小時(shí)，每小時(shí)行駛45千米，就正好到達(dá)乙地。求這輛汽車從甲地到乙地的平均速度?！策m于四年級(jí)程度〕解：此題中的總數(shù)量是由甲地到乙地的總路程：42×2.5+30×1.5+45×2=105+45+90=240〔千米〕此題中的總份數(shù)是由甲地到乙地所用的時(shí)間：2.5+1.5+2=6〔小時(shí)〕這輛汽車從甲地到乙地的平均速度是：240÷6=40〔千米/小時(shí)〕綜合算式：〔42×2.5+30×1.5+45×2〕÷〔2.5+1.5+2〕＝240÷6＝40〔千米/小時(shí)〕答略。*例9學(xué)校發(fā)動(dòng)學(xué)生積肥支援農(nóng)業(yè)，三年級(jí)85人積肥3640千克，四年級(jí)92人比三年級(jí)多積肥475千克，五年級(jí)的人數(shù)比四年級(jí)多3人，積肥數(shù)比三年級(jí)多845千克。三個(gè)年級(jí)的學(xué)生平均每人積肥多少千克？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題中的總數(shù)量是三個(gè)年級(jí)積肥的總重量。三年級(jí)積肥3640千克。四年級(jí)積肥：3640+475=4115〔千克〕五年級(jí)積肥：3640+845=4485〔千克〕三個(gè)年級(jí)共積肥：3640+4115+4485=12240〔千克〕此題中的總份數(shù)就是三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)。三年級(jí)學(xué)生人數(shù)是85人，四年級(jí)學(xué)生人數(shù)是92人，五年級(jí)學(xué)生人數(shù)是：92+3=95〔人〕三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)是：85+92+95=272〔人〕三個(gè)年級(jí)的學(xué)生平均每人積肥：12240÷272=45〔千克〕綜合算式：〔3640×3+475+845〕÷〔85+92×2+3〕=12240÷272=45〔千克〕答略。例10山上某鎮(zhèn)離山下縣城有60千米的路程。一人騎自行車從該鎮(zhèn)出發(fā)去縣城，每小時(shí)行20千米。從縣城返回該鎮(zhèn)時(shí)，由于是上坡路，每小時(shí)只行了15千米。問(wèn)此人往返一次平均每小時(shí)行了多少千米？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題中的總數(shù)量是從某鎮(zhèn)到縣城往返一次的總路程：60×2=120〔千米〕總份數(shù)是往返一次用的時(shí)間：60÷20+6O÷15=3+4=7〔小時(shí)〕此人往返一次平均每小時(shí)行的路程是：120÷7≈17.14〔千米〕綜合算式：60×2÷〔60÷20+60÷15〕＝120÷(3+4〕＝120÷7≈17.14〔千米〕答略。*例11有兩塊棉田，平均畝產(chǎn)皮棉91.5千克。一塊田是3畝，平均畝產(chǎn)皮棉104千克。另一塊田是5畝，求這塊田平均畝產(chǎn)皮棉多少千克？〔適于四年級(jí)程度〕解：兩塊棉田皮棉的總產(chǎn)量是：91.5×〔3+5〕=732〔千克〕3畝的那塊棉田皮棉的產(chǎn)量是：104×3=312〔千克〕另一塊棉田皮棉的平均畝產(chǎn)量是：〔732-312〕÷5＝420÷5＝84〔千克〕綜合算式：[91.5×〔3+5〕-104×3］÷5＝[732-312]÷5＝420÷5＝84〔千克〕答略。*例12王伯伯釣魚，前4天共釣了36條，后6天平均每天比前4天多釣了5條。問(wèn)王伯伯平均每天釣魚多少條？〔適于四年級(jí)程度〕解〔1〕：題中前4天共釣36條，后6天共釣魚：〔36÷4+5〕×6=14×6=84〔條〕一共釣魚的天數(shù)是：4+6=10〔天〕10天共釣魚：36+84=120〔條〕平均每天釣魚：120÷10=12〔條〕綜合算式：[36+〔36÷4+5〕×6]÷〔4+6〕=[36+84]÷10=120÷10=12〔條〕答略。解〔2〕：這道題除用一般方法解之外，還可將后6天多釣的魚按10天平均后，再加上原來(lái)4天的平均釣魚數(shù)?！?×6〕÷〔4+6〕+36÷4=3+9=12〔條〕答：王伯伯平均每天釣魚12條。例13一個(gè)小朋友爬山，上山速度為每小時(shí)2千米，到達(dá)山頂后立即按原路下山，下山速度為每小時(shí)6千米。這個(gè)小朋友上、下山的平均速度是多少？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題的總數(shù)量是上山、下山的總路程，題中沒(méi)有說(shuō)總路程是多少。假設(shè)上山的路程是1千米，那么下山的路程也是1千米，上山、下山的總路程是2千米。此題的總份數(shù)是上山、下山總共用的時(shí)間。上山、下山總共用的時(shí)間是：所以，上山、下山的平均速度是：答略。例14某廠一、二月份的平均產(chǎn)值是1.2萬(wàn)元，三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬(wàn)元。這個(gè)工廠三月份的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元？〔適于四年級(jí)程度〕解：此題數(shù)量關(guān)系比擬隱蔽，用“總數(shù)量÷總份數(shù)〞的方法做不出來(lái)。作圖〔34-1〕。從圖34-1可以看出，一、二月份的平均產(chǎn)值都是1.2萬(wàn)元。題中說(shuō)“三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬(wàn)元〞，那么三月份的產(chǎn)值一定比一、二月份的平均產(chǎn)值要高，所以圖34-1中表示三月份產(chǎn)值的線段比表示一、二月份平均產(chǎn)值的線段長(zhǎng)。第一季度的平均產(chǎn)值是多少萬(wàn)元呢？我們用“移多補(bǔ)少〞的方法，把圖34-1中三月份的0.4萬(wàn)元平均分成2份，分別加到一、二月份的產(chǎn)值上，這樣就得到第一季度的平均產(chǎn)值了。1.2+0.4÷2=1.4〔萬(wàn)元〕因?yàn)槿路莸漠a(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬(wàn)元，所以三月份的產(chǎn)值是：1.4+0.4=1.8〔萬(wàn)元〕綜合算式：1.2+0.4÷2+0.4=1.4+0.4=1.8〔萬(wàn)元〕答略。*例15蘋果2千克賣2元錢，梨3千克賣2元錢。把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻到一起，按2元錢2.5千克來(lái)賣，是掙錢，還是賠錢？按照前面的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)計(jì)算差了多少元？〔適于四年級(jí)程度〕解：蘋果的單價(jià)是每1千克1元錢，梨的單價(jià)是每1千克2/3元，混合后每1千克混合水果的價(jià)錢應(yīng)當(dāng)是：因?yàn)槭前衙恳豢?5千克的梨、蘋果各一筐摻合到一起，所以混合的水果一共是30千克，這30千克水果要少賣錢：答：混合后是賠錢，照標(biāo)準(zhǔn)價(jià)差了1元錢。*例16三塊小麥實(shí)驗(yàn)田的平均畝產(chǎn)量是267.5千克。第一塊地是3畝，平均畝產(chǎn)量是275千克；第二塊是5畝，平均畝產(chǎn)量是285千克；而第三塊地的平均畝產(chǎn)量只有240千克。第三塊地是多少畝？〔適于四年級(jí)程度〕解：第三塊地的畝產(chǎn)量比總平均畝產(chǎn)量低：267.5-240=27.5〔千克〕每畝低27.5千克，需要第一、二兩塊地可拿出多少千克來(lái)填補(bǔ)呢？〔275-267.5〕×3+〔285-267.5〕×5=7.5×3+17.5×5=22.5+87.5=110〔千克〕110千克中含有多少個(gè)27.5千克，第三塊地就是多少畝。110÷27.5=4〔畝〕綜合算式：[〔275-267.5〕×3+〔285-267.5〕×5]÷〔267.5-240〕=[22.5+87.5]÷27.5=110÷27.5=4〔畝〕答：第三塊地是4畝。第三十五講解行程問(wèn)題的方法速度、時(shí)間、距離三個(gè)數(shù)量中的任何兩個(gè)，求第三個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問(wèn)題。解答行程問(wèn)題的關(guān)鍵是，首先要確定運(yùn)動(dòng)的方向，然后根據(jù)速度、時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。行程問(wèn)題的根本數(shù)量關(guān)系是：速度×?xí)r間=路程路程÷速度=時(shí)間路程÷時(shí)間=速度行程問(wèn)題常見(jiàn)的類型是：相遇問(wèn)題，追及問(wèn)題〔即同向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題〕，相離問(wèn)題〔即相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題〕?！惨弧诚嘤鰡?wèn)題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的開(kāi)展，必然面對(duì)面地相遇，這類問(wèn)題叫做相遇問(wèn)題。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問(wèn)題，一般是指相遇問(wèn)題。相遇問(wèn)題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度。它們的根本關(guān)系式如下：總路程=〔甲速+乙速〕×相遇時(shí)間相遇時(shí)間=總路程÷〔甲速+乙速〕另一個(gè)速度=甲乙速度和-的一個(gè)速度1.求路程〔1〕求兩地間的距離例1兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，一輛汽車每小時(shí)行56千米，另一輛汽車每小時(shí)行63千米，經(jīng)過(guò)4小時(shí)后相遇。甲乙兩地相距多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：兩輛汽車從同時(shí)相對(duì)開(kāi)出到相遇各行4小時(shí)。一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。56×4=224〔千米〕63×4=252〔千米〕224+252=476〔千米〕綜合算式：56×4+63×4=224+252=476〔千米〕答略。例2兩列火車同時(shí)從相距480千米的兩個(gè)城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行駛40千米，乙車每小時(shí)行駛42千米。5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時(shí)共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時(shí)共行的路程，所得就是兩車的距離。480-〔40+42〕×5=480-82×5=480-410=70〔千米〕答：5小時(shí)后兩列火車相距70千米。例3甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)行5千米，乙每小時(shí)行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)B、A兩地后又立即按原速度返回。從開(kāi)始走到第二次相遇，共用了6小時(shí)。A、B兩地相距多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：從開(kāi)始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個(gè)AB之長(zhǎng)；而到第二次相遇，兩人走的路程總共就是3個(gè)AB之長(zhǎng)〔圖35-1〕，這三個(gè)AB之長(zhǎng)是：〔5+4〕×6=54〔千米〕所以，A、B兩地相距的路程是：54÷3=18〔千米〕答略。例4兩列火車從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)對(duì)面開(kāi)來(lái)，第一列火車每小時(shí)行駛60千米，第二列火車每小時(shí)行駛55千米。兩車相遇時(shí)，第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離?！策m于五年級(jí)程度〕解：兩車相遇時(shí)，兩車的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時(shí)比第二列火車多行〔60-55〕千米。由此可求出兩車相遇的時(shí)間，進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離?！?0+55〕×[20÷〔60-55〕]=115×[20÷5]=460〔千米〕答略。*例5甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走5千米，兩個(gè)人在距離中點(diǎn)1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。〔適于五年級(jí)程度〕解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時(shí)，甲比乙多走了1.5×2千米〔圖35-2〕，甲比乙每小時(shí)多行〔6-5〕千米。由路程差與速度差，可求出相遇時(shí)間，進(jìn)而求出A、B兩地之間的距離?！?+5〕×[1.5×2÷〔6-5〕]=11×[1.5×2÷1]=11×3=33〔千米〕答略。由兩車“在離中點(diǎn)2千米處相遇〞可知，甲車比乙車少行：2×2=4〔千米〕所以，乙車行的路程是：甲車行的路程是：A、B兩站間的距離是：24+20=44〔千米〕答略。同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米？〔適于六年級(jí)程度〕快車從乙城開(kāi)出，普通客車與快車相對(duì)而行。普通客車每小時(shí)行60千米，快車每小時(shí)行80千米，可以求出兩車速度之和。又兩車相遇時(shí)間，可以按“速度之和×相遇時(shí)間〞，求出兩車相對(duì)而行的總行程。普通客車已行駛普通客車與快車速度之和是：60+80=140〔千米/小時(shí)〕兩車相對(duì)而行的總路程是：140×4=560〔千米〕兩車所行的總路程占全程的比率是：甲、乙兩城之間相距為：綜合算式：答略。2〕求各行多少例1兩地相距37.5千米，甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走3.5千米，乙每小時(shí)走4千米。相遇時(shí)甲、乙二人各走了多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：到甲、乙二人相遇時(shí)所用的時(shí)間是：37.5÷〔3.5+4〕=5〔小時(shí)〕甲行的路程是：3.5×5=17.5〔千米〕乙行的路程是：4×5=20〔千米〕答略。例2甲、乙二人從相距40千米的兩地同時(shí)相對(duì)走來(lái)，甲每小時(shí)走4千米，乙每小時(shí)走6千米。相遇后他們又都走了1小時(shí)。兩人各走了多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：到甲、乙二人相遇所用的時(shí)間是：40÷〔4+6〕=4〔小時(shí)〕由于他們又都走了1小時(shí)，因此兩人都走了：4+1=5〔小時(shí)〕甲走的路程是：4×5=20〔千米〕乙走的路程是：6×5=30〔千米〕答略。例3兩列火車分別從甲、乙兩個(gè)火車站相對(duì)開(kāi)出，第一列火車每小時(shí)行48.65千米，第二列火車每小時(shí)行47.35千米。在相遇時(shí)第一列火車比第二列火車多行了5.2千米。到相遇時(shí)兩列火車各行了多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：兩車同時(shí)開(kāi)出，行的路程有一個(gè)差，這個(gè)差是由于速度不同而形成的?？梢愿鶕?jù)“相遇時(shí)間=路程差÷速度差〞的關(guān)系求出相遇時(shí)間，然后再分別求出所行的路程。從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是：5.2÷〔48.65-47.35〕=5.2÷1.3=4〔小時(shí)〕第一列火車行駛的路程是：48.65×4=194.6〔千米〕第二列火車行駛的路程是：47.35×4=189.4〔千米〕答略。*例4東、西兩車站相距564千米，兩列火車同時(shí)從兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)6小時(shí)相遇。第一列火車比第二列火車每小時(shí)快2千米。相遇時(shí)這兩列火車各行了多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：兩列火車的速度和是：564÷6=94〔千米/小時(shí)〕第一列火車每小時(shí)行：〔94+2〕÷2=48〔千米〕第二列火車每小時(shí)行：48-2=46〔千米〕相遇時(shí)，第一列火車行：48×6=288〔千米〕第二列火車行：46×6=276〔千米〕答略。2.求相遇時(shí)間例1兩個(gè)城市之間的路程是500千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開(kāi)出，客車的平均速度是每小時(shí)55千米，貨車的平均速度是每小時(shí)45千米。兩車開(kāi)了幾小時(shí)以后相遇？〔適于五年級(jí)程度〕解：兩個(gè)城市之間的路程是500千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時(shí)間。500÷〔55+45〕=500÷100=5〔小時(shí)〕答略。例2兩地之間的路程是420千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市答略。例3在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來(lái)相距62.75千米。據(jù)偵察員報(bào)告，敵人已向我處前進(jìn)了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時(shí)前進(jìn)6.5千米，敵人每小時(shí)前進(jìn)5千米。我軍出發(fā)幾小時(shí)后與敵人相遇？〔適于五年級(jí)程度〕解：此題已給出總距離是62.75千米，由“敵人已向我處前進(jìn)了11千米〞可知實(shí)際的總距離減少到〔62.75-11〕千米?！?2.75-11〕÷〔6.5+5〕=51.75÷11.5=4.5〔小時(shí)〕答：我軍出發(fā)4.5小時(shí)后與敵人相遇。例4甲、乙兩地相距200千米，一列貨車由甲地開(kāi)往乙地要行駛5小時(shí)；一列客車由乙地開(kāi)往甲地需要行駛4小時(shí)。如果兩列火車同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)可以相遇？〔得數(shù)保存一位小數(shù)〕〔適于五年級(jí)程度〕解：此題用與平常說(shuō)法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度〞的關(guān)系，即可求出相遇時(shí)間。200÷〔200÷5+200÷4〕=200÷〔40+50〕=200÷90≈2.2〔小時(shí)〕答：兩車大約經(jīng)過(guò)2.2小時(shí)相遇。例5在復(fù)線鐵路上，快車和慢車分別從兩個(gè)車站開(kāi)出，相向而行?？燔囓嚿黹L(zhǎng)是180米，速度為每秒鐘9米；慢車車身長(zhǎng)210米，車速為每秒鐘6米。從兩車頭相遇到兩車的尾部離開(kāi)，需要幾秒鐘？〔適于五年級(jí)程度〕解：因?yàn)槭且詢绍囯x開(kāi)為準(zhǔn)計(jì)算時(shí)間，所以兩車經(jīng)過(guò)的路程是兩個(gè)車身的總長(zhǎng)。總長(zhǎng)除以兩車的速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開(kāi)所需要的時(shí)間?！?80+210〕÷〔9+6〕=390÷15=26〔秒〕答略。3.求速度例1甲、乙兩個(gè)車站相距550千米，兩列火車同時(shí)由兩站相向開(kāi)出，5小時(shí)相遇?？燔嚸啃r(shí)行60千米。慢車每小時(shí)行多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：先求出速度和，再?gòu)乃俣群椭袦p去快車的速度，便得出慢車每小時(shí)行：550÷5-60=110-60=50〔千米〕答略。例2A、B兩個(gè)城市相距380千米?？蛙嚭拓涇噺膬蓚€(gè)城市同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)4小時(shí)相遇。貨車比客車每小時(shí)快5千米。這兩列車每小時(shí)各行多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：客車每小時(shí)行：〔380÷4-5〕÷2=〔95-5〕÷2=45〔千米〕貨車每小時(shí)行：45+5=50〔千米〕答略。例3甲、乙兩個(gè)城市相距980千米，兩列火車由兩城市同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)10小時(shí)相遇?？燔嚸啃r(shí)行50千米，比慢車每小時(shí)多行多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：兩城市的距離除以兩車相遇的時(shí)間，得到兩車的速度和。從兩車的速度和中減去快車的速度，得到慢車的速度。再用快車速度減去慢車的速度，即得到題中所求。50-〔980÷10-50〕=50-〔98-50〕=50-48=2〔千米〕答略。例4甲、乙兩地相距486千米，快車與慢車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)6小時(shí)相遇?？燔嚺c慢車的速度比是5∶4。求快車和慢車每小時(shí)各行多少千米？〔適于六年級(jí)程度〕兩車的速度和是：486÷6=81〔千米/小時(shí)〕快車每小時(shí)行：慢車每小時(shí)行：答略。例5兩輛汽車同時(shí)從相距465千米的兩地相對(duì)開(kāi)出，4.5小時(shí)后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時(shí)行37千米。另一輛汽車每小時(shí)行多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：如果兩地間的距離減少120千米，4.5小時(shí)兩車正好相遇。也就是兩車4.5小時(shí)行465-120=345千米，345千米除以4.5小時(shí)，可以求出兩車速度之和。從速度之和減去一輛車的速度，得到另一輛車的速度。答略。例6甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時(shí)走5千米，先出發(fā)0.8小時(shí)。乙騎自行車，騎2小時(shí)后，兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時(shí)行多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：兩人相遇時(shí)，甲共走：0.8+2=2.8〔小時(shí)〕甲走的路程是：5×2.8=14〔千米〕乙在2小時(shí)內(nèi)行的路程是：40-14=26〔千米〕所以，乙每小時(shí)行：26÷2=13〔千米〕綜合算式：[40-5×〔0.8+2〕]÷2=[40-5×2.8]÷2=[40-14]÷2=26÷2=13〔千米〕答略。例7甲、乙二人從相距50千米的兩地相對(duì)而行。甲先出發(fā)，每小時(shí)步行5千米。1小時(shí)后乙騎自行車出發(fā)，騎了2小時(shí)，兩人相距11千米。乙每小時(shí)行駛多少千米？〔適于五年級(jí)程度〕解：從相距的50千米中，去掉甲在1小時(shí)內(nèi)先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：50-5-11=34〔千米〕這時(shí)，原題就改變成“兩地相隔34千米，甲、乙二人分別從兩地同時(shí)相對(duì)而行。甲步行，乙騎自行車，甲每小時(shí)走5千米。經(jīng)過(guò)2小時(shí)兩人相遇。乙每小時(shí)行多少千米？〞由此可知，二人的速度和是：34÷2=17〔千米/小時(shí)〕乙每小時(shí)行駛的路程是：17-5=12〔千米〕綜合算式：〔50-5-11〕÷2-5=34÷2-5=17-5=12〔千米〕答略。〔二〕追及問(wèn)題追及問(wèn)題的地點(diǎn)可以相同〔如環(huán)形跑道上的追及問(wèn)題〕，也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問(wèn)題。根據(jù)速度差、距離差和追及時(shí)間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：距離差=速度差×追及時(shí)間追及時(shí)間=距離差÷速度差速度差=距離差÷追及時(shí)間速度差=快速-慢速解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、互相對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追及時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來(lái)到達(dá)解題目的。*例1甲、乙二人在同一條路上前后相距9千米。他們同時(shí)向同一個(gè)方向前進(jìn)。甲在前，以每小時(shí)5千米的速度步行；乙在后，以每小時(shí)10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時(shí)后乙能追上甲？〔適于高年級(jí)程度〕解：求乙?guī)仔r(shí)追上甲，先求乙每小時(shí)能追上甲的路程，是：10-5=5〔千米〕再看，相差的路程9千米中含有多少個(gè)5千米，即得到乙?guī)仔r(shí)追上甲。9÷5=1.8〔小時(shí)〕綜合算式：9÷〔10-5〕=9÷5=1.8〔小時(shí)〕答略。*例2甲、乙二人在相距6千米的兩地，同時(shí)同向出發(fā)。乙在前，每小時(shí)行5千米；甲在后，每小時(shí)的速度是乙的1.2倍。甲幾小時(shí)才能追上乙？〔適于高年級(jí)程度〕解：甲每小時(shí)行：5×1.2=6〔千米〕甲每小時(shí)能追上乙：6-5=1〔千米〕相差的路程6千米中，含有多少個(gè)1千米，甲就用幾小時(shí)追上乙。6÷1=6〔小時(shí)〕答：甲6小時(shí)才能追上乙。*例3甲、乙二人圍繞一條長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道練習(xí)長(zhǎng)跑。甲每分鐘跑350米，乙每分鐘跑250米。二人從起跑線出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲能追上乙？〔適于高年級(jí)程度〕解：此題的運(yùn)動(dòng)路線是環(huán)形的。求追上的時(shí)間是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平時(shí)所說(shuō)的“落一圈〞，這一圈相當(dāng)于在直線上的400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的時(shí)間是：400÷〔350-250〕=400÷100=4〔分鐘〕答略。*例4在解放戰(zhàn)爭(zhēng)的一次戰(zhàn)役中，我軍偵察到敵軍在我軍南面6千米的某地，正以每小時(shí)5.5千米的速度向南逃竄，我軍立即以每小時(shí)8.5千米的速度追擊敵人。在追上敵人后，只用半小時(shí)就全殲敵軍。從開(kāi)始追擊到全殲敵軍，共用了多長(zhǎng)時(shí)間？〔適于高年級(jí)程度〕解：敵我兩軍行進(jìn)的速度差是：8.5-5.5=3〔千米/小時(shí)〕我軍追上敵軍用的時(shí)間是：6÷3=2〔小時(shí)〕從開(kāi)始追擊到全殲敵軍，共用的時(shí)間是：2+0.5=2.5〔小時(shí)〕綜合算式：60÷〔8.5-5.5〕+0.5=6÷3+0.5=2.5〔小時(shí)〕答略。*例5一排解放軍從駐地出發(fā)去執(zhí)行任務(wù)，每小時(shí)行5千米。離開(kāi)駐地3千米時(shí)，排長(zhǎng)命令通訊員騎自行車回駐地取地圖。通訊員以每小時(shí)10千米的速度回到駐地，取了地圖立即返回。通訊員從駐地出發(fā)，幾小時(shí)可以追上隊(duì)伍？〔適于高年級(jí)程度〕解：通訊員離開(kāi)隊(duì)伍時(shí)，隊(duì)伍已離開(kāi)駐地3千米。通訊員的速度等于隊(duì)伍的2倍〔10÷5=2〕，通訊員返回到駐地時(shí)，隊(duì)伍又前進(jìn)了〔3÷2〕千米。這樣，通訊員需追及的距離是〔3+3÷2〕千米，而速度差是〔10-5〕千米/小時(shí)。根據(jù)“距離差÷速度差=時(shí)間〞可以求出追及的時(shí)間。〔3+3÷2〕÷〔10-5〕=4.5÷5=0.9〔小時(shí)〕答略。〔三〕相離問(wèn)題相離問(wèn)題就是兩個(gè)人或物體向相反方向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用題，也叫做相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。解相離問(wèn)題一般遵循“兩個(gè)人或物體出發(fā)地之間的距離+速度和×?xí)r間=兩個(gè)人或物體之間的距離〞。例1哥哥由家向東到工廠去上班，每分鐘走85米，弟弟同時(shí)由家往西到學(xué)校去上學(xué)，每分鐘走75米。幾分鐘后二人相距960米？〔適于四年級(jí)程度〕解：二人同時(shí)、同地相背而行，只要求出速度和，由“時(shí)間=距離÷速度和〞即可求出所行時(shí)間。因此，得：960÷〔85+75〕=960÷160=6〔分鐘〕答略。例2甲、乙二人從同一城鎮(zhèn)某車站同時(shí)出發(fā)，相背而行。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行7千米。8小時(shí)后，甲、乙二人相距多少千米？〔適于四年級(jí)程度〕解：先求出二人速度之和，再乘以時(shí)間就得到二人之間的距離。〔6+7〕×8=13×8=104〔千米〕答略。*例3東、西兩鎮(zhèn)相距69千米。張、王二人同時(shí)自兩鎮(zhèn)之間的某地相背而行，6小時(shí)后二人分別到達(dá)東、西兩鎮(zhèn)。張每小時(shí)比王多行1.5千米。二人每小時(shí)各行多少千米？出發(fā)地距東鎮(zhèn)有多少千米？〔適于高年級(jí)程度〕解：由二人6小時(shí)共行69千米，可求出他們的速度和是〔69÷6〕千米/小時(shí)。張每小時(shí)比王多行1.5千米，這是他們的速度差。從而可以分別求出二人的速度。張每小時(shí)行：〔69÷6+1.5〕÷2=〔11.5+1.5〕÷2=13÷2=6.5〔千米〕王每小時(shí)行：6.5-1.5=5〔千米〕出發(fā)地距東鎮(zhèn)的距離是：6.5×6=39〔千米〕答：張每小時(shí)行6.5千米，王每小時(shí)行5千米；出發(fā)地到東鎮(zhèn)的距離是39千米。第三十六講解工程問(wèn)題的方法工程問(wèn)題是研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間關(guān)系的問(wèn)題。這三者之間的關(guān)系是：工作效率×工作時(shí)間=工作量工作量÷工作時(shí)間=工作效率工作量÷工作效率=工作時(shí)間根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的情況不同，工程問(wèn)題可分為整數(shù)工程問(wèn)題和分?jǐn)?shù)工程問(wèn)題兩類。在整數(shù)工程問(wèn)題中，工作量是的具體數(shù)量。解答這類問(wèn)題時(shí)，只要按照上面介紹的數(shù)量關(guān)系計(jì)算就可解題，計(jì)算過(guò)程中一般不涉及分率。在分?jǐn)?shù)工程問(wèn)題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時(shí)，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關(guān)系計(jì)算，但在計(jì)算過(guò)程中要涉及到分率。〔一〕工作總量是具體數(shù)量的工程問(wèn)題例1建筑工地需要1200噸水泥，用甲車隊(duì)運(yùn)需要15天，用乙車隊(duì)運(yùn)需要10天。兩隊(duì)合運(yùn)需要多少天？〔適于四年級(jí)程度〕解：這是一道整數(shù)工程問(wèn)題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊(duì)完成總工作量的具體時(shí)間。先根據(jù)“工作量÷工作時(shí)間=工作效率〞，分別求出甲、乙兩隊(duì)的工作效率。再根據(jù)兩隊(duì)工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作時(shí)間〞，求出兩隊(duì)合運(yùn)需用多少天。甲車隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：〔甲車隊(duì)工作效率〕1200÷15=80〔噸〕乙車隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：〔乙車隊(duì)工作效率〕1200÷10=120〔噸〕兩個(gè)車隊(duì)一天共運(yùn)的噸數(shù)：80+120=200〔噸〕兩個(gè)車隊(duì)合運(yùn)需用的天數(shù)：1200÷200=6〔天〕綜合算式：1200÷〔1200÷15+1200÷10〕=1200÷〔80+120〕=1200÷200=6〔天〕答略。*例2生產(chǎn)350個(gè)零件，李師傅14小時(shí)可以完成。如果李師傅和他的徒弟小王合作，那么10小時(shí)可以完成。如果小王單獨(dú)做這批零件，需多少小時(shí)？〔適于四年級(jí)程度〕解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時(shí)間也是具體的。李師傅1小時(shí)可完成：350÷14=25〔個(gè)〕由“如果李師傅和他的徒弟小王合作，那么10小時(shí)可以完成〞可知，李師傅和徒弟小王每小時(shí)完成：350÷10=35〔個(gè)〕小王單獨(dú)工作一小時(shí)可完成：35-25=10〔個(gè)〕小王單獨(dú)做這批零件需要：350÷10=35〔小時(shí)〕綜合算式：350÷〔350÷10-350÷14〕=350÷〔35-25=350÷10=35〔小時(shí)〕答略。*例3把生產(chǎn)2191打毛巾的任務(wù)，分配給甲、乙兩組。甲組每小時(shí)生產(chǎn)毛巾128打，乙組每小時(shí)生產(chǎn)毛巾160打。乙組生產(chǎn)2小時(shí)后，甲組也開(kāi)始生產(chǎn)。兩組同時(shí)完工時(shí)超產(chǎn)1打。乙組生產(chǎn)了多長(zhǎng)時(shí)間？〔適于四年級(jí)程度〕解：兩組共同生產(chǎn)的總?cè)蝿?wù)是：2191-160×2+1=1872〔打〕兩組共同生產(chǎn)的時(shí)間是：1872÷〔160+128〕=6.5〔小時(shí)〕乙組生產(chǎn)的時(shí)間是：6.5+2=8.5〔小時(shí)〕綜合算式：〔2191-160×2+1〕÷〔160+128〕+2=1872÷288+2=6.5+2=8.5〔小時(shí)〕答略。一同生產(chǎn)用了多少小時(shí)？〔適于六年級(jí)程度〕解：兩臺(tái)機(jī)器一同生產(chǎn)的個(gè)數(shù)是：108-45=63〔個(gè)〕第一臺(tái)機(jī)器每小時(shí)生產(chǎn)：第二臺(tái)機(jī)器每小時(shí)生產(chǎn)：兩臺(tái)機(jī)器一同生產(chǎn)用的時(shí)間是：63÷〔4+5〕=7〔小時(shí)〕綜合算式：答略。〔二〕工作總量不是具體數(shù)量的工程問(wèn)題例1一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做24天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做16天完成。甲、乙兩隊(duì)合做，多少天可以完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：把這項(xiàng)工程的工作總量看作1。甲隊(duì)單獨(dú)做24天完成，做1天完成答略。例2一項(xiàng)工程，由甲工程隊(duì)修建需要20天，由乙工程隊(duì)修建需要30解：把這項(xiàng)工程的工作總量看作1，由甲工程隊(duì)修建需要20天，知甲工答略。例3一項(xiàng)工程，甲、乙合做5天可以完成，甲單獨(dú)做15天可以完成。乙單獨(dú)做多少天可以完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：把這項(xiàng)工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合需要多長(zhǎng)的時(shí)間。=7.5〔天〕答：乙單獨(dú)做7.5天可以完成。例4有一個(gè)水箱，用甲水管注水10分鐘可以注滿，用乙水管注水8分鐘可以注滿。甲、乙兩管同時(shí)開(kāi)放2分鐘后，注入水箱中的水占水箱容量的幾分之幾？〔適于六年級(jí)程度〕解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分鐘可以注滿，那么甲水管1的：答略。例5一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三人各自單獨(dú)做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)。如果三人合作需要幾天完成任務(wù)？〔適于六年級(jí)程度〕解：甲、乙、丙三人各自單獨(dú)做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)，=1〔天〕答略。所以，乙單獨(dú)做可以完成的時(shí)間是：綜合算式：=6〔天〕答略。以完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：甲隊(duì)獨(dú)做3天，乙隊(duì)獨(dú)做5天所完成的工作量，相當(dāng)于甲乙兩隊(duì)合做3天，乙隊(duì)再獨(dú)做2天所完成的工作量。這時(shí)完成了全工程的：乙隊(duì)單獨(dú)做完成的時(shí)間是：答略。*例8加工一批零件，甲獨(dú)做需要3天完成，乙獨(dú)做需要4天完成。兩人同時(shí)加工完成任務(wù)時(shí)，甲比乙多做24個(gè)。這批零件有多少個(gè)？〔適于六年級(jí)程度〕解：解這道題的關(guān)鍵是，求出24個(gè)零件相當(dāng)于零件總數(shù)的幾分之幾。完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做：綜合算式：答略。*例9一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。甲、乙合做了數(shù)天后，乙因事請(qǐng)假，甲繼續(xù)做，從開(kāi)工到完成任務(wù)共用了14天。乙請(qǐng)假幾天？〔適于六年級(jí)程度〕解：根據(jù)“甲單獨(dú)做20天完成〞和“從開(kāi)工到完成任務(wù)共用了14天〞，可知甲做了全工程的：乙做了全工程的：乙請(qǐng)假的天數(shù)是：14-9=5〔天〕綜合算式：答略。*例10一項(xiàng)工程，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成。甲、乙兩隊(duì)合做，比乙隊(duì)單獨(dú)做可提前6天完成。如果甲、乙兩隊(duì)合做5天后，再由甲隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)還需要多少天才能完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：設(shè)這項(xiàng)工程為1，那么乙隊(duì)每天做：兩隊(duì)合做時(shí)每天做：甲隊(duì)每天做：兩隊(duì)合做5天后剩下的工作量是：甲隊(duì)做剩的工作還需要的時(shí)間是：綜合算式：答略?！踩秤媒夤こ虇?wèn)題的方法解其他類型的應(yīng)用題例1甲、乙兩地相距487千米。李華駕駛摩托車從甲地到乙地，需要1小時(shí)；王明騎自行車從乙地到甲地需要3小時(shí)。照這樣的速度，兩人分別從兩地同時(shí)相向出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)在途中相遇？一般解法：〔適于四年級(jí)程度〕用解工程問(wèn)題的方法解：〔適于六年級(jí)程度〕把全程看作1。李華駕駛摩托車從甲地到乙地需要1小時(shí)，李華的速度就是1；王明騎自行車從乙地到甲地需要3小時(shí)，王明每1小時(shí)要行全程的例2某學(xué)校食堂購(gòu)進(jìn)一車煤，原方案燒60天。由于改良了爐灶的構(gòu)造，實(shí)際每天比原來(lái)少燒10千克，這樣這車煤燒了70天。這車煤重多少千克？*一般解法：〔適于四年級(jí)程度〕10×60÷〔70-60〕×70=4200〔千克〕答：這車煤重4200千克。用解工程問(wèn)題的方法解：〔適于六年級(jí)程度〕答略。一般解法：〔適于六年級(jí)程度〕答略。用解工程問(wèn)題的方法解：〔適于六年級(jí)程度〕如果把這批零件的總數(shù)作為一項(xiàng)“工程〞，以1表示，那么這個(gè)工廠方案因此，實(shí)際需要的天數(shù)是：答略?！菜摹秤梅輸?shù)法解工程問(wèn)題例1一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做9天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做18天完成。甲、乙兩隊(duì)合做4天后，剩下的任務(wù)由乙隊(duì)單獨(dú)做。乙隊(duì)還需要幾天才能完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：把整個(gè)工程的工作量平均分成9×18=162〔份〕甲隊(duì)每天可以完成：162÷9=18〔份〕乙隊(duì)每天可以完成：162÷18=9〔份〕甲、乙兩隊(duì)合做每天共完成：18+9=27〔份〕兩隊(duì)4天共完成：27×4=108〔份〕兩隊(duì)合做4天后，剩下的工程是：162-108=54〔份〕剩下的任務(wù)由乙隊(duì)單獨(dú)做，需要的天數(shù)是：54÷9=6〔天〕綜合算式：[9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9=[162-108]÷9=6〔天〕答略。例2一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做16天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做20天完成。甲隊(duì)先做7天，然后由甲、乙兩隊(duì)合做。甲、乙兩隊(duì)合做還要多少天才能完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：把這項(xiàng)工程的總工作量看做16×20份，那么甲隊(duì)每天做20份，乙隊(duì)每天做16份。甲隊(duì)先做7天，完成的工作量是：20×7=140〔份〕甲隊(duì)做7天后，剩下的工作量是：16×20-140=180〔份〕甲、乙兩隊(duì)合做，一天可以完成：20+16=36〔份〕甲、乙兩隊(duì)合做還需要的天數(shù)是：180÷36=5〔天〕答略。例3一個(gè)水池裝有進(jìn)、出水管各一個(gè)。單開(kāi)進(jìn)水管10分鐘可將空池注滿，單開(kāi)出水管12分鐘可將滿池水放完。假設(shè)兩管齊開(kāi)多少分鐘可將空池注滿？〔適于六年級(jí)程度〕解：把注滿全池水所用的時(shí)間看作10×12份，當(dāng)進(jìn)水管進(jìn)12份的水量時(shí)，出水管可放出10份的水量，進(jìn)出水相差的水量是：12-10=2〔份〕甲、乙兩管齊開(kāi)注滿水池所用的時(shí)間是：10×12÷2=60〔分鐘〕答：假設(shè)兩管齊開(kāi)60分鐘可將空池注滿?！参濉掣鶕?jù)時(shí)間差解工程問(wèn)題例1師、徒二人共同加工一批零件，需要4小時(shí)完成。師傅單獨(dú)加工這批零件需要5小時(shí)完成。師、徒二人共同加工完這批零件時(shí)，徒弟加工了30個(gè)。這批零件有多少個(gè)？〔適于六年級(jí)程度〕解：從時(shí)間差考慮，師、徒共同加工完的時(shí)間與師傅單獨(dú)加工完的時(shí)間相差5-4=1〔小時(shí)〕。這說(shuō)明師傅1小時(shí)加工的零件數(shù)等于徒弟4小時(shí)加工的零件數(shù)。所以，師傅5小時(shí)加工的零件就是這批零件的總數(shù)：30×5=150〔個(gè)〕答略。例2一份稿件需要打字，甲、乙兩人合打10天可以完成。甲單獨(dú)打15天可以完成。乙單獨(dú)打需要幾天完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：從時(shí)間差考慮，甲、乙兩人合打完成與甲單獨(dú)打完，兩者的時(shí)間差是15-10=5〔天〕，這說(shuō)明甲5天的工作量相當(dāng)于乙10天的工作量。那么，甲15天的工作量，乙要工作：10÷5×15=30〔天〕答：乙單獨(dú)打需要30天完成。例3一輛快車和慢車同時(shí)分別從A、B兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)12小時(shí)相遇?？燔囆型耆绦枰?0小時(shí)。求兩車相遇后慢車還要行多少小時(shí)才能到達(dá)A站？〔適于六年級(jí)程度〕解：從時(shí)間差考慮，兩車相遇與快車行完全程的時(shí)間差是20-12=8〔小時(shí)〕。這說(shuō)明快車8小時(shí)行的路程相當(dāng)于慢車12小時(shí)行的路程。那么快車行12小時(shí)的路程，慢車要行多長(zhǎng)時(shí)間？也就是兩車相遇后慢車還要行駛而到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間。12÷8×12=18〔小時(shí)〕答略。第三十七講、解流水問(wèn)題的方法流水問(wèn)題是研究船在流水中的行程問(wèn)題，因此，又叫行船問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。這類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同。流水問(wèn)題有如下兩個(gè)根本公式：順?biāo)俣?船速+水速

〔1〕逆水速度=船速-水速

〔2〕這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過(guò)的路程。公式〔1〕說(shuō)明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按著水的流動(dòng)速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。公式〔2〕說(shuō)明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式〔1〕可得：水速=順?biāo)俣?船速

〔3〕船速=順?biāo)俣?水速

〔4〕由公式〔2〕可得：水速=船速-逆水速度

〔5〕船速=逆水速度+水速

〔6〕這就是說(shuō)，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。另外，某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問(wèn)題的算法，可知：船速=〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2

〔7〕水速=〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2

〔8〕*例1一只漁船順?biāo)?5千米，用了5小時(shí)，水流的速度是每小時(shí)1千米。此船在靜水中的速度是多少？〔適于高年級(jí)程度〕解：此船的順?biāo)俣仁牵?5÷5=5〔千米/小時(shí)〕因?yàn)椤绊標(biāo)俣?船速+水速〞，所以，此船在靜水中的速度是“順?biāo)俣?水速〞。5-1=4〔千米/小時(shí)〕綜合算式：25÷5-1=4〔千米/小時(shí)〕答：此船在靜水中每小時(shí)行4千米。例2一只漁船在靜水中每小時(shí)航行4千米，逆水4小時(shí)航行12千米。水流的速度是每小時(shí)多少千米？〔適于高年級(jí)程度〕解：此船在逆水中的速度是：12÷4=3〔千米/小時(shí)〕因?yàn)槟嫠俣?船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：4-3=1〔千米/小時(shí)〕答：水流速度是每小時(shí)1千米。*例3一只船，順?biāo)啃r(shí)行20千米，逆水每小時(shí)行12千米。這只船在靜水中的速度和水流的速度各是多少？〔適于高年級(jí)程度〕解：因?yàn)榇陟o水中的速度=〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2，所以，這只船在靜水中的速度是：〔20+12〕÷2=16〔千米/小時(shí)〕因?yàn)樗鞯乃俣?〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2，所以水流的速度是：〔20-12〕÷2=4〔千米/小時(shí)〕答略。*例4某船在靜水中每小時(shí)行18千米，水流速度是每小時(shí)2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時(shí)。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時(shí)？〔適于高年級(jí)程度〕解：此船逆水航行的速度是：18-2=16〔千米/小時(shí)〕甲乙兩地的路程是：16×15=240〔千米〕此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?8+2=20〔千米/小時(shí)〕此船從乙地回到甲地需要的時(shí)間是：240÷20=12〔小時(shí)〕答略。*例5某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲港開(kāi)往乙港共用8小時(shí)。水速為每小時(shí)3千米。此船從乙港返回甲港需要多少小時(shí)？〔適于高年級(jí)程度〕解：此船順?biāo)乃俣仁牵?5+3=18〔千米/小時(shí)〕甲乙兩港之間的路程是：18×8=144〔千米〕此船逆水航行的速度是：15-3=12〔千米/小時(shí)〕此船從乙港返回甲港需要的時(shí)間是：144÷12=12〔小時(shí)〕綜合算式：〔15+3〕×8÷〔15-3〕=144÷12=12〔小時(shí)〕答略。*例6甲、乙兩個(gè)碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時(shí)行20千米，水流速度是每小時(shí)4千米。求由甲碼頭到乙碼頭順?biāo)行枰獛仔r(shí)，由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時(shí)？〔適于高年級(jí)程度〕解：順?biāo)械臅r(shí)間是：144÷〔20+4〕=6〔小時(shí)〕逆水而行的時(shí)間是：144÷〔20-4〕=9〔小時(shí)〕答略。*例7一條大河，河中間〔主航道〕的水流速度是每小時(shí)8千米，沿岸邊的水流速度是每小時(shí)6千米。一只船在河中間順流而下，6.5小時(shí)行駛260千米。求這只船沿岸邊返回原地需要多少小時(shí)？〔適于高年級(jí)程度〕解：此船順流而下的速度是：260÷6.5=40〔千米/小時(shí)〕此船在靜水中的速度是：40-8=32〔千米/小時(shí)〕此船沿岸邊逆水而行的速度是：32-6=26〔千米/小時(shí)〕此船沿岸邊返回原地需要的時(shí)間是：260÷26=10〔小時(shí)〕綜合算式：260÷〔260÷6.5-8-6〕=260÷〔40-8-6〕=260÷26=10〔小時(shí)〕答略。*例8一只船在水流速度是2500米/小時(shí)的水中航行，逆水行120千米用24小時(shí)。順?biāo)?50千米需要多少小時(shí)？〔適于高年級(jí)程度〕解：此船逆水航行的速度是：120000÷24=5000〔米/小時(shí)〕此船在靜水中航行的速度是：5000+2500=7500〔米/小時(shí)〕此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?500+2500=10000〔米/小時(shí)〕順?biāo)叫?50千米需要的時(shí)間是：150000÷10000=15〔小時(shí)〕綜合算式：150000÷〔120000÷24+2500×2〕=150000÷〔5000+5000〕=150000÷10000=15〔小時(shí)〕答略。*例9一只輪船在208千米長(zhǎng)的水路中航行。順?biāo)?小時(shí)，逆水用13小時(shí)。求船在靜水中的速度及水流的速度?！策m于高年級(jí)程度〕解：此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?08÷8=26〔千米/小時(shí)〕此船逆水航行的速度是：208÷13=16〔千米/小時(shí)〕由公式船速=〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2，可求出此船在靜水中的速度是：〔26+16〕÷2=21〔千米/小時(shí)〕由公式水速=〔順?biāo)俣?逆水速度〕÷2，