數(shù)學(xué)建模-森林救火建模課件

森林救火模型

森林失火了！消防站接到火警后，立即決定派消防隊(duì)員前去救火.一般情況下，派往的隊(duì)員越多，火被撲滅的越快，火災(zāi)所造成的損失越小，但是救援的開支就越大；相反，派往的隊(duì)員越少，救援開支越少，但滅火時(shí)間越長，而且可能由于不能及時(shí)滅火而造成更大的損失，那末消防站應(yīng)派出多少隊(duì)員前去救火呢?cái)?shù)學(xué)建模_森林救火建模（1）問題分析

如題中所述，森林救火問題與派出的消防隊(duì)員的人數(shù)密切相關(guān)，應(yīng)綜合考慮森林損失費(fèi)和救援費(fèi)，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)來確定派出的消防隊(duì)員的人數(shù)使總費(fèi)用最小.

救火的總費(fèi)用由損失費(fèi)和救援費(fèi)兩部分組成.損失費(fèi)由森林被燒毀的面積大小決定，而燒毀面積與失火、滅火（指火被撲滅）的時(shí)間（即火災(zāi)持續(xù)的時(shí)間）有關(guān)，滅火時(shí)間又取決于參加滅火的隊(duì)員的數(shù)目，隊(duì)員越多滅火越快.救援費(fèi)除與隊(duì)員人數(shù)有關(guān)外，也與滅火時(shí)間長短有關(guān).救援費(fèi)可具體分為兩部分：一部分是滅火器材的消耗及消防隊(duì)員的薪金等，與隊(duì)員人數(shù)及滅火時(shí)間均有關(guān)；另一部分是運(yùn)送隊(duì)員和器材等一次性支出，只與隊(duì)員人數(shù)有關(guān).

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模設(shè)火災(zāi)發(fā)生時(shí)刻為t=0，開始救火時(shí)刻為t=t1，滅火時(shí)刻為t=t2，t

時(shí)刻森林燒毀面積為B（t），則造成損失的被燒毀的森林的面積為B（t2），而是森林被燒毀的速度，也表示了火勢蔓延的程度.從火災(zāi)發(fā)生時(shí)刻開始到火被撲滅的過程中，被燒毀的森林的面積是不斷擴(kuò)大的，因而B（t）應(yīng)是時(shí)間t的單調(diào)遞增的函數(shù)，即數(shù)學(xué)建模_森林救火建模從火災(zāi)發(fā)生到消防隊(duì)員到達(dá)并開始救火這段時(shí)間內(nèi)，火勢是越來越大的，即

開始救火以后，即時(shí)，如果隊(duì)員滅火能力足夠強(qiáng)，火勢會(huì)越來越小，即

并且當(dāng)t=t2時(shí)，數(shù)學(xué)建模_森林救火建模（2）模型假設(shè)

①森林中樹木分布均勻，而且火災(zāi)是在無風(fēng)的條件下發(fā)生的；

②損失費(fèi)與森林燒毀面積B（t2）成正比，比例系數(shù)為C1，即燒毀單位面積的損失費(fèi)為C1；

在建立數(shù)學(xué)模型之前，需要對燒毀森林的損失費(fèi)、救援費(fèi)及火勢蔓延程度作出合理的假設(shè).

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模③從失火到開始救火這段時(shí)間內(nèi)，火勢蔓延程度與時(shí)間t成正比，比例系數(shù)為β，稱之為火勢蔓延速度，即

④派出消防隊(duì)員x名，開始救火以后（），火勢蔓延速度降為（線性化），其中可視為每個(gè)隊(duì)員的平均滅火速度，且有：因?yàn)橐獡錅缟执蠡?，滅火速度必須大于火勢蔓延的速度，否則火勢將難以控制；

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模⑤每個(gè)消防隊(duì)員單位時(shí)間費(fèi)用為C2（包括滅火器材料的消耗及消防隊(duì)員的薪金等），救火時(shí)間為t2-t1，于是每個(gè)隊(duì)員的救火費(fèi)用為C2(t2-t1)；每個(gè)隊(duì)員的一次性支出為C3(運(yùn)送隊(duì)員、器材等一次性支出).

對于假設(shè)3可作如下解釋：由于森林中樹木分布均勻，且火災(zāi)是在無風(fēng)條件下發(fā)生的，因而火勢可看作以失火點(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，因而蔓延半徑r與時(shí)間t成正比，又因?yàn)闊龤娣eB與成正比，故B與

成正比，從而與t成正比

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模（3）模型建立

總費(fèi)用由森林損失費(fèi)和救援費(fèi)組成.由假設(shè)2，森林損失費(fèi)等于燒毀面積B（t2）與單位面積損失費(fèi)C1的積，即C1B(t2)；由假設(shè)5，救援費(fèi)為

C2x(t2-t1)+C3x，因此，總費(fèi)用為

由假設(shè)3，4，火勢蔓延速度在內(nèi)線性地增加，t1時(shí)刻消防隊(duì)員到達(dá)并開始救火，此時(shí)火勢用b表示，而后，在內(nèi)，火勢蔓延的速度線性地減少（如下圖）數(shù)學(xué)建模_森林救火建模數(shù)學(xué)建模_森林救火建模即

因而有

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模燒毀面積為

恰為圖中三角形的面積.

由b的定義有，于是

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模所以

其中只有派出的消防隊(duì)員的人數(shù)是未知的.

問題歸結(jié)為如下的最優(yōu)化問題：數(shù)學(xué)建模_森林救火建模（4）模型求解

這是一個(gè)函數(shù)極值問題.令

容易解得

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模（5）模型分析與改進(jìn)

①應(yīng)派出的（最優(yōu)）消防隊(duì)員人數(shù)由兩部分組成，其中是為了把火撲滅所必須的最低限度,因?yàn)棣率腔饎萋铀俣?，而λ是每個(gè)隊(duì)員的平均滅火速度，同時(shí)也說明這個(gè)最優(yōu)解滿足約束條件，結(jié)果是合理的.

②派出的隊(duì)員數(shù)的另一部分，即在最低限度基礎(chǔ)之上的人數(shù)，與問題的各個(gè)參數(shù)有關(guān).當(dāng)隊(duì)員滅火速度λ和救援費(fèi)用系數(shù)C3增大時(shí)，隊(duì)員數(shù)減少；當(dāng)火勢蔓延速度β、開始救火時(shí)的火勢b及損失費(fèi)用系數(shù)C1增加時(shí)，消防隊(duì)員人數(shù)增加；當(dāng)救援費(fèi)用系數(shù)C2增大時(shí)，隊(duì)員人數(shù)也增大.

數(shù)學(xué)建模_森林救火建模③改進(jìn)方向：

i取消樹木分布均勻、無風(fēng)這一假設(shè)，考慮更一般情況；

ii滅火速度是常數(shù)不盡合理，至少與開始救火時(shí)的火勢有關(guān)；

iii對不同種類的森林發(fā)生火災(zāi)，派出的隊(duì)員數(shù)應(yīng)不同，雖然β（火勢蔓延速度）能從某種程度上反映森林