山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略-幾何分冊(cè)第10章-三角形的內(nèi)切圓2

例〔2023年中國國家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題〕銳角中，，設(shè)的內(nèi)心為，邊，的中點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在線段，上，且滿足，，過內(nèi)心作的平行線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的投影為．證明：點(diǎn)在的外接圓上．證明如圖，由，，應(yīng)用推論，知為內(nèi)的旁切圓與邊的切點(diǎn)，為內(nèi)的旁切圓與邊的切點(diǎn)．令，，，，，，，，分別為的外接圓、內(nèi)切圓半徑．由性質(zhì)〔1〕，，，從而 ．設(shè)與交于點(diǎn)，與的外接圓交于點(diǎn)，那么為弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)．下面證明．設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，對(duì)及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 ．因?yàn)? ，，所以 ．于是，有 ．同理 ．由于 ，所以．注意到過點(diǎn)只能引一條平行于的直線，所以與重合，又點(diǎn)在上的投影是唯一的，故與重合，即點(diǎn)在的外接圓上．例〔2006年CMO題〕在中，，的內(nèi)切圓圓分別與邊，，相切于點(diǎn)，，，聯(lián)結(jié)，與內(nèi)切圓交圓交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，．假設(shè)，求證：．〔注：可去掉〕證法如圖，輔助線及各點(diǎn)標(biāo)記如圖．由性質(zhì)〔1〕，可設(shè)，，三線共點(diǎn)于．由，知在上，又，那么是外接圓的切線．又，知的圓心在上．同理，的圓心在上．故即的圓心，，從而，那么，，，四點(diǎn)共圓，有，即．故知點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．設(shè)，，，，延長至，使，作于，那么，即知為的中點(diǎn)．于是，，，且 〔定差冪線定理〕即，亦即，亦即．由切割線定理，有．代入上式有，求得，，即有，故．證法〔圖略〕．由性質(zhì)〔3〕．可設(shè)，，三線共點(diǎn)于，與交于點(diǎn)，那么在完全四邊形中，應(yīng)用對(duì)角線調(diào)和分割性質(zhì)，有．過作交，于，，那么，即有．又，那么，即，知是弧中點(diǎn)．下同證法．證法〔圖略〕．聯(lián)結(jié)、分別交內(nèi)切圓于點(diǎn)、．由性質(zhì)〔4〕，可設(shè)，，三線共點(diǎn)于．因，那么，，即為的垂心．于是．從而，直徑為的中垂線，即是弧的中點(diǎn)．下同證法．例〔2001年第30屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克題〕的內(nèi)切圓分別切，邊于，，，分別在，上，且，．記與的交點(diǎn)為，圓與相交兩點(diǎn)中離較近的點(diǎn)為．求證：．證明如圖，設(shè)圓的圓心為，因，由性質(zhì)知，，三點(diǎn)共線．再由性質(zhì)，知當(dāng)時(shí)，有．例〔2003年第20屆伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克題〕設(shè)是的內(nèi)心，且與，分別切于點(diǎn)，，與交于另一點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．在線段上，且．證明：當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，．證明如圖，設(shè)直線交于點(diǎn)，那么由性質(zhì)，知當(dāng)時(shí)，．于是，，，三點(diǎn)共線與重合為的中點(diǎn)．例〔2023年印度國家隊(duì)選拔考試題〕設(shè)是非等腰三角形，其內(nèi)切圓為圓，圓與三邊，，分別切于點(diǎn)，，．假設(shè)，，分別與，，交于點(diǎn)，，，，，的中點(diǎn)分別為，，．證明：，，三點(diǎn)共線．證明如圖，由性質(zhì)知，，，三點(diǎn)共線．在四邊形中〔或完全四邊形中〕，應(yīng)用牛頓線定理，即知，，三點(diǎn)共線〔第14章性質(zhì)1〕．例〔1995年第24屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克題〕設(shè)是非等腰非直角三角形，設(shè)是它的外接圓圓心，并且，，分別是邊，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，使得∽．點(diǎn)和分別在射線和上，使得∽和∽．證明：直線，，共點(diǎn)．證明如圖，因∽，∽，∽，那么由性質(zhì)，知與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，，分別與相切于點(diǎn)，，，．于是，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，．由切線長定理，再應(yīng)用塞瓦定理，知，，三線共點(diǎn)．例〔2006年第16屆韓國數(shù)學(xué)奧林匹克題〕在中，，的內(nèi)切圓與，，的切點(diǎn)分別為，，．記與的不同于點(diǎn)的交點(diǎn)為．過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，，分別是與直線，的交點(diǎn)．求證：是線段的中點(diǎn)．證明如圖，記過點(diǎn)且平行于的直線與過點(diǎn)且與垂直的直線交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．由，知，，，四點(diǎn)共線．由，知，又，即知，，，，五點(diǎn)共圓，記此圓為．又由，知，，，四點(diǎn)共圓，記此圓為叫．注意到，圓，圓兩兩相交的根軸，，相交于一點(diǎn)〔因知圓，圓，的圓心不共線〕，而與相交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，故與重合，即有．于是，由推論，知，故知是線段的中點(diǎn)．例〔2023年中國國家代表隊(duì)選拔賽題〕設(shè)為的內(nèi)切圓，切邊于點(diǎn)，，聯(lián)交于，在上取點(diǎn)，使，延長交于點(diǎn)，那么．證明如圖，設(shè)分別切，于點(diǎn)，，過點(diǎn)的切線與直線交于點(diǎn)，那么由性質(zhì)，知，，三點(diǎn)共線．又由性質(zhì)，有，即有．由，有，知．從而．對(duì)及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 ，故 ．例〔IMO46預(yù)選題，2006年伊朗國家隊(duì)選拔賽題〕的中線交其內(nèi)切圓于點(diǎn)，，分別過，且平行于的直線交圓于點(diǎn)，，，分別交于，．證明：．證明如圖，設(shè)為的內(nèi)心，分別切，，于點(diǎn)，，，直線與交于點(diǎn)，那么由性質(zhì)知，點(diǎn)在上．設(shè)過點(diǎn)，的兩條切線交于點(diǎn)，那么由性質(zhì)，知，，共線．又由性質(zhì)，知．①?zèng)]直線交于點(diǎn)，由，有． ②注意到等腰梯形中對(duì)其對(duì)角線，兩底的公垂線為，從而．再注意①，②式，那么，即知是的中點(diǎn)．因此，是的中點(diǎn)，故．練習(xí)十1．〔2023年東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題〕的內(nèi)切圓分別切，于點(diǎn)、，、分別為邊、的中點(diǎn)，是直線與的交點(diǎn)．證明：、、三點(diǎn)共線．2．〔2023年第六屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽題〕是的內(nèi)切圓，，，分別為，，上的切點(diǎn)．聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)．求證：是的中點(diǎn)．3．〔2023年香港數(shù)學(xué)奧林匹克題〕〔〕的內(nèi)切圓分別切，，于點(diǎn)，，，是線段上的點(diǎn)，使得．假設(shè)，證明：是的垂心．4．〔2023年越南數(shù)學(xué)奧林匹克題〕設(shè)，是定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且是定角，其中，的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為，，，分別與，交于點(diǎn)，．證明：線段的長是定長，且的外接圓過一個(gè)定點(diǎn)．5．〔1995年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克、1997年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克、2002年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克題〕設(shè)的內(nèi)切圓與邊，，分別相切于點(diǎn)，，．求證：的外心，內(nèi)心與的垂心三點(diǎn)共線．6．〔2007年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克題〕銳角的內(nèi)切圓與三邊、、分別切于點(diǎn)，，，垂心在線段上．證明：〔1〕；〔2〕設(shè)的外心，內(nèi)心分別為，，內(nèi)的旁切圓切于點(diǎn)，那么，，三點(diǎn)共線．7．〔2023年第六屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽題〕，是的切線，切點(diǎn)分別是，，是的一條割線，過點(diǎn)作的平行線，分別交弦，于點(diǎn)，．求證：．8．設(shè)的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn)，交內(nèi)切圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作內(nèi)切圓的切線分別交，于點(diǎn)，，那么．9．設(shè)的內(nèi)切圓分別切，，三邊于點(diǎn)，，，過點(diǎn)與三邊平行的直線分別交，，于點(diǎn)，，，，，．那么．10．的一個(gè)旁切圓分別切及，的延長線于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上，那么的充要條件是．11.〔《中等數(shù)學(xué)》2023〔12〕數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題〕的一個(gè)旁切圓分別切邊及，的延長線于點(diǎn)，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)．聯(lián)結(jié)．過點(diǎn)作，，分別交，的延長線于點(diǎn)，．證明：．12.〔2023年第34屆俄羅斯教學(xué)奧林匹克〔第四輪〕〕的內(nèi)切圓圓分別與邊，，切于點(diǎn)，，，圓周上的點(diǎn)，滿足．求證：點(diǎn)，，到直線的距離彼此相等．13．〔2005年IMO46預(yù)選題、2006年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克題、2006年法國國家隊(duì)選拔賽題〕滿足，為的內(nèi)心，內(nèi)切圓與邊、的切點(diǎn)分別為、．點(diǎn)、關(guān)于