原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系

課題：探究原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系首師大附中數(shù)學(xué)組王建華設(shè)計(jì)思路這節(jié)課是在學(xué)完導(dǎo)數(shù)和積分之后，學(xué)生從大量的實(shí)例中對原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系有了一定的認(rèn)識的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。由于這部分內(nèi)容課本上沒有，但數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系規(guī)律和對稱美又會使學(xué)生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個(gè)課的過程中我雖然參考了大量已有的資料，但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系，以什么方式展開更利于學(xué)生拾級而上，最終登上高峰體會一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實(shí)際上是在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一次理論的探險(xiǎn)，大膽地猜，小心地證，謹(jǐn)慎地修改條件，步步逼近真理。最終學(xué)生能否記住這些結(jié)論并不重要，重要的是研究相互關(guān)聯(lián)的事物的一般思路和方法。對優(yōu)秀生或熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生來說會有更多的收獲。整個(gè)教學(xué)流程1.從經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)，猜想得命題p,q.這兩個(gè)命題為真命題，證明它們的方法用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，比較容易上手。2.學(xué)生自然會想到這個(gè)命題的逆命題是否成立，嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發(fā)現(xiàn)由于導(dǎo)數(shù)確定后原函數(shù)不能唯一確定，有上下平移的可能，這樣關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)能夠保持，但關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)就不能保證了。3.函數(shù)的平移不改變函數(shù)圖象的對稱性，因此將奇函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于中心對稱，將偶函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于直線對稱，研究前面的四個(gè)命題還是否成立。研究方法可以類比遷移前面的方法。能成立的嚴(yán)格證明，不能成立的舉出反例，并嘗試通過改變條件使之成為真命題。4.已有成果的應(yīng)用：利用二次函數(shù)的對稱性性質(zhì)研究三次函數(shù)的對稱性。教學(xué)目標(biāo)在這個(gè)探究過程中1.加強(qiáng)學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相生相伴的關(guān)系的理解；2.增強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)對稱性的理解和抽象概括表達(dá)能力；3體驗(yàn)研究事物的角度，一個(gè)新定理是怎樣誕生的，怎樣才是全面地認(rèn)識了一個(gè)事物。4.培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，分析法解決問題的能力，舉反例的能力等等。教學(xué)重點(diǎn)以原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性的聯(lián)系為載體讓學(xué)生體驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用所學(xué)知識探索未知領(lǐng)域。新課引入前面解題時(shí)我們常根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號示意圖畫出原函數(shù)的單調(diào)性示意圖，你能根據(jù)原函數(shù)的圖像畫出導(dǎo)函數(shù)的示意圖嗎？探究由原函數(shù)的奇偶性能否推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性。問題1已知函數(shù)的圖像，請嘗試畫出其導(dǎo)函數(shù)的圖像示意圖。yxoxyyxoxyoyxoyxoooxyxxyo導(dǎo)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是原函數(shù)的瞬時(shí)變化率，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)反應(yīng)了原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)的大小反應(yīng)了原函數(shù)增減的快慢。從圖像的整體性質(zhì)上看，你還有什么發(fā)現(xiàn)？猜想p:可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，猜想q:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。問題2你能根據(jù)圖象上解釋一下你的猜想嗎？奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，它的曲線在原點(diǎn)兩側(cè)等距離處升降速度相同，即切線斜率相等；偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，它的曲線在y軸兩側(cè)等距離處升降速度絕對值相等，即切線斜率互為相反數(shù)。問題3嘗試證明你的猜想P:已知是可導(dǎo)的奇函數(shù)，求證時(shí)偶函數(shù)分析1：欲證時(shí)偶函數(shù)，只需證若將理解將中的替換為得到的函數(shù)，可以用導(dǎo)數(shù)定義證明。得對稱中心縱坐標(biāo)。即函數(shù)的對稱中心為.2.若是偶函數(shù)，則的關(guān)系是解：由其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，且在0處有定義，可得，得，代回檢驗(yàn)。小結(jié)：整體結(jié)構(gòu)：原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)奇偶性奇偶性p：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)（真）q:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)（真）p逆：若是偶函數(shù)，則奇函數(shù).（假）q逆：若是奇函數(shù)，則偶函數(shù).（真）對稱對稱性r：若R上可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對稱。(真)s:若R上可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對稱。(真)r逆：對于在R上可導(dǎo)的函數(shù)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對稱，則原函數(shù)關(guān)于對稱.（真）s逆（改）：對于在R上可導(dǎo)的函數(shù)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對稱，則原函數(shù)關(guān)于直線對稱。（真）證明上述命題的思路：由原函數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)用符合函數(shù)求導(dǎo)；由導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)從要證的式子出發(fā)尋找原函數(shù)的性質(zhì)。課后思考研究：判斷s逆是否正確，如果正確嘗試證明，若不正確舉出反例。教學(xué)反思：學(xué)生對這樣的課很感興趣，一方面可以在探索的過程中加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解，另一方面可以感受到數(shù)學(xué)內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)性和對稱美。命題的產(chǎn)生來自經(jīng)驗(yàn)，命題的證明需要用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這一工具溝通原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，開始學(xué)生覺得有點(diǎn)吃力，需要教師加以啟發(fā)引導(dǎo)。但證過兩個(gè)命題后，學(xué)生對后面的命題證明就有了可以類比遷移的樣板，證明的思路就更清晰了。最后講的兩個(gè)應(yīng)用問題學(xué)生感覺這節(jié)課推出的命題是有用武之地的。這節(jié)課的主旨不在于記住這