高中數(shù)學(xué)必修二經(jīng)典練習(xí)題

高數(shù)學(xué)必修二第二章經(jīng)典練習(xí)題

3.平面a內(nèi)有一四邊形ABCD,P為a外一點，P點到四邊形ABCD各邊的距

離相等，則這個四邊形（）

第I卷（選擇題）

請修改第I卷的文字說明A必有外接圓B必有內(nèi)切圓C既有內(nèi)切圓又有外接圓

評卷人得分D必是正方形

—?、單項選擇

4.已知六棱錐/38EF的底面是正六邊形，K41平面/3C,PA=

1.在空間，下列哪些命題是正確的（）.

2AB,則下列結(jié)論正確的是（）

①平行于同一條直線的兩條直線互相平行

A.PB\_ADB.平面平面依C

②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

C.直線3C//平面R4ED.直線至與平面/3C所成的角為45°

③平行于同一個平面的兩條直線互相平行

5.若a,b是異面直線，直線c〃a,則c與b的位置關(guān)系是（）

④垂直于不一個平面的兩條直線互相平行

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交

A.僅②不正確B.僅①、④正確

C.僅①正確D.四個命題都正確

6.設(shè)四棱錐0-/S8的底面不是平行四邊形，用平面a去截此四棱錐

（如圖），使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面。（）

2.如果直線a是平面a的斜線，那么在平面a內(nèi)（）

A不存在與a平行的直線B不存在與a垂直的直線

C與a垂直的直線只有一條D與a平行的直線有無數(shù)條

A.-Bo-Co-

532

10.已知空間兩條不同的直線m,n和兩個不同的平面外尸,則下列命題中

正確的是（）

A.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無數(shù)A若m/la,nua,則/InB.若ac。=ni,m_Ln,則〃±a

多個C.若〃?///〃//a,則〃?//"D.若m//a，mu=〃，則加//〃

7.設(shè)P是AABC所在平面外一點，P到aABC各頂點的距離相等，而且PH.在三棱柱ABC-A百G中，各棱長相等，側(cè)接垂直于底面，點。是

到△ABC各邊的距離也相等，那么4ABC（）側(cè)面BBC。的中心，則與平面6BCC所成角的大小是（）

A是非等腰的直角三角形B是等腰直角三角形A.30°B.45°C.60°D.90w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

C是等邊三角形D不是A、B、C所述的三角形

12.已知直線I、機，平面a、夕，且/J_a,mu尸，則a〃4是

8.已知正四棱錐S-ABCO的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中的

點，則AE,SO所成的角的余弦值為（）A.充要條件3.充分不必要條件

10G2C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

A.-B.—C.—D.-

3333

13.設(shè)b,c表示兩條直線，a,月表示兩個平面，下列命題中是真命題的是

9.正方體ABCD-ABCD中,E、F分別是AAi與CC的中點,則直線ED

與DF所成角的大小是()

baa)Oua]A.1B.3C.4D.1或4

A.'=Z?//cB.\ncIla

clla]bI!c\

cllaclla18.設(shè)a,b為兩條直線,a,（3為兩個平面，下列四個命題中真命題是（）

C.>=>a.LJ3D.=>c"

C"aIB

A.若a,b與a所成角相等，則a//b

14.在下列四個正方體中，能得出力8,⑦的是（）B.若a//a,b//p,a邛,則aj_b

C.若a?a,b?p,a±b,則a邛

D.若ala,bip,alp,則aj_b

15.在正方體AbCD-A修GR中，。為正方形A6CD中心，則4O與平

面ABCD所成角的正切值為（）

19.如圖正四面體D-ABC中，PC面DBA,則在平

A.V2B.—C.1D.—

23

面DAB內(nèi)過點P與直線BC成60°角的直線共有（）

16.在正方體ABC。-4旦G。中，若E是4G的中點，則直線CE垂A.0條B.1條C.2條D.3條

直于（）

20.已知AA是兩條異面直線的公垂線段，E、F分別是異面直線上任意兩

AACBBDCA。DA"

點，那么線段AA'與EF的長度關(guān)系是（）

17.四條不共線的線段順次首尾連接，可確定平面的個數(shù)是（)AEF<AABEFwAACEF>AADEF>AAZ

A.至少有一條B.至多有一條C.有且只有一條D.不可能有

21.已知a、夕是平面，〃?、w是直線，下列命題中不正確的是（）

A.若加〃〃，_La,則〃_LaB.若〃z_La,mu廿，25.若平面外的一條直線上有兩個點到一個平面的距離相等，則這條直

則aJ-力線和這個平面的位置關(guān)系是（）

C.若〃z_La,m_L/7,則a4夕D.若"？//a,af］用=〃，A.平行B.相交C.垂直D.平行或相交

則"？IIn

26.直線與平面平行的充要條件是（）

22.三個角是直角的四邊形（）A.直線與平面內(nèi)的一條直線平行B。直線與平面內(nèi)的兩條直線

A.一定是矩形不相交

B.一定是空間四邊形C.直線與平面內(nèi)的任一直線都不相交Do直線與平行內(nèi)的無數(shù)條直

C.是四個角為直角的空間四邊形線平行

D.不能確定

27.下列四個結(jié)論：

23.如圖長方體中，AB=AD=2V3,CC尸泥,則二面角G—BD—C的大⑴兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行。

小為（）⑵兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行。

A.30°B.45°C.60°D,90°⑶兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行。

24.直線a//平面a,平面a內(nèi)有n條直線交于一點，那么這n條直線⑷一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點，則這條直線和這個平

中與直線a平行的（）面平行。

其中正確的個數(shù)為（）（2）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影是兩條相交直線；（3）兩條平行

A.0B.1C.2D.3直線在同一平面內(nèi)的射影是兩條平行直線；（4）一個銳角在一個平面內(nèi)

的射影一定是銳角。以上命題正確的有（）

28.如圖，正方體AG的棱長為1,過點A作平面的垂線，垂足為

A0個B1個C2個D3個

點H.則以下命題中錯誤的是（）

31.正四棱錐P-ABC。的所有棱長相等，E為PC的中點，那么異面直

線BE與PA所成角的余弦值等于（)

10C.也D.立

A.-B.-

2233

32.對于任意的直線，與平面a,在平面a內(nèi)必有直線〃?，使機與/

A.點H是AAfO的垂心B.AH垂直平面C4R

（）

C.AH的延長線經(jīng)過點GD.直線和所成角為45。（A）平行（B）相交

（C）垂直（D）互為異面直線

29.空間四邊形ABCD中，ACLBD,且AC=BD,E,F,G,H分別是AB,BC,

CD,DA的中點，則四邊形EFGH是（）33.已知a、b、c均是直線，則下列命題中，必成立的是（）

A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形A.若aj_b,b±c,則aj_cB.若a與b相交，b與c相交，則a與

c也相交

30.命題：（1）一個平面的兩條斜線段中，較長的斜線段有較長的射影;

C.若2〃垓b〃c,則a〃cD.若a與b異面，b與c異面，則a與

C也是異面直線37.已知a,b是兩條不重合的直線，a,夕是兩個不重合的平面，下列

命題中正確的是（）

34.在正四棱錐P-ABCD中，點P在底面上的射影為0,E為PC的中點,

A.allh,hila,則?！╝

則直線AP與0E的位置關(guān)系是（）

B.a,bua,all（3,b//（3,則?！?

A.平行B.相交C.異面D,都有可

C.a±a,blla,則a_Lb

能

D.當(dāng)aua,且hue時，若。IIa,則。Hb

500K

35.三棱錐P—ABC的四個頂點都在體積為不一的球的表面上，AABC所

38.與空間四點距離相等的平面共有（）

在的小圓面積為16%則該三棱錐的高的最大值為（）A.3個或7個B.4個或10個

A.7B.7.5C.4個或無數(shù)個D.7個或無數(shù)個

C.8D.9

39.已知直線，勿與平面a,P，/滿足/0/=/，/〃a,〃?ua,,則

36.已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，5A有（）

垂直于底面ABC,SA=3,那么直線A8與平面S3。所成角的正弦值為（A）a±yJ].mH[}（B）a_Ly且/_L〃？

（）（C）mH0且ILm（D）a〃,且a_Ly

(A)半⑻手（04（吟

440.在棱長為1的正方體ABCD-AB.C.D,中，與平面ABCD所成的角

為（）

——arctan——一

A、6B、3c、3D、

arctan——

2

第H卷（非選擇題）

請修改第II卷的文字說明

43.m、〃為直線，a、P為平面，給出下列命題：

評卷人得分

①若_La,，〃u尸，則aJ.1；

②若mua,neta,m,〃是異面直線,則a_L/?;

41.已知直線。和平面試?yán)蒙鲜鋈齻€元素并借助于它們之間的

③若mua,〃ua,加〃尸，〃〃夕，則a〃夕;

位置關(guān)系，構(gòu)造出一個條件，使之能判斷出,這個條件可以

④若a^\/3-m,n//m,〃aa,〃/?,則〃〃。且〃〃/7.

是.

其中正確命題序號是.

42.已知三個平面a、B、y,a,b是異面直線，a與a,

44.已知平面a,直線/，加滿足：aLy,yC\a=m,-y^/3=l,lA.m,

3,Y分別交于A、B、C三點，b與a、B、y分別交于D、E、F三點,

那么

連結(jié)AF交平面B于G,連結(jié)CD交平面B于H,則四邊形BGEH必為

①n/J■尸；②/_La;③尸J_7；?aL/3.

可由上述條件可推出的結(jié)論有（請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號

都填上）.

45.已知平面&/?和直線，給出條件:AD=y[2,E為。。的中點，將AfiCE沿座折起，使得COLDE,其

①相〃a;②m_La;③/wua；④a_L￡;?a//p.中點。在線段。E內(nèi).

(i)當(dāng)滿足條件時，有〃z〃，；(ii)當(dāng)滿足條件(1)求證：CO_L平面ABE。；

時，有(2)問NCEO(記為。)多大時，三棱錐C-AQE的體積最大？最大值

(填所選條件的序號)為多少？

評卷人得分

三、解答題

46.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1,AB=2,

ZPAB=120,NPBC=90.

48.如圖,ABCD是正方形,0是正方形的中心,POJ_面ABCD,E是PC的中點.

求證：(DPA〃平面BDE

(2)平面PAC_L平面BDE

(1)求證:平面以￡>_!_平面PAB；

(2)求三棱錐D-PAC的體積；

47.如圖，直角梯形ABCO中，AB〃CD,AD±AB,CD^2AB^4,

302‘，平面"5'6.

49.如圖,已知四棱臺ABCD-ABCD的側(cè)棱AAi垂直于底面垂CD,底面

ABCD是邊長為2的正方形，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，DD,=2.

(I)求證：平面AMC」平面BBDDi；

(II)求四棱臺ABCD-ABCD的體積;

(III)求二面角B—3C—D的余弦值.

50.如圖所示的幾何體是將高為2,底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面

切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A,A',民分別為

CD,CD',DE,D'E'的中點，分別為CD,CD',

DE,DE的中點.

(1)證明：四點共面；

(2)設(shè)G為A4'中點，延長A'O：到〃'，使得=證明：

參考答案

一、單項選擇

1.【答案】B

【解析】①該命題就是平行公理，即課本中的公理4,因此該命題是正確的；②如圖，

直線a_L平面a,bua,cua,^.bC\c=A,則aA.c,即平面a內(nèi)兩條

直交直線》，c都垂直于同一條直線“，但匕，。的位置關(guān)系并不是平行.另外，b,c

的位置關(guān)系也可以是異面，如果把直線力平移到平面a外，此時與。的位置關(guān)系仍是垂

直，但此時，b,c的位置關(guān)系是異面.

③如圖，在正方體ABC。—4用中，易知4片〃平面ABC。，AQ〃平面ABCQ,

但44n4A=4,因此該命題是錯誤的.

④該命題是線面垂直的性質(zhì)定理，因此是正確的.綜上可知①、④正確.

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

【解析】r/。與依在平面/8C內(nèi)的射影不垂直，A不成立；又平面A13J_平

面RtE,，平面平面依。也不成立；■.,8％40,「.SC力平面ZM。，.,.直線3c

//平面A4E也不成立.在RtZ\R4。中，PA=AD=2AB,：.APDA=45°,，D正確.

5.【答案】D

6.【答案】D

【解析】設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為相、“，直線加、〃確定了一個平面?.

作與萬平行的平面。，與四棱錐的各個側(cè)面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形.而

這樣的平面。有無數(shù)多個.

7.【答案】C

8?【答案】連接AC、BD交于0,連接0E,因0E〃SD.所以NAE0為所求.設(shè)側(cè)棱長與底面

邊長都等于2,則在/AE0中,0E=1,A0=&,AE=A/F=I=g,

于是cosZAEoJ揚2=3=走【答案】C

2xV3xlV33

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】C

【解析】取BC的中點E,則4石_1面5片。0,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

..AEA.DE,因此AO與平面所成角即為NAOE,設(shè)AB=a,則4七=當(dāng)。，

DE=-,即有tanZADE=瓜：.ZADE=60°.

2

12.【答案】B

13.【答案】C

14.【答案】A

【解析】???切在平面腿內(nèi)，力8是平面板的斜線，由三垂線定理可得A.

15.【答案】A

16.【答案】B

17.【答案】D

【解析】可以是平面四邊形，也可以是空間四邊形，所以正確選項為D.

18.【答案】D

【解析】正四棱錐P-ABCD中，PA、PC與底面ABCD所成角相等，但PA與PC相交，，A

錯；如圖⑴正方體中，a由b//c,滿足a//a,b//p,alp,故B錯；圖(2)正方體中，

上、下底面為B、a,a、b為棱，滿足a?a,b?p,a±b,但故C錯；

19.【答案】C

【解析】在平面DAB內(nèi)過點B與直線BC成60"角的直線共有2條,

故在平面DAB內(nèi)過點P與直線BC成60°角的直線共有2條。

20.【答案】D

21.【答案】D

依次畫出各選項的示意圖:

【解析】依次畫出各選項的示意圖:

顯然D不正確，選D

22.【答案】D

【解析】若此四邊形是平面圖形，則一定是矩形.若為空間圖形，則為有三個角為直角

的空間四邊形.

23.【答案】A

24.【答案】B

【解析】過。與該點作一平面與平面a相交，則交線與a平行，那么在平面。內(nèi)過該點

的直線中，除這一條直線外，其余的與a都不平行，所以正確選項為B.

25.【答案】D

【解析】考慮平面外的直線與平面有兩種位置關(guān)系可得正確選項為D.

26.【答案】C

27.【答案】A

【解析】⑴兩條直線都和同一個平面平行，這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能

⑵兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行或異面

⑶兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能

⑷一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點，則這條直線也可在這個平面內(nèi)

28.【答案】D

29.【答案】D

【解析】由中位線定理得四邊形是平行四邊形，再由已知可得相鄰兩邊垂直且相等，所

以正確選項為D,即有

1又EF//AC

EF//-AC

=2EH//BD

\nEFHGH,nEF_LGH,EF=EH

=AC1BD

GH//—AC

=2AC=BD

四邊形EFGH是正方形.

30.【答案】A

31.【答案】D

32.【答案】C

33.【答案】C

34.【答案】A

35.【答案】C

【解析】?「△ABC所在小圓面積為⑸,

，小圓半徑r=0'A=4,

500兀4兀R3500冗

又球體積為一】

O

球半徑R=5,/.00r=3,

故三棱錐的高為P0'=R±00'=8或2,故選C.

36.【答案】D

【解析】本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角。

過A作AE垂直于BC交BC于E,連結(jié)SE,過A作AF垂直于SE交SE于F,連BF,?.?正

三角形ABC,E為BC中點，BC1AE,SA1BC,/.BC±?SAE,/.BC1AF,AF±

SE,AF_L面SBC,?；/ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長3,，

AE=Q,AS=3「.SE=2后，AF=-,/.sinZABF=-

24

37.【答案】B

38.【答案】D

【解析】若4B、C、。四點不在一個平面內(nèi)，如果一邊3個，另一邊1個，適合題意

的平面有4個;如果每邊2個，適合題意的平面有3個，共7個.若4B、C、。四點

在一個平面內(nèi),則距離相等的平面有無數(shù)個.

39.【答案】B

mua,m±/=>?±/,又Iuynm工I.

40.【答案】D

二、填空題

auaalia

41.【答案】或*

a(3

42.【答案】平行四邊形

【解析】由a//(3"丫，a與AF相交于A有：BGu面ACF,

BG//CF,同理有：HE//CF,.-.BG//HE.同理BH//GE,四邊形BGEH為平行四邊

形.

43.【答案】①②

44.【答案】②④

45.【答案】③⑤②⑤

【解析】若mua,allp,則加/￡;

若〃z_La,allpy則根_L。

三、解答題

46.【答案】(1)證明：???ABCD為矩形

，AD±ABSL.AD//BC

,:BCLPBDA±PBS.ABp\PB=B

，D4,平面的，又：D4u平面PAD

.?.平面抬。_L平面的

（2）?Vn.pAC=Vp-OAC=Vp-ABC=^C-PAB

由（1）知D4_L平面且AO〃BC，BC_L平面ftAB分

iiii

V=-S.?.BC=——PAABsinNPABBC=-xlx2x—xl=—

cC-PAB3^ABB32626

47.【答案】（1）在直角梯形438中，CD^2AB,E為CD的中點，則AB=DE,

又A3〃DE,

ADLAB,知BEJ_C。.在四棱錐C-ABEO中，BE^DE,BE±CE,

CEp[DE=E,慮,。后<=平面。。￡,則3E_L平面CDE.因為COu平面CDE,所以

BE上CO.又COLDE,且BE,DE是平面ABEZ）內(nèi)兩條相交直線，故CO_L平面

ABED.

⑵由⑴知CO_L平面A6E。，

知三棱錐C-40E的體積V=1SMO￡OC=|x|xOExADxOC

由直角梯形ABC。中，C￡）=2AB=4,AO=&,