二次函數(shù)與一元二次方程及幾何圖形綜合2020-2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高頻考點(diǎn)突破（蘇科版）（解析版）

考點(diǎn)2、二次函數(shù)與一元二次方程及幾何圖形綜合

知識(shí)框架

甘上［二次函數(shù)圖象與一元二次方程的聯(lián)系

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)［二次函數(shù)與幾何圖形問題

'二次函數(shù)與判別式

二次函數(shù)與不等式

一元二次方程的近似解

缶班上好劑二次函數(shù)的圖像信息題

事難占題型4

二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問題

二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用

二次函數(shù)與面積

二次函數(shù)與全等、角度問題

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)2-1二次函數(shù)圖像與一元二次方程的聯(lián)系

1.二次函數(shù)產(chǎn)o?+fcv+c（存0）,當(dāng)尸0時(shí)，就變成了一元二次方程0?+法+C=0（存0）.

2.ax2+bx+c^0（存0）的解是拋物線y=aF+bx+c（存0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3.如下圖所示:

判別式A>0A=0

圖像

與x軸交點(diǎn)2個(gè)（2解）0個(gè)（無解）

方程的解無解

x-i=m,x2=n

（1）/-4">0=方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);

（2）/-4牝=00方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn);

（3）后_4"<00方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

例1.（2020?廣西壯族自治區(qū)初三學(xué)業(yè)考試）若二次函數(shù)y=2f—4x-l的圖象與x軸交于A（X，0）,B

（￡，0）兩點(diǎn)，則J+J的值為.

【答案】-4

【分析】與x軸的交點(diǎn)的家橫坐標(biāo)就是求y=0時(shí)根，再根據(jù)求根公式或根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和與

兩根之積。把要求的式子通分代入即可。

【解析】設(shè)y=0,則2/一4x—l=0，??.一元二次方程的解分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，即西，赴，.?.

....X+%,2.

—4111=—!---±-=---=-4

玉+”一5=2,x,x2—中2_1故答案為：-4.

bc

【點(diǎn)懵】根據(jù)求根公式可得，若占，W是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則芯+巧=——，玉X,=一

aa

例2.（2020?云南省中考真題）如圖，拋物線y=o?+公+。（。和）的對(duì)稱軸為直線x=l,與y軸交于點(diǎn)2（0,

-2）,點(diǎn)A（-1,m）在拋物線上，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.ab<0B.一元二次方程以2+云+。=0的正實(shí)數(shù)根在2和3之間

+21

c.a=—J—D.點(diǎn)Pl（6?）,P2G+1,”）在拋物線上，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，yi<y2

【答案】D

【分析】由拋物線開口方向得到a>0,利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到b=-2a<0,則可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；

利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)在（2,0）與（3,0）之間，則根據(jù)拋物線與x

軸的交點(diǎn)問題可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；把B（0,-2）,A（-1,m）和b=-2a代入拋物解析式可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)

行判斷；利用二次函數(shù)的增減性對(duì)D進(jìn)行判斷.

【解析】???拋物線開口向上，.??〃>（），

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2=1,-2a<0,...他<0,所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；

2a

?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)在（0,0）與（-1,0）之間，

.?.拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)在（2,0）與（3,0）之間，

...一元二次方程a^+hx+c^O的正實(shí)數(shù)根在2和3之間，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；

把8（0,-2）,A（-1,m）代入拋物線得c=-2,a-b+c^m,而6=-2a,

727+2

.,.a+2a-2=m,.,.a=---,所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；

:點(diǎn)Pi（t,yt）,P2（t+1,%）在拋物線上，.?.當(dāng)點(diǎn)R、巳都在直線x=l的右側(cè)時(shí),><”，此時(shí)侖1;

當(dāng)點(diǎn)P在直線x=l的左側(cè)，點(diǎn)2在直線x=l的右側(cè)時(shí)，"<”，此時(shí)0W1且什1-1>1T,

即.?.當(dāng)或侖1時(shí)，乂<”，所以。選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤：故選：。.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性確定拋物線與x軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到一元二次方程的根.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

例3.（2020.四川省綿陽市初三期中）若函數(shù)y=f—2x+人的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，則〃的取值范圍

是（）

A.。<1且匕wOB.b>1C.0</?<1D.b<1

【答案】A

【解析】拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，則拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，與），軸有一個(gè)交點(diǎn).

解：?.?函數(shù)y=f—2x+Z?的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，

/.A=（-2）2-4b>0,且bWO,解得，XI且厚0.故選A.

例4.（2020?山東省中考真題）已知二次函數(shù)丁="2+法+。"c是常數(shù)，的）'與"的部分對(duì)

應(yīng)值如下表：

X-5-4-202

y60-6-46

下列結(jié)論：①a>0；②當(dāng)尤=—2時(shí)，函數(shù)最小值為一6；③若點(diǎn)（一8,X），點(diǎn)（8,必）在二次函數(shù)圖象上,

則X<%；④方程由：?+法+。=一5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.（把所有

正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

【答案】①③④

【分析】先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可直接判斷①；由拋物線的性質(zhì)

可判斷②；把點(diǎn)（一8，x）和點(diǎn)（8,y2）代入解析式求出x、y2即可③；當(dāng)尸-5時(shí)，利用一元二次方程的根

的判別式即可判斷④，進(jìn)而可得答案.

25。-5b+c=6a=1

【解析】解：由拋物線過點(diǎn)（-5,6）、（2,6）、（0,-4）,可得：卜a+2/?+c=6,解得：卜=3,

c=-4c=-4

，二次函數(shù)的解析式是y=x2+3x—4，故①正確；

325

當(dāng)x=—:時(shí)，y有最小值——，故②錯(cuò)誤；

24

若點(diǎn)（一8,%），點(diǎn)（8,%）在二次函數(shù)圖象上，則弘=36,%=84,；.,<力，故③正確；

當(dāng)尸-5時(shí)，方程丁+31一4=-5即f+3x+l=0,?..△=32-4=5>0，二方程℃2+笈+。=一5有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；綜上，正確的結(jié)論是：①③④.故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題以表格的形式考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的

根的判別式等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例5.（2020.四川省成都市初三期末）已知函數(shù)y=-3-（x-m）（x-〃），并且a,6是方程-3-

（x-n）=0的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)〃?，〃,a,6的大小關(guān)系可能是（）.

A.m<n<h<aB.a<m<n<hC.a<m<b<nD.m<a<h<n

【答案】D

【分析】令拋物線解析式中y=o,得到方程的解為。，b,即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,b,再

由拋物線開口向下得到了<?；驎r(shí)》小于0,根據(jù)％=根與〃時(shí)函數(shù)值小于0,即可確定出加，n,a,

分的大小關(guān)系.

【解析】函數(shù)>=-3-（工-，〃）（》-〃）=一7+（加+〃）工一加7-3,，拋物線開口向下,

a,b是方程-3-（X-”）=0的兩個(gè)根.?.當(dāng)X=a或b時(shí)，y=o,

又當(dāng)x=/n或〃時(shí)，丁=一3<0,實(shí)數(shù)相，n,a,力的大小關(guān)系為故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查?元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，難度較大，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例6.（2020?長(zhǎng)沙市中雅培粹學(xué)校初二月考）小蘭畫了一個(gè)函數(shù)y=f+ax+〃的圖象如圖，則關(guān)于x的方程

x2+ar+i>=0的解是（）

A.無解B.x=IC.x=-4D.x=-1或x=4

【答案】D

【解析】如圖，???函數(shù)y-2+ax+b的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1,0）,（4,0）,

，關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-l或x=4.故選D.

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn).

7.（2020?河北裕華。石家莊外國(guó)語學(xué)校初三三模）若二次函數(shù)y=f-2公-1（。為常數(shù)）的圖象在

-2款k5的部分與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

3312312312

A.—<tz<0B.—WciW—C.a4----或ci<—D.a4-----或aN—

4454545

【答案】B

【分析】根據(jù)題意二次函數(shù)的圖像在-2領(lǐng)k5的部分與x軸要有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以只需把x=-2和x=5代

入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=V—26-1中，使得它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于或等于零即可，最后構(gòu)建不等式組求解

即可.

【解析】二次函數(shù)y=2分一1的圖像在一2軟k5的部分與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

、3

a2—

4+4a-l>04

當(dāng)x=-2和x=5時(shí)，得,

25-10a-l>0/2

a<—

5

312

??.此不等式的解集為一產(chǎn)〃“二故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到在自變量-2領(lǐng)Jr5所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是在x

軸的匕方還是下方，也可以試著畫函數(shù)圖像來分析問題，進(jìn)而構(gòu)建不等式組來求解.

知識(shí)點(diǎn)2-2二次函數(shù)與幾何圖形問題

面積

幾何圖形與解析式

其他幾何條件

利用題干中的特殊幾何關(guān)系，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式。

(1)面積

解題技巧：題干中涉及面積時(shí)，我們需要想辦法將面積條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的信息，在利用點(diǎn)的方法求解解析式。

常見面積是三角形的面積，我們通常選平行于坐標(biāo)軸的邊為底邊，另一點(diǎn)到底邊的距離為三角形的高。

注：高、底是兩點(diǎn)間的距離，若已知1點(diǎn)，則另1點(diǎn)有2中情況，即：在已知點(diǎn)的左右兩邊。

1.(2019?揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校初三期末)已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，

且函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(3,10).(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P,求4ABP的面積；

⑶當(dāng)x為何值時(shí)，y4).(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)y=-2X2+4X+16；(2)54；(3)*忘-2或*24.

【分析】(1)因?yàn)锳(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)拋物線解析式為尸a(x+2)(x-4),

然后把(3,10)代入求解；(2)把化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求出AAB尸

的面積；(3)根據(jù)二次函數(shù)的圖像直接觀察位于x軸下方部分圖像對(duì)應(yīng)的x的取值即可解答.

【解析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4),把(3,10)代入得5X(-1)a=10,解得a=-2,

所以拋物線解析式為y=-2(x+2)(x-4),即y=-2x2+4x+16；

(2)Vy=-2X2+4X+16=-2(x-1)2+18,，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,18),

.?.△ABP的面積=1X(4+2)X18=54；

2

(3)xW-2或xN4.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解

答本題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式.

2.(2020?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí))若二次函數(shù)y=ax?+b的最大值為4,且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,3).

(1)求a,b的值以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)直接寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后所得的新圖象的函

數(shù)表達(dá)式.(3)在二次函數(shù)y=ax?+b的圖象上是否存在點(diǎn)B,使得S?睥=25*0?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)a=-l,b=4,(0,4)；(2)y=x2-4；(3)存在，(2,0)或(一2,0).

【分析1(1)由題意即可求得a,b的值，根據(jù)表達(dá)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)利用原二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于

X軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)“橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”就可以解答.(3)假設(shè)存在并設(shè)出其坐標(biāo)(x,y),根據(jù)

5^^254。。易得兇=2,分x的值為2與一2兩種情況討論，進(jìn)而可得答案.

【解析】解：(1)由二次函數(shù)y=ax?+b的最大值為4,可知b=4.卜="2+4,

?.?函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l,3),；.3=a+4,解得:a=-l,

故該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-尤2+4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4).

(2)由題意可知，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)“橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”，

故將原二次函數(shù)中的y用一丫代替，得到-y=—/+4,整理得：y=x2-4.

(3)存在.假設(shè)存在點(diǎn)B(x,y),使得：AOD,AyOD|^=2xA-ODxl,

解得：x=+2.①當(dāng)x=2時(shí)，則y=—兀2+4=0；②當(dāng)x=-2時(shí)，則y=—%2+4=0.

二存在滿足條件的點(diǎn)B,它的坐標(biāo)為(2,0)或(一2,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的求法，

二次函數(shù)的對(duì)稱性，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)的圖形性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

r2

3.(2020南寧初三期末)如圖，垂直于x軸的直線A8分別與拋物線G：丁=/(N20)和拋物線。2：y=~

(x20)交于A,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作C￡>〃x軸分別與〉軸和拋物線C2交于點(diǎn)C,D,過點(diǎn)8作E尸〃x軸分

別與y軸和拋物線G交于點(diǎn)E,F,則9口的值為()

【答案】D.

【分析】可以設(shè)A、B橫坐標(biāo)為“，易求得點(diǎn)￡、F、。的坐標(biāo)，即可求得。E、CE、AD,8尸的長(zhǎng)度即可.

【解析】設(shè)點(diǎn)A、8橫坐標(biāo)為小則點(diǎn)A縱坐標(biāo)為標(biāo),點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為幺，???8E〃x軸，...點(diǎn)/縱坐標(biāo)為

2

???點(diǎn)F是拋物線y=Y上的點(diǎn)，點(diǎn)F橫坐標(biāo)為廣G'：CD//x軸，點(diǎn)D縱坐標(biāo)為a,

?點(diǎn)/）是拋物線y=?2上的點(diǎn)，，點(diǎn)力橫坐標(biāo)為x=J^=2“，BF^-[^a,CE=3^a2,OE^-]^a2,

2RF.OF

...則工了故選口.

S?1-ADCE836

2

點(diǎn)睛：本題考查了拋物線上點(diǎn)的計(jì)算，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求得點(diǎn)E、F,。的坐標(biāo)是解題的

關(guān)鍵.

4.（2020?浙江溫嶺初三一模）如圖，拋物線y=-2x?+2與x軸交于點(diǎn)A、B,其頂點(diǎn)為E.把這條拋物線

在X軸及其上方的部分記為C1,將Cl向右平移得到C2,C2與X軸交于點(diǎn)B、D,C2的頂點(diǎn)為F,連結(jié)EF.則

圖中陰影部分圖形的面積為.

\OBDN

【答案】4

【分析】由S陰影部分圖形=5四邊形BDFE=BDXOE,即可求解.

【解析】令y=0,則：x=±l,令x=0,則y=2,則：OB=1,BD=2,OB=2,

S陰影部分圖形=S四邊形BDFE=BDXOE=2X2=4.故：答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，確定S陰影滯分圖形—S四邊形BDFE是本題的關(guān)鍵.

（2）其他幾何條件

解題技巧：己知幾何條件，都需要先將幾何條件進(jìn)行挖掘分析，轉(zhuǎn)化為1個(gè)等式方程，再結(jié)合其他已知點(diǎn)

聯(lián)立方程，求解解析式。幾何圖形較多，僅舉部分示例說明。

1.（2020?廣東省初三其他）如圖，我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知

點(diǎn)A、B、C、。分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線的解析式為y=%2-4x—12,A8為半圓的直

徑，則這個(gè)“果圓”被>,軸截得的弦CD的長(zhǎng)為

【答案】12+2百

【分析】連接CM,根據(jù)拋物線解析式求出0D=12,AO=2,B0=6,AB=8,M(2,0),利用勾股定理求出

OC,即可得到CD的長(zhǎng)度.

【解析】連接CM,?.?拋物線的解析式為y=d一4%-12,.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-12),，0口=12.

設(shè)y=0,則0=X2-4X-12,解得：x=-2或6,AA(-2,0),B(6,0).

/.AO=2,BO=6,AB=8,M(2,0),；.MC=4,OM=2,

在RtACOM中，OC=4CM2-OM2="-22=2百-**CD=OD+OC=12+26，

即這個(gè)“果圓”被y軸截得的線段CD的長(zhǎng)12+26，故答案為：12+26.

【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，圓的半徑相等的

性質(zhì)，勾股定理，正確掌握基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，拋物線y/=a(x+2)2—3與y2=g(x-3)2+/交于點(diǎn)A(1,3),過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交

2

兩條拋物線于點(diǎn)B,C.則以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②。=§；③當(dāng)x=0時(shí)，y2-yi=6；

④AB+AC=10；⑤X最小+%最小=T，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是：.

【答案】4.

【解析】：???51-3）220,%=5（%-3）2+1>0,.?.無論x取何值，必的值總是正數(shù)，①正確；

12

?.?拋物線y=a（x+2）2—3與3>+1交于點(diǎn)A（1,3）,二3=9。—3,.②正確：

當(dāng)x=0時(shí)，X=-《，%=?，當(dāng)x=0時(shí)，>2-X=學(xué)，③錯(cuò)誤；

326

2719

當(dāng)y=3時(shí)，=—（x+2）~-3=3,解得x=-5或1,y2=—（x-3）~+1=3,解得x=l或5,即AB+AC=10,

④正確；

*=a（x+2）2-3最小值為-3,%=g（x-3）2+1最小值為1,X最小一%最小=-4,⑤正確，

綜上正確的有①②④⑤，故答案為4.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).

3.（2019?無錫市安陽中學(xué)初三期中）若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)M滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)M叫

做“整點(diǎn)”.例如：P（l,0）、<2（2,—2）都是“整點(diǎn)”.拋物線產(chǎn)WC2-2做+加一1（/?>0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，則m的取值范圍是

（）

11111111

A.—<m<—B.-<m<—C.—<m<—D.—<tn<—

84949294

【答案】B

【分析】先將拋物線化為頂點(diǎn)式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以及恰有6個(gè)整點(diǎn)確定A點(diǎn)范圍，最后

根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出m的取值范圍.

【解析】丁y二相/一2加+加一1=加（工一1）~一1,.,?拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—1）,如圖所示，

??,該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，

???點(diǎn)A在（-1,0）與（-2,0）之間，包括點(diǎn)（-1,0）,

當(dāng)拋物線繞過（一1,0）時(shí)，m=~,當(dāng)拋物線繞過（一2,0）時(shí)，/n=L

49

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)關(guān)系式與圖象的綜合運(yùn)用，要熟悉表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化，熟練掌握二次函數(shù)的圖象.

4.(2020?山西省初三其他)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一個(gè)直角三角形紙板048,直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)

原點(diǎn)。，頂點(diǎn)A,B分別在x軸的正半軸和)'軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)為&L0),5(0,-2),將直角三角形紙

板。AB繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OCO,此時(shí)，點(diǎn)A,B,。恰好落在拋物線上.根據(jù)圖象可知，

下列結(jié)論正確的是().

A.拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=-1B.拋物線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是1-1,-

C.一元二次方程℃?+歷c+c=0的解是玉=-2,X,=1D.當(dāng)x<l時(shí)，隨x的增大而減小

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得A,B,D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解析】將直角三角形紙板。AB繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OCD可知，OD=OB=2,...D(-2,0)

又A(1,0),B(0,-2),故可設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-1)(x+2),

,1,9

把B(0,-2)代入得，a=l,y=(x-l)(x+2)=x2+x-2=(x4—)------>

24

...拋物線的對(duì)稱軸為直線X=-：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；拋物線開口向上，無最高點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為21,所以，-元二次方程o?+區(qū)+。=0的解是％=-2,9=1,

故選項(xiàng)c正確；當(dāng)*工時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選c.

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2020?河北省初三期末）將拋物線y=；f+i繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180P，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）

A.y=-2x24-1B.y=—2x2—1C.y=---x2+1D.y=一■-x2-1

22

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線y=；f+l,可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（o,1）,開口向上，拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1劍后，開口向下，

頂點(diǎn)和拋物線形狀沒有改變，即可得到答案.

【解析】?.?拋物線）=3爐+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,開口向上，

二拋物線y=gf+l繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)18CT后所得的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,開口向下，

...旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為：y^--x2+l.故選C.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的旋轉(zhuǎn)變換，掌握拋物線的頂點(diǎn)式與旋轉(zhuǎn)變換是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?無錫市南長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三二模）如圖，一次函數(shù)y=；x-2的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,

二次函數(shù)y=—萬/+公+。的圖象經(jīng)過4、B兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)C.若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，且

ZACB,則所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【分析】討論：當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上方時(shí)，根據(jù)圓周角定理可判斷點(diǎn)M在aABC的外接圓上，如圖所示,

由于拋物線的對(duì)稱軸垂直平分AC,則AABC的外接圓a的圓心在對(duì)稱軸上，設(shè)圓心。的坐標(biāo)為

I//

25)

根據(jù)半徑相等得到I+("2+t2,解方程求出t得到圓心。的坐標(biāo)為-,-2,然后

12>

確定a的半徑為g,從而得到此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)M在直線AB下方時(shí)，作01關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)Q，

如圖所示，通過證明/q四=0可判斷。2在x軸匕則點(diǎn)。2的坐標(biāo)為(|,o),然后計(jì)算DM即可

得到此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上方時(shí)，則點(diǎn)M在△ABC的外接圓上,

51

???△ABC的外接圓?的圓心在對(duì)稱軸匕設(shè)圓心01的坐標(biāo)為5，-大，則=

I乙)

5、(5

--4+/，解得，=2,...圓心。?的坐標(biāo)為一,-2

22

1A

：.A=jf--4I+22=即a的半徑為:，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為2-

O1\l2J2212y

當(dāng)點(diǎn)M在直線AB下方時(shí)，作a關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)。2,如圖所示，

5

,:AO、=0.B=-,A￡O,AB=4)、AB,

11211

???OR//x軸，，NQBA=40AB,：.40、AB=40AB,。，在x軸匕

111N

I2=也1,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為|

點(diǎn)02的坐標(biāo)為（|,0卜?.O2D=1,:.DM=4|、

2I2

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或:’一空~

\22）（22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確進(jìn)行點(diǎn)的位置的判斷是解題的關(guān)鍵.

重難點(diǎn)題型

題型1二次函數(shù)與判別式

（>0,2個(gè)交點(diǎn)

解題技巧：拋物線與x軸的交點(diǎn)情況與判別式432一4四）的符號(hào)有關(guān)，△1=0,1個(gè)交點(diǎn)

（<0,無交點(diǎn)

注：如二次函數(shù)與一元二次方程形式不同時(shí)，需要先將二次函數(shù)邊形成相同形式，才可利用根與函數(shù)交點(diǎn)

的關(guān)系。

1.（2020?河南省初三期末）拋物線）=/+4*+5—機(jī)與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則”的取值范圍是（）

A.m<-\B.0<m<1C.m<\D.m>\

【答案】D

【分析】由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△=b2-4ac>0,從而求出m的取值范圍.

【解析】?拋物線y=x?+4x+5-m與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，A=b2-4ac>0,BP16-4（5-m）>0,

解得m>l,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，注：①拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△>（）；②拋物線與x

軸無交點(diǎn)，則△<（）；③拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則△=（）.

2.（2020?四川省中考真題）已知二次函數(shù)（。為常數(shù)）的圖象與X軸有交點(diǎn)，

且當(dāng)x〉3時(shí)，）'隨X的增大而增大，則。的取值范圍是（）

A.a>-2B.a<3C.-2<a<3D.-2<a<3

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象與x軸有交點(diǎn)，得出判別式△K）,從而解得a2-2,然后求出拋物線的對(duì)稱軸，結(jié)合拋物

線開口向上，且當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，可得aW3,從而得出選項(xiàng).

【解析】解：y-x2-2ax+a2-2?-4

?.?圖象與x軸有交點(diǎn)，???△=（-2a）2-4（a2-2a-4）20解得a2-2；

—2Q

?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-——=a拋物線開口向上，且當(dāng)x>3時(shí)，y隨X的增大而增大，

，aW3,...實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2WaW3.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，明確拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?黑龍江省中考真題）已知關(guān)于X的一元二次方程/一2尤—a=（）,有下列結(jié)論：

①當(dāng)a>-1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；②當(dāng)a>0時(shí)，方程不可能有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根；

③當(dāng)a>-1時(shí)，方程的兩根不可能都小于1；④當(dāng)。>3時(shí)，方程的兩根一個(gè)大于3,另一個(gè)小于3.

以上4個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為.

【答案】①③

【分析】由根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【解析】根據(jù)題意，；一元二次方程幺一2%一。=0，；?△=（—2）2—4xlx（—a）=4a+4；

當(dāng)4a+4>0,即a>—1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；故①正確：

4a+4>0

C，解得：方程有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根，則當(dāng)a>0時(shí)，方程可能有兩個(gè)異號(hào)

?x2--a>（）

的實(shí)根；故②錯(cuò)誤；

拋物線的對(duì)稱軸為：％=-9=1,則當(dāng)a>—1時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根不可能都小于1；故③正確；

由a>3,則a=f—2x>3,解得：x>3或x<—1；故④錯(cuò)誤；.?.正確的結(jié)論有①③；

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握所

學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題.

4.（2020?山東省中考真題）拋物線y=2f+2億一1?一攵（女為常數(shù)）與無軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

【答案】2

【分析】求出A的值，根據(jù)A的值判斷即可.

【解析】解：???△=4（14-1尸+81<=41?+4>0,.?.拋物線與X軸有2個(gè)交點(diǎn).故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題.

5.（2020?湖北省中考真題）我們約定：（〃力,。）為函數(shù)y=辦2+笈+。的關(guān)聯(lián)數(shù)，當(dāng)其圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)

的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”，若關(guān)聯(lián)數(shù)為（加,-加-2,2）的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交

點(diǎn)（m為正整數(shù)），則這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（1,0）或（2,0）或（0,2）

2

【分析】將關(guān)聯(lián)數(shù)為（小，—加—2,2）代入函數(shù)了=酬2+陵+。得到：y=mx+（-fn-2）x+2,由題意將

y=0和x=0代入即可.

【解析】解：將關(guān)聯(lián)數(shù)為（相，一加一2,2）代入函數(shù)y=o?+版+C得到：丁=初/+（一加一2）x+2,

???關(guān)聯(lián)數(shù)為（機(jī)一加一2,2）的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)（m為正整數(shù)），

...y=0,即府+（—相一2）%+2=0,因式分解得Qnx-2）（》-1）=0,

又???關(guān)聯(lián)數(shù)為（加,一加一2,2）的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)，即△=〃_4ac>o

Am=l,y=x2-3x+2,與x軸交點(diǎn)即y=0解得x=l或x=2,

即坐標(biāo)為（1,0）或（2,0）,與y軸交點(diǎn)即x=0解得y=2,即坐標(biāo)為（0,2）,

,這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）或（2,0）或（0,2）；故答案為：（1,0）或（2,0）或（0,2）.

【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，涉及一元二次方程判別式判斷解的個(gè)數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)與坐標(biāo)軸

交點(diǎn)的求解辦法，難度一般，計(jì)算較多.

6.（2020?江蘇阜寧初三二模）已知二次函數(shù)y=d-2,我+2加一1（機(jī)為常數(shù)）.

（1）求證：不論加為何值，該二次函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).

（2）求證：不論“為何值，該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)y=—（x-Ip的圖像上.

【答案】（1）見解析：（2）見解析；

【分析】（1）計(jì)算判別式的值得到△》（），從而根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用配方法得到二次函數(shù)

y=x2-2mx+2m-l的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m,-（m-1）2）,然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷；

【解析】⑴令y=0，則/_2儂+2加-1=0.

a=1,b=-2m,c=2m-1,.,.b2—4ac-（2m）2—4（2m-1）=4m2—8m+4=4（m-l）2.

?；4（加一l）2..O,.?.從-4ac..O.???一元二次方程4一2儂+2加-1=0有實(shí)數(shù)根.

故不論加取何值，函數(shù)y=d-2mx+2m-l與無軸總有公共點(diǎn).

(2)*.*y=d-2mx+2m-l=(x—iri)2-trr+2機(jī)—l=(x—m)2—(m—I)2.

...該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(九一(機(jī)一1)2).把x=m代入y=—(x-l)2,得y=_(m—1)2.

...不論加為何值，該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)都在函數(shù)y=—(x—l)2上.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與判別式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

題型2二次函數(shù)與不等式

解題技巧：二次函數(shù)y=a^+hx+c的圖像在x軸下方的自變量取值范圍就是ajc2+hx+c<0的解集；在x軸上

方的自變量的取回范圍就是^的解集。此類題型，往往還需要結(jié)合二次函數(shù)的增減性對(duì)不等式進(jìn)

行判斷。

1.(2020?長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期末)如圖，拋物線％=-f+4%和直線%=2x,當(dāng)“<%時(shí)，X

的取值范圍是()

A.0<x<2B.x<0或x>2C.x<0或x>4D.0<x<4

【答案】B

【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線上方部分的X的取值范圍即可.

y=_X'+4xI%=°X[=2

【解析】解：聯(lián)立c,解得八，〈一，

[y=2x[x=0[%=4

??.兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(2,4),由圖可知，x<%時(shí)》的取值范圍是％<0或x>2.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡(jiǎn)便.

2.(2020?廣西壯族自治區(qū)中考真題)把二次函數(shù)y=a%2+笈+c(a>0)的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，

所得圖象的解析式為y=—a(x—l)2+4a,若(加一l)a+/?+cW0,則m的最大值為()

A.-4B.0C.2D.6

【答案】D

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖形的變換規(guī)律可得變換后的函數(shù)解析式為y=-a?—加—c,再根據(jù)對(duì)稱軸、

與y軸的交點(diǎn)問題可求出6=-2a,c=-3a,然后代入解一元一次不等式即可得.

【解析】由二次函數(shù)圖形的變換規(guī)律得:把二次函數(shù)曠=分2+瓜+以。>0）的圖象作關(guān)于*軸的對(duì)稱變換，

所得圖象的解析式為y=-ax1-bx-c^WOy=-a（x-l）2+4a與y=-℃2一法一。相同

由對(duì)稱軸得：x=-2=l,解得匕=一2。

2a

當(dāng)x=0時(shí)，由函數(shù)y=—a（x—I）?+4a得y=-a+4a=3。；由函數(shù)y=—g?一灰―。得y=—c

貝ij-c=3a,即c=-3a

將b=-2a,c=-3a代入（，〃-1）0+。+。<0得：2a-3aWO整理得：（加-l）aW5a

a>0m-l<5解得m<6則m的最大值為6故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對(duì)稱性、與y軸的交點(diǎn)）、一元?次不等式等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出b、c與a的關(guān)系等式是解題關(guān)鍵.

3.（2020?江蘇金湖初三一模）如圖是二次函數(shù)丫=2*2+6*+<:的部分圖象，使yN-1成立的x的取值范圍是

()

A.x>-1B.x<-1C.-l<x<3D.xW-1或x>3

【答案】C

【分析】觀察函數(shù)圖象在y=-l上和上方部分的x的取值范圍便可.

【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)y"1時(shí)，二次函數(shù)丫=2*2+6*+￡；不在y=-I下方部分的自變量X滿足：

-l<x<3,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是

明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

4.（2020?北京門頭溝初二期末）閱讀理解：

由所學(xué)一次函數(shù)知識(shí)可知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=fcv+6（ZWO）的圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是

一元一次方程自+匕=0*#0)的解；在X軸下方的圖象所對(duì)應(yīng)的X的所有值是履+b<0(k#0)的解集，

在x軸上方的圖象所對(duì)應(yīng)的x的所有值是心:+b>0(ZWO)的解集.例，如圖I,一次函數(shù)fcr+b=Oawo)

的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0),則可以得到關(guān)于x的一元一次方程區(qū)+b=0(kWO)的解是x=l；kx+h<0

(y0)的解集為x<l.結(jié)合以上信息、，利用函數(shù)圖象解決下列問題：⑴通過圖1可以得到fcv+QO(k￥O)

的解集為_;(2)通過圖2可以得到①關(guān)于x的一元二次方程ox?+法+c=。"wo)的解為__；②關(guān)于x

的不等式af+fer+c〉。(aWO)的解集為_.

【答案】x>1x\—-I,X2—2x<-1或x>2

【分析】(1)直接根據(jù)圖象即可得出答案；(2)①直接根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)即可得出答案;

②直接根據(jù)圖象即可得出答案.

【解析】解：(1)通過圖1可以得到依+6>0(k￥0)的解集為x>l：

(2)通過圖2可以得到①關(guān)于x的一元二次方程以2+w+c=0(a#0)的解為?=-1,尤2=2：

②關(guān)于x的不等式ax■勿+c>0(aWO)的解集為》<-1或x>2.

故答案為：x>1；3=-I>