反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題(解析版)-2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練

備戰(zhàn)2021年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題11反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題

【專題訓(xùn)練】

一、解答題

1.（2020?新疆九年級(jí)三模）如圖，己知菱形A8CD的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,四個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)產(chǎn)&（心0）

X

的圖象與4。邊交于E（-4,—）,F（m,2）兩點(diǎn).

2

（1）求k,用的值;

F（m,2）在）七上，1.

X

k

（2）函數(shù)"一圖象在菱形仙笫內(nèi)X的取值范圍為;-4VxV-1或l<x<4.

X

【點(diǎn)睛】

本題考杳了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

2.（2020?江西九年級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A8CO的對(duì)角線80在x軸上，若正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4逝,

點(diǎn)B在x負(fù)半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C點(diǎn).

⑴求該反比例函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)P是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，且APBO的面積恰好等于正方形ABCO的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】

解：(I)連接AC,交x軸于點(diǎn)D.???四邊形48C。為正方形，??.A/)=DC=0D=8D,且4c_LOB.?.?正方形A8co的邊長(zhǎng)為

4五，:.DC=0D=^^=4,:.C(-4,-4),把C坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：《=16,則反比例函數(shù)解析式為產(chǎn)史;

V2x

(2)?.正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4夜，.?.正方形A8CO的面積為32,分兩種情況考慮：

若R在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，連接P?PQ.?.?53小。=—BO?|%|=S正方形ABCO=32,而。8=應(yīng)C0=8,二,

22

x8x|v/-|=32,.-.^1=8,把尸8代入反比例函數(shù)解析式得：m2,此時(shí)Pi坐標(biāo)為(2,8)；

若為在第三象限反比例圖象上，連接OB,BPi,同理得到?jīng)_2=-8,把y=-8代入反比例函數(shù)解析式得：x=-2,此時(shí)尸2(-

2,-8).

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,8)或(-2,-8).

點(diǎn)睛：本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考杳了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式以及勾

股定理的綜合運(yùn)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2020?河南鄭州市?鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)其他模擬)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)8(3,-2),以AB為

、k

邊在y軸右側(cè)作正方形ABC￡>,反比例函數(shù)y=—(x>0)恰好經(jīng)過點(diǎn)D

X

(1)求。點(diǎn)坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式；

(2)在入軸上有兩點(diǎn)七，F(xiàn),其中點(diǎn)E使得EQ+E4的值最小，點(diǎn)/使得|FD-胡|的值最大，求線段EF的長(zhǎng).

【答案】

(1)作OM_Ly軸于M,BN±y軸于M

???點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)B(3,-2),

OA=2,ON=2,

AN=4,BN=3,

四邊形ABC。是正方形，

/.zBAD=90°,AB=AD,

：.ZNAB“DAM=90°,

ZNAB+乙ABN=90°,

/.ZDAM=z.ABN,

在AANB和△DMA中，

/ABN=ADAM

<ZANB+ZDMA=90°f

AB=AD

：.△ANB拶△DMA(AAS),

.?.AM=8N=3,DM=AN=4,

「.OM=5,

??.D(4,5),

k

???反比例函數(shù)y=—(x>0)恰好經(jīng)過點(diǎn)D

X

/.^=4x5=20,

20

???雙曲線為了=—；

x

(2)如圖2所示：作A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)4,連接QA,交x軸于點(diǎn)E,此時(shí)ED+E4的值最小,

「4(0,2),

.?.4(0,-2),

設(shè)直線DV的解析式為：y=ax+h,

b=—2

把人(0,-2),D(4,5)代入得〈

4a+h=5

'_7

解得：<W，

b=-2

7

故宜線O/V解析式為：y=-x-2.

4

Q

當(dāng)y=0則冗=,,

8

故E點(diǎn)坐標(biāo)為：(一，0),

7

延長(zhǎng)D4交x軸于F,此時(shí)|尸。-必|的值最大，

設(shè)直線A。的解析式為y^mx+n,

n=2

把A(0,2),D(4,5)代入得〈，

4m+n=5

f3

m=—

解得彳4.

n=2

3

??直線A。的解析式為y=/■x+2,

Q

當(dāng)y=0則工=一一，

3

8

?'.F（---,0）,

3

?8880

7321

【點(diǎn)睛】

本題屬于反比例函數(shù)與幾何的綜合，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)

解析式以及最短路線問題等知識(shí)，根據(jù)題意得出E,F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

4.（2020.河南九年級(jí)零模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,

k

-4）,反比例-函數(shù)y=—（foO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.

X

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第二象限的圖象上的一點(diǎn)，若APBC的面積等于正方形4BCD的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】

解：（1）?.?點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-4）,

AB=1,

???四邊形ABC。為正方形，

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,-4）,

k

代入y=—,得《=-28,）

X

28

「?反比例函數(shù)的解析式為y=----；

x

（2）設(shè)點(diǎn)P到8C的距離為

,「△PBC的面積等于正方形A8CQ的面積,

—x7x/?=72,解得力=14,

2

???點(diǎn)P在第二象限,yp=h-4=10,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（——,10）.

5

【點(diǎn)暗】

本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義，正方形的性質(zhì)以及三角形和正方形的面積

等，根據(jù)正方形的性質(zhì)求得C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?江西中考真題）如圖，中，ZACB=90°-頂點(diǎn)A，5都在反比例函數(shù)y=?（x>0）的圖象上，直

X

線軸，垂足為。，連結(jié)。4,OC，并延長(zhǎng)OC交A3于點(diǎn)E，當(dāng)A3=2CM時(shí)，點(diǎn)E恰為AB的中點(diǎn)，若

ZAOD=45。，OA=2y[2-

（1）求反比例函數(shù)的解析式：

（2）求NEOD的度數(shù).

【答案】

（1）..AD_Lx軸，ZAOD=45°f0A=2夜，

/.AD=OD=2,

?.4（2,2）,

?.?點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，

%2x2=4,

4

即反比例函數(shù)的解析式為y=—.

x

⑵?「△A8C為直角三角形，點(diǎn)￡為A8的中點(diǎn),

AE=CE=EB,ZAEC=2ZECB,

-：AB=2OA,

AO=AEf

：.ZA但NAEO=2ZECB,

/ZACB=90°f軸，

「?3C〃不軸，

ZECB=ZEOD,

??.ZAOE=2,EOD,

ZAOO=45。，

Z￡0D=-ZAOD=-x45°=15°.

33

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的解析式、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意找

出角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.（2020.湖南湘潭市?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形0A3C的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）.

（1）求過點(diǎn)B的反比例函數(shù)y=&的解析式；

x

（2）連接08,過點(diǎn)8作交工軸于點(diǎn)￡），求直線的解析式.

【答案】

（1）過點(diǎn)4作A￡J_x軸，過8作軸，垂足分別為￡，F(xiàn),如圖,

???A(3,4)

..0E=3，A￡=4,

:.AO=yJOE2+AE2=5

???四邊形OA8c是菱形，

/.AO-AB=OC=5>AB//x軸,

:.EF=AB=5,

.?.0尸=QE+EF=3+5=8，

B(8,4),

k

設(shè)過B點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=—

x

把8點(diǎn)坐標(biāo)代入得，人32,

32

所以，反比例函數(shù)解析式為y=—：

X

⑵；OB工BD，

：.ZOBD=90°.

；.NOBF+NDBF=90°，

?;/DBF+ZBDF=90°，

：.NOBF=/BDF，

又NOFB=4BFD=90°，

：UOBF[HBDF^

.OFBF

~BF~~DF

84

...——---,

4DF

解得，DF=2,

：.OD=OF+DF=8+2=\0

0(10,0)

設(shè)BD所在直線解析式為y=kx+b.

把8(8,4),0(10,0)分別代入，得：

8Z+匕=4

'10k+6=0

k=—2

解得，《

。=20

直線3。的解析式為y=-2x+20.

【點(diǎn)睛】

此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式與?次函數(shù)解析式，一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)

的交點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

7.（2020?黑龍江綏化市?中考真題）如圖，在矩形。WC中，A5=2,8C=4,點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)

%=4">0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)力，交邊于點(diǎn)E,直線。E的解析式為％="2x+〃（加工0）?

X

k

（1）求反比例函數(shù)y=—（x>0）的解析式和直線的解析式；

x

（2）在y軸上找一點(diǎn)P,使APDE的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，APDE的周長(zhǎng)最小值是.

【答案】

解：（1）為AB的中點(diǎn)，AB=2，

AD=-AB=l.

2

..四邊形。WC是矩形，BC=4，

二。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）.

。（1,4）在x=勺工>0）的圖象上，

4

，Z=4.?.?反比例函數(shù)解析式為％=一（尤>0）.

X

當(dāng)X=2時(shí)，y=2.

點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).

直線%=，加+〃(加力0)過點(diǎn)。(1,4)和點(diǎn)E(2,2)

4=m+〃，

2=2m+n

m=-2,

解得《

n=6.

直線DE的解析式為%=-2》+6.

4

反比例函數(shù)解析式為X=-(x>0).

x

直線DE的解析式為％=-2x+6.

(2)作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)￡)0.連接DE，交y軸于點(diǎn)P,連接PD-

此時(shí)/XPDE的周長(zhǎng)最小.；點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4),

.?.點(diǎn)OC的坐標(biāo)為(-1,4).

設(shè)直線D'E的解析式為y-ax+b(a豐0).

直線y=ox+6(a*0)經(jīng)過。(-1,4)

4=—a+h,

2=2a+b.

2

d-----,

解得《3

3

.210

直線石的解析式為y=——x+-^-.

令x=0，得y=—

3

(10)

「?點(diǎn)尸坐標(biāo)為［o，HJ.

(3)由(1)(2)知。(1,4),E(2,2),￡)0(-1,4).又8(2,4),

BD=\,BE=2,。加=3.

在.RfABDE中,由勾股定理，wDE=yjBD2+BE2=75

在R/A3。姓'中，由勾股定理，得DCE='D、B2+BE2=5?

2DE的周長(zhǎng)的最小值為DE+DE=&j+75.

【點(diǎn)睛】

本題主要考杳了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱的

最短路徑問題等，難度適中，正確的求出解析式和找到周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P是解題的關(guān)鍵.

k

8.(2020?吉林中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，3在函數(shù)>=一(X>O)的圖象上(點(diǎn)3的

X

橫坐標(biāo)大于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)),點(diǎn)A的坐示為(2,4),過點(diǎn)A作AO，X軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作BC_Lx軸于點(diǎn)C，連接。4,

AB-

⑴求k的值.

(2)若。為。。中點(diǎn)，求四邊形048。的面積.

【答案】

解：(1)將點(diǎn)人的坐標(biāo)為(2,4)代入y=K(x>0),

X

可得Z==2x4=8,

:,k的值為8；

（2）?.?%的值為8,

k8

.?.函數(shù)y=—的解析式為y=一，

xx

QD為0C中點(diǎn)、,00=2，

/.OC=4,

8

二點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為%將1=4代入y=一，

x

可得y=2,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,2）,

二?S四邊形QA3C=5.8+5四邊形=ex2x4+Q（2+4）x2=10.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)4的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵.

k

9.（2020?河南九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A8CO是菱形，點(diǎn)A（0,4）,8（-3,0）反比例函數(shù)了二一

X

（攵為常數(shù)，七0,x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D

（1）填空：k=.

k一

（2）已知在y=—的圖象上有一點(diǎn)My軸上有?點(diǎn)M,且四邊形A3MN是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

X

【答案】

(1)二.點(diǎn)A(0,4),B(-3,0),

/.04=4,08=3,

48=5,

四邊形ABC。是菱形，

.\AD=5f

即點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是5,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(5,4),

k,

4=一,得仁20,

5

故答案為20；

(2):四邊形ABMN是平行四邊形，J.AN"BM,AN=BM,

4N可以看作是BM經(jīng)過平移得到的，

首先BM向右平移了3個(gè)單位長(zhǎng)度，

2020

N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入戶——,得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為"一，

x3

2Q8

”點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-----4=—,

33

8

.?.M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-).

3

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需

要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.(2020?貴陽(yáng)清鎮(zhèn)北大培文學(xué)校九年級(jí)其他模擬)如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，AD=2AB,直線AB

k

的解析式為y=-2x+4,雙曲線y=—(x>0)經(jīng)過點(diǎn)D,與BC邊相交于點(diǎn)E.

X

(1)填空：k=；

(2)連接AE、DE,試求AADE的面積：

(3)若點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,求直線CF的解析式.

【答案】

(1)如圖，

針對(duì)于直線AB的解析式為y=-2x+4,

令x=0,則y=4,

/.B(0,4),

.?.08=4,令y=0,則-2K+4=0,

/.x=2f

..A(2,0),

04=2,

四邊形ABC。是矩形，

/.ZBAD=90°,

/.ZOAB+AGAD=90\

...ZOAR+N08A=90°,

/.zOBA=NGAD,

過點(diǎn)D作OG_Lr軸于G,

?.NAGO=N80A=90°,

△AOA△DGAf

OAOBAB

DGAGAD，

24AB_1

DGAG2AB2

DG=4,AG=8,

OG=OA+AG=Wf

??.D(10,4),

k

?.?點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象上,

X

仁40,

故答案為40；

(2)由(1)知，0A=2,0B=4f

根據(jù)勾股定理得，AB=2布,

/.AD=2AB=4yf5，

?二S△八":=L—x4亞x2也=2()：

22

(3)由(1)知，A(2,0),D(10,4),

???點(diǎn)A到D是向右移動(dòng)10-2=8個(gè)單位，再向上移動(dòng)4,

???點(diǎn)8到點(diǎn)C是向右移動(dòng)8個(gè)單位，再向上移動(dòng)4

B(0,4),

/.C(8,8),

???點(diǎn)F是點(diǎn)。關(guān)于，軸對(duì)稱,

??點(diǎn)/(10,-4),

設(shè)直線CF的解析式為y=U+b,

,8人+力=8

[10%+〃=-4'

k=-6

b=56

??.直線CF的解析式為y=-6x+56.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意求出D、。的

坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

11.(2020?山西臨汾市?八年級(jí)期末)已知，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為A(2,0),C(—1,2),反比例

m

函數(shù)y=一的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(加工0)

X

(1)求出反比例函數(shù)的解析式

(2)將UOABC沿著x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，做出點(diǎn)D并判斷點(diǎn)。是否在反比例函數(shù)y=—的圖象上

(3)在x軸是否存在一點(diǎn)P使△OCP為等腰三角形，若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】

(1)設(shè)8c于y軸相交于點(diǎn)E,如圖所示:

???四邊形OABC是平行四邊形，

BC=AOf

「A(2,0),

/.04=2,

BC=2,

?「C(-1,2),

/.CE=I,

/.BE=BC-CE=2-1=1,

；8(1,2),

???反比例函數(shù)產(chǎn)'的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,

X

771=1x2=2,

???反比例函數(shù)的解析式為：產(chǎn)2：

X

(2)???將UOWC沿著x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處,

D(-1,-2),

'.etn=2,

皿2

二反比例函數(shù)產(chǎn)一，

x

把。點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-2)代入函數(shù)解析式尸2中得：左右兩邊相等，

X

點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=-的圖象上；

x

(3)以0C=JF+22=石為半?徑,點(diǎn)。為圓心，畫圓交X軸于點(diǎn)Pi(-6\o)和P2(石，0)；

以℃=42+f=J5為半徑，點(diǎn)c為圓心，畫圓交X軸于點(diǎn)戶3(-2,0)；

作線段OC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)尸《2.5,0).

所以存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)(-布,0)、(逐,0),(-2,0)和(25,0).

【點(diǎn)睛】

考查了反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)與反比例函數(shù)解析式的關(guān)系，以及平行四邊形的性偵，關(guān)鍵是熟練把握凡是反比例函數(shù)圖象經(jīng)過

的點(diǎn)都能滿足解析式.

12.(2020?山東濟(jì)南市?中考真題)如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B(2,26)，反

k1

比例函數(shù)y=—G>0)的圖象與BC,AB分別交于D,E,BD=—.

x2

(1)求反比例函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)寫出OE與AC的位置關(guān)系并說明理由；

(3)點(diǎn)尸在直線4c上，點(diǎn)G是坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCFG為菱形時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)并判斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)圖象

上.

y.

【答案】

解：(1):B(2,26),則8C=2,

而BD=—，

2

13〃上3廠

CD=2--=—,故點(diǎn)D(—)2J3

222”

將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：2石=瓦，解得k=3后，

T

故反比例函數(shù)表達(dá)式為｝=更，

X

當(dāng)*=2時(shí)，）=空.故點(diǎn)E（2,士g）；

22

3r3叵)，點(diǎn)B(2,2

（2）由（1）知，。（一，2J3）■點(diǎn)E(2,出），

22

?八

則BD=—,BE=—,

22

1BD

-，----=2

4AB通4BC

DEWAC；

（3）①當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)C的下方時(shí)，如下圖,

過點(diǎn)F作FRL.y軸于點(diǎn)從

四邊形BCFG為菱形，則BC=CF=FG=BG=2,

在R7A0AC中，OA=BC=2,OB=AB=2y/3.

AO2

則tanz.OCA=----=—產(chǎn)=—,故NOCA=3()°,

CO2V33

則FH=-FC=1,CH=CF,cosZOCA=2x

22

故點(diǎn)尸(1，G),則點(diǎn)G(3,G3

當(dāng)x=3時(shí)，y=33=G，故點(diǎn)G在反比例函數(shù)圖象上；

X

②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的上方時(shí)，

同理可得，點(diǎn)G(1,36)，

同理可得，點(diǎn)G在反比例函數(shù)圖象上；

綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3,百)或(1,3J，)，這兩個(gè)點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查反比例函數(shù)，解題關(guān)鍵是過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)H.

8

13.(2020?廣東中考真題〉如圖，點(diǎn)3是反比例函數(shù)>=一(x>0)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)3分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足為A，

X

k

C，反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象經(jīng)過03的中點(diǎn)M,與AB，8C分別相交于點(diǎn)。，E-連接DE并延長(zhǎng)交

x

X軸于點(diǎn)F，點(diǎn)G與點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，連接BG.

(1)填空：k=；

(2)求ABZW的面積;

（3）求證：四邊形BORG為平行四邊形.

【答案】

8

解：（1）?.?點(diǎn)8在>=一上，

X

8

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x,—）,

X

x4

???0B中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一，一），

2x

k

,?,點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=—（x>0）,

x

X4

/.k=----=2,

2x

故答案為：2；

IkI

（2）連接。,則

5AAs=k=1,

S-H

°MOB-24.

S"g=4-1=3,

OF//AB.

；.點(diǎn)、F到AB的距離等于點(diǎn)。到AB距離,

S&BDF=S&BDO=3:

4?%=8.%?%=2,

文:為=%，

X

.■.xB=4D,

同理yB=4%■

BE3BD3

?'?=—,=一,

EC\AB4

AB!IBC.

\EBD^\ECF.

CF_CE

~BD~~BE~3

4

—OC—AB—

BDBD3

OC_4

——，

~CF1

0,G關(guān)于。對(duì)稱，

OC=CG，

CG=4CF，

FG=CG-CF=4OF-CF=3CF.

又..BD=3CF，

BD-FG>

又.?BDHFG，

■-BDFG是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

本題考查r反比例函數(shù)系數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題

關(guān)鍵.

14.(2020?湖南湘潭市?九年級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形。OBC是矩形，且0(0,4),B(6,0).若

k

反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A,交DC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.設(shè)直線EF的解析式為y2M到+瓦

X

(1)求反比例函數(shù)和直線EF的解析式;

日2)))求^OEF

(溫馨提示：平面上有任意兩點(diǎn)M(xi,#)、N(x,”)，它們連線的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為((2

222

的面積；

k

(3)請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式，＞0的解集.

X

【答案】

(1),/D(0,4),B(6,0),

C(6,4),

.??點(diǎn)a是oc的中點(diǎn),

A(3,2),

把A(3,2)代入反比例函數(shù))『與，可得太=6,

X

.?.反比例函數(shù)解析式為巾=9,

X

把JV=6代入)，尸一，可得尸1,則F(6,1),

X

把產(chǎn)4代入yi=9,可得42,則E(2,4),

x22

把E(一，4),F(6,1)代入”=%忒+仇可得

2

3

4=—&2+b

,2，解得＜

1=6%2+bb=5

2

「?直線EF的解析式為產(chǎn)——工+5；

3

(2)如圖，過點(diǎn)七作雙；_108于G,

/-5A￡OG=SA()BF,

1945

「?SAEOF=S梆匕EFBG=——(1+4)X—=--

224

(3)由圖象可得，點(diǎn)￡,尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1.5,-4),(-6,-1),

k

??.由圖象可得，不等式hrJ-1>0的解集為：xV-6或-1.5VXV0.

X

【點(diǎn)暗】

本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題以及矩形性質(zhì)的運(yùn)用，求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)

系式聯(lián)立成方程組求解.解題時(shí)注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想得到不等式的解集.

15.(2020?山東濟(jì)南市?九年級(jí)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，D

4

是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的反比例函數(shù)圖象交AB于E點(diǎn)，連接OE.若OD=5,S"NCOD=-.

3

⑴求過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式；

⑵求△DBE的面積；

(3)x軸上是否存在點(diǎn)P使AOP。為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】

(1)四邊形OABC是矩形,

BC=OA,AB=OC,

4

tanZ.COD=—，

3

設(shè)OC=3K,CD=4xf

：.OD=5x=5,

/.x=l,

0C=3tCD=4,

??.D(4,3),

k

設(shè)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為:y=-,

X

???匕12,

???反比例函數(shù)的解析式為：產(chǎn)u；

X

(2)點(diǎn)力是8c的中點(diǎn)，

B(8,3),

5c=8,AB=3,

E點(diǎn)在過點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖象上，

3

E(8.—),

2

11“3

SADBE=-BD*BE=—x4x一=3：

222

(3)存在，

???△0尸。為直角三角形，

...當(dāng)N?？?=90°時(shí),PD_Lx軸子尸，

0尸=4,

P(4,0),

當(dāng)NODP=90。時(shí)，

如圖，過。作￡WJ_x軸于從

OD2=OH*OP,

iOD225

OH4

25

P(—,O'),

4

存在點(diǎn)P使AOPD為直角三角形，

25

P(4,O),(—.O').

4

J八\

0\JjPAx

16.(2020?江蘇蘇州市?九年級(jí)二模)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線產(chǎn)2x+力經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),與y軸交于點(diǎn)3,與

kk

反比例函數(shù)y=—(x>0)交于點(diǎn)C(”6),過B作軸，交反比例函數(shù)y=—(x>0)于點(diǎn)。，連接A。，CD.

XX

(1)求b,3的值；

(2)求AACD的面積；

k

(3)設(shè)E為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFlIx軸,交反比例函數(shù)y=—(x>0)于點(diǎn)凡若以點(diǎn)40,￡,尸為頂點(diǎn)的四邊形為

X

平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

FKol\

【答案】

解：(1)?.?直線產(chǎn)級(jí)+方經(jīng)過點(diǎn)4-2,0),

/.-4+Z?=0,

b=4,

???直線A8的解析式為尸2x+4.

???點(diǎn)C(m,6)在直線產(chǎn)2計(jì)4上，

/.2m+4=6,

/.m=l,

/.C(l,6),

k

把C(l,6)代入y=一得：h1x6=6；

X

(2)V直線,y=2r+4與y軸交于點(diǎn)B,

?.3(0,4).

BD±y^,

63

???把y=4代入)，=一中得：A=—,

x2

3

0(-,4),

2

139

△ACO的面積=-X—X6=一；

222

(3)二?以點(diǎn)A,O,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，EFWAO,

EF=A0=2,

設(shè)點(diǎn)功,2H4),

①當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)”的左側(cè)時(shí)，

.??點(diǎn)/伊2,2/44),

則(什2)(2/+4)=6,

I--2±^3-

/t>-2,

?.r=-24-^/3，

..￡(73-2,2⑹；

②當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，

.,.點(diǎn)F(，-2,27+4),

順r-2乂2，+4)=6,

解得：r=±.

t>-2,

?'/=>/7,

???仇々，24+4),

綜上所述：若以點(diǎn)A,O,E,F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(、四一2,2幣，)或(幣,277+4).

【點(diǎn)睛】

本題考杳了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，三角形的面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，

正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

17.(2020?浙江杭州市?八年級(jí)其他模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知口AQBC的邊。4在X軸上，BC

k

與y軸正半軸交于點(diǎn)。，A(-9,0),C(-6,4),反比例函數(shù))=一。>0)經(jīng)過點(diǎn)&動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿3