A.-Mie米散射理論基礎(chǔ)

./米散射〔Miescattering;又稱"粗粒散射".粒子尺度接近或大于入射光波長的粒子散射現(xiàn)象.德國物理學(xué)家米<GustavMie,1868—1957>指出,其散射光強(qiáng)在各方向是不對(duì)稱的,順入射方向上的前向散射最強(qiáng).粒子愈大,前向散射愈強(qiáng).米散射當(dāng)球形粒子的尺度與波長可比擬時(shí),必須考慮散射粒子體內(nèi)電荷的三維分布.此散射情況下,散射粒子應(yīng)考慮為由許多聚集在一起的復(fù)雜分子構(gòu)成,它們?cè)谌肷潆姶艌龅淖饔孟?形成振蕩的多極子,多極子輻射的電磁波相疊加,就構(gòu)成散射波.又因?yàn)榱Ｗ映叨瓤膳c波長相比擬,所以入射波的相位在粒子上是不均勻的,造成了各子波在空間和時(shí)間上的相位差.在子波組合產(chǎn)生散射波的地方,將出現(xiàn)相位差造成的干涉.這些干涉取決于入射光的波長、粒子的大小、折射率及散射角.當(dāng)粒子增大時(shí),造成散射強(qiáng)度變化的干涉也增大.因此,散射光強(qiáng)與這些參數(shù)的關(guān)系,不象瑞利散射那樣簡單,而用復(fù)雜的級(jí)數(shù)表達(dá),該級(jí)數(shù)的收斂相當(dāng)緩慢.這個(gè)關(guān)系首先由德國科學(xué)家G.米得出,故稱這類散射為米散射.它具有如下特點(diǎn)：①散射強(qiáng)度比瑞利散射大得多,散射強(qiáng)度隨波長的變化不如瑞利散射那樣劇烈.隨著尺度參數(shù)增大,散射的總能量很快增加,并最后以振動(dòng)的形式趨于一定值.②散射光強(qiáng)隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值,當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí),極值的個(gè)數(shù)也增加.③當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí),前向散射與后向散射之比增大,使粒子前半球散射增大.當(dāng)尺度參數(shù)很小時(shí),米散射結(jié)果可以簡化為瑞利散射；當(dāng)尺度參數(shù)很大時(shí),它的結(jié)果又與幾何光學(xué)結(jié)果一致；而在尺度參數(shù)比較適中的范圍內(nèi),只有用米散射才能得到唯一正確的結(jié)果.所以米散射計(jì)算模式能廣泛地描述任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點(diǎn).19世紀(jì)末,英國科學(xué)家瑞利首先解釋了天空的藍(lán)色：在清潔大氣中,起主要散射作用的是大氣氣體分子的密度漲落.分子散射的光強(qiáng)度和入射波長四次方成反比,因此在發(fā)生大氣分子散射的日光中,紫、藍(lán)和青色彩光比綠、黃、橙和紅色彩光為強(qiáng),最后綜合效果使天穹呈現(xiàn)藍(lán)色.從而建立了瑞利散射理論.20世紀(jì)初,德國科學(xué)家米從電磁理論出發(fā),又稱粗進(jìn)一步解決了均勻球形粒子的散射問題,建立了米散射理論,粒散射理論.質(zhì)點(diǎn)半徑與波長接近時(shí)的散射,特點(diǎn)：粗粒散射與波長無關(guān),對(duì)各波長的散射能力相同,大氣較混濁時(shí),大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時(shí),天空呈灰白色.米散射理論是由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來的均質(zhì)球形粒子在電磁場中對(duì)平面波散射的精確解.一般把粒子直徑與入射光波長相當(dāng)?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q為米散射.米散射適合于任何粒子尺度,只是當(dāng)粒子直徑相對(duì)于波長而言很小時(shí)利用瑞利散射、很大時(shí)利用夫瑯和費(fèi)衍射理論就可以很方便的近似解決問題.米散射理論最早是由G1Mie在研究膠體金屬粒子的散射時(shí)建立的.1908年,米氏通過電磁波的麥克斯韋方程,解出了一個(gè)關(guān)于光散射的嚴(yán)格解,得出了任意直徑、任意成分的均勻粒子的散射規(guī)律,這就是著名的米氏理論[4-6].根據(jù)米散射理論,當(dāng)入射光強(qiáng)為I0,粒子周圍介質(zhì)中波長為λ的自然光平行入射到直徑為D的各向同性真球形粒子上時(shí),在散射角為θ,距離粒子r處的散射光和散射系數(shù)分別為:從上式中可以看到,因?yàn)槭歉飨蛲缘牧Ｗ?散射光強(qiáng)的分布和φ角無關(guān).同時(shí),上式中:i1、i2為散射光的強(qiáng)度函數(shù);s1、s2稱為散射光的振幅函數(shù);a為粒子的尺寸參數(shù)<a=πD/λ>;m=m1+im2為粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率,當(dāng)虛部不為零時(shí),表示粒子有吸收.對(duì)于散射光的振幅函數(shù),有:式中an、bn為米散射系數(shù),其表達(dá)式為:其中:是半奇階的第一類貝塞爾函數(shù);是第二類漢克爾函數(shù);Pn<cosθ>是第一類勒讓德函數(shù);P<1>n<cosθ>是第一類締合勒讓德函數(shù).Mie散射理論Mie散射理論是麥克斯韋方程對(duì)處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒在平面單色波照射下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解.由Mie散射知道,距離散射體r處p點(diǎn)的散射光強(qiáng)為式中:為光波波長;I0為入射光強(qiáng);Isca為散射光強(qiáng);為散射角;為偏振光的偏振角.式中:和是振幅函數(shù);an和bn是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關(guān)的函數(shù);和是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù),僅與散射角有關(guān).其中式中:和分別是貝塞爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù);和是和的導(dǎo)數(shù);為無因次直徑,,D為顆粒的實(shí)際直徑;是入射光的波長;m是散射顆粒相對(duì)于周圍介質(zhì)的折射率,它是一個(gè)復(fù)數(shù),虛部是顆粒對(duì)光的吸收的量化.由以上公式可見,Mie散射計(jì)算的關(guān)鍵是振幅函數(shù)和,它們是一個(gè)無窮求和的過程,理論上無法計(jì)算.求解振幅函數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)算an和bn,所以Mie散射的計(jì)算難點(diǎn)是求解an和bn.Mie散射理論的數(shù)值計(jì)算通過以上分析可知,Mie散射計(jì)算的核心是求解an和bn,我們編制程序也是圍繞它進(jìn)行編寫.在an和bn的表達(dá)式中,,和滿足下列遞推關(guān)系:這些函數(shù)的初始值為;與散射角有關(guān)的和滿足下列遞推公式:有了這些遞推公式可以很方便地通過計(jì)算機(jī)程序求解.但是對(duì)于n的大小,因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算無窮個(gè)數(shù)據(jù),所以n在計(jì)算之前就要被確定.散射理論基礎(chǔ)與Matlab實(shí)現(xiàn)若散射體為均勻球體,如圖1所示,照射光為線偏振平面波,振幅為E,光強(qiáng)I0,沿z軸傳播,其電場矢量沿x軸振動(dòng).散射體位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,P為觀測點(diǎn).散射光方向<OP方向>與照射光方向<z軸>所組成的平面稱為散射面,照射光方向至散射光方向之間的夾角θ稱為散射角,而x軸至OP在xy平面上投影線<OP′>之間的夾角φ稱為極化角.觀測點(diǎn)與散射體相距r.根據(jù)經(jīng)典的Mie散射理論,散射粒子的尺度參數(shù)為α=2πa/λ,其中a為球形粒子的半徑,散射粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率為m=m1+i*m2.則散射光垂直于散射面和平行于散射面的兩個(gè)分量的振幅函數(shù)為:以上式中：Jn+1/2<z>和Yn+1/2<z>分別為半整數(shù)階的第一類,第二類貝塞爾函數(shù).P<1>n<cosθ>為一階n次第一類締合勒讓德函數(shù);Pn<cosθ>為第一類勒讓德函數(shù).在數(shù)值模擬過程中選取初始下:微粒子對(duì)光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征,而微粒對(duì)電磁輻射的吸收與散射與粒子的線度有密切關(guān)系,對(duì)于不同線度的粒子必須應(yīng)用不同的散射理論.Mie散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段;在微米以下至納米的光散射則近似為形式更明晰簡單的瑞利散射定律,散射光強(qiáng)烈依賴于光波長λ<I～λ-4>;而對(duì)大于微米至毫米的大粒子則近似為意義明確的夫朗和費(fèi)衍射規(guī)律了.Mie散射理論給出了球型粒子在遠(yuǎn)場條件下的散射場振幅an、bn以及粒子內(nèi)部電磁場振幅cn、dn的計(jì)算表達(dá)式,通常稱為Mie散射系數(shù)式中m表示微粒子外部介質(zhì)的相對(duì)折射率,x=κa,a為球的半徑,κ=2π/λ稱為波數(shù),μ為相對(duì)磁導(dǎo)率,即球的磁導(dǎo)率與介質(zhì)磁導(dǎo)率的比值,jn<x>和h<1>n<x>分別為第一類虛宗量球Bessel函數(shù)和Hankell函數(shù).散射系數(shù),消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)：散射截面σsca<散射率Qsca>、吸收截面σabs<吸收率Qabs>、消光截面σext<消光率Qext>、后向散射截面σb<后向散射率Qb>以及輻射壓力σpr<輻射壓力效率Qpr>.其表達(dá)式如下:其中i為sca、abs、ext、pr分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力.按照能量守恒定律有:Qpr〔輻射壓力效率的計(jì)算公式:Qb〔后向散射系數(shù)：這些都是無窮級(jí)數(shù)求和,在實(shí)際計(jì)算過程中必須取有限項(xiàng),Bohren和Huffman給出了級(jí)數(shù)項(xiàng)最大值取舍的標(biāo)準(zhǔn):對(duì)于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后,其散射場振幅的大小與散射角有關(guān),在球坐標(biāo)系下,遠(yuǎn)場散射振幅的大小為:其中S1和S2為散射輻射電場在垂直及平行于散射面的兩個(gè)偏振分量.微球內(nèi)部場振幅計(jì)算公式顆粒內(nèi)部電場強(qiáng)度為:其中M<1>o1n和N<1>e1n為矢量波球諧函數(shù),在球坐標(biāo)系中定義如下:吸收截面Qabs具有損耗介質(zhì)顆粒的吸收截面為：其中ε″是粒子相對(duì)介電常數(shù)的虛部,經(jīng)整理可得:式中mn、nn為:實(shí)際上由Mie散射理論可知,上式中的積分項(xiàng)為電場強(qiáng)度的平方對(duì)角度θ、φ全空間積分的平均值,即:于是吸收效率為:式中x′=rk=z/m.當(dāng)xn1時(shí)即瑞利散射情況,顆粒的內(nèi)部平均場強(qiáng)為常數(shù),其值為:ImprovedMiescatteringalgorithmsW.J.WiscombeMie計(jì)算存在的問題就是如何最有效地構(gòu)造Mie計(jì)算,同時(shí)保證準(zhǔn)確性和避免數(shù)值的不穩(wěn)定性和病態(tài).Mie計(jì)算以耗時(shí)著稱,首先無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)N的求和,例如：100的水滴在0.5的可見光散射情況下,大約需1260項(xiàng)求和.其次,典型的計(jì)算都希望能對(duì)一系列半徑〔如對(duì)尺寸分布求積分、一系列波長〔如對(duì)太陽光譜求積分及一系列折射率求和〔如通過散射參量反推折射率.當(dāng)折射率虛部mIm很大時(shí),用向后循環(huán)法求An很不穩(wěn)定.而向前遞推總是穩(wěn)定的〔但向后遞推安全時(shí),總是優(yōu)先選擇,因?yàn)槠溆?jì)算速度很快.得出允許向后遞推的經(jīng)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：用正確的向前地推與相對(duì)應(yīng)的向后地推做比較,當(dāng)發(fā)現(xiàn)對(duì)和g的相對(duì)誤差超過10-6時(shí),認(rèn)為計(jì)算失敗.對(duì)于一對(duì)確定的<x,mRe>,我們采用向后遞推尋找第一個(gè)循環(huán)失敗的研究表明：對(duì)于確定的,,的值隨著x的增加很快趨向于一個(gè)確定值.對(duì)如果在任意角度下、的實(shí)部和虛部的相對(duì)誤差超過時(shí),認(rèn)為對(duì)和的向后遞推失敗.〔而此時(shí),并不受影響,因?yàn)楫?dāng),的相對(duì)誤差達(dá)到時(shí),的相對(duì)誤差總維持在以下.對(duì)和對(duì)散射強(qiáng)度和偏正度連分式算法總結(jié)：Mie散射計(jì)算的核心是計(jì)算an和bn其中ψn<α>=αJn<α>,ξn<α>=αJn<α>+iαYn<α>,Jn和Yn分別是第一和二類貝塞耳函數(shù),α稱為當(dāng)量直徑,α=2πr/λ,r是球形顆粒的真實(shí)半徑,λ是入射光的波長,m為折射率式中ρ為函數(shù)任一自變量.貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式：Mie散射計(jì)算中Jn、Yn、Dn的計(jì)算是關(guān)鍵和難點(diǎn).對(duì)于Dn,我們采用的是Lentz的連分式的算法:Lentz證明有如下關(guān)系:其中,.我們注意到當(dāng)時(shí),.所以可以利用上式累積相乘直到滿足精度要求.<可根據(jù)精度要求例如10-7來確定所要達(dá)到的k值>對(duì)于Jn、Yn的生成本文也采用連分式的算法.具體方案如下:令Cn=Jn-1<α>/Jn<α>,根據(jù)貝塞耳差積公式：由以上二式整理得：上式中Cn的計(jì)算是采用類似于Dn的連分式的形式,計(jì)算中可調(diào)用同一函數(shù)計(jì)算.若已知初值：這樣就可計(jì)算出各級(jí)Jn和Yn.WilliamJ.Lentz關(guān)于連分式的文章：其中.以為基礎(chǔ),采用貝塞爾函數(shù)比值的連分式表示法：,利用此法可產(chǎn)生所有的,盡管耗時(shí),但能減少存儲(chǔ)需求.同時(shí)可通過計(jì)算高階值,使用下面的遞推公式,從后往前算出其他值.不像一般的函數(shù),貝塞爾函數(shù)的比值一旦超過可控制的邊界,就不再增長,初始的高階值決定了所有低階值的準(zhǔn)確性,因此,采用新方法計(jì)算準(zhǔn)確的初始比值是必要的.處于分母位置的+號(hào)表示分母上加上一個(gè)特殊的連分式.類似于上式中的表示形式.定義一種新的符號(hào)：Lentz給出了n階部分收斂值為：例如：實(shí)變量,虛數(shù)計(jì)算過程：米散射學(xué)習(xí)目前所遇到的困難：到底怎樣的計(jì)算結(jié)果才算正確,如何能找到一個(gè)米散射計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確又有效的數(shù)據(jù)庫,來驗(yàn)證自己算法及程序的正確性.倒退式算法的總結(jié)：Dn的計(jì)算采用Dave的倒推式:由于Dn函數(shù)有很強(qiáng)的收斂性,對(duì)于Dn的倒推計(jì)算的初值的選取有很強(qiáng)的隨意性.因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)Dn<mα>→0,所以可以取0作為初值.倒推起點(diǎn)選取大一些,可以保證Dn函數(shù)的收斂完全,但是同時(shí)卻增加了計(jì)算時(shí)間.所以必須選取一個(gè)最佳的選擇標(biāo)準(zhǔn).通過試算,作者認(rèn)為最佳的上限為這里m1是復(fù)折射率的實(shí)部.同樣,對(duì)于貝塞耳函數(shù)Jn的計(jì)算也可以用倒推的方法計(jì)算產(chǎn)生:上式是一個(gè)普通的Jn的遞推式,知道了Jn和Jn-1,可以順利地計(jì)算出所有的Jn序列值.為了避免計(jì)算J