人教版八年級下第十七章-勾股定理17.1勾股定理 公開課比賽一等獎

第十七章·勾股定理17.1勾股定理第一課時一、復習導入：1.國際數(shù)學家大會是最高水平的全球性數(shù)學科學學術(shù)會議．2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學家大會，如圖就是大會的會徽的圖案．它與數(shù)學中著名的勾股定理有著密切關(guān)系.

本章我們將探索并證明勾股定理及其逆定理，并運用這兩個定理去解決有關(guān)問題.由此可以加深對直角三角形的認識.2.相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，我們也來觀察一下地面的圖案，看看能從中發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系？一、復習導入：1.探究勾股定理：問題1：下圖中三個正方形的面積有什么關(guān)系？三個正方形中間的等腰直角三角形三邊之間有什么關(guān)系？二、新課講解：問題2：下圖中，每個小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A，B，C，A′,B′,C′的面積，看看能得出什么結(jié)論.由SA=

，SB=

，SC=

，故SA+SB

SC；由SA′=

，SB′=

，SC′=

，故SA′+SB′

SC′.直角三角形三邊關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.二、新課講解：問題3：根據(jù)前面的例子，請對直角三角形的三邊關(guān)系，做出你的猜想：命題1如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

.二、新課講解：

我國古人趙爽證法（趙爽弦圖），四個全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形（黃色）.

二、新課講解：

證明方法2：趙爽弦圖還可用面積法來證明勾股定理，首先以AB為邊的大正方形的面積是c2，而這個大正方形又由直角邊為a，b的四個全等的直角三角形和一個邊長為(b-a)的小正方形組成，

即面積為4×ab+(b-a)2=a2+b2，故a2+b2=c2.

二、新課講解：2.勾股定理的應用：二、新課講解：

求出圖中字母所代表的正方形的面積.練習1

如圖，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的邊長分別是12、16、9、12．求最大正方形E的面積．2.勾股定理的應用：二、新課講解：練習2

求下列直角三角形中未知邊的長度．2.勾股定理的應用：二、新課講解：練習31.如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.2.注意事項:(1)注意勾股定理的使用條件：只對直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.(2)注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯.(3)注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊長，可求第三邊長，即，，。三、課堂小結(jié)2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣。不但因為這個定理重要、基本，還因為這個定理貼近人們的生活實踐.以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總裁都愿意探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn).下面介紹幾種用來證明勾股定理的圖形，你能根據(jù)這些圖形及提示證明勾股定理嗎？四、課堂擴展：勾股定理的證明1.傳說中畢達哥拉斯的政法：

提示：兩個圖形中的正方形面積相等.2. 總統(tǒng)政法：

提示：3個三角形的面積之和=梯形的面積.第二課時一、知識回顧：

如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，則∠A和∠B的關(guān)系為:

；a、b為直角邊，c為斜邊，三邊關(guān)系為

；a、b、c、h之間的關(guān)系式為

。

1.直角三角形性質(zhì)：一、知識回顧：

2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三邊，則c=

（已知a、b，求c）；a=

（已知b、c，求a）；b=

（已知a、c，求b）。1.直角三角形性質(zhì)：一、知識回顧：

3.（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，則c=

。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，則b=

。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，則a=

。1.直角三角形性質(zhì)：問題1：

例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？二、新課講解：解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.∴AC=≈2.24.∵AC大于木板的寬2.2m，∴木板能從門框內(nèi)通過.二、新課講解：

如圖，一架2.6米長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4米．（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？練習1解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB=

=

=1；在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD=

==≈1.77；∴BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.答：梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端外移約0.77m.問題2：

例2

池塘中有一株荷花的莖長為OA，無風時露出水面部分CA=0.4米，如果把這株荷花旁邊拉至使它的頂端A恰好到達池塘的水面B處，此時荷花頂端離原來位置的距離BC=1.2米，求這顆荷花的莖長OA．二、新課講解：解：如圖，已知AC=0.4m，BC=1.2m、∠OCB=90°設OA=OB=x，則OC=OA-AC=(x-0.4)m在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=OB2∴(x-0.4)2+1.22=x2解得，x=2答：荷花的莖長OA等于2m.二、新課講解：如圖，一棵樹被臺風吹折斷后，樹頂端落在離底端3米處，測得折斷后長的一截比短的一截長1米，你能計算樹折斷前的高度嗎？練習2解：根據(jù)題意畫出圖形，已知∠ACB=90°，AC=3，AB-BC=1.設BC=x，則AB=BC+1=x+1.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2∴32+x2=(x+1)2解得，x=4.∴AB+BC=3+5=8m.答：樹折斷前的高度為8m.問題3：例3

科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西60°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．二、新課講解：解：過B點作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，∵∠BAD=60°，∴∠ABD=90°-∠BAD=30°，∴AD=AB=2km.∴BD==km.在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，∴CD=BD=km.∴BC==km.答：B，C兩地距離為km.二、新課講解：如圖所示，兩艘貨船分別從點A出發(fā)離開碼頭，甲船以16海里/時的速度向北偏東60°的方向行駛，乙船以12海里/時的速度向南偏東30°的方向行駛，若兩船同時出發(fā)，2小時后兩船相距多遠？練習3解：根據(jù)題意可得∠BAC=90°，AB=16ｘ2=32海里，AC=12ｘ2=24海里，根據(jù)勾股定理可得BC===40.∴2小時后兩船相距40海里.問題4：

如圖所示，C城市在A城市正東方向，現(xiàn)計劃在A、C兩城市間修建一條高速公路（即線段AC），經(jīng)測量，森林保護區(qū)的中心P在A城市的北偏東60°方向上，在線段AC上距A城市120km的B處測得P在北偏東30°方向上，已知森林保護區(qū)是以點P為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域，請問計劃修建的這條高速公路是否穿越保護區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）二、新課講解：問題4：

二、新課講解：解：公路不會穿越保護區(qū)，理由如下：過P作PD⊥AC于D，在Rt△BDP中，∵∠PBD=60°，∴∠BPD=90°-∠PBD=30°，∴PB=2BD，設BD=x，則PB=2x，∴PD==

x.∵∠PBD=∠A+∠APB，∴∠APB=∠PBD-∠A=30°，∴∠A=∠APB，∴PB=AB=120km，∴2x=120解得，x=60.∴PD=x=60

≈103.8km＞100km.∴這條公路不會穿過保護區(qū).二、新課講解：如圖，一幢居民樓與馬路平行且相距9米，在距離載重汽車41米處（圖中B點位置）就會受到噪音影響，試求在馬路上以4米/秒速度行駛的載重汽車，給這幢居民樓帶來多長時間的噪音影響？若影響時間超過25秒，則此路禁止該車通行，那么載重汽車可以在這條路上通行嗎？練習4二、新課講解：練習4解：如圖，過點A作AC⊥BD于點C，∵由題意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，∴Rt△ACB中，BC==40m，∵AB=AD，AC⊥BD，∴BD=2BC=80m，∴80÷4=20（s），∴受影響時間為20s；∵20＜25，∴可以通行．

1.解決實際問題時，首先要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即畫出幾何圖形，明確已知和未知，借助直角三角形勾股定理來解決問題.2.有時需要先構(gòu)造直角三角形，通過作垂線化非直角三角形為直角三角形來解決問題.三、課堂小結(jié)：第三課時一、利用勾股定理證明:斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求證：△ABC≌△A'B'C'.問題1：

在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學習了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？證明：在Rt△ABC和Rt△中,∠C=∠=90°,根據(jù)勾股定理，得BC=，.又∵AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C

'.∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.

二、利用勾股定理畫出一條線段等于已知長度為無理數(shù)的線段

問題2：

我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？解：以直角邊長為2、3的直角三角形的斜邊長為，由此在數(shù)軸上找出表示3的點A，過A點作直線垂直于OA，并在垂線上截取AB=2，以原點O為圓心，OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交在原點右側(cè)點C處，點C即為表示的點。如下圖所示：拓展（1）類似地，利用勾股定理，可以作出長為，

，

，…的點，如下圖：拓展（2）我們也可以用下圖中的方式構(gòu)造線段為，，，…的點，如下圖：練習1

在數(shù)軸上畫出表示的點.

【點撥】作一條長度等于無理數(shù)的線段的方法不唯一，如，除了上題中構(gòu)造直角邊為1,2的直角三角形，也可以借助直角邊為

，的直角三角形得到，我們一般盡量利用直角邊為整數(shù)的直角三角形作出.練習2

在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長皆為1．請在網(wǎng)格上畫出長度分別為，，的線段.

解：如圖所示，圖中AB，CD，EF即為所求，AB==，CD==，EF==.

三、利用勾股定理解決較復雜的幾何問題問題3：

如圖，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8