高中數學考試壓軸題講義-三點共線證法多斜率向量均可做（含答案）

專題7三點共線證法多，斜率向量均可做【題型綜述】三點共線問題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；②距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點共線；④直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上;⑤點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線.⑥面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”.【典例指引】類型一向量法證三點共線例1（2012北京理19）（本小題共14分）已知曲線:（）(Ⅰ)若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；(Ⅱ)設=4，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與曲線交于不同的兩點,,直線與直線交于點，求證：，，三點共線.【解析】類型二斜率法證三點共線例2.（2017?上海模擬）已知拋物線y2=4x的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，設AB的中點為M，A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N．（1）求直線FN與直線AB的夾角θ的大小；（2）求證：點B、O、C三點共線．【解析】類型三直線方程法證三點共線例3（2017?貴陽二模）已知橢圓C：=1（a＞0）的焦點在x軸上，且橢圓C的焦距為2．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）過點R（4，0）的直線l與橢圓C交于兩點P，Q，過P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點N，F為橢圓C的右焦點，求證：三點N，F，Q在同一條直線上．【解析】類型四多種方法證三點共線例4.（2017?保定一模）設橢圓x2+2y2=8與y軸相交于A，B兩點（A在B的上方），直線y=kx+4與該橢圓相交于不同的兩點M，N，直線y=1與BM交于G．（1）求橢圓的離心率；（2）求證：A，G，N三點共線．【解析】【擴展鏈接】1.給出,等于已知與的中點三點共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等于已知三點共線；【新題展示】1．【2019北京首都師范大學附屬中學預測】在平面直角坐標系中，點在橢圓上，過點的直線的方程為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若直線與軸、軸分別相交于兩點，試求面積的最小值；（Ⅲ）設橢圓的左、右焦點分別為，，點與點關于直線對稱，求證：點三點共線．【思路引導】（Ⅰ）求得橢圓C的a，b，c，運用離心率公式計算即可得到所求值；（Ⅱ）在直線l中，分別令x＝0，y＝0，求得A，B的坐標，求得三角形OAB的面積，由P代入橢圓方程，運用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）討論①當x0＝0時，P（0，±1），②當x0≠0時，設點Q（m，n），運用對稱，分別求得Q的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，即可得證．2．【2019廣東深圳2月調研】在平面直角坐標系中，橢圓的中心在坐標原點，其右焦點為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左、右頂點分別為、、是橢圓上異于，的任意一點，直線交橢圓于另一點，直線交直線于點，求證：，，三點在同一條直線上．【思路引導】（1）（法一）由題意，求得橢圓的焦點坐標，利用橢圓的定義，求得，進而求得的值，即可得到橢圓的標準方程；（法二）設橢圓的方程為（），列出方程組，求得的值，得到橢圓的標準方程。（2）設，，直線的方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系和向量的運算，即可證得三點共線。3．【2019安徽合肥一?！吭O橢圓()的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，若橢圓的離心率為，的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)設不經過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點，，設弦，的中點分別為，證明：三點共線．【思路引導】(Ⅰ)由的周長為求得，由離心率求得，從而可得的值，進而可得結果；(Ⅱ)易知，當直線的斜率不存在時，三點共線；當直線的斜率存在時，由點差法可得，，即，．同理可得，從而可得結論．【同步訓練】1．已知橢圓E：+=1（a＞）的離心率e=，右焦點F（c，0），過點A（，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點．（1）求橢圓E的方程；（2）若點P關于x軸的對稱點為M，求證：M，F，Q三點共線；（3）當△FPQ面積最大時，求直線PQ的方程．【思路點撥】（1）由橢圓的離心率公式，計算可得a與c的值，由橢圓的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計算可得答案；（2）根據題意，設直線PQ的方程為y=k（x﹣3），聯立直線與橢圓的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，設出P、Q的坐標，由根與系數的關系的分析求出、的坐標，由向量平行的坐標表示方法，分析可得證明；（3）設直線PQ的方程為x=my+3，聯立直線與橢圓的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），結合根與系數的關系分析用y1．y2表示出△FPQ的面積，分析可得答案．【詳細解析】2.已知橢圓C：+y2=1的左頂點為A，右焦點為F，O為原點，M，N是y軸上的兩個動點，且MF⊥NF，直線AM和AN分別與橢圓C交于E，D兩點．（Ⅰ）求△MFN的面積的最小值；（Ⅱ）證明；E，O，D三點共線．【思路點撥】（I）F（1，0），設M（0，t1），N（0，t2）．不妨設t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化為：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性質即可得出．（II）A（﹣，0）．設M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直線AM，AN的方程分別為：y=x+t，y=x﹣．分別與橢圓方程聯立，利用一元二次方程的根與系數的關系可得kOE，kOD．只要證明kOE=kOD．即可得出E，O，D三點共線．【詳細解析】3.已知焦距為2的橢圓W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為A1，A2，上、下頂點分別為B1，B2，點M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標軸上的任意一點，且四條直線MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之積為．（1）求橢圓W的標準方程；（2）如圖所示，點A，D是橢圓W上兩點，點A與點B關于原點對稱，AD⊥AB，點C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點共線．【思路點撥】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四條直線的斜率，由斜率乘積為，代入求得a和b的關系，即可求得a和b的值，求得橢圓W的標準方程；（2）設A，D的坐標，代入橢圓方程，作差法，求得直線AD的斜率，由kAD?kAB=﹣1，代入求得=，由kBD﹣kBC=0，即可求證kBD=kBC，即可求證B，C，D三點共線．【詳細解析】4.給定橢圓C：+=1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓的“伴隨圓”．已知A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=m（m＞0）上的點．（Ⅰ）若過點P（0，）的直線l與橢圓G有且只有一個公共點，求直線l被橢圓G的“伴隨圓”G1所截得的弦長；（Ⅱ）若橢圓G上的M，N兩點滿足4k1k2=﹣1（k1，k2是直線AM，AN的斜率），求證：M，N，O三點共線．【思路點撥】（Ⅰ）將A代入橢圓方程，可得m，進而得到橢圓方程和伴橢圓方程，討論直線l的斜率不存在和存在，設出l的方程，代入橢圓方程運用判別式為0，求得k，再由直線和圓相交的弦長公式，計算即可得到所求弦長；（Ⅱ）設直線AM，AN的方程分別為y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），設點M（x1，y1），N（x2，y2），聯立橢圓方程求得交點M，M的坐標，運用直線的斜率公式，計算直線OM，ON的斜?率相等，即可得證．【詳細解析】5.已知橢圓,四點中恰有三點在橢圓C上（1）求橢圓的方程.（2）經過原點作直線（不與坐標軸重合）交橢圓于，兩點，軸于點，點在橢圓C上，且求證：，三點共線.【思路點撥】根據橢圓上的點坐標求出橢圓方程；設出，，則，，再向量坐標化，得到，得到，最終得到；【詳細解析】6.已知拋物線：（）的焦點為，點為直線與拋物線準線的交點，直線與拋物線相交于、兩點，點關于軸的對稱點為.（1）求拋物線的方程；（2）證明：點在直線上.【思路點撥】（1）由交點坐標可得，求得可得拋物線方程；（2）設直線的方程為（），代入拋物線方程消去x整理得，再設，，進而得，可得直線的方程為，又，，故BD方程化為，令，得，即結論成立?！驹敿毥馕觥?.已知橢圓：的離心率與雙曲線：的離心率互為倒數，且經過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，已知是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且與交于點，為坐標原點，求證：三點共線．【思路點撥】(1)由二者離心率互為倒數以及橢圓經過點，建立關于a，b，c的方程組從而得到橢圓的標準方程；（2）因為線段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為，線段所在直線的方程為，聯立方程可得，利用韋達定理得到弦的中點的坐標，所以，所以點在定直線上，而兩點也在定直線上，所以三點共線．【詳細解析】8.設橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F1，離心率為，過點F1且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓C的方程；（2）若y2=4x上存在兩點M，N，橢圓C上存在兩個點P，Q，滿足：P，Q，F1三點共線，M，N，F1三點共線且PQ⊥MN，求四邊形PMQN的面積的最小值．【思路點撥】（1）由題意可知：a=b2，a=c及a2=b2﹣c2，即可求得a和b的值，求得橢圓的標準方程；（2）討論直線MN的斜率不存在，求得弦長，求得四邊形的面積；當直線MN斜率存在時，設直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）聯立拋物線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及四邊形的面積公式，計算即可得到最小值．【詳細解析】9.已知橢圓的右焦點為F，設直線l：x=5與x軸的交點為E，過點F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點，M為線段EF的中點．（I）若直線l1的傾斜角為，求△ABM的面積S的值；（Ⅱ）過點B作直線BN⊥l于點N，證明：A，M，N三點共線．【思路點撥】（I）由題意，直線l1的x=y+1，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式即可求得△ABM的面積S的值；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1），代入橢圓方程，由韋達定理，利用直線的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三點共線．【詳細解析】10.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的長軸長為2，且橢圓C與圓M：（x﹣1）2+y2=的公共弦長為．（1）求橢圓C的方程．（2）經過原點作直線l（不與坐標軸重合）交橢圓于A，B兩點，AD⊥x軸于點D，點E在橢圓C上，且，求證：B，D，E三點共線..【思路點撥】（1）由題意得，由橢圓C與圓M：的公共弦長為，其長度等于圓M的直徑，得橢圓C經過點，由此能求出橢圓C的方程．（2）設A（x1，y1），E（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1），D（x1，0）．利用點差法求出，從而求出kAB?kAE=﹣1，進而求出kBE=kBD，由此能證明B，D，E三點共線．【詳細解析】11.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（﹣1，），橢圓C的右焦點為A，點B的坐標為（，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知縱坐標不同的兩點P，Q為橢圓C上的兩個點，且B、P、Q三點共線，線段PQ的中點為R，求直線AR的斜率的取值范圍．【思路點撥】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，且過點（﹣1，），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）依題意直線PQ過點（，0），且斜率不為0，設其方程為x=my+，聯立，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件能求出直線AR的斜率的取值范圍．【詳細解析】12.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，拋物線E：x2=4y的焦點是橢圓C的一個頂點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若A，B分別是橢圓C的左、右頂點，直線y=k（x﹣4）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，直線x=1與直線BM交于點P．（i）證明：A，P，N三點共線；（ii）求△OMN面積的最大值．【思路點撥】（Ⅰ）由題意知?a=2，b=1，c=，即可；（Ⅱ）（i）將直線y=k（x﹣4）（k≠0）代入橢圓C得：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．則M（x1，k（x1﹣4）），N（x2，k（x2﹣4））．要證A，P，N三點共線，只證明共線即可，即證明成立．（ii）將直線y=k（x﹣4）（k≠0）變形為x=my+4，（m=）．聯立得（m2﹣4）y2+8my﹣12=0．|MN|=，點O到直線MN的距離d=．△OMN面積S=×|MN|×d即可．【詳細解析】

【題型綜述】三點共線問題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；②距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點共線；④直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上;⑤點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線.⑥面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”.【典例指引】類型一向量法證三點共線例1（2012北京理19）（本小題共14分）已知曲線:（）(Ⅰ)若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；(Ⅱ)設=4，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與曲線交于不同的兩點,,直線與直線交于點，求證：，，三點共線.方程為：，則，，，欲證三點共線，只需證，共線即成立，化簡得：將①②代入易知等式成立，則三點共線得證。學&科網類型二斜率法證三點共線例2.（2017?上海模擬）已知拋物線y2=4x的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，設AB的中點為M，A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N．（1）求直線FN與直線AB的夾角θ的大?。唬?）求證：點B、O、C三點共線．∵kOB==，y1y2=﹣4，∴kOB=kOC，∴點B、O、C三點共線．學&科網類型三直線方程法證三點共線例3（2017?貴陽二模）已知橢圓C：=1（a＞0）的焦點在x軸上，且橢圓C的焦距為2．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）過點R（4，0）的直線l與橢圓C交于兩點P，Q，過P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點N，F為橢圓C的右焦點，求證：三點N，F，Q在同一條直線上．==，即直線QN過點（1，0），又∵橢圓C的右焦點坐標為F（1，0），∴三點N，F，Q在同一條直線上．學&科網類型四多種方法證三點共線例4.（2017?保定一模）設橢圓x2+2y2=8與y軸相交于A，B兩點（A在B的上方），直線y=kx+4與該橢圓相交于不同的兩點M，N，直線y=1與BM交于G．（1）求橢圓的離心率；（2）求證：A，G，N三點共線．【擴展鏈接】1.給出,等于已知與的中點三點共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等于已知三點共線；【新題展示】1．【2019北京首都師范大學附屬中學預測】在平面直角坐標系中，點在橢圓上，過點的直線的方程為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若直線與軸、軸分別相交于兩點，試求面積的最小值；（Ⅲ）設橢圓的左、右焦點分別為，，點與點關于直線對稱，求證：點三點共線．【思路引導】（Ⅰ）求得橢圓C的a，b，c，運用離心率公式計算即可得到所求值；（Ⅱ）在直線l中，分別令x＝0，y＝0，求得A，B的坐標，求得三角形OAB的面積，由P代入橢圓方程，運用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）討論①當x0＝0時，P（0，±1），②當x0≠0時，設點Q（m，n），運用對稱，分別求得Q的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，即可得證．【解析】（Ⅰ）依題意可知，，所以橢圓離心率為．（Ⅱ）因為直線與軸，軸分別相交于兩點，所以．令，由得，則．令，由得，則．所以的面積．因為點在橢圓上，所以．所以．即，則．所以．當且僅當，即時，面積的最小值為．（Ⅲ）①當時，．當直線時，易得，此時，．因為，所以三點共線．同理，當直線時，三點共線．②當時，設點，因為點與點關于直線對稱，所以整理得解得所以點．又因為，，且．所以．所以點三點共線．綜上所述，點三點共線．2．【2019廣東深圳2月調研】在平面直角坐標系中，橢圓的中心在坐標原點，其右焦點為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左、右頂點分別為、、是橢圓上異于，的任意一點，直線交橢圓于另一點，直線交直線于點，求證：，，三點在同一條直線上．【思路引導】（1）（法一）由題意，求得橢圓的焦點坐標，利用橢圓的定義，求得，進而求得的值，即可得到橢圓的標準方程；（法二）設橢圓的方程為（），列出方程組，求得的值，得到橢圓的標準方程。（2）設，，直線的方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系和向量的運算，即可證得三點共線?！窘馕觥浚?）（法一）設橢圓的方程為，∵一個焦點坐標為，∴另一個焦點坐標為，∴由橢圓定義可知，∴，∴，∴橢圓的方程為．（法二）不妨設橢圓的方程為（），∵一個焦點坐標為，∴，①又∵點在橢圓上，∴，②聯立方程①，②，解得，，∴橢圓的方程為．（2）設，，直線的方程為，由方程組消去，并整理得：，∵，∴，，∵直線的方程可表示為，將此方程與直線聯立，可求得點的坐標為，∴，∵，所以，又向量和有公共點，故，，三點在同一條直線上．3．【2019安徽合肥一?！吭O橢圓()的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，若橢圓的離心率為，的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)設不經過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點，，設弦，的中點分別為，證明：三點共線．【思路引導】(Ⅰ)由的周長為求得，由離心率求得，從而可得的值，進而可得結果；(Ⅱ)易知，當直線的斜率不存在時，三點共線；當直線的斜率存在時，由點差法可得，，即，．同理可得，從而可得結論．【解析】(Ⅰ)由題意知，．又∵，∴，，∴橢圓的方程為．(Ⅱ)易知，當直線的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點在軸上，三點共線；當直線的斜率存在時，設其斜率為，且設．聯立方程得相減得，∴，∴，，即，∴．同理可得，∴，所以三點共線．【同步訓練】1．已知橢圓E：+=1（a＞）的離心率e=，右焦點F（c，0），過點A（，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點．（1）求橢圓E的方程；（2）若點P關于x軸的對稱點為M，求證：M，F，Q三點共線；（3）當△FPQ面積最大時，求直線PQ的方程．【思路點撥】（1）由橢圓的離心率公式，計算可得a與c的值，由橢圓的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計算可得答案；（2）根據題意，設直線PQ的方程為y=k（x﹣3），聯立直線與橢圓的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，設出P、Q的坐標，由根與系數的關系的思路引導求出、的坐標，由向量平行的坐標表示方法，思路引導可得證明；（3）設直線PQ的方程為x=my+3，聯立直線與橢圓的方程，思路引導有（m2+3）y2+6my+3=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），結合根與系數的關系思路引導用y1．y2表示出△FPQ的面積，思路引導可得答案．（3）設直線PQ的方程為x=my+3．由方程組，得（m2+3）y2+6my+3=0，學&科網2.已知橢圓C：+y2=1的左頂點為A，右焦點為F，O為原點，M，N是y軸上的兩個動點，且MF⊥NF，直線AM和AN分別與橢圓C交于E，D兩點．（Ⅰ）求△MFN的面積的最小值；（Ⅱ）證明；E，O，D三點共線．【思路點撥】（I）F（1，0），設M（0，t1），N（0，t2）．不妨設t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化為：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性質即可得出．（II）A（﹣，0）．設M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直線AM，AN的方程分別為：y=x+t，y=x﹣．分別與橢圓方程聯立，利用一元二次方程的根與系數的關系可得kOE，kOD．只要證明kOE=kOD．即可得出E，O，D三點共線．【詳細解析】（I）F（1，0），設M（0，t1），N（0，t2）．不妨設t1＞t2．學&科網∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化為：t1t2=﹣1．∴S△MFN==≥=1．當且僅當t1=﹣t2=1時取等號．3.已知焦距為2的橢圓W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為A1，A2，上、下頂點分別為B1，B2，點M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標軸上的任意一點，且四條直線MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之積為．（1）求橢圓W的標準方程；（2）如圖所示，點A，D是橢圓W上兩點，點A與點B關于原點對稱，AD⊥AB，點C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點共線．【思路點撥】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四條直線的斜率，由斜率乘積為，代入求得a和b的關系，即可求得a和b的值，求得橢圓W的標準方程；（2）設A，D的坐標，代入橢圓方程，作差法，求得直線AD的斜率，由kAD?kAB=﹣1，代入求得=，由kBD﹣kBC=0，即可求證kBD=kBC，即可求證B，C，D三點共線．（2）證明：不妨設點A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐標（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），∵A，D在橢圓上，，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴=﹣，學&科網由AD⊥AB，∴kAD?kAB=﹣1，?=﹣1，?（﹣，）=﹣1，∴=，∴kBD﹣kBC=﹣=﹣=0，kBD=kBC，∴B，C，D三點共線．學&科網4.給定橢圓C：+=1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓的“伴隨圓”．已知A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=m（m＞0）上的點．（Ⅰ）若過點P（0，）的直線l與橢圓G有且只有一個公共點，求直線l被橢圓G的“伴隨圓”G1所截得的弦長；（Ⅱ）若橢圓G上的M，N兩點滿足4k1k2=﹣1（k1，k2是直線AM，AN的斜率），求證：M，N，O三點共線．【思路點撥】（Ⅰ）將A代入橢圓方程，可得m，進而得到橢圓方程和伴橢圓方程，討論直線l的斜率不存在和存在，設出l的方程，代入橢圓方程運用判別式為0，求得k，再由直線和圓相交的弦長公式，計算即可得到所求弦長；（Ⅱ）設直線AM，AN的方程分別為y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），設點M（x1，y1），N（x2，y2），聯立橢圓方程求得交點M，M的坐標，運用直線的斜率公式，計算直線OM，ON的斜?率相等，即可得證．5.已知橢圓,四點中恰有三點在橢圓C上（1）求橢圓的方程.（2）經過原點作直線（不與坐標軸重合）交橢圓于，兩點，軸于點，點在橢圓C上，且求證：，三點共線.【思路點撥】根據橢圓上的點坐標求出橢圓方程；設出，，則，，再向量坐標化，得到，得到，最終得到；6.已知拋物線：（）的焦點為，點為直線與拋物線準線的交點，直線與拋物線相交于、兩點，點關于軸的對稱點為.（1）求拋物線的方程；（2）證明：點在直線上.【思路點撥】（1）由交點坐標可得，求得可得拋物線方程；（2）設直線的方程為（），代入拋物線方程消去x整理得，再設，，進而得，可得直線的方程為，又，，故BD方程化為，令，得，即結論成立?！驹敿毥馕觥浚?）依題意知，解得，學&科網所以拋物線的方程.（2）設直線的方程為（），7.已知橢圓：的離心率與雙曲線：的離心率互為倒數，且經過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，已知是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且與交于點，為坐標原點，求證：三點共線．【思路點撥】(1)由二者離心率互為倒數以及橢圓經過點，建立關于a，b，c的方程組從而得到橢圓的標準方程；（2）因為線段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為，線段所在直線的方程為，聯立方程可得，利用韋達定理得到弦的中點的坐標，所以，所以點在定直線上，而兩點也在定直線上，所以三點共線．【詳細解析】（1）因為雙曲線：的離心率，學&科網而橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，所以橢圓的離心率為，設橢圓的半焦距為，則.①又橢圓經過點，所以.②，③聯立①②③，解得.所以橢圓的標準方程為.8.設橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F1，離心率為，過點F1且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓C的方程；（2）若y2=4x上存在兩點M，N，橢圓C上存在兩個點P，Q，滿足：P，Q，F1三點共線，M，N，F1三點共線且PQ⊥MN，求四邊形PMQN的面積的最小值．【思路點撥】（1）由題意可知：a=b2，a=c及a2=b2﹣c2，即可求得a和b的值，求得橢圓的標準方程；（2）討論直線MN的斜率不存在，求得弦長，求得四邊形的面積；當直線MN斜率存在時，設直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）聯立拋物線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及四邊形的面積公式，計算即可得到最小值．由弦長公式|PQ|=?=，∴四邊形PMQN的面積S=|MN|?|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），則S===4×（1+）＞4，∴S＞4，綜上可知：四邊形PMQN的面積的最小值4．學&科網9.已知橢圓的右焦點為F，設直線l：x=5與x軸的交點為E，過點F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點，M為線段EF的中點．（I）若直線l1的傾斜角為，求△ABM的面積S的值；（Ⅱ）過點B作直線BN⊥l于點N，證明：A，M，N三點共線．【思路點撥】（I）由題意，直線l1的x=y+1，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式即可求得△ABM的面積S的值；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1），代入橢圓方程，由韋達定理，利用直線的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三點共線．10.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的長軸長為2，且橢圓C與圓M：（x﹣1）2+y2=的公共弦長為．（1）求橢圓C的方程．（2）經過原點作直線l（不與坐標軸重合）交橢圓于A，B兩點，AD⊥x軸于點D，點E在橢圓C上，且，求證：B，D，E三點共線..【思路點撥】（1）由題意得，由橢圓C與