高中三角函數(shù)練習(xí)題含答案

高中三角函數(shù)練習(xí)題含答案

一、填空題

1.如圖，在棱長(zhǎng)均為2石的正四面體ABCD中，A7為AC中點(diǎn)，E為A3中點(diǎn)，P是DM

上的動(dòng)點(diǎn)，。是平面ECD上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是.

2.如圖，點(diǎn)C為某沿海城市的高速公路出入口，直線8。為海岸線，ZBAC=—,

BDLAB,BC是以A為圓心，半徑為1面?的圓弧型小路.該市擬修建一條從C通往海岸的

觀光專線CP-PQ(新建道路PQ，對(duì)道路CP進(jìn)行翻新)，其中尸為BC上異于&C的一

點(diǎn)，戶。與AB平行，設(shè)=新建道路PQ的單位成本是翻新道路CP的單

位成本的2倍.要使觀光專線CP-PQ的修建總成本最低，則。的值為.

3.已知函數(shù)"X)在R上可導(dǎo)，對(duì)任意x都有f(x)-f(-x)=2sinx,當(dāng)xVO時(shí)，

r(x)<-l,若/⑺+則實(shí)數(shù)，的取值范圍為

4.在A4BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,(7=1,A=手，若勸+c有最大

4

值，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

5.在直角坐標(biāo)系中，“LBC的頂點(diǎn)A(cos%sine),B(cos/?,sin/?),,且

△ABC的重心G的坐標(biāo)為,cos(?—/?)=.

6.通信衛(wèi)星與經(jīng)濟(jì)、軍事等密切關(guān)聯(lián)，它在地球靜止軌道上運(yùn)行，地球靜止軌道位于地球

赤道所在平面，軌道高度為/?km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是

一個(gè)球(球心為。，半徑為rkm),地球上一點(diǎn)A的緯度是指。4與赤道平面所成角的度

數(shù)，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與。4垂直的平面，在點(diǎn)A處放置一個(gè)仰角為。的地面接

收天線(仰角是天線對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星時(shí)，天線與水平面的夾角)，若點(diǎn)A的緯度為北緯30°,則

tan，-G=-

7.已知函數(shù)〃力=4411(5+夕)(4>0,0>0,網(wǎng)<1^的部分圖象如圖所示.將函數(shù)

y=〃x)的圖象向右平移(個(gè)單位，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，則下列有關(guān)“X)與g(x)的描

述正確的有(填序號(hào)).

7萬

③函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖象關(guān)于對(duì)稱.

8.已知正四棱柱ABCO-ABCQ中，/W=2,AA=6.若M是側(cè)面BCG4內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),

且4W，MC,則I的最小值為.

9.平面向量b>G滿足忖=卜一同=|4=1,b2+a-c+^-\b-(^=b-(a+,

io.已知函數(shù)函數(shù)g(x)滿足以下三點(diǎn)條件：①定義域?yàn)镽；②對(duì)任

I-x,xSU

意xwR,有g(shù)(x+萬)=2g(x)；③當(dāng)xe[0,句時(shí),g(x)=sinx則函數(shù)y=/(x)-g(x)在區(qū)

間［-4肛4句上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.個(gè)?

二、單選題

已知函數(shù)f(x)=sin(0x+mJ(0>O)在171,7i

上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則口的取值范圍是

3

)

14U11,4u317

A.吟B.

33J3T

114J1720

C.D.

學(xué)9H吟)3T

12.已知函數(shù)./(x)=sin69X+coscox+|sin69%-cosO）J（\（69>0）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

)

①0=1時(shí)，函數(shù)/（X）圖象關(guān)于X=；對(duì)稱；②函數(shù)/（X）的最小值為-2；③若函數(shù)/（x）在

-pO上單調(diào)遞增，則。?0,3］；④々，々為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，若|“不）|+|〃々）|=4

且|不一%|的最小值為兀，貝1。=2.

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

13.在三棱錐P-48C中，頂點(diǎn)P在底面的射影為△4BC的垂心。（。在△ABC內(nèi)部），且

P0中點(diǎn)為M,過AM作平行于BC的截面。，過8M作平行于4C的截面夕，記。，夕與

底面A8C所成的銳二面角分別為伉，為，若ZPAM=/PBM=e,則下列說法錯(cuò)誤的是

()

A.若4=2，則4c=8C

B.若4w%，則tanqtan=—

C.〃可能值為g

O

D.當(dāng)，取值最大時(shí)，4=4

以已知點(diǎn)P是曲線尸號(hào)上一動(dòng)點(diǎn)，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則。的取

值范圍是（）

A717T

-展B.75D.

15.若函數(shù)>=$布2%與y=sin（2x+0）在其中0?0,2乃）,則。

的取值范圍是（）

71

A.[4,24)B.D.f-,pl

5'"g20

22

16.已知點(diǎn)片，K分別為橢圓。的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在直線

/:x=-a上運(yùn)動(dòng)，若NK"心的最大值為60。，則橢圓C的離心率是（）

3/Q1

17.在AABC中，已知sinA+sinC=：,設(shè)Z=2sinAsinC,則——最大值為

()

AiR27近_169后n9

641928

2

18.已知雙曲線4/一工=1的左右焦點(diǎn)分別為的，居，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足

3

疝彳茄；=0，點(diǎn)N是線段與外上一點(diǎn)，滿足點(diǎn)v=2房.現(xiàn)將△/耳心沿MN折成直二面

角F「MN_F?,若使折疊后點(diǎn)耳，工距離最小，則a=()

124

A.-B.-C.-D.一

5555

19.已知函數(shù)〃x)=sinx+sin(;rx),現(xiàn)給出如下結(jié)論：①/㈤是奇函數(shù)；②f(x)是周期

函數(shù)；③/(x)在區(qū)間(0,外上有三個(gè)零點(diǎn)；④f(x)的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)

為()

A.①③B.②③C.②④D.①④

20.已知函數(shù)〃x)=sin<wx+acos<yx(a>0且<y>0),周期T<2萬，/(。)=百，且/(x)

在x=BTT處取得最大值，則。的最小值為()

O

A.11B.12C.13D.14

三、解答題

21.如圖，湖中有一個(gè)半徑為1千米的圓形小島，岸邊點(diǎn)A與小島圓心C相距3千米，為方

便游人到小島觀光，從點(diǎn)A向小島建三段棧道A8,BD,BE,湖面上的點(diǎn)B在線段AC

上，且80,BE均與圓C相切，切點(diǎn)分別為。，E,其中棧道A8,BD,BE和小島在同

一個(gè)平面上.沿圓C的優(yōu)弧(圓C上實(shí)線部分)上再修建棧道?記/C8。為"

⑴用，表示棧道的總長(zhǎng)度/伊)，并確定sin。的取值范圍；

(2)求當(dāng)。為何值時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

22.在直角AA8C中，延長(zhǎng)C8至點(diǎn)D,使得CB=28O,連接A￡>.

(1)若AC=AD,求/C4O的值；

(2)求角。的最大值.

23.已知函數(shù)/(x)=2Gsin(x+e)cos(x+s)+2cos2(x+e)(0<e<5).

(1)求的最小正周期；

(2)若求當(dāng)〃x)=2時(shí)自變量x的取值集合.

24.將函數(shù)g(x)=sin2x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的G倍(橫坐標(biāo)不變)，再

向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=〃x)的圖象，設(shè)函數(shù)以x)=〃x)+g(x).

(1)對(duì)函數(shù)/?(x)的解析式;

(2)若對(duì)任意a,￡e%,兀,不等式〃(尸)4。恒成立，求6-a的最小值；

⑶若/76-看］=閨0,2%)內(nèi)有兩個(gè)不同的解藥，巧，求小看一々)的值(用含f的式

子表示).

25.某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由

直角AAfiC和以8C為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)P為半圈上一點(diǎn)(異于8,C),點(diǎn)H在線

段8c上，且滿足CW_LA8.已知ZACB=90°,A8=ldm,設(shè)ZA8C="

(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足WC=NPC8,且。1+CP達(dá)到最大.當(dāng)

〃為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；

(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足NPB4=60。，且CW+CP達(dá)到最大.

當(dāng)e為何值時(shí)，C"+CP取得最大值，并求該最大值.

26.已知函數(shù)=

(1)證明函數(shù)f(x)在(-1,400)上為減函數(shù)；

(2)求函數(shù)y=In"tanX)的定義域，并求其奇偶性；

(3)若存在(今卷)，使得不等式/(tanx)+atanx?O能成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

27.已知AA8C的外談網(wǎng)的半徑為0,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,又向量

/n=(sinA-sinC,b-a),n=sinA+sinC,sinB,且工_L：.

\7

(l)求角c；

(2)求三角形ABC的面積S的最大值并求此時(shí)AA8C的周長(zhǎng).

28.設(shè)函數(shù)/(xM-cos?x+asinx+a+2(a€R).

(1)求函數(shù)f(x)在R上的最小值；

(2)若不等式f(x)<0在［0,自上恒成立，求。的取值范圍：

(3)若方程八的=0在(0,乃)上有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

29.已知向量1=(/ncos3r-msin5,siri3r),&=(-cos69X-sin69x,2HCOS6?X),設(shè)函數(shù)

〃*)=,3+女工6/?)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，1］對(duì)稱，且0?1,2)

⑴若加=1,求函數(shù)/(X)的最小值；

(ID若〃x)4/(?)對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

3.3xx|71

30.已知向量5二cos-x,sin—x,b=cos—,-sin—I,且不￡0,

22~2

(1)求占,5及IMB|；

-3-

(2)^f(x)=a-b-^\a+b\,求/Xx)的最小值

【參考答案】

一、填空題

]/+而

,2

2?i

3.F

5。I

r+h

7.①③

8.加

9.2-6##-肉2

10.6

二、單選題

11.C

12.B

13.C

14.A

15.A

16.C

17.B

18.C

19.A

20.C

三、解答題

（1）/⑻=3-+-^-+%+2。，sinOe；,1）；（2）當(dāng)夕=?時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

v7v7sin<9tan。

【解析】

CD1

（1）連CO,CE,由切線長(zhǎng)定理知：BE=BD=

tan0tan0，饋磊

AB=AC-BC=3—>0,sin61>-,即sin4=

sin。3°3

i7+萬+0,^\,進(jìn)而確定。的取值范圍;

則/⑻=3一蓊+做26,0sin

-cos/9（2cosi9-l）

⑵根據(jù)/⑻=2?！挂唬海?；夕+7f3求導(dǎo)得（（6）=,利用增減性算出

sin26>

f（0）min=y+3,進(jìn)而求。得取值.

【詳解】

C）

解：（1）連CO,CE,由切線長(zhǎng)定理知：BE=BD=--=--垢衛(wèi)」,

tan。tan。sin6sin8

NCBE=NCBD=9,又CDLBD,CELBE,故ZDCE=i-2。，

則劣弧OE的長(zhǎng)為萬-29,因此，優(yōu)弧QE的長(zhǎng)為"+2，，

又AC=3,^.AB=AC-BC=3—^—>0,sin82g,EPsin0｛）=

sin3r3-嗚，

i2綜目冗，則sinOe1,1J；

所以‘f⑻=3一3+嬴^+2,收

2

⑵/⑻3片券+萬+3,0e,yj,其中sin%=§,4七（。,7'1），

32

一cos6（2cos6-1）

廣⑻=

sin2

71

07

-0+

/⑻單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

故6=5時(shí)，〃。）皿=弓+3

所以當(dāng)時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于中檔題.

22.(1)Z.CAD——；(2)~.

36

【解析】

【分析】

(1)在4曲中，由正弦定理得，段=」二，再結(jié)合在直角A4BC中，

sinasinD

AB^BCsmC,然后求解即可；

(2)由正弦定理及兩角和的余弦可得

2tanD=tanDeos2a+sin2a=Vtan2D+lsin(2a+e)，然后結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解即

可.

【詳解】

解：(1)設(shè)=在A4BD中，由正弦定理得，圖_=

sincrsinD

而在直角AABC中，AB=BCsinC,所以型~=生辿工，

smersinD

因?yàn)锳C=AO,所以C=O,

又因?yàn)镃B=28￡>,所以sina=」，所以“=芻，所以NCA￡>=如;

263

(2)設(shè)=

BDAB

在AABD中，由正弦定理得,

sinasinD

而在直角AABC中，AB=BCcosZABC=BCcos(+￡)),

BDBCcos(a+￡>)BC(cosacosD-sinasin￡))

所以

sinasinDsinD

因?yàn)镃B=2BD,所以sinD=2sinacosacosD-2sin2asinD,

八2sinacostzsin2a

u即ntanD=----------------=--------------,

l+2sin-a2-cos2a

即2tan￡)=tanDeos2a+sin2a=Vtan2D+lsin(2cr+,

2tanDt(九、、行

根據(jù)三角函數(shù)有界性得，人")+產(chǎn)及『°旬，解得0<tanOW三,

所以角。的最大值為?

O

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的有界性，屬中檔題.

23.(1)乃；(2)+&萬或x=；+k乃(AeZ):

【解析】

【分析】

(1)由輔助角公式可得小)=2呵2》+尹2沙1,再求周期即可；

(2)由=1求出夕=],再解方程2sin(2x+()+l=2即可.

【詳解】

解：(1)/(x)=2>/3sin(x+^)cos(x+^)+2cos2(x+夕)=Gsin2(x+0)+cos2(x+e)+l

=2sin(2x+^+2e]+l,

24

則/(x)的最小正周期為7=同=萬.

(2)因?yàn)?閨=1,所以2sin(2x?2e)+l=l,即*+2°=履信eZ),

解得夕=當(dāng)_旨AeZ).

TTTT

因?yàn)?<*<5，所以9=萬.

因?yàn)閒(x)=2,所以2sin(2x+(1+1=2,即sin(2x+?)=g,

則2工+工=江+24乃^2x+—=—+2k7r^keZ),

3636

解得工=一5+4左或x=5+k乃(攵$Z).

故當(dāng)f(x)=2時(shí)，自變量x的取值集合為*》=-三+版■或x=?+%〃(keZ)}.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，重點(diǎn)考查了解三角方程，屬中檔題.

24.(1)/?(%)=2sin^2x+yj(2)26+4；(3)cos(±-々)=彳-1

【解析】

(1)將g(x)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的石倍ny=75sin2x；再向左平移(個(gè)單位長(zhǎng)度

=>〃x)=gsin2(x+?),最后代入//(x),得答案；

(2)對(duì)〃(x)在xe-,7T,由內(nèi)到外求出值域，因?yàn)椤?人3)-力(夕)46恒成立，所以

b2叫曲，a<mmin,整理得答案；

(3)表示嗚-7)并化簡(jiǎn)，由毛，巧是2sinx=閨0,2%)內(nèi)有兩個(gè)不同的解，所以

%+工2=萬或?yàn)?/=3%，因需求以”(西一々)，所以分別表示為-*2并代入，利用誘導(dǎo)公式

和二倍角公式化簡(jiǎn)，將式子中2sinx?換成t得答案.

【詳解】

(1)將函數(shù)g(x)=sin2x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的打倍(橫坐標(biāo)不變)，

得到函數(shù))，=6sin2x的圖象，再將y=bsin2x的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)

產(chǎn)”X),所以〃x)=7isin2(x+=＞/3cos2x,

又/z(x)=/(x)+g(x),所以/z(x)=sin2x+Gcos2x=2sin+?)；

冗2"+小《0所以Sin(2x+qe一喘

(2)當(dāng)xe—,TC時(shí),

所以2sin(2x+qJe[-2,G],

令m=h?_h(0),因?yàn)閍4/z(a)-〃(⑶“恒成立,

所以/?2m皿=/+2,6/</nmin=-2-V3,即一〃22+百

所以2G+4即。一。的最小值為26+4；

(3)法一：因?yàn)椤╗-不[=2sin[2、一不)+§=2sinx,

所以巧，々是2sinx=，在[0,2])內(nèi)有兩個(gè)不同的解，

所以內(nèi)十/=4或%+工2=3%，

所以X-x2=乃一2%2或％-x2=3TT-2X2

1產(chǎn)

29

所以cos(x-9)=2sinx2-1=—(2sinx2)"-1=--1；

法二：①當(dāng)＞0時(shí)，不妨設(shè)西〈人2，

TT、/t2/t2

則有0＜%＜耳＜X2＜萬,所以cosXj=41——,cosx＞=q1——

②當(dāng)r〈0時(shí)，不妨設(shè)為<々，

則有乃VX]V苫Vx2V2/，所以COSX]=Jl-j，COS%2=：

③當(dāng)￡=0時(shí)，顯然有百=0,X2=7T,

所以cos(芭-x2)=cosx,cosx2+sinX[sinx2=y-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由三角函數(shù)圖像的伸縮平移變換表示解析式，給定定義域求三角函數(shù)值域，不

等式恒成立問題，還考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于難題.

25.(1)9=3(2)當(dāng)。=白，CH+CP達(dá)到最大，最大值為上正

6124

【解析】

(1)設(shè)NABC=NPC3=6>,則在直角A4BC中，AC=sin，，SC=cos6?,計(jì)算得到

AC+CP=-sin2^+sin6>+l,計(jì)算最值得至U答案.

(2)計(jì)算C"=sine-cose,得至!|€7/+。尸=$111(2。+1)+修，得的最值.

【詳解】

(1)設(shè)ZABC=NPCB=6,則在直角A4BC中，AC=sin6,BC=cos0.

在直角\PBC中，PC=BC-cos0=cos0-cos0-cos20,

PB=BC-sin=sin夕cos0=sin，cos0.

AC4-CP=sin+cos26=sin6+1-sin?=-sin2夕+sin。+1,夕仁，

|TT5

所以當(dāng)sin。7,即。飛,AC+CP的最大值為?

(2)在直角AABC中，由SM^=；C4-CB=gA8.C〃，

sin0?cos6

可得C77==sin6?cose.

1

在直角AP3C中,PC=BC-sin^-0j=cos0Jsincos0-cossin0

所以C”+CP=sin0cos0+coscos，——sin。

2

I/o|

所以CH+CP=—sin2。+—cos20——sin6cos0

222

_1.OKonV3_l.V3

=-sin26H----cos2^H------=-sin2，H—4------,

4442L3j4

所以當(dāng)"S，C"+C尸達(dá)到最大值生走.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用三角函數(shù)求最值，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力.

26.⑴證明見解析；（2）,?+&肛卜版?卜eZ,奇函數(shù)；⑶（-oo,3-2應(yīng)］.

【解析】

（1）利用單調(diào)性定義證明即可.

Itanx<1

（2）根據(jù)條件可得「其解集即為函數(shù)的定義域，可判斷定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

再根據(jù)奇偶性定義可判斷函數(shù)的奇偶性.

\-t

（3）考慮——+G<0在（L+oo）上有解即可，參變分離后利用基本不等式可求

1+Z

實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】

(1)Vx,>-1,Vx2>-1,xl<x2,

又〃刈_/(々)=4_戶=j2(A12)

1+ml+x2(1+x2)

因?yàn)閄〉一1,x2>-1f%<占，故l+X]>0,1+x2>0,x,-x2<0,

故ra)-r(/)>o即Fa)>r(芍)，所以函數(shù)/(X)在(-1,*o)上為減函數(shù).

(2)y=ln(/(tanx))的x滿足的不等關(guān)系有：j吧>。即。+(anx)(tanx-l)<0,

1+tanx

ftanx<1]TTT

故｛,解得一二十左7T<工<;+Z匹Z€Z,

[tanx>-l44

故函數(shù)的定義域?yàn)椴?+日，?+質(zhì))，ksZ,該定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

令F(x)=ln(/(tanx))

『z\y(r(/x\\,1+tanx.1-tanx

XF(-x)=ln(/(tan(-x)))=ln----------=-In-----------

')'、〃1-tanx1+tanx

=-ln(/(tanx))=-F(x),

故y=In/(tanx)為奇函數(shù).

(3)令f=tanx,因?yàn)楣省?gt;1.

故在(T3T，1TT)上不等式/(tanx)+atanx40能成立即為

1—tt—1

存在經(jīng)1，使得幣+WW0,所以不而在(1，位)上能成立，

"1_s__1

令5=，一1,則s>0且r?+l)d+3$+2$+2+3，

s

由基本不等式有S+222&,當(dāng)且僅當(dāng)5=夜時(shí)等號(hào)成立，

S

所以忘5‘總方=3一2夜’當(dāng)且僅當(dāng)30+1時(shí)等號(hào)成立’

故>=木A的最大值為3-20，所以a的取值范圍為(―,3-2&].

【點(diǎn)睛】

本題考查與正切函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)的討論，此類問題常用換元法把復(fù)

合函數(shù)性質(zhì)的討論歸結(jié)為常見函數(shù)性質(zhì)的討論，本題較綜合，為難題.

27.⑴C=5.(2)5皿=|6,周長(zhǎng)為36.

【解析】

【分析】

(1)由m_!_〃n=0,利用坐標(biāo)表不化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理求角C(2)利用(1)中

c2=a2+b2-ab,應(yīng)用正弦定理和基本不等式，即可求出面積的最大值，此時(shí)三角形為正三

角即可求周長(zhǎng).

【詳解】

□1Ui

(1)二，〃_L〃=>“〃=0，

.*?(sin/A-sinC)(sinA+sinC)+-^-(&-a)sin8=0,

且2R=2&，由正弦定理得：(會(huì)]_(或j+亨4e—a)=0，

化簡(jiǎn)得：c2=a2+b2-ab.

由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC,2cosc=1=cosC=g,

冗

vo<c<^,:.c=-.

3

(2)Va2+b2-ab=c2=(2RsinCy=6,

；.6=/+b2_abN2ab—ab=ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=")

S=-absinC=^-ab<-'J?>，

242

所以，Sm"=|百，此時(shí)，AMC為正三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，正弦定理，余弦定理，基本不

等式，屬于中檔題.

2,a>2-,

2

28.(1)f(x)min=--y+a+l,-2<a<2;(2)ae(-<?,-l)(3)-l<a<2-2立

2〃+2,a<-2.

【解析】

【分析】

(1)通過換元法將函數(shù)變形為二次函數(shù)，同時(shí)利用分類討論的方法求解最大值；

(2)恒成立需要保證/(用3<0即可，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)取到最大值時(shí)的情況得

到。的范圍；

(3)通過條件將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)求。的范圍，這里將所有滿

足條件的不等式列出來，求解出。的范圍.

【詳解】

解：(1)令sinx=t,re[-1,1],貝!|/(x)=g(f)=/+小+。+1,對(duì)稱軸為r=-3.

①一￡<一1,即a>2,/(x)1rtn=g(-l)=2.

(2)-1<-^<1,B[J-2<a<2,f(x)min=g(-^)=-^-+a+l.

@-->1.即a<-2,〃x）向n=g⑴=2a+2.

2,a>2\

2

綜上可知，/(初而*--+a+\,-2<a<2;

4

2。+2,ci<—2.

(2)由題意可知，/(x),mx<0,/*)=&切=產(chǎn)+。+°+1,的圖象是開口向上的拋

物線，最大值一定在端點(diǎn)處取得，所以有

g(0)=a+l<0,

故aey,-l).

g(T)=2a+2<0,

(3)令sinx=3xe(O,x).由題意可知，當(dāng)0<r<l時(shí)，sinx=t有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，所以

原題可轉(zhuǎn)化為g")=『+af+a+l=O在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.所以有

0<--<1,

2

-△=-4(a+1)>O,=>-i<a<2-2夜

g(0)=a+l>0,

g(l)=2a+2>0,

【點(diǎn)睛】

(1)三角函數(shù)中，形如/(x)=asin2x+6sinx+c或者〃x)=acos2x+力cosx+c都可以采

用換元法求解函數(shù)最值；

(2)討論二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布，最好可以采用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，這樣很大程度

上減少了遺漏條件的可能.

29.(1)1-石；(II)—--—，-y+—(keZ)