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./習(xí)題解答習(xí)題一1-1｜｜與有無不同?和有無不同?和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明．解：〔1是位移的模,是位矢的模的增量,即,；〔2是速度的模,即.只是速度在徑向上的分量.∵有〔式中叫做單位矢,則式中就是速度徑向上的分量,∴不同如題1-1圖所示.題1-1圖<3>表示加速度的模,即,是加速度在切向上的分量.∵有表軌道節(jié)線方向單位矢,所以式中就是加速度的切向分量.<的運算較復(fù)雜,超出教材規(guī)定,故不予討論>1-2設(shè)質(zhì)點的運動方程為=<>,=<>,在計算質(zhì)點的速度和加速度時,有人先求出r＝,然后根據(jù)=,及＝而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量,再合成求得結(jié)果,即=及=你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量,在平面直角坐標(biāo)系中,有,故它們的模即為而前一種方法的錯誤可能有兩點,其一是概念上的錯誤,即誤把速度、加速度定義作其二,可能是將誤作速度與加速度的模.在1-1題中已說明不是速度的模,而只是速度在徑向上的分量,同樣,也不是加速度的模,它只是加速度在徑向分量中的一部分.或者概括性地說,前一種方法只考慮了位矢在徑向〔即量值方面隨時間的變化率,而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻.1-3一質(zhì)點在平面上運動,運動方程為=3+5,=2+3-4.式中以s計,,以m計．<1>以時間為變量,寫出質(zhì)點位置矢量的表示式；<2>求出=1s時刻和＝2s時刻的位置矢量,計算這1秒內(nèi)質(zhì)點的位移；<3>計算＝0s時刻到＝4s時刻內(nèi)的平均速度；<4>求出質(zhì)點速度矢量表示式,計算＝4s時質(zhì)點的速度；<5>計算＝0s到＝4s內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；<6>求出質(zhì)點加速度矢量的表示式,計算＝4s時質(zhì)點的加速度<請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式>．解：〔1<2>將,代入上式即有<3>∵∴<4>則<5>∵<6>這說明該點只有方向的加速度,且為恒量.1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上,有人用繩子拉船靠岸,船在離岸S處,如題1-4圖所示．當(dāng)人以<m·>的速率收繩時,試求船運動的速度和加速度的大?。畧D1-4解：設(shè)人到船之間繩的長度為,此時繩與水面成角,由圖可知
將上式對時間求導(dǎo),得題1-4圖根據(jù)速度的定義,并注意到,是隨減少的,∴即或?qū)⒃賹η髮?dǎo),即得船的加速度1-5質(zhì)點沿軸運動,其加速度和位置的關(guān)系為＝2+6,的單位為,的單位為m.質(zhì)點在＝0處,速度為10,試求質(zhì)點在任何坐標(biāo)處的速度值．解：∵分離變量：兩邊積分得由題知,時,,∴∴1-6已知一質(zhì)點作直線運動,其加速度為＝4+3,開始運動時,＝5m,=0,求該質(zhì)點在＝10s時的速度和位置．解：∵分離變量,得積分,得由題知,,,∴故又因為分離變量,積分得由題知,,∴故所以時1-7一質(zhì)點沿半徑為1m的圓周運動,運動方程為=2+3,式中以弧度計,以秒計,求：<1>＝2s時,質(zhì)點的切向和法向加速度；<2>當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時,其角位移是多少?解：<1>時,<2>當(dāng)加速度方向與半徑成角時,有即亦即則解得于是角位移為1-8質(zhì)點沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運動,式中為質(zhì)點離圓周上某點的弧長,,都是常量,求：<1>時刻質(zhì)點的加速度；<2>為何值時,加速度在數(shù)值上等于．解：〔1則加速度與半徑的夾角為<2>由題意應(yīng)有即∴當(dāng)時,1-9半徑為的輪子,以勻速沿水平線向前滾動：<1>證明輪緣上任意點的運動方程為＝,＝,式中/是輪子滾動的角速度,當(dāng)與水平線接觸的瞬間開始計時．此時所在的位置為原點,輪子前進方向為軸正方向；<2>求點速度和加速度的分量表示式．解：依題意作出下圖,由圖可知題1-9圖<1><2>1-10以初速度＝20拋出一小球,拋出方向與水平面成幔