高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-曲線是否過(guò)定點(diǎn)可推可算可檢驗(yàn)（含答案）

專(zhuān)題9曲線是否過(guò)定點(diǎn)，可推可算可檢驗(yàn)【題型綜述】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題在全國(guó)卷近幾年高考中出現(xiàn)的頻率較低，是圓錐曲線部分的小概率考點(diǎn)．此種平民解法思維上比較接地氣，但是實(shí)際操作上屬于暴力美學(xué)范疇．定點(diǎn)問(wèn)題是常見(jiàn)的出題形式，化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通法，是設(shè)出直線方程，通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可．技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？【典例指引】例1、（“手電筒”模型）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：設(shè)，由得，，以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)且，，，，整理得：，解得：，且滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為◆方法總結(jié)：本題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過(guò)定點(diǎn)．（參考百度文庫(kù)文章：“圓錐曲線的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”）◆模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個(gè)限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）．此模型解題步驟：Step1：設(shè)AB直線，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；Step2：由AP與BP關(guān)系（如），得一次函數(shù)；Step3：將代入，得．例2、（切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)）有如下結(jié)論：“圓上一點(diǎn)處的切線方程為”，類(lèi)比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過(guò)橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．（1）求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．【解】（1）設(shè)M∵點(diǎn)M在MA上∴①同理可得②由①②知AB的方程為易知右焦點(diǎn)F（）滿(mǎn)足③式，故AB恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F（）（2）把AB的方程∴又M到AB的距離∴△ABM的面積◆方法點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過(guò)程中直接不能直接引用，可以用本題的書(shū)寫(xiě)步驟替換之，大家注意過(guò)程．例3、（相交弦過(guò)定點(diǎn)）如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E．連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由．法一：先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱(chēng)性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N，且，猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)證明：設(shè)，當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)N∴KAN=KEN，∴A、N、E三點(diǎn)共線，同理可得B、N、D三點(diǎn)共線∴AE與BD相交于定點(diǎn)法2：本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點(diǎn)M、N，然后兩個(gè)坐標(biāo)相減=0．計(jì)算量也不大．◆方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，是證明定點(diǎn)問(wèn)題一類(lèi)的通法．這一類(lèi)題在答題過(guò)程中要注意步驟．例4、已知橢圓C：，若直線與x軸交于點(diǎn)T，點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．方法1：【思路引導(dǎo)】點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2，0)和M，通過(guò)韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過(guò)所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在．解：設(shè)，，直線的斜率為，則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根，則，，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時(shí)，MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn)．方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2，0)的橫坐標(biāo)－2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理，得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：，；其實(shí)由消y整理得，得到，即，很快．不過(guò)如果看到：將中的換下來(lái)，前的系數(shù)2用－2換下來(lái)，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量．本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿(mǎn)足．方法2：◆方法點(diǎn)評(píng)：相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用，但是具體解題而言，相交弦過(guò)定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算量相對(duì)較大，解題過(guò)程一定要注意思路，同時(shí)注意總結(jié)這類(lèi)題的通法．例5、（動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)）已知橢圓是拋物線的一條切線．（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（I）由因直線相切，故所求橢圓方程為（II）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：，由即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）．事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下．當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：由記點(diǎn)、∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1），故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿(mǎn)足條件．◆方法總結(jié)：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可以先取特殊值或者極值，找出這個(gè)定點(diǎn)，再證明用直徑所對(duì)圓周角為直角．例6、如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（1）求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1），設(shè)，由有，又，，于是，又，，又，，橢圓，且．（2）方法1：，設(shè)，由，由于（*），而由韋達(dá)定理：，，，設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，由有由對(duì)稱(chēng)性知定點(diǎn)在軸上，令，取時(shí)滿(mǎn)足上式，故過(guò)定點(diǎn)．法2：本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F（1，0）．接下來(lái)用相似證明PF⊥FQ．問(wèn)題得證．◆方法總結(jié)：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)上是垂直向量的問(wèn)題，也可以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用．【擴(kuò)展鏈接】已知橢圓：，左右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)為，．過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．步驟1（特殊化尋求定點(diǎn)坐標(biāo)）：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則重合于點(diǎn)，直線的方程為：；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則直線的方程為：，代入橢圓可得：，直線的方程為：；代入橢圓可得：，則點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則直線的方程為：，聯(lián)立兩個(gè)特殊位置的直線方程可得：定點(diǎn)可能為步驟2（一般化探求題意韋達(dá)定理化）：直線過(guò)定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式直線的方程為：代入橢圓可得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為：，直線的方程為：，則步驟3（聯(lián)立方程解方程組，韋達(dá)定理整體代入）： 直線的方程為：代入橢圓方程可得：（完美?。╋@然直線垂直于y軸時(shí)，直線也經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【新題展示】1．【2019福建龍巖質(zhì)檢】已知橢圓的方程為，點(diǎn)為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)．為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)．直線與直線的斜率滿(mǎn)足：．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相切，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)．【思路引導(dǎo)】（1）由可得的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）原問(wèn)題等價(jià)于，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理即可得到結(jié)果．2．【2019新疆維吾爾自治區(qū)第一次適應(yīng)性檢測(cè)】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線，過(guò)點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線軸時(shí)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，、的延長(zhǎng)線分別交直線于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)?！舅悸芬龑?dǎo)】(1)根據(jù)題干條件得到c=1，再由向量坐標(biāo)化得到參數(shù)a，b的值；（2）聯(lián)立直線AB和橢圓方程，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線PA，PB的方程，進(jìn)而得到M，N的坐標(biāo)，再由向量坐標(biāo)化得到，代入韋達(dá)定理得到結(jié)果．3．【2019江西上饒重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上，且短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形．(1)求橢圓的方程；(2)動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，以及斜邊長(zhǎng)為，可求出，進(jìn)而可求出橢圓方程；(2)先由直線可得求過(guò)定點(diǎn)；根據(jù)與軸平行時(shí)或與軸平行時(shí)，先求出定點(diǎn)，再由證明即可．4．【2019江蘇蘇北三市質(zhì)檢】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為1．過(guò)軸上一點(diǎn)為常數(shù)，且的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得，從而得到橢圓方程；（2）對(duì)斜率分類(lèi)討論，斜率存在時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程可得，可得，進(jìn)而可得直線的方程為，求得，表示圓的方程，可得定點(diǎn)．5．【2019湖南三湘名校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，其上焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．試探究以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由橢圓離心率結(jié)合得到a，b，c之間的關(guān)系，計(jì)算焦點(diǎn)到直線的距離得到a，b的值，從而得到橢圓方程;（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，得到為直徑的圓的方程，當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，得到為直徑的圓的方程，從而得到兩圓的交點(diǎn)Q，然后只需證明當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q即可．【同步訓(xùn)練】1、設(shè)A、B是軌跡：上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．2、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4，0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8．(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)B(-1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是的角平分線，證明直線過(guò)定點(diǎn)．3、已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足（1）求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)在曲線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論．4、已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線．，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖．（I）證明:為定值;（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；（Ⅲ）證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．5、已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線:的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程;(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．6、已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與所在的直線交于點(diǎn)Q．（1）求橢圓的方程：（2）是否存在這樣直線，使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7、已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，．圓的圓心是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）證明:無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn)．8．已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線：與直線分別交于兩點(diǎn)，又點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的圓是否過(guò)軸上不同于點(diǎn)的定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．已知拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，若直線的斜率之積為，求證：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)．10．已知橢圓的右焦點(diǎn)為左頂點(diǎn)為（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于（不同于點(diǎn)的）兩點(diǎn)．試判斷直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型綜述】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題在全國(guó)卷近幾年高考中出現(xiàn)的頻率較低，是圓錐曲線部分的小概率考點(diǎn)．此種平民解法思維上比較接地氣，但是實(shí)際操作上屬于暴力美學(xué)范疇．定點(diǎn)問(wèn)題是常見(jiàn)的出題形式，化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通法，是設(shè)出直線方程，通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可．技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？【典例指引】例1、（“手電筒”模型）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．◆方法總結(jié)：本題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過(guò)定點(diǎn)．（參考百度文庫(kù)文章：“圓錐曲線的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”）◆模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個(gè)限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）．此模型解題步驟：Step1：設(shè)AB直線，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；Step2：由AP與BP關(guān)系（如），得一次函數(shù)；Step3：將代入，得．例2、（切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)）有如下結(jié)論：“圓上一點(diǎn)處的切線方程為”，類(lèi)比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過(guò)橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．（1）求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．◆方法點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過(guò)程中直接不能直接引用，可以用本題的書(shū)寫(xiě)步驟替換之，大家注意過(guò)程．例3、（相交弦過(guò)定點(diǎn)）如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E．連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由．法2：本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點(diǎn)M、N，然后兩個(gè)坐標(biāo)相減=0．計(jì)算量也不大．學(xué)科&網(wǎng)◆方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，是證明定點(diǎn)問(wèn)題一類(lèi)的通法．這一類(lèi)題在答題過(guò)程中要注意步驟．例4、已知橢圓C：，若直線與x軸交于點(diǎn)T，點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．方法1：【思路引導(dǎo)】點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2，0)和M，通過(guò)韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過(guò)所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在．方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2，0)的橫坐標(biāo)－2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理，得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：，；其實(shí)由消y整理得，得到，即，很快．不過(guò)如果看到：將中的換下來(lái)，前的系數(shù)2用－2換下來(lái)，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量．本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿(mǎn)足．◆方法點(diǎn)評(píng)：相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用，但是具體解題而言，相交弦過(guò)定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算量相對(duì)較大，解題過(guò)程一定要注意思路，同時(shí)注意總結(jié)這類(lèi)題的通法．例5、（動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)）已知橢圓是拋物線的一條切線．（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（I）由因直線相切學(xué)科&網(wǎng)，故所求橢圓方程為（II）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：◆方法總結(jié)：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可以先取特殊值或者極值，找出這個(gè)定點(diǎn)，再證明用直徑所對(duì)圓周角為直角．例6、如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（1）求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1），設(shè)，由有，又，學(xué)科&網(wǎng)法2：本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F（1，0）．接下來(lái)用相似證明PF⊥FQ．問(wèn)題得證．學(xué)科&網(wǎng)◆方法總結(jié)：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)上是垂直向量的問(wèn)題，也可以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用．【擴(kuò)展鏈接】已知橢圓：，左右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)為，．過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．步驟1（特殊化尋求定點(diǎn)坐標(biāo)）：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則重合于點(diǎn)，直線的方程為：；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則直線的方程為：，代入橢圓可得：，直線的方程為：；代入橢圓可得：，則點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則直線的方程為：，聯(lián)立兩個(gè)特殊位置的直線方程可得：定點(diǎn)可能為步驟2（一般化探求題意韋達(dá)定理化）：直線過(guò)定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式直線的方程為：代入橢圓可得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為：，直線的方程為：，則步驟3（聯(lián)立方程解方程組，韋達(dá)定理整體代入）： 直線的方程為：代入橢圓方程可得：（完美?。╋@然直線垂直于y軸時(shí)，直線也經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【新題展示】1．【2019福建龍巖質(zhì)檢】已知橢圓的方程為，點(diǎn)為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)．為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)．直線與直線的斜率滿(mǎn)足：．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相切，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)．【思路引導(dǎo)】（1）由可得的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）原問(wèn)題等價(jià)于，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理即可得到結(jié)果．【解析】（1）設(shè)則，由得，由，即得，所以，所以即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)由得：又與圓C相切，所以即所以所以，，即所以，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．2．【2019新疆維吾爾自治區(qū)第一次適應(yīng)性檢測(cè)】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線，過(guò)點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線軸時(shí)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，、的延長(zhǎng)線分別交直線于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)。【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)題干條件得到c=1，再由向量坐標(biāo)化得到參數(shù)a，b的值；（2）聯(lián)立直線AB和橢圓方程，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線PA，PB的方程，進(jìn)而得到M，N的坐標(biāo)，再由向量坐標(biāo)化得到，代入韋達(dá)定理得到結(jié)果．【解析】（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為，，則當(dāng)軸時(shí)，不妨設(shè)，，，橢圓的方程為（2）設(shè)的方程為，，由，直線的方程為直線的方程為令，得，，以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．3．【2019江西上饒重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上，且短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形．(1)求橢圓的方程；(2)動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！舅悸芬龑?dǎo)】(1)根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，以及斜邊長(zhǎng)為，可求出，進(jìn)而可求出橢圓方程；(2)先由直線可得求過(guò)定點(diǎn)；根據(jù)與軸平行時(shí)或與軸平行時(shí)，先求出定點(diǎn)，再由證明即可．【解析】(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，．又斜邊長(zhǎng)為，即，故，，橢圓方程為．(2)由題意可知該動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為；當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為．由得，故若存在定點(diǎn)，則的坐標(biāo)只可能為．下面證明為所求：若直線的斜率不存在，上述已經(jīng)證明．若直線的斜率存在，設(shè)直線：，，，由得，，，，，，=，，即以線段AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)．4．【2019江蘇蘇北三市質(zhì)檢】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為1．過(guò)軸上一點(diǎn)為常數(shù)，且的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得，從而得到橢圓方程；（2）對(duì)斜率分類(lèi)討論，斜率存在時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程可得，可得，進(jìn)而可得直線的方程為，求得，表示圓的方程，可得定點(diǎn)．【解析】（1）由題意，得，解得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意，當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)顯然不符合題意；所以設(shè)的斜率為，則直線的方程為，又準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得，，即所以，，所以，從而直線的方程為，（也可用點(diǎn)差法求解）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為，即，因?yàn)樵撌綄?duì)恒成立，令，得，所以以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．5．【2019湖南三湘名校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，其上焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．試探究以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由橢圓離心率結(jié)合得到a，b，c之間的關(guān)系，計(jì)算焦點(diǎn)到直線的距離得到a，b的值，從而得到橢圓方程;（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，得到為直徑的圓的方程，當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，得到為直徑的圓的方程，從而得到兩圓的交點(diǎn)Q，然后只需證明當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q即可．【解析】（1）由題意，，，所以，．又，，所以，，故橢圓的方程為（2）當(dāng)軸時(shí)，以為直徑的圓的方程為當(dāng)軸時(shí)，以為直徑的圓的方程為．可得兩圓交點(diǎn)為．由此可知，若以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為．下證符合題意．設(shè)直線的斜率存在，且不為0，則方程為，代入并整理得，設(shè)，，則，，所以故，即在以為直徑的圓上．綜上，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．【同步訓(xùn)練】1、設(shè)A、B是軌跡：上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．，所以直線的斜率存在，否則，OA，OB直線的傾斜角之和為從而設(shè)AB方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知①由，得1＝==將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．學(xué)科&網(wǎng)2、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4，0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8．(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)B(-1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是的角平分線，證明直線過(guò)定點(diǎn)．解：(Ⅰ)A(4，0)，設(shè)圓心C(Ⅱ)點(diǎn)B(-1，0)，．直線PQ方程為:所以直線PQ過(guò)定點(diǎn)(1，0)3、已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足（1）求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)在曲線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論．解：（1）設(shè)（5分））4、已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線．，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖．（I）證明:為定值;（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；（Ⅲ）證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．即即由（*）式，代入上式，得由此可知直線PQ過(guò)定點(diǎn)E（1，－4）．學(xué)科&網(wǎng)5、已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線:的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程;(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．聯(lián)立方程，消去整理得由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以又點(diǎn)在直線上，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．學(xué)科&網(wǎng)6、已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與所在的直線交于點(diǎn)Q．（1）求橢圓的方程：（2）是否存在這樣直線，使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．直線的方程為：由直線的方程為：，即由直線與直線的方程消去，得∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．故這樣的直線存在7、已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的