高中函數(shù)考題A版（學(xué)生版）

學(xué)生版函數(shù)考題A版

能夠做完這套函數(shù)卷分?jǐn)?shù)至少120分

1Xx

1.已知/(%)---e,g(x)a(x1).

1x

(1)求y/⑴的單調(diào)區(qū)間；B版為教師解答版

(2)當(dāng)。0時(shí)，若關(guān)于X的方程/(x)g(x)0存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根孫X2X|X2，證明：a好且

X1X2XlX2.

2.已知函數(shù)/xxa\nxi\a\.

(1)討論函數(shù)/x的單調(diào)性.

(2)已知/X有兩個(gè)不同的零點(diǎn)汨、X2.

(i)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

忌A

(ii)求證：f0(fx為fx的導(dǎo)函數(shù)).

2

v

3.已知函數(shù)f(x)eax{aR).其函數(shù)圖像與x軸交于Ax\fi、BX2,0.且加X2.

(1)求。的取值范圍;

3Xj+x2

(2)求證：/(4)0;

(3)若C在/(x)圖像上，%ABC為正三角形，記f

1)(?3)的值.

4.已知函數(shù)fxxsinxcosxa\nxfaR.

(1)當(dāng)〃0時(shí)，求曲線yf(x)在'Lj一處的切線方程；

22(2)

n

若/(〃。f()?0mn,求證：而n2?a?

5.已知函數(shù)fxxInxax1xaR.

(1)證明：曲線yfx在點(diǎn)1J1處的切線/恒過定點(diǎn);

1頁共頁

(2)若/X有兩個(gè)零點(diǎn)Xl,X2,且M2x,,證明：X\X2一82.

6.已知函數(shù)fxx1Inx

(1)討論/X的單調(diào)性；

11

(2)設(shè)〃，。為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且例Ma\nbb,證明：27-

ab

7.已知函數(shù)/(x)exax(aR).

第102

(1)討論函數(shù)八元)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)/(尤)的圖象與直線y〃交于A,8兩點(diǎn)，記A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為“用，且用小證明:

XIX210672.

8.已知函數(shù)fXxe^x22x1.

(1)求函數(shù)fX的單調(diào)區(qū)間;

21xLInx1

(2)實(shí)數(shù)xi,滿足fx\x\2x\3%2In3%21X2-，求XIX2的最大值.

3

2

9.已知函數(shù)gx2ex(〃R)有兩個(gè)極值點(diǎn)為x\,X2(xi%2).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

2e2

(2)求證：1??x\X2In.

a2

a*

10.設(shè)函數(shù)/xx1eaR

2

1

(1)當(dāng)a_時(shí)，求gxxe的單調(diào)區(qū)間fx是/x的導(dǎo)數(shù));

(2)若/X有兩個(gè)極值點(diǎn)XixX2X\X2證明：x\2x23.

2

頁

11.已知函數(shù)/x\nx-aaR.

x

(1)當(dāng)43時(shí)，求fx在e宕的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；⑵若了

3.十—

x有兩個(gè)零點(diǎn)xi,X2,且赴xi,證明：42；

(3)已知〃4,在(2)的條件下，證明：X21XI

12.已知函數(shù)f(x)xln(x).

(1)求曲線y/(x)在點(diǎn)(1J(D)處的切線方程；

1

(2)若對于x-e,e，都有了xax1,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(3)若/(x)xln(x)的函數(shù)圖像與y〃［交于不同的兩點(diǎn)Ax\,m，Bxi,tn證明：x\xz2

13.已知函數(shù)/(%)a\nxxZ?cosx.

(1)若。0,函數(shù)/⑶在區(qū)間(0,)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)0b1,若存在0xiQ使/(汨)f(X2),求證：.由且即拓一

h1

14.已知函數(shù)fx\nxax\aR.

(1)討論函數(shù)/⑴的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)設(shè)即，X2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：XiX22elna0.

第2頁共102

15.已知函數(shù)/xx\nx.

(1)求的單調(diào)區(qū)間；/x

(2)若x1,時(shí)，方程2/x0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證

明：汨尢2a

11

-------1

.ax\

ax?

a

16.已知函數(shù)f(x)InX1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)孫X2XlX2

X

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；。

11

(2)記的極值點(diǎn)為,求證：〃工》丁2efxo.x\X2

17.已知函數(shù)fxx2\n2xa\nx.CyaR

(I)令gxxfx,討論的單調(diào)性并求極值；gx

(II)令/?xfx2IMx,若有兩個(gè)零點(diǎn)；/zx

(i)求〃的取值范圍；

xM62

(ii)若方程xea\nxx0有兩個(gè)實(shí)根，，且，證明：xixix\xie----

X\X2

18.已知函數(shù)/x'x22x的圖象在點(diǎn)處的切線方程為0,1y1.

(1)證明：fxx21.

(2)若是的極值點(diǎn)，且即fxX。0.若/X\/工2,且初Xi0.證明：Inx\xi

2ln22xo.

19.己知函數(shù)/x3mexx3三+39.

(1)若曲線y/x在0,70處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；6m

(2)若函數(shù)有/%)3個(gè)不同的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：X]X2X3mx\X2X3

4.

20.已知函數(shù)fxInxax

(1)討論的單調(diào)性；fx

(2)若，，XlX2X\Xi是的兩個(gè)零點(diǎn)/X.證明:

2

(i)x\X2

a

2，1ea

(ii)xix\

a

21.已知函數(shù)fxInx2ax2lax,0

頁

(I)討論函數(shù)的單調(diào)性；fX

(口)若，實(shí)數(shù)41X1,X20,，且/羽fX23,證明：即2照22.

22.已知函數(shù)fx\nxax2bxa,bR.

(1)若時(shí)，函數(shù)有最大值為。0/x-1,求b的值；

(2)若時(shí)，設(shè)，為的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：a1x\X2fxfx\fX2

3In2；

(3)設(shè)，為的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明XlX2fXfX\X2X\X23.

23.己知函數(shù)/xa\nx

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；aifxxe

⑵設(shè)gxfx2sinx,若記gx6,3上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍;

a

(3)設(shè)/?xfXX,若存在不相等的實(shí)數(shù)，,使得閑X2'(xi)="(Q,證明：0ax\

X2.

24.已知函數(shù)f(x)\nx一.

x

1

(1)當(dāng)0?！獣r(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).了㈤

e

(2)若函數(shù)g(x)xf(x)ax11有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，證明為/2汨Xix\X22e3(為自然對數(shù)

的底e數(shù)).

1

25.已知函數(shù)gxInx2mx1,mR.

(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)在處的切線方程；〃?1x1

(2)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)fxxgx在其定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn),且，求證：x^xiXiInxi\nxi2.

26.若函數(shù)fx\nx以恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)x/2

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；a

11

第5頁共147頁

(2)求證--------2.

Inx\Inxi

27.已知函數(shù)/xInx-----2.

x

(1)若在/x1,上不單調(diào)，求〃的取值范圍;

(2)當(dāng)時(shí)，記的兩個(gè)零點(diǎn)是X0fXXl,X2XlX2

①求。的取值范圍；

②證明：XIX22e2.

第4102

28.已知函數(shù)f(x)axInx,其中.a0

(I)討論函數(shù)的單調(diào)性；f(x)

1In—1Inr2

(口)若，是方程Xixixf(x)1Inx的

兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求

證：22

0.X\X2

29.已知函數(shù)f(x)exax,對于任意的實(shí)數(shù),xf(x)0恒成立.

(1)求的值；a

(2)若/AjfX2X\X2,求證：6*2.

Inxax1

30.已知函數(shù)/x

x

(1)若對任意X0,/(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

22

X----

(2)若函數(shù)f(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)X|,X2(X|X2)，證明：2,X2X\

31.已知函數(shù)ln(x1)axa(aR).

(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；/⑶[2,3]

(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求證：/(x)x/2XiX22e2.

32.已知函數(shù)fx21nxax?bx(a,。R),gx

2x2

\nx.

共102頁

X1

(1)當(dāng)時(shí)，與在定義域上的單調(diào)性相反，求。2fXgxb的取值范圍;

4

(2)設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：Xl冗2fXXlX2axiX2

b.XIX2

2

a

33.已知函數(shù)/(x)aInx2(,為常數(shù))在內(nèi)有兩極值點(diǎn)。RX\9XiXIX2

xx

(1)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

(2)求證：X\X221Ina

a

34.已知函數(shù)f(x)2x

x

G

(i)若函數(shù)在x處取得極值，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程;

2

(2)已知g(x)(2〃l)lnxh,若方程/(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且xg2X(,X\X2,證

明：

gXo

35.已知函數(shù)/x有兩個(gè)極值點(diǎn)、，三個(gè)零點(diǎn)、、X1X2X3X4X5

(1)求的取值范圍；a

(2)若，證明：X41XiX2X3X5.(參考數(shù)據(jù)：e2.718,e320)

?一

36.設(shè)為正實(shí)數(shù)，函數(shù)。Xae隊(duì)X存在零點(diǎn)X\,X2XlX2，且存在極值點(diǎn)與?初(1)當(dāng)a1時(shí),

求曲線fx在1J處的切線方程;

(2)求〃的取值范圍，并證明：2M3xo3.

37.已知函數(shù)f(x)ax22x(aR).

(1)若f(x)在［0,)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的最小值.

(2)若g(x)fM(2622)x有兩個(gè)極值點(diǎn)X\^C2(X\X2).

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(ii)求證：1X|X2In

第7頁共147頁

2

23

38.已知函數(shù)/(x)x31nx2ax_.

2

(1)若函數(shù)/⑴在(0,)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

11

(2)若汨，X2是函數(shù)/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證:L

InXiInXi

aInx

39.已知函數(shù)/(x)(aR).

X

(1)當(dāng)函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)Inx圖象的公切線/經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值集合;

1_L_L_L

(2)證明：當(dāng)a0,_2時(shí),函數(shù)〃(x)/(x)ax有兩個(gè)零點(diǎn)汨工，且滿足MX2a.

40.已知函數(shù)了xInx,gxax1aR

(1)討論函數(shù)〃Xgx的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)fx與gx的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(xi,y.)B%2,y2X]X2

(i)求實(shí)數(shù)”的取值范圍

(ii)求證：1yi0,且e"en2(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

41.已知函數(shù)f(x)e2xax2\(xR).

(1)設(shè)g(x)f(x)Xf(x),當(dāng)aI時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間及極大值；

(2)設(shè)函數(shù)y/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為抵，

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：aeixxaeixz2ei^42.已

知/xxe^.

(1)試求/x在0,2上的最大值；

(2)已知fx在x1處的切線與x軸平行，若存在xi^2R,xiM使得fxiX2,證明:

汨泮e.

43.已知函數(shù)fxx2lnaxa0

第6

共102頁

(i)若rx爐對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；X067

(n)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)41gx----/X，若箝,X2-1,1,XlX21,求證x\XiXiXI

4

xe

44.已知函數(shù)fx21nxx2x0.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值；fx

(2)若方程fxm0在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；\e,em（其

中為自然對數(shù)的底數(shù))e

(3)如果函數(shù)gxfxor的圖象與軸交于兩點(diǎn)xAxi,0、Bxz,0，且0x\X2,求

證：gpx\qx20(其中，是的導(dǎo)函數(shù)，正常數(shù)、滿足gxgxpqpq

1.)qP.

45.已知函數(shù)fxxxlnx.

(1)求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；fx(1,1)

(2)若，且女Zk(x1)fx對任意恒成立，求的最大值；x1k

(3)當(dāng)〃m4時(shí)，證明mn"mnmmn.

46.已知函數(shù)f(x)=2x+ax2+bcosx在點(diǎn)(n2,2))處的切線方程為y=3%.

(1)求a,b的值，并討論f(x)在[0,2上的增減性；

(2)若f(X])=f(X2),且0<X]<X2V7l,求證：^,+2X2)<0.

(參考公式cos0-cos(p=-2sin°+2(psin^'(p2)47.已知函

數(shù)/xx\nx2/wcmR.

V

(1)求函數(shù)在區(qū)間fxed的最小值；

12XL

第9頁共147頁

(2)當(dāng)時(shí)，若)？0XI,,X2_,,求證：X\X2XIX2

ee

48.已知函數(shù)/(x)泮a(x2),a0.

(1)討論的單調(diào)性；/x

(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)/xX\,X2XiX2，求證：eax'*>2.49.已知函數(shù)f

xmxInxminR

(1)求的單調(diào)區(qū)間；fx

(2)設(shè)機(jī)1,汨，X2為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：fxX221nm.

tn

50.已知函數(shù)/(x)Inx_(aaR).

x

(I)當(dāng)Q3時(shí)，求f(x)在(e,")上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(II)當(dāng)。3時(shí)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)為工，求證：4<xi+X2<3e-251.已知函

數(shù)/xeax22axaR.

(1)討論/x的導(dǎo)數(shù)fx的單調(diào)性；

(2)若/X有兩個(gè)極值點(diǎn)X2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明Xi1X211.

52.己知函數(shù)fxex1a,函數(shù)gxaxInxaR

(1)當(dāng)。0時(shí)，若/xgx左對任意x0恒成立，求人的取值范圍；

(2)若函數(shù)GxfxgxInx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)汨和工2,求。的取值范圍，并證明：Xi

1X211.

共102頁

53.已知函數(shù)(/x)InxaCxaR).

(I)討論（/x）的單調(diào)性;

（n）若(/%)%2對x(0,）恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

（皿）當(dāng)a1時(shí)，設(shè)（gx）X（le為自然對數(shù)的底）.若正實(shí)數(shù)H2滿足

21,X\,X2(0,)（即X2),證明：（g1X12X2)1(gXl)2(g*2).

1

2

54.已知函數(shù)/(x)x\nx7.x（相1)X"2有兩個(gè)極值點(diǎn)X\,X29且XIX2.

（1）求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍;

(2)若r1,證明：%,tx2

x

55.已知函數(shù)fxtnex（mR）有兩個(gè)零點(diǎn)即內(nèi)，且立X2.

（1）求加的取值范圍;

（2）當(dāng)照4汨時(shí)，不等式汨（團(tuán)/me^）13ax162恒成立，求a的取值范圍.

56.已知函數(shù)了xax221nx.

(1)當(dāng)〃2時(shí),求y/1在點(diǎn)處的切線方程;

（2）若對x，都有7xZ恒成立，求。的取值范圍;

f1,求證：ax\

2

（3）已知。0,若XI,12且滿足0X\X2，使得fX\X22XI

o.

2

57.已知函數(shù)/xxlnx,函數(shù)gxXxa(a/?).

2

第8頁

(1)求函數(shù)在/x上的最小值;

函數(shù)/xxgx,若在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求尸x4的取值范圍;

(3)記Fx于xgx的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，且為用加照.已知，若不等式0elx\

汝恒成立，求的取

值范圍.注：e2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).

第11頁共147頁

58.已知函數(shù)f(x)=(1+x)'-1的定義域?yàn)?-1,+oo),其中實(shí)數(shù)f滿足依)且#1.直線I：y—g(x)是f

(x)的圖象在x=0處的切線.

(1)求/的方程：y=g(x)；

(2)若f⑺〃(X)恒成立，試確定r的取值范圍；

(3)若a\,zW(0，1),求證：a\a'+ci^a嚴(yán)+G"1.注：當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式(xa)'=axa'

共102頁

參考答案

1.(1)減區(qū)間為：(，/3)6),增區(qū)間為：(石,1),(1，4)；(2)證明見解析.

【分析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與。的關(guān)系，判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)方法一：由條件，分離參數(shù)〃____令〃(x)______利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間及最值情況，利用數(shù)形結(jié)

X1X1

合將問題轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問題，從而證得參數(shù)4的取值范圍；令，*3/1,將證明的結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為

X1X2XlX2Xl1X111,從221/In2/(tI)20,令F⑺/In2/(t

1)2,Q1),通過導(dǎo)數(shù)研

Q1)

究其最大值情況，從而證明結(jié)論；方法二：令/z(x)eaxa通過導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，若,有兩個(gè)零點(diǎn)，只

需最小值小于0,從而求得參數(shù)。取值

InIn

范圍；令XI1,X21.則e一，變形整理--------1,要證XlX2XlX1,則只需證1,即

只要

111

證一(01)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)yInx的圖象可知，只需要證(,ln),,ln兩點(diǎn)連線的

斜率要比

(,ln),(,ln)兩點(diǎn)連線的斜率小即可.

【詳解】

⑴解：f(x)的定義域?yàn)?，1)(1,),

Xvf(X)——73x2,

(lx)e,由/(x)oWx3,

當(dāng)x,6?

當(dāng)一后)U(M3,時(shí)，/⑴。，

3)時(shí)，f(x)0,

y/(x)的減區(qū)間為：(—3艱3,),增區(qū)間為：J3,l),(lG),(2)證明：方法一：由

fix)g(x)0存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根X\,X2X\X2，

整理得方程e'a(xl)(x1)存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根孫*2xiX2

第13頁共102頁

ex

由〃0,知X2Xl

X1

ev^(x2)

令h(x)----,則h(x)--------

X1(x1)

當(dāng)x(1,2)時(shí),h(x)0,力（為減函數(shù);當(dāng)x（2,）時(shí)，人⑴0,依）增函數(shù).

所以//(X)min〃(2)C2.

因?yàn)闊o!,//（%）,/i（x）.所以z?a）的值域?yàn)閍,

問題等價(jià)于直線y。和y力。）有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

a",且X](1,2)m(2,),

ex\ax\1CxixixiX21

所以.n，從而—xle

eaX2IX\1

xix\Int

XIX|IntrInt

令t1,則，解得x,一1,X2----1,

XI1tt1t1

X\X2X\X2X\1X21L而Xi1X2

------1Int2，

(t1)

tln2^22

下面證明時(shí)，/1______21t\Ylt(r1)0,

(71)

令尸⑺t\n2taIK”D，

22(lnrt1)

則/(f)\nt21nr2(r1)/(。

1令s(r)In

tt1,(/1),則S⑺_10,

S⑺在為減函數(shù),（1,)5(/)5(1)0,

第14頁共147頁

F⑺0,F(f)在為減函數(shù)，(1,)F(r)F(1)

0,F⑴在為減函數(shù)，(1,)F(t)F(l)0,即

X\X2XiX2?

方法二：由/(X)g(X)0存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根X\,X2X\X2

整理得方程e'a(xl)(x1)存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根孫X2xiX2

由，知aOx?xi1,

令h(x)eaxa,則h(x)exa

當(dāng)xIna時(shí)，h(x)0j(x)在(Intz,)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x1口〃時(shí)，//(x)0,//(x)在(0,Ina)上單調(diào)遞減.

所以/?(x)min力(Ina)2aa\na.

因?yàn)?z(x)&ax〃有兩個(gè)零點(diǎn)，即2〃a\na0,得,ae2

因?yàn)閷?shí)數(shù)xi,%是"a(x1)的兩個(gè)根，

€x\ClX\\€x\xixiXI1

所以期，從而1e

eaxi\exi1

InIn

令Xi1,x21,則e變形整理1,

1

要證xmX.范，則只需證，即只要證1_(01).

-1T,(,ln)兩點(diǎn)連線的斜結(jié)合對數(shù)函數(shù)Inx

的圖象可知，只需要證(,ln),,ln兩點(diǎn)連線的斜率要比(,ln)

率小即可.

1

Inln_

InIn1,整理得?21n0(0

1).

因?yàn)?,所以只要證

1

第15頁共147頁

112(xI)2

令g(x)_x21nx(0x1),財(cái)g(x)—~1

20>XXXX

所以在上單調(diào)遞減，即g(x)(0,1)g(x)g(l)0,

1

所以-21n0(01)成立，故X|X2XI檢成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間，最值情況以及交點(diǎn)，零點(diǎn)情況；帶參數(shù)時(shí)，可以分離參數(shù)或者帶參分類討論這兩種方法來求得參數(shù)取

值范圍；對于雙變量問題的證明，一般需要找到兩個(gè)變量間的關(guān)系，利用另一個(gè)變量來表示這兩個(gè)變量，從而轉(zhuǎn)

化為函數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)證得結(jié)論.

2.(1)在/x\,a1上單調(diào)遞增，在a1,上單調(diào)遞減；(2)(i)e,；(ii)證

明見解析.

【分析】

(1)求出函數(shù)的定義域，求得了xX1一",分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的

單調(diào)遞增區(qū)/x

X1

間和遞減區(qū)間；

(2)(i)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)/X

fx4數(shù)的取值范圍；a

(ii)構(gòu)造函數(shù)Ffa\xfalx,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間尸xa,a上

的單調(diào)性，設(shè)

22

2廬X」一3X2—，再利用函數(shù)的單調(diào)性可證/

X

\xa]x,分析得出a\,利用基本不等式可得出a1

22

得所證不等式成立.

【詳解】

a1x

(1)由題意得的定義域?yàn)榱藊1,fx1

X1X

令/x0,解得xaI.

又，所以ala10,所以當(dāng)xl,a1時(shí)，/x0,當(dāng)x1,時(shí)，fx

0,

第16頁共147頁

所以在/X1上單調(diào)遞增，在a1,上單調(diào)遞減:

(2)(i)由題知f010,f

設(shè)g0，則gx2x.

令hx2x,則〃X2,

令hx0,得0xIn2,令hx0,解得xln2,

所以函數(shù)在gX0,ln2上單調(diào)遞增,在In2,上單調(diào)遞減,

2

因此gxgIn222ln221n0,所以函數(shù)在g冗0,上單調(diào)遞

減，

所以，當(dāng)時(shí),x0gxg01,0,則/ga0.

構(gòu)造函數(shù)x"x1,其中，則x0X0,

所以，函數(shù)在x0,上單調(diào)遞增，則X00,即

當(dāng)時(shí)，x0^X1.所以，ea1a,所以1,故要使得函數(shù)有

兩個(gè)不同的零點(diǎn),只需fxfa\aaIna0即可，解得，ae

因此當(dāng)a時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn);x

(ii)令函數(shù)小x11fo.1X2xInxIn

Xxa

則于2a11

22x22，xaxa

ax

所以尸0在上恒成立，因此函數(shù)在尸Xa,a上單調(diào)遞增，且尸00.

由⑴設(shè)1x\a1X2，則aa1X\0,所以尸a1X\F00,

即/2X\X\0,即/2a2x\X\X2

因?yàn)?。2X\且在fxa1,上單調(diào)遞減,

第17頁共147頁

/2所以2〃

2X\X2f即a1.

2

由(i)知，則〃ea11，由基本不等式可得2Xi2X22Xl2X222X\X2X\

X22,即

X12X22XLX2.2,

22

因?yàn)椋訶IX2XV2X22X2XL2a12a1e1a1,

22

xh.X22

因?yàn)楹瘮?shù)fx一在1,上單調(diào)遞減，因此f

a10.x12

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如

下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/XgX(或/XgX)轉(zhuǎn)化為證明fX

gx0(或/xgx0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)人xfxgX；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形

再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

3.(1)；(ae2)證明見解析；(3)3r.

【分析】

(1)求得f(x)eva,由冊x0求解.

(2)構(gòu)造函數(shù)(x)/(x)/(21n(a)x),x(0,ln(a)),利用導(dǎo)數(shù)法先證x\xi21n(a),從而

3xXXi---X2

12

-4~ln(a),再利用f(x)e。的單調(diào)性證明.

2

exiax\xi2X2X1_X2

axiX2,由根據(jù)為正三角形且“IBCC在圖象上有了x

(3)由m,得e/()\AB\,

eax222

第18頁共147頁

即2X2,aXLX2,近(%2XI),然后兩邊同除￡以令XIt求解.

22寸萬

【詳解】

(1)f(x)eva,

若，則aOfx0,函數(shù)在/xR上單調(diào)遞增，不符合題意