2024屆山東省濰坊市第一中學數(shù)學高一下期末達標測試試題含解析

2024屆山東省濰坊市第一中學數(shù)學高一下期末達標測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．2．已知,,為坐標原點，則的外接圓方程是（）A． B．C． D．3．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．244．甲、乙兩位射擊運動員的5次比賽成績（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運動員平均成績相同，則成績較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\動員成績的方差為A．2 B．4 C．6 D．85．在等差數(shù)列中，若，則（）A．10 B．15 C．20 D．256．若，，與的夾角為，則的值是（）A． B． C． D．7．角的終邊在直線上，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．9．在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，則的面積為（）A． B． C． D．10．在直角中，，線段上有一點，線段上有一點，且，若，則（）A．1 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，則的最小值為_____．12．設等比數(shù)列的前項和為，若，,則的值為______．13．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，的面積等于，則外接圓的面積為______．14．一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________.15．若是等比數(shù)列，，，則________16．若，，則的值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數(shù)列），則稱數(shù)列是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.（1）判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”，并說明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.（3）對任意給定的正整數(shù)，若，是否總存在正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由18．設等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.19．某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經初步估計得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費用為Q(x)＝3000＋50x(單位：元)．（1）求樓房每平方米的平均綜合費用f(x)的解析式.（2）為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？每平方米的平均綜合費用最小值是多少？（注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝）20．在某單位的職工食堂中，食堂每天以3元/個的價格從面包店購進面包，然后以5元/個的價格出售.如果當天賣不完，剩下的面包以1元/個的價格全部賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購進了80個面包，以x（單位：個，）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤.（1）求食堂面包需求量的平均數(shù)；（2）求T關于x的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)直方圖估計利潤T不少于100元的概率.21．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.（1）證明:；（2）求三棱錐的體積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

通過成等比數(shù)列，可以列出一個等式，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可以把該等式變成關于的方程，解這個方程即可.【題目詳解】因為成等比數(shù)列，所以有，又因為是公差為2的等差數(shù)列，所以有，故本題選B.【題目點撥】本題考查了等比中項的性質，考查了等差數(shù)列的性質，考查了數(shù)學運算能力.2、A【解題分析】

根據(jù)圓的幾何性質判斷出是直徑，由此求得圓心坐標和半徑，進而求得三角形外接圓的方程.【題目詳解】由于直角對的弦是直徑，故是圓的直徑，所以圓心坐標為，半徑為，所以圓的標準方程為，化簡得，故選A.【題目點撥】本小題主要考查三角形外接圓的方程的求法，考查圓的幾何性質，屬于基礎題.3、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質得到，再計算得到答案.【題目詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質，是數(shù)列的常考題型.4、A【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計算即可．【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績波動性小，較為穩(wěn)定（方差較小），所以甲成績的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【題目點撥】莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進一步估計總體情況．5、C【解題分析】

設等差數(shù)列的公差為，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，設等差數(shù)列的公差為，則，又由，故選C.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎題，.6、C【解題分析】

由題意可得||?||?cos，，再利用二倍角公式求得結果．【題目詳解】由題意可得||?||?cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故選：C．【題目點撥】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角公式的應用屬于基礎題．7、C【解題分析】

先由直線的斜率得出，再利用誘導公式將分式化為弦的一次分式齊次式，并在分子分母中同時除以，利用弦化切的思想求出所求代數(shù)式的值．【題目詳解】角的終邊在直線上，，則，故選C．【題目點撥】本題考查誘導公式化簡求值，考查弦化切思想的應用，弦化切一般適用于以下兩個方面：（1）分式為角弦的次分式齊次式，在分子分母中同時除以，可以弦化切；（2）代數(shù)式為角的二次整式，先除以，轉化為角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同時除以，可以實現(xiàn)弦化切．8、D【解題分析】

令，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質可得，那么，可將問題轉化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題．【題目詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同．∵函數(shù)圖象的對稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)的值域，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意換元法的使用，將問題轉化為二次函數(shù)的值域問題.9、B【解題分析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【題目詳解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面積為.故選：B.【題目點撥】本題考查三角形面積的計算，同時也考查了余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.10、D【解題分析】

依照題意采用解析法，建系求出目標向量坐標，用數(shù)量積的坐標表示即可求出結果．【題目詳解】如圖，以A為原點，AC，AB所在直線分別為軸建系，依題設A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得，，解得，，所以，，，故選D．【題目點撥】本題主要考查解析法在向量中的應用，意在考查學生數(shù)形結合的能力．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

首先求出在上的兩個零點，再根據(jù)周期性算出至少含有30個零點時的值即可【題目詳解】根據(jù)，即，故，或，∵在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，∴不妨假設（此時，），則此時的最小值為，（此時，），∴的最小值為，故答案為：【題目點撥】本題函數(shù)零點個數(shù)的判斷，解決此類問題通常結合周期、函數(shù)圖形進行解決。屬于難題。12、16【解題分析】

利用及可計算，從而可計算的值.【題目詳解】因為，故，因為，故，故，故填16.【題目點撥】等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學問題轉化為關于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數(shù)列相關的問題；（2）利用數(shù)列的性質求解即通過觀察下標的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質處理數(shù)學問題．13、4π【解題分析】

利用三角形面積公式求解,再利用余弦定理求得,進而得到外接圓半徑,再求面積即可.【題目詳解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圓的面積為4π．故答案為：4π．【題目點撥】本題主要考查了解三角形中正余弦與面積公式的運用,屬于基礎題型.14、【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義進行求解即可.【題目詳解】因為一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，所以，這一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，2，4，5，7，9，因此這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：.故答案為：【題目點撥】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義，屬于基礎題.15、【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解公比再求和即可.【題目詳解】設公比為,則.故故答案為：【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題型.16、【解題分析】

求出，將展開即可得解．【題目詳解】因為，，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查了三角恒等式及兩角和的正弦公式，考查計算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①是，②不是,理由見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解題分析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可；

（3）首先，根據(jù)，將公差表示出來，計算任意相鄰兩項的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于．那么用裂項相消的方法表示出，結合相鄰兩項差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發(fā)現(xiàn)多項式的最高次項為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結論得證.【題目詳解】解：（1）數(shù)列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數(shù)列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”

否則，若數(shù)列②為“弱等差數(shù)列”，則存在實數(shù)構成等差數(shù)列，設公差為，

，

，又與矛盾，所以數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”；

（2）證明：設，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數(shù)列為“弱等差數(shù)列”；（3）若存在這樣的正整數(shù)，使得

成立．

因為，，

則，其中待定．

從而，

又，∴當時，總成立．

如果取適當?shù)?，使得，又?/p>

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側展開為關于的多項式，最高次項為，其次數(shù)為，

故，對于任意給定正整數(shù)，當充分大時，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.【題目點撥】本題要求學生能夠從已知分析出“弱等差數(shù)列”要想成立所應該具備的要求，進而進行推理，轉化，最后進行驗證，本題難度相當大.18、（1）（2）【解題分析】

（1）求出公差，由公式得通項公式；（2）由（1）求出，計算公比，再由等比數(shù)列前項和公式得和．【題目詳解】（1）在等差數(shù)列中，，故設的公差為，則，即，所以，所以.（2）設數(shù)列的公比為，則，所以.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量法．求出數(shù)列的首項和公差（或公比），則數(shù)列的通項公式與前項和隨之而定．19、（1）；（2）該樓房應建為20層，每平方米的平均綜合費用最小值為5000元．【解題分析】【試題分析】先建立樓房每平方米的平均綜合費用函數(shù)，再應基本不等式求其最小值及取得極小值時：解：設樓房每平方米的平均綜合費用，，當且僅當時，等號取到.所以，當時，最小值為5000元.20、（1）84；（2）；（3）【解題分析】

（1）每個小矩形的面積乘以該組中間值，所得數(shù)據(jù)求和就是平均數(shù)；（2）根據(jù)需求量分段表示函數(shù)關系；（3）根據(jù)（1）利潤T不少于100元時，即，即，求出其頻率，即可估計概率.【題目詳解】（1）估計食堂面包需求量的平均數(shù)為：（2）解：由題意，當時，利潤，當時，利潤，即T關于x的函數(shù)解析式（3）解：由題意，設利潤T不少于100元為事件A，由（1）知，利潤T不少于100元時，即，即，由直方圖可知，當時，所求概率為【題目點撥】此題考查頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)，計算頻率，以及建立函數(shù)模型解決實際問題，綜合性