北京市首師大附中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

北京市首師大附中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若圓心坐標(biāo)為的圓,被直線截得的弦長為，則這個圓的方程是（）A． B．C． D．2．若，則（）A． B． C．或 D．3．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．124．天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三個隨機(jī)數(shù)作為一組，代表這三天的下雨情況．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.155．若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A=45°，B=30°，b=2，則a=（）A．2 B．63 C．227．下列函數(shù)，是偶函數(shù)的為（）A． B． C． D．8．已知三條相交于一點(diǎn)的線段兩兩垂直且在同一平面內(nèi)，在平面外、平面于，則垂足是的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心9．若數(shù)列{an}前8項(xiàng)的值各異，且an+8=an對任意n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍{an}前8項(xiàng)值的數(shù)列為（）A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}10．在中，角的對邊分別為，已知，則的大小是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點(diǎn)，若，則的離心率為__________．12．已知，，那么的值是________．13．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體積為.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則__________．15．已知中，，且，則面積的最大值為__________.16．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝，S6＝.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.18．已知且，比較與的大小.19．設(shè)全集為，集合，集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．如圖，直三棱柱中，，，，，為垂足.（1）求證：（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

設(shè)出圓的方程，求出圓心到直線的距離，利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理，求得圓的半徑，即可求得圓的方程，得到答案．【題目詳解】由題意，設(shè)圓的方程為，則圓心到直線的距離為，又由被直線截得的弦長為，則，所以所求圓的方程為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的方程的求解，以及直線與圓的弦長的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系，合理利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式變形，再化弦為切求解．【題目詳解】由誘導(dǎo)公式化簡得，又，所以原式.故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，也考查了化弦為切的思想，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴4、B【解題分析】解：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191、271、932、812、393，共5組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為=0.1．故選B5、C【解題分析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【題目詳解】根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到結(jié)束故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生對于程序框圖的理解能力和計(jì)算能力.6、C【解題分析】

利用正弦定理得到答案.【題目詳解】asin故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、B【解題分析】

逐項(xiàng)判斷各項(xiàng)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷是否滿足即可得解.【題目詳解】易知各選項(xiàng)的定義域均關(guān)于原點(diǎn)對稱.，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合線線垂直推證線面垂直，以及根據(jù)線面垂直推證線線垂直，即可求解?！绢}目詳解】連接BH，延長BH與AC相交于E，連接AH，延長AH交BC于D，作圖如下：因?yàn)椋势矫鍼BC，又平面PBC，故；因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE與AD交于點(diǎn)H，故H點(diǎn)為的垂心.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.9、B【解題分析】

數(shù)列是周期為8的數(shù)列；，；故選B10、C【解題分析】∵，∴，又，∴，又為三角形的內(nèi)角，所以，故。選C。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率的值（或范圍）時，可將條件中提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）．12、【解題分析】

首先根據(jù)題中條件求出角，然后代入即可.【題目詳解】由題知，，所以，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】該幾何體是由兩個高為1的圓錐與一個高為2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積為.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.14、【解題分析】分析：由，當(dāng)時，當(dāng)時，相減可得，則，由此可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式詳解：當(dāng)時，當(dāng)時由可得二式相減可得：又則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即數(shù)列遞推式，在解答此類問題時看到，則用即可算出，需要注意討論的情況。15、【解題分析】

先利用正弦定理求出c=2,分析得到當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時，邊上的高最大，的面積最大，利用余弦定理求出，最后求面積的最大值.【題目詳解】由可得，由正弦定理，得，故，當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時，邊上的高最大，的面積最大，此時.由余弦定理知，，即，故面積的最大值為.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.16、【解題分析】

設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由得到，再進(jìn)一步分析即得解.【題目詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以可得，整理?又，所以，所以，又，所以．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的運(yùn)算法則和共線向量，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，解答本題的關(guān)鍵是作輔助線，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an＝a1qn－1＝2n－2；（2）Tn＝n2－n..【解題分析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)求得.(2)將代入中，得是等差數(shù)列，再求和.【題目詳解】(1)∴，解得∴(2)∴∴數(shù)列是等差數(shù)列．又∴【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.18、詳見解析【解題分析】

將兩式作差可得，由、和可得大小關(guān)系.【題目詳解】當(dāng)且時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【題目點(diǎn)撥】本題考查作差法比較大小的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)所得的差進(jìn)行分類討論；易錯點(diǎn)是忽略差等于零，即兩式相等的情況.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）化簡集合，按并集的定義，即可求解；（2）得，結(jié)合數(shù)軸，確定集合端點(diǎn)位置，即可求解.【題目詳解】解：（Ⅰ）集合，集合，∴；（Ⅱ）由，且，∴，由題意知，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合間的運(yùn)算，考查集合的關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求出，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式；（2），由裂項(xiàng)相消求和法可求出.【題目詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.因?yàn)樗?，解得，，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題意知，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列