福建省福州八中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

福建省福州八中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的事件是A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球C．恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)黑球與都是白球2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達(dá)式是（）A． B．C． D．3．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．4．曲線與曲線的（）A．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等5．已知,則的值為()A． B． C． D．6．在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中，有這樣一首歌謠，叫浮屠增級歌：遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，請問層三幾盞燈．這首古詩描述的浮屠，現(xiàn)稱寶塔．本浮屠增級歌意思是：有一座7層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，寶塔中共有燈381盞，問這個(gè)寶塔第3層燈的盞數(shù)有()A． B． C． D．7．在中，角所對的邊分邊為，已知，則此三角形的解的情況是（）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定8．設(shè)向量，，則是的A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)的值為()A．5 B．6 C．7 D．810．在中，已知角的對邊分別為，若，，，，且，則的最小角的正切值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知扇形的半徑為6，圓心角為，則該扇形的面積為_______.12．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則____________.13．圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側(cè)面積是__________．14．已知等比數(shù)列的公比為，它的前項(xiàng)積為，且滿足，，，給出以下四個(gè)命題：①；②；③為的最大值；④使成立的最大的正整數(shù)為4031；則其中正確命題的序號為________15．若，，，則M與N的大小關(guān)系為___________．16．在中，為邊中點(diǎn)，且，，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為，且，（1）求證：；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.18．是亞太區(qū)域國家與地區(qū)加強(qiáng)多邊經(jīng)濟(jì)聯(lián)系、交流與合作的重要組織，其宗旨和目標(biāo)是“相互依存、共同利益，堅(jiān)持開放性多邊貿(mào)易體制和減少區(qū)域間貿(mào)易壁壘.”2017年會議于11月10日至11日在越南峴港舉行.某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對會議的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了100名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間分別為，，，，）.（1）求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù)；（2）若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再從中選取2人參與會議的宣傳活動，求參與宣傳活動的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.19．已知中，角的對邊分別為.已知，.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)滿足，求線段長度的取值范圍.20．甲，乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測量的數(shù)據(jù)為：甲：99，100，98，100，100，103乙：99，100,102,99，100，100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.21．若，討論關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗(yàn)證即可【題目詳解】對于A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，∴這兩個(gè)事件不是互斥事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)白球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)白球一個(gè)黑球，∴B不正確對于C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球，∴兩個(gè)事件是互斥事件但不是對立事件，∴C正確對于D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會有一個(gè)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是對立事件，∴D不正確故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題2、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的最值求得，根據(jù)函數(shù)的周期求得，根據(jù)函數(shù)圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)求得，由此求得函數(shù)的解析式.【題目詳解】由題圖可知，且即，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)，得，即，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的表達(dá)式為．故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點(diǎn)定位】向量的坐標(biāo)運(yùn)算4、D【解題分析】

首先將后面的曲線化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式，分別求兩個(gè)曲線的幾何性質(zhì)，比較后得出選項(xiàng).【題目詳解】首先化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，，由方程形式可知，曲線的長軸長是8，短軸長是6，焦距是，離心率，，的長軸長是，短軸長是，焦距是，離心率，所以離心率相等.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.5、C【解題分析】

根據(jù)輔助角公式即可．【題目詳解】由輔助角公式得所以，選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用：，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

先根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出首項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)公式求解.【題目詳解】從第1層到塔頂?shù)?層，每層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，公比為，前7項(xiàng)的和為381，則，得第一層，則第三層，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解題意.7、C【解題分析】由三角形正弦定理可知無解，所以三角形無解，選C.8、C【解題分析】

利用向量共線的性質(zhì)求得，由充分條件與必要條件的定義可得結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，即可以得到，不能推出，是“”的必要不充分條件，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量共線的性質(zhì)、充分條件與必要條件的定義，屬于中檔題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.9、D【解題分析】

由題意求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，即可得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，即又由，即，所以等差數(shù)列的公差為，又由，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以使得取得最大值時(shí)的值為8，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和最值問題，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

根據(jù)大角對大邊判斷最小角為，利用正弦定理得到，代入余弦定理計(jì)算得到，最后得到.【題目詳解】根據(jù)大角對大邊判斷最小角為根據(jù)正弦定理知：根據(jù)余弦定理：化簡得：故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

用弧度制表示出圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算出扇形的面積.【題目詳解】圓心角為對應(yīng)的弧度為，所以扇形的面積為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

根據(jù)求平均數(shù)的公式，得到關(guān)于的方程，求得.【題目詳解】由題意得：，解得：，故填：.【題目點(diǎn)撥】本題考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查基本數(shù)據(jù)處理能力.13、【解題分析】分析：由已知中圓錐的底面半徑是，高是，由勾股定理，我們可以計(jì)算出圓錐的母線長，代入圓錐側(cè)面積公式，即可得到結(jié)論.詳解：圓錐的底面半徑是，高是，圓錐的母線長，則圓錐側(cè)面積公式，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)與圓錐側(cè)面積公式，意在考查對基本公式的掌握與理解，屬于簡單題.14、②③【解題分析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，得出，進(jìn)而判斷②③④，即可得到答案.【題目詳解】①中，由等比數(shù)列的公比為，且滿足，，，可得，所以，且所以是錯(cuò)誤的；②中，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以是正確的；③中，由，且，，所以前項(xiàng)之積的最大值為，所以是正確的；④中，，所以正確.綜上可得，正確命題的序號為②③.故答案為：②③.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.15、【解題分析】

根據(jù)自變量的取值范圍，利用作差法即可比較大小.【題目詳解】，，，所以當(dāng)時(shí)，所以，即，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了作差法比較整式的大小，屬于基礎(chǔ)題.16、0【解題分析】

根據(jù)向量，，取模平方相減得到答案.【題目詳解】兩個(gè)等式平方相減得到：故答案為0【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的加減，模長，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）由，聯(lián)立，得，然后邊角轉(zhuǎn)化，利用和差公式化簡，即可得到本題答案；（2）利用正弦定理和，得，再確定角C的范圍，即可得到本題答案.【題目詳解】解：（1）銳角中，，故由余弦定理可得：，，，即，∴利用正弦定理可得：，即，，可得：，∴可得：，或（舍去），.（2），均為銳角，由于：，，.再根據(jù)，可得，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正余弦定理的綜合應(yīng)用，其中涉及到利用三角函數(shù)求取值范圍的問題.18、（1）30人；（2）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖，先求出年齡在內(nèi)的頻率，進(jìn)而可求出人數(shù)；（2）先由分層抽樣，確定應(yīng)從第3，4組中分別抽取3人，2人，記第3組的3名志愿者分別為，第4組的2名志愿者分別為，再用列舉法，分別列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率.【題目詳解】（1）由題意可知，年齡在內(nèi)的頻率為，故年齡在內(nèi)的市民人數(shù)為.（2）易知，第4組的人數(shù)為，故第3，4組共有50名市民，所以用分層抽樣的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組；第4組.所以應(yīng)從第3，4組中分別抽取3人，2人.記第3組的3名志愿者分別為，第4組的2名志愿者分別為，則從5名志愿者中選取2名志愿者的所有情況為，，，，，，，，，，共有10種.其中第4組的2名志愿者至少有一名志愿者被選中的有：，，，，，，，共有7種，所以至少有一人的年齡在內(nèi)的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由頻率分布直方圖求頻數(shù)，以及古典概型的概率問題，會分析頻率分布直方圖，熟記古典概型的概率計(jì)算公式即可，屬于常考題型.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解題分析】

（I）利用數(shù)量積的定義和三角形面積公式可求得，從而得角；（II）由得，平方后可求得，即中線長，結(jié)合可得最小值，從而得取值范圍．【題目詳解】(Ⅰ)因?yàn)?，所以因?yàn)椋缘靡詢墒较喑盟?Ⅱ)因?yàn)?，所以因?yàn)椋运运裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號所以線段長度的取值范圍時(shí).【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查平面向量的線性運(yùn)算、三角形面積公式，解題關(guān)鍵是把中線向量表示為，這樣把線段長度（向量模）轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．20、（1）；，，；（2）乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【解題分析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與方差的公式，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合平均數(shù)與方差的意義，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)可得：；，所以，；（2）兩臺機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均數(shù)與方差，熟記公式即可，屬于?？碱}型.21、答案不唯一，見解