2024屆山西省山西大學(xué)附中數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

2024屆山西省山西大學(xué)附中數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖是棱長為的正方體的平面展開圖，則在這個正方體中直線所成角的大小為（）A． B． C． D．2．已知{an}是等差數(shù)列，且a2+a5+a8+a11=48，則a6+a7=()A．12 B．16 C．20 D．243．已知，則比多了幾項（）A．1 B． C． D．4．在數(shù)列中,,則數(shù)列的前n項和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1485．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．6．已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，則C．若，，，則 D．若，，則7．若平面向量，滿足，，且，則等于（）A． B． C．2 D．88．函數(shù)的對稱中心是（）A． B． C． D．9．函數(shù)，的值域是（）A． B． C． D．10．若向量，且，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．當時，的最大值為__________.12．若點與關(guān)于直線對稱，則的傾斜角為_______13．若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值等于________．14．我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地．”則該人第一天走的路程為__________里．15．如圖是一正方體的表面展開圖.、、都是所在棱的中點.則在原正方體中：①與異面；②平面；③平面平面；④與平面形成的線面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號是______.16．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦.B.曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，下圖是按照一定的分形規(guī)律生長成一個數(shù)形圖，則第13行的實心圓點的個數(shù)是________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在已知數(shù)列中，，.（1）若數(shù)列中，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列、的前項和分別為、，是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.18．已知向量，滿足：，，．（Ⅰ）求與的夾角；（Ⅱ）求．19．在△ABC中，AC=4，，．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若D為BC邊上一點，，求DC的長度．20．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化簡f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．21．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．求A；已知，的面積為的周長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)異面直線所成的角的定義，先作其中一條的平行線，作出異面直線所成的角，然后求解.【題目詳解】如圖所示：在正方體中，，所以直線所成角，由正方體的性質(zhì)，知，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了異面直線所成的角，還考查了推理論證的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故選D.3、D【解題分析】

由寫出，比較兩個等式得多了幾項.【題目詳解】由題意，則，那么：，又比多了項.故選：D.【題目點撥】本題考查對函數(shù)的理解和帶值計算問題，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

可得數(shù)列為等差數(shù)列且前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，可得前8或9項和最大，由求和公式計算可得．【題目詳解】解：∵在數(shù)列中,，

，即數(shù)列為公差為?4的等差數(shù)列，

，

令可得，

∴遞減的等差數(shù)列中前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，

∴數(shù)列的前8或9項和最大，

由求和公式可得

故選：C．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

分離常數(shù)法化簡f（x），根據(jù)新定義即可求得函數(shù)y＝[f（x）]的值域．【題目詳解】，又>0，∴，∴∴當x∈（1，1）時，y＝[f（x）]＝1；當x∈[1，）時，y＝[f（x）]＝1．∴函數(shù)y＝[f（x）]的值域是{1，1}．故選D．【題目點撥】本題考查了新定義的理解和應(yīng)用，考查了分離常數(shù)法求一次分式函數(shù)的值域，是中檔題．6、C【解題分析】

利用線面垂直、線面平行、面面垂直的性質(zhì)定理分別對選項分析選擇．【題目詳解】對于A，若，，則或者；故A錯誤；對于B，若，則可能在內(nèi)或者平行于；故B錯誤；對于C，若，，，過分作平面于，作平面,則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，，∴，根據(jù)線面平行的判定定理，可得，又，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，又，∴；故C正確；對于D．若，，則與可能垂直，如墻角；故D錯誤；故選：C．【題目點撥】本題考查了面面垂直、線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用，涉及空間線線平行的傳遞性，考查了空間想象能力，熟練運用定理是關(guān)鍵．7、B【解題分析】

由，可得，再結(jié)合，展開可求出答案.【題目詳解】由，可知，展開可得，所以，又，，所以.故選：B.【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】，設(shè)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，而函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移一個單位，向下平移兩個單位得到，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故選C.9、A【解題分析】

由的范圍求出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【題目詳解】∵，∴，∴當，即時，函數(shù)取最大值1，當即時，函數(shù)取最小值，即函數(shù)的值域為，故選A.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的值域問題，通過自變量的范圍求出整體的范圍是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)坐標形式下向量的平行對應(yīng)的等量關(guān)系，即可計算出的值，再根據(jù)坐標形式下向量的加法即可求解出的坐標表示.【題目詳解】因為且，所以，所以，所以.故選：B.【題目點撥】本題考查根據(jù)坐標形式下向量的平行求解參數(shù)以及向量加法的坐標運算，難度較易.已知，若則有.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-3.【解題分析】

將函數(shù)的表達式改寫為：利用均值不等式得到答案.【題目詳解】當時，故答案為-3【題目點撥】本題考查了均值不等式，利用一正二定三相等將函數(shù)變形是解題的關(guān)鍵.12、【解題分析】

根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱，可知與垂直，利用斜率乘積為可求得，根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系可求得傾斜角.【題目詳解】由題意知：，即：又本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查直線傾斜角的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)求得所求直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求得結(jié)果.13、1【解題分析】

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列列關(guān)于a，b的方程組，求得a，b后得答案．【題目詳解】由題意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=1．故答案為1．點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．【思路點睛】解本題首先要能根據(jù)韋達定理判斷出a，b均為正值，當他們與-2成等差數(shù)列時，共有6種可能，當-2為等差中項時，因為，所以不可取，則-2只能作為首項或者末項，這兩種數(shù)列的公差互為相反數(shù)；又a,b與-2可排序成等比數(shù)列，由等比中項公式可知-2必為等比中項，兩數(shù)列搞清楚以后，便可列方程組求解p，q．14、192【解題分析】設(shè)每天走的路程里數(shù)為由題意知是公比為的等比數(shù)列∵∴∴故答案為15、①②④【解題分析】

將正方體的表面展開圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關(guān)系，以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進行判斷.【題目詳解】根據(jù)條件將正方體進行還原如下圖所示：對于命題①，由圖形可知，直線與異面，命題①正確；對于命題②，、分別為所在棱的中點，易證四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，命題②正確；對于命題③，在正方體中，平面，由于四邊形為平行四邊形，，平面.、平面，，.則二面角所成的角為，顯然不是直角，則平面與平面不垂直，命題③錯誤；對于命題④，設(shè)正方體的棱長為，易知平面，則與平面所成的角為，由勾股定理可得，，在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為，命題④正確；對于命題⑤，在正方體中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角為，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命題⑤錯誤.故答案為①②④.【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面關(guān)系的判斷以及線面角、二面角的計算，判斷時要從空間中有關(guān)線線、線面、面面關(guān)系的平行或垂直的判定或性質(zhì)定理出發(fā)進行推導(dǎo)，在計算空間角時，則應(yīng)利用空間角的定義來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.16、【解題分析】

觀察圖像可知每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.再利用規(guī)律找到行與行之間的遞推關(guān)系即可.【題目詳解】由圖像可得每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.故從第三行開始,每行的實心圓點數(shù)均為前兩行之和.即.故第1到第13行中實心圓點的個數(shù)分別為：.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了遞推數(shù)列的實際運用,需要觀察求得行與行之間的實心圓點的遞推關(guān)系,屬于中等題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）存在，.【解題分析】

（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列為等比數(shù)列，并可求出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法與等比數(shù)列的求和公式分別求出數(shù)列、，設(shè)，列出關(guān)于、、的方程組，解出即可.【題目詳解】（1）在數(shù)列中，，，則，，且，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2），整理得，，，，所以，，若數(shù)列為等差數(shù)列，可設(shè)，則，即，則，解得，因此，存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的證明、數(shù)列求和以及等差數(shù)列的存在性問題，熟悉等差數(shù)列的定義和通項公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（I）利用向量數(shù)量積的運算，化簡，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的數(shù)量積運算，求得的值，由此求得的值.【題目詳解】解：（Ⅰ）因為，所以．所以．因為，所以．（Ⅱ）因為，由已知，，所以．所以．【題目點撥】本小題主要考查向量數(shù)量積運算，考查向量夾角的計算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解題分析】

（Ⅰ）由正弦定理得到，在結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可的大??；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出邊的長．【題目詳解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，所以．因為，所以，所以．（Ⅱ）在中，．在中，由余弦定理，得，即，解得或．經(jīng)檢驗，都符合題意．【題目點撥】本題主要考查正弦定理與余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)(2)【解題分析】

（1）直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡運算，即可求解；（2）由，得，進一步求得，得到sin2與cos2，再由sin（2+）展開兩角和的正弦求解．【題目詳解】（1）由題意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，及誘導(dǎo)公式及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，其中解答中熟記三家函數(shù)的恒等變換的公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與