山西省呂梁學院附中2024屆數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

山西省呂梁學院附中2024屆數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示的陰影部分是由軸及曲線圍成，在矩形區(qū)域內隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．2．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的的值為（）A．10 B．34 C．36 D．1543．已知，其中，則（）A． B． C． D．4．如圖，正方形中，是的中點，若，則（）A． B． C． D．5．若三棱錐中，，，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列，其前n項和為，且，則的值是（）A．4 B．8 C．2 D．97．為了得到的圖象，只需將的圖象()A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移8．的值等于（）A． B． C． D．9．如右圖所示的直觀圖，其表示的平面圖形是（A）正三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）直角三角形10．設，，在，，…，中，正數(shù)的個數(shù)是（）A．15 B．16 C．18 D．20二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在三棱錐中，平面，是邊長為2的正三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．12．給出下列四個命題：①在中，若，則；②已知點，則函數(shù)的圖象上存在一點，使得；③函數(shù)是周期函數(shù)，且周期與有關，與無關；④設方程的解是，方程的解是，則.其中真命題的序號是______.（把你認為是真命題的序號都填上）13．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，則cosB的值為_____．14．將正整數(shù)按下圖方式排列，2019出現(xiàn)在第行第列，則______；12345678910111213141516………15．數(shù)列的通項，前項和為，則____________．16．過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若的最大值為，則實數(shù)__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產x（百輛），需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每輛車售價6萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.（1）求出2019年的利潤（萬元）關于年產量x（百輛）的函數(shù)關系式；（利潤=銷售額成本）（2）2019年產量為多少（百輛）時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.18．設數(shù)列的首項，為常數(shù)，且（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，請說明理由；（2）是數(shù)列的前項的和，若是遞增數(shù)列，求的取值范圍.19．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間；（2）在中，內角、、所對邊的長分別是，若，，，求的面積的值.20．某高速公路隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成（如圖所示）．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側墻面高，為，弧頂高為．（）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求圓弧所在的圓的方程．（）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．21．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】，所以，故選A。2、B【解題分析】試題分析：第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：結束循環(huán)，輸出，選B.考點：循環(huán)結構流程圖【名師點睛】算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項.3、D【解題分析】

先根據(jù)同角三角函數(shù)關系求得,再根據(jù)二倍角正切公式得結果.【題目詳解】因為，且，所以，因為，所以，因此，從而，，選D.【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)關系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4、B【解題分析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，設正方形邊長為，利用平面向量的坐標運算建立有關、的方程組，求出這兩個量的值，可得出的值.【題目詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，設正方形邊長為，由此，，故，解得.故選B.【題目點撥】本題考查平面向量的線性運算，考查平面向量的基底表示，解題時也可以利用坐標法來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.5、B【解題分析】

將棱錐補成長方體，根據(jù)長方體的外接球的求解方法法得到結果.【題目詳解】根據(jù)題意得到棱錐的三條側棱兩兩垂直，可以以三條側棱為長方體的楞，該三棱錐補成長方體，兩者的外接球是同一個，外接球的球心是長方體的體對角線的中點處。設球的半徑為R，則表面積為故答案為：B.【題目點撥】本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關系，得到結果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.6、A【解題分析】

根據(jù)求解.【題目詳解】由題得.故選：A【題目點撥】本題主要考查數(shù)列和的關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7、B【解題分析】

先利用誘導公式將函數(shù)化成正弦函數(shù)的形式，再根據(jù)平移變換，即可得答案.【題目詳解】∵，∵，∴只需將的圖象向左平移可得.故選：B.【題目點撥】本題考查誘導公式、三角函數(shù)的平移變換，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意平移是針對自變量而言的.8、D【解題分析】

利用誘導公式先化簡，再利用差角的余弦公式化簡得解.【題目詳解】由題得原式=.故選D【題目點撥】本題主要考查誘導公式和差角的余弦公式化簡求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、D【解題分析】略10、D【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的通項公式可判斷出數(shù)列的正負，然后分析的正負，再由的正負即可確定出，，…，中正數(shù)的個數(shù).【題目詳解】當時，，當時，，因為，所以，因為，，所以取等號時，所以均為正，又因為，所以均為正，所以正數(shù)的個數(shù)是：.故選：D.【題目點撥】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應用，著重考查了推理判斷能力，難度較難.對于數(shù)列各項和的正負，可通過數(shù)列本身的單調性周期性進行判斷，從而為判斷各項和的正負做鋪墊.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設三棱錐的外接球半徑為，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用公式可計算出外接球半徑，最后利用球體的表面積公式可計算出結果.【題目詳解】由正弦定理可得，的外接圓直徑為，，設三棱錐的外接球半徑為，平面，，因此，三棱錐的外接球表面積為，故答案為.【題目點撥】本題考查多面體的外接球，考查球體表面積的計算，在求解直棱柱后直棱錐的外接球，若底面外接圓半徑為，高為，可利用公式得出外接球的半徑，解題時要熟悉這些結論的應用.12、①③【解題分析】

①利用三角形的內角和定理以及正弦函數(shù)的單調性進行判斷；②根據(jù)余弦函數(shù)的有界性可進行判斷；③利用周期函數(shù)的定義，結合余弦函數(shù)的周期性進行判斷；④根據(jù)互為反函數(shù)圖象的對稱性進行判斷.【題目詳解】①在中，若，則，則，由于正弦函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，故命題①正確；②已知點，則函數(shù)，所以該函數(shù)圖象上不存在一點，使得，故命題②錯誤；③函數(shù)的是周期函數(shù)，當時，，該函數(shù)的周期為.當時，，該函數(shù)的周期為.所以，函數(shù)的周期與有關，與無關，命題③正確；④設方程的解是，方程的解是，由，可得，由，可得，則可視為函數(shù)與直線交點的橫坐標，可視為函數(shù)與直線交點的橫坐標，如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點，由于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則直線與函數(shù)和函數(shù)圖象的兩個交點關于點對稱，所以，命題④錯誤.故答案為：①③.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的周期、正弦函數(shù)單調性的應用、互為反函數(shù)圖象的對稱性的應用以及余弦函數(shù)有界性的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.13、【解題分析】

利用余弦定理表示出與，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，將及的值代入用表示出，將表示出的與代入中計算，即可求出值．【題目詳解】由題意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，則，故答案為．【題目點撥】本題考查了解三角形的綜合應用，高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．14、128【解題分析】

觀察數(shù)陣可知：前行一共有個數(shù)，且第行的最后一個數(shù)為，且第行有個數(shù)，由此可推斷出所在的位置.【題目詳解】因為前行一共有個數(shù)，且第行的最后一個數(shù)為，又因為，所以在第行，且第45行最后數(shù)為，又因為第行有個數(shù)，，所以在第列，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查數(shù)列在數(shù)陣中的應用，著重考查推理能力，難度一般.分析數(shù)列在數(shù)陣中的應用問題，可從以下點分析問題：觀察每一行數(shù)據(jù)個數(shù)與行號關系，同時注意每一行開始的數(shù)據(jù)或結尾數(shù)據(jù)，所有行數(shù)據(jù)的總個數(shù)，注意等差數(shù)列的求和公式的運用.15、7【解題分析】

根據(jù)數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列的周期為4，利用規(guī)律計算，即可求解．【題目詳解】由題意，數(shù)列的通項，可得，，得到數(shù)列是以4項為周期的形式，所以=．故答案為：7.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的求和問題，其中解答中根據(jù)數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的周期，以及各項的變化規(guī)律是解答的關鍵，屬于基礎題，著重考查了．16、1或；【解題分析】

要使最大，則最小．【題目詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為．∵若的最大值為，∴，解得或．故答案為1或．【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，解題思路是平面上對圓的張角問題，顯然在點固定時，圓外的點作圓的兩條切線，這兩條切線間的夾角是最大角，而當點離圓越近時，這個又越大．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）2019年年產量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為5800萬元.【解題分析】

（1）先閱讀題意，再分當時，當時，求函數(shù)解析式即可；（2）當時，利用配方法求二次函數(shù)的最大值，當時，利用均值不等式求函數(shù)的最大值，一定要注意取等的條件，再綜合求分段函數(shù)的最大值即可.【題目詳解】解：（1）由已知有當時，當時，，即，（2）當時，，當時，取最大值，當時，，當且僅當，即時取等號，又故2019年年產量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為5800萬元.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的綜合應用，重點考查了分段函數(shù)最值的求法，屬中檔題.18、（1）是公比為的等比數(shù)列，理由見解析；（2）【解題分析】

（1）由，當時，，即可得出結論．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【題目詳解】（1），則時，，時，為等比數(shù)列，公比為．（2）由（1）可得：，只需，（）當為奇數(shù)時，恒成立，又單減，∴當為偶數(shù)時，恒成立，又單增，∴．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式及其單調性，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、（1），；（2）.【解題分析】

（1）首先把化成的型式，再根據(jù)三角函的單調性即可解決（2）根據(jù)（1）結果把代入可得A的大小，從而計算出B的大小，根據(jù)正弦定理以及面積公式即可解決。【題目詳解】（1）因為，由，，得，，又，所以或，所以函數(shù)在上的遞增區(qū)間為：，；（2）因為，∴，∴，∴，，∴，，∵，∴．∴，在三角形中由正弦定理得，∴，.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)問題以及解三角形問題。三角函數(shù)問題常考周期、單調性最值等，在解三角形中長考的有正弦定理、余弦定理以及面積公式。20、（1）；（2）3.5【解題分析】試題分析:（1）建立直角坐標系，設圓一般方程，根