新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.1直線與直線垂直課件新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8．6空間直線、平面的垂直8．6.1直線與直線垂直必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系．2．掌握兩異面直線所成的角的求法．

在計(jì)算兩異面直線所成的角及證明直線與直線垂直的過程中，要利用空間的線、面位置關(guān)系，并進(jìn)行計(jì)算，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知

空間兩條直線的位置關(guān)系有三種

知識(shí)點(diǎn)

1(1)平行直線；(2)相交直線；(3)異面直線．異面直線所成的角

知識(shí)點(diǎn)

2(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線_______與_______所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍：___________________.a′b′[0°，90°][拓展]

對(duì)異面直線所成的角的認(rèn)識(shí)理解的注意點(diǎn)(1)任意性與無關(guān)性：在定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，根據(jù)等角定理，可以斷定異面直線所成的角與a′，b′所成的銳角(或直角)相等，而與點(diǎn)O的位置無關(guān)．(2)轉(zhuǎn)化求角：異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對(duì)位置的一個(gè)重要的量，通過轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算．練一練：已知正方體ABCD－EFGH，則AH與FG所成角的大小為_________.[解析]

如圖，連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角．因?yàn)樗倪呅蜝CGF為正方形，所以∠BGF＝45°.45°異面直線互相垂直

知識(shí)點(diǎn)

3如果兩條異面直線所成的角是_______，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作_________.[提醒]

兩條直線垂直是指相交垂直或異面垂直.直角a⊥b關(guān)鍵能力?攻重難(1)如圖，觀察長方體ABCD－A′B′C′D′，有沒有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面直線？(2)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？(3)垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？題|型|探|究題型一理解異面垂直典例1[解析]

(1)如題圖中，棱AA′與BC，AA′與CD，AA′與B′C′，AA′與C′D′等所在的直線均是互相垂直的異面直線．(2)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條也與這條直線垂直．(3)垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行，也可能相交或異面．[歸納提升]

(1)兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直．(2)研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，把空間角問題轉(zhuǎn)化為平面角問題，這是研究立體幾何問題的一種基本思想．(1)如圖，正方體AC1中，與AB垂直的棱有_____條．(2)如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，并且AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是_______.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?8矩形題型二求異面直線所成的角典例290°[歸納提升]

求兩異面直線所成的角的三個(gè)步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角．(2)證：證明作出的角就是要求的角．(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二證三計(jì)算”來概括．同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.

如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠AD1D＝45°，∠CDC1＝30°，那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是____.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?題型三異面直線垂直的證明

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求證：AC⊥BC1.[證明]

如圖，連接A1B，設(shè)A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1C＋BC，則A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠A1C1B就是直線AC與BC1所成的角，所以AC⊥BC1.典例3[歸納提升]

(1)要證明兩異面直線垂直，可根據(jù)兩條異面直線垂直的定義，證明這兩條異面直線所成的角為90°.(2)在證明兩條異面直線垂直時(shí)，和求兩條異面直線所成的角類似，一般也是通過平移法找到與之平行的直線．

如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?[證明]

如圖，取CC′的中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角為∠BEF(其補(bǔ)角)，易|錯(cuò)|警|示忽略異面直線所成的角的范圍致誤

如圖1，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．典例4[錯(cuò)解]

如圖2，連接BD，并取其中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補(bǔ)角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補(bǔ)角)為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為120°.[錯(cuò)因分析]

解本題時(shí)易忽略異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°直接得出BC與AD所成的角為120°這一錯(cuò)解．事實(shí)上，在未判斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，如果∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是異面直線所成的角．[正解]

以上解答同錯(cuò)解；∵異面直線所成角θ∈(0,90°]，∴BC與AD所成的角為60°.[誤區(qū)警示]

求異面直線所成的角θ的時(shí)候，要注意它的取值范圍是0°<θ≤90°.兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽略這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩條異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．

若∠AOB＝135°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a與OB所成的角的大小為_________.[解析]

平移直線a使之與OA重合，由∠AOB＝135°可知，異面直線a與OB所成的角應(yīng)為45°.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?45°課堂檢測?固雙基1．已知空間中的三條直線a，b，c滿足a⊥c且b⊥c，則直線a與直線b的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．相交C．異面 D．平行或相交或異面[解析]

如圖，直三棱柱ABC－DEF中，BE⊥BC，BE⊥EF，BC∥EF，BE⊥DE，BE⊥EF，DE∩EF＝E，BE⊥DE，BE⊥BC，DE，BC異面，所以，空間中的三條直線a，b，c滿足a⊥c且b⊥c，則直線a與直線b的位置關(guān)系是平行或相交或異面．D2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1垂直的條數(shù)為(

)A．4 B．5C．6 D．7[解析]

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線BA