勾股定理（測試）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)講練測（浙江專用）

2023年中考劇告總復(fù)習(xí)一給餅稼制（斷注專用）

專做20勾股發(fā)理（制微J

班微:勝名，得

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.本試卷所選題目為浙江地區(qū)中考真題、模擬

試題、階段性測試題.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.（2021秋?浙江杭州?八年級統(tǒng)考期中）在AABC中，4c=90。，AC=3,BC=4,那么4B=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知，AABC是直角三角形，且兩條直角邊的長度知道，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，，ZC=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=y/32+42=5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的勾股定理，掌握直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?浙江杭州?八年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校┰赗t"BC中,zC=90°,AC=6,BC=8,則斜邊

上的中線是（）

A.3B.4C.5D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理可得斜邊長為10,然后根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可求解.

【詳解】解：在Rt"BC中,NC=90°,AC=6,BC=8,

：.AB^AC2+BC2=10,

，斜邊上的中線為“B=5；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握勾股定理及直角三角形斜邊中線定

理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?浙江?八年級專題練習(xí)）下面四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A.V6,V8,V10B.62,82,102C.1,炳,2D.-

345

【答案】c

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、（①）2+（強(qiáng)）2H（同）2,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合

題意；

B、（62）2+（82）2￥（102）2,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、/+22=（而）2,符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

D、（;）2+（|）2*（i）2,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意?

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?浙江杭州?統(tǒng)考一模）設(shè)一個(gè)直角三角形的兩直角邊分別是a,b,斜邊是c.若用一把最大刻度

是20cm的直尺，可一次直接測得c的長度，則a,b的長可能是（）

A.〃=12,h=16B.ci=11b=17C.tz—10,b=18D.Q=9,b=19

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理分別求出。的值，再和20比較即可.

【詳解】解：A.a=12,6=16,根據(jù)勾股定理斜邊c=20；

B.a=ll,6=17,斜邊c=V5I^>20；

C.a=10,h=18,斜邊c="^?>20；

D.a=9,b=19,斜邊c=V^>20；

??.最大刻度是20cm的直尺，可一次直接測得c的長度，

.'.a=12,b=16f

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查/勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）一個(gè)門框的尺寸如圖所示，下列長x寬型號（單位：m）的長方形薄木板能

從門框內(nèi)通過的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2,5

【答案】A

【分析】利用勾股定理計(jì)算出門框?qū)蔷€長，再與薄木板的寬比較即可.

【詳解】門框的對角線長為V1F7=遍米.

?■?V5x2.236米.

二只有A選項(xiàng)的薄木板的寬小于2.236,即只有A選項(xiàng)的薄木板可以通過.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用.利用勾股定理計(jì)算他門框?qū)蔷€的長是解答本題關(guān)鍵.

6.（2022?浙江溫州?統(tǒng)考二模）如圖，將一塊直角三角板的直角邊48貼在直線Lh,^CAB=30°,以點(diǎn)4為

圓心，斜邊4c長為半徑向右畫弧，交直線［于點(diǎn)。.若BC=1,則BD的長為（）

A.V3-1B.2-V2C.V2-1D.2-V3

【答案】D

【分析】先根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)求出ZC,再根據(jù)勾股定理得48,由題意可得進(jìn)而求出

BD.

【詳解】在RdASC中，BC=1,NG48=30°,

：.AC=2BC=2,

:.AB=\lAC2-BC2=V3.

根據(jù)題意可知ZO=NC=2,

：.BD=AD-AB=2-V3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30。直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求出線段長等，根據(jù)題意得出的長度是解

題的關(guān)鍵.

7.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，zC=90°,D,E分別為C4,C8的中點(diǎn)，BF平

分乙48C,交。E于點(diǎn)尸，若AC=2小,BC=4,則。尸的長為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理求出力8,根據(jù)三角形中位線定理得到。EII/8,DE=：AB=3,BE=1BC=2,根據(jù)平行

線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理求出EF=8E=2,計(jì)算即可.

【詳解】解：在處ZUBC中，AC=2\[5,BC=4,

由勾股定理得：ABHAC2+8c2=6,

:所平分ZZ8C,

:.4IBF=4EBF,

-D,E分別為。，C8的中點(diǎn)，

.'.DEWAB,DE=-AB=3,BE=-BC=2.

22

：.4iBF=4EFB,

：ZEFB=ZEBF,

:.EF=BE=2,

:.DF=DE-EF=1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三

邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

8.(2022?浙江寧波?校考三模)兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中NBAC=NEDF=90。，Z.E=45°,NC=

30°,BGEF且EF過點(diǎn)4點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，已知BC=20,則EF的長為()

A.15B.10V3C.5V10D.10V2

【答案】B

【分析】過點(diǎn)4作4"1BC,過點(diǎn)。作DG1EF,證明四邊形A”DG為矩形，可得4H=GD=5舊，然后利

用直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)4作4HJ.BC,過點(diǎn)。作DGLEF,如圖所示

???乙AHB=乙DGF=90°

BCWEF

,四邊形4HCG為矩形

即力，=GD

"ZC=30°,484c=90。，點(diǎn)。為BC中點(diǎn)

AD=BD=-BC,48=60°

2

即△4BD為等邊三角形

vBC=20

AB=AD=BD=10

在直角△力中，AH=AB-sin60°

AAH=GD=5V3

???ZF=45°,/.EDF=90°

乙EFD=45°

4FDG=4DGF-乙EFD=90°-45°=45°

???△FGD為等腰直角三角形

???GD=GF=GE=5V3

即EF=GF+GE=10V3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識是解本題的關(guān)鍵.

9.（2022秋,浙江杭州,八年級校考期中）如圖，在等腰直角中AABC,ABAC=90°,4D是△ABC的高線，

E是邊4c上一點(diǎn)，分別作EF14。于點(diǎn)尸，EGLBC于點(diǎn)、G,幾何原本中曾用該圖證明了BG?+CG2=

2(B"+DG2),若△ABD與AAEF的面積和為7.5,BG=4,則CG的長為（）

A

BDGc

A.V12B.V14C.V16D.V18

【答案】B

【分析】由S-EF+SAABD=7.5,^BD2+DG2=15,從而有BG?+CG2=30,即可得出答案.

【詳解】由題意知：AABD與AAEF都是等腰直三角形

22

ShAEF=\EF=\DG,S.ABD=3BD2,

■+SAAB。=7.5,

..BD2+DG2=15,

-.BG2+CG2=2(B￡)2+DG2),

：.BG2+CG2=30,

：BG=4,

:.CG=V30-16=714,

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題是關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面

積求出8屏=15

10.（2022秋?浙江杭州?八年級校考期中）如圖是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，圖中正方形/BCD,

正方形MG”,正方形“VK7的面積分別為S2,S3,若EF=3,則S1+S2+S3的值是（）

A.27B.28C.30D.36

【答案】A

【分析】設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的面積都是“，根據(jù)題意得Si-$2=4a,S2-S3=4a,進(jìn)而可得S1+

S3=2S2,由已知條件求出S2,進(jìn)一步即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的面積都是。，根據(jù)題意得：

S1-S2=4Q,S2—S3=4a,

?'.Si—S2=52—S3,即Si+S3=2s2,

■:S2="2=9,

「.S]+S3=18,

:.S]+S2+S3=18+9=27；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的弦圖背景和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住弦圖內(nèi)外四個(gè)直角三角

形的的面積與三個(gè)正方形的面積之間的和差關(guān)系.

二、填空題

1L（2020?浙江紹興?模擬預(yù)測）若直角三角形的兩條直角邊分別5和12,則斜邊上的中線長為.

【答案】6.5

【分析】根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求解.

【詳解】解：???直角三角形兩直角邊長為5和12,

斜邊=V52+122=13,

.??此直角三角形斜邊上的中線的長=￡=6.5.

故答案為：6.5

【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：熟練掌握勾股定理，熟記直角三角形

斜邊上的中線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2019?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一個(gè)物體沿著坡度i=1:2的坡面上前進(jìn)了10m,此時(shí)物體距離

【分析】可利用勾股定理及所給的比值得到所求的線段長.

【詳解】解：如圖，

'."AB=10m,tan/l=—=

AC2

設(shè)BC—x,AC——2x,

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

即100=/+4/,解得久=2遍，

-'-BC=2V5m.

故答案為：2瓜

【點(diǎn)睛】本題主要考查r解直角三角形的應(yīng)用一一坡度坡角問題，能從實(shí)際問題中整理出直角三角形是解

答本題的關(guān)鍵.

13.（2022?浙江紹興?校聯(lián)考二模）如圖，在△/BC中，AB=5,8c=3,4C=4,點(diǎn)尸從N點(diǎn)出發(fā)沿N8運(yùn)

動(dòng)到8點(diǎn)，以CP為斜邊作如圖的等腰直角三角形PQC,APQC=90°,則R/MQC的外心運(yùn)動(dòng)的路徑長為

,BQ的最小值為

【分析】根據(jù)直角三角形的外心就是斜邊的中點(diǎn)，可得外心的運(yùn)動(dòng)路徑就是以NC、8c的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線

段；利用特殊位置，斜邊為/C、BC的情形，確定點(diǎn)0的運(yùn)用路徑是線段，利用垂線段最短，作出垂線

段，利用三角形相似計(jì)算即可.

【詳解】???Z8=5,BC=3,/C=4,

32+42=52,

BC2+AC2=AB2,

：.乙ACB=90°,

??十/△產(chǎn)℃的外心就是斜邊的中點(diǎn)，設(shè)ZC、8c的中點(diǎn)分別是加、M

???外心的運(yùn)動(dòng)軌跡就是線段即三角形Z8C的中位線，

MN=-AB=-,

22

當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)4重合時(shí)，即點(diǎn)Pi，此時(shí)以。（為斜邊作如圖的等腰直角三角形力。/，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合

時(shí)，即點(diǎn)「2,此時(shí)以C8為斜邊作如圖的等腰直角三角形80?C,

???Q1Q2為點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，

BQ的最小值為點(diǎn)B到Q1Q2的垂線段的長度，

過點(diǎn)8作BEIQ1Q2，垂足為￡，

:.乙BEQ2=90°

???三角形ZQG三角形302。均為等腰直角三角形，ZC=4,BC=3,

:.z.ACQ1=Z-CBQ2==242,CQ2=BQ2=當(dāng),

vZ.ACB=90°,

???乙Q\CB=45°

乙乙

AZ-QXCQ2—90°=BEQ2—CQ?B,

???CQ1\\BQ2,Q1Q2=JCQ12+“22=苧，

二乙CQ1Q2=乙EQ?B,

CQ1Q2?△EQ?B,

3V25V2

.CQ2=Q1Q2即工=工

,,BEBQ1BE逗'

22

解得85=噂，

故答案為：|:

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判

定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，明確垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?浙江溫州??？既＃┤鐖D1是兩扇推拉門，是門檻，AD,8C是可轉(zhuǎn)動(dòng)門寬，且

=2BC.現(xiàn)將兩扇門推到如圖2（圖1的平面示意圖）的位置，其中tanB=￡且點(diǎn)/,C,。在一條直線

上，測得4,C間的距離為18候cm,則門寬.如圖3,已知ZJ=3O。，N8=60。，點(diǎn)尸在

AB±.,且NP=54cm,點(diǎn)M是4）上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)“繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至?xí)r，則CM，的最小距離是

____cm.

00,

\\

圖1圖2圖3

【答案】90cm36V3

【分析】（1）過點(diǎn)C作CE_L48,根據(jù)tanB=%設(shè)C￡=4x,BE=3x,可以把三角形三邊表示出來，再根

據(jù)勾股定理可求出X,即可求解；

（2）根據(jù)垂線段最短，可以連接8,連接CM',判斷當(dāng)時(shí)，PM11CM',此時(shí)CM'最小，通過

解直角三角形即可求解.

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)C作

C

在RA8CE中，

4

「tanB=

3

???設(shè)CE=4x,BE=3x,

>'-BC=SXf

：AB=2AD=2BC=10x,

.,.AE=10x-3x=7x,

222

在放△4EC中，AD+CD=ACf

.-.49x2+16x2=（18V65）2,解得x=18,

.'//）=5x=90（cm）,

故答案為：90cm；

(2)如圖，連接CO,可知乙4c5=90。,

當(dāng)/P=MP時(shí)，PM'1CM',此時(shí)CM，最小,

：Z.PAM=Z.PMA=30°,

:ZMPM'=60°,點(diǎn)M'在邊上,

連接CM',此時(shí)CM'IAB,

.-.tan/l=tan30o=^=^

.■.CM'=36V3.

故答案為：36V3.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形進(jìn)行求解.

15.(2022?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測)七巧板是中國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，是一種古老的中國傳統(tǒng)智力游

戲.小慧用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示的"行禮圖"，已知正方形ABCD的邊長為4dm，則圖2中

h的值為.dm.

圖1圖2

【答案】4+夜##a+4

【分析】①②③⑥⑦都是等腰直角三角形，由正方形/8C。的邊長求得②的直角邊，從而求得⑥的斜

邊，可得⑦的直角邊，由②③④的高之和為4dm再求得⑦的斜邊高即可解答:

【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形的直角邊為x,則斜邊=曰彳/=四工,

???等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的/倍，

斜邊高與斜邊中線重合，則斜邊高等于斜邊長的一半，

①②是等腰直角三角形，斜邊為4dm,則直角邊為2位dm,

等腰直角三角形⑥的直角邊與正方形⑤的邊長相等且和為2夜dm,則正方形邊長為近dm,

等腰直角三角形⑥的直角邊為近dm,則斜邊為2dm,

???等腰直角三角形⑦的直角邊為2dm,

???等腰直角三角形⑦的斜邊高為近dm,

圖1中，等腰直角三角形②③和平行四邊形④的高之和為正方形/BCD的邊長4dm,

??,③⑥兩個(gè)等腰直角三角形的直角邊都等于正方形⑤的邊長，

.?.③⑥是兩個(gè)相同的等腰直角三角形，

.??圖2中的h=正方形4BCD的邊長+等腰直角三角形⑦的斜邊高，

.1.//=（4+V2）dm,

故答案為：4+V2

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等腰直角三角形的邊長關(guān)系

是解題關(guān)鍵.

16.（2022?浙江金華?一模）如圖，RtZUBC中，ZC=90°,乙4=60。，4c=1,點(diǎn)￡>為邊N8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

△88沿CD翻折，得到ACDB'（其中C,D,B',N在同一平面內(nèi)），/.ADB'=30°,貝!.

【答案】百-1或2-百

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求得NC￡>8=105。，ZBCD=45°,過點(diǎn)。作8c丁點(diǎn)E,設(shè)則8。=2-

x,得至IJOE=1-(X,￡5=V3-yx,利用CE+E8=8C,列式求解即可.

【詳解】解：?乙4。夕=30°,ZJC5=90\4=60°,

"BDB'=180°-30°=150°,48=30",

,將ACQ8沿C。翻折，得到△CDB',

：.^CDB=ACDB'=^(360°-150°)=105°,

，N8CD=180°-105°-30°=45°,

過點(diǎn)。作。EJL8C于點(diǎn)E,

:^ACB=90°,Z5=30°,AC=1,

.'.AB=2,BC=>/3,

T^AD=X,貝ij80=2-%,

在RS8OE中，NDEB=90。,Z5=30°,

：.DE=^BD=1-|x,EB=>/3DE=V3-yx,

在RtACZ)￡'中，NDEC=90。,ZDC￡=45",

.-.CE=DE=l--x,

2

.'.C￡+EB=BC,

..1-~x+y/3-—V3>

解得％=V3-1,

如圖，當(dāng)DB1IBC時(shí)，/.ADB'=zfi=30°,

依題意，DB'=DB,/.B'DC=Z.BDC=|（180-/.ADB'）=75°,B'C=BC

:/BCD=180°一乙B-Z.BDC=75°,

...BD=BC,

；.BD=B'D=BfC=BC

四邊形BDB'C是菱形，

:.BD=BC=M

：.AD=AB-BD=2-y[3

故答案為：1或2—V5.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，菱形

的性質(zhì)與判定，準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.（2020?浙江嘉興?統(tǒng)考一模）如圖，在6x6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,請按要求畫出格點(diǎn)四

邊形（四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的四邊形叫格點(diǎn)四邊形）.

（1）在圖1中，畫出一個(gè)非特殊的平行四邊形，使其周長為整數(shù).

（2）在圖2中，畫出一個(gè)特殊平行四邊形，使其面積為6且對角線交點(diǎn)在格點(diǎn)上.

一/

Li'I.id.-

注：圖1,圖2在答題紙上.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【分析】（1）利用勾股定理得出符合題意的四邊形；

（2）利用平行四邊形的面積求法得出符合題意的答案.

【詳解】（1）如圖1,平行四邊形ABCD即為所求

（2）如圖2,菱形ABCD即為所求

圖2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及勾股定理確定線段長度，正確借助網(wǎng)格得出是解題關(guān)鍵.

18.（2022?浙江寧波??？家荒＃┤鐖D是邊長為1的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，A2BC的頂

點(diǎn)都在格點(diǎn)上.僅用無刻度的直尺，按要求畫出下列圖形.

（□△ABC的周長為；

（2）如圖，點(diǎn)。、P分別是4B與豎格線和橫格線的交點(diǎn)，畫出點(diǎn)P關(guān)于過點(diǎn)。豎格線的對稱點(diǎn)Q；

⑶請?jiān)趫D中畫出^ABC的角平分線BE.

【答案】⑴9+67

⑵圖見解析

⑶圖見解析

【分析】（1）利用勾股定理求出4B,AC,可得結(jié)論；

（2）根據(jù)對稱性作出圖形即可；

（3）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】（1）解：由題意48=132+42=5,BC=4,AC=V42+I2=V17,

ABC的周長=5+4+717=9+V17,

故答案為：9+后；

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決

問題，屬于中考?？碱}型.

19.（2021春?浙江杭州,八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程/+（6一3）x-3m=0.

⑴求證：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)該一元二次方程的兩根為〃、b,且2、a,6分別是一個(gè)直角三角形的三邊長，求機(jī)的值.

【答案】⑴見解析

(2)m=或m=-y/5

【分析】(1)利用根的判別式求出關(guān)于m的代數(shù)式，整理成非負(fù)數(shù)的形式即可判定從-4℃NO；

(2)把原方程因式分解，求出方程的兩個(gè)根，分別探討不同的數(shù)值為斜邊，利用勾股定理解決問題.

【詳解】(1)解：vb2-4ac

=(m-3)2+12m

=m2+6m+9

=(m+3)2；

又???(m+3)2>0,

Ab2—4ac>0,

二原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)原方程可變?yōu)?％+m)(%—3)=0,

則方程的兩根為/=-m,&=3,

???直角三角形三邊為2,3,一m；

???m<0f

①若-m為直角三角形的斜邊時(shí)，則：

224-32=m2

m=±V13,

Am=-y/13；

②若3為直角三角形的斜邊時(shí)，則：

22+m2=32

m=±V5

：?m=—V5.

綜上，僧=一舊或小=一店.

【點(diǎn)睛】此題考查利用根的判別式爐-4四探討根的情況，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理

等知識點(diǎn)；注意分類討論思想的滲透.

20.(2022秋?浙江杭州?八年級?？计谥?己知：如圖，在△ABC中，AB=ACt。為CA延長線上一點(diǎn)，

DEIBC,交AB于點(diǎn)F.

D

①求證：△A。尸為等腰三角形.

（2）若AC=20,BE=6,尸為力B中點(diǎn)，求DF的長.

【答案】（1）見解析

⑵16

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得NB=4C,再利用等角的余角相等證明W=乙4F。即可解答；

（2）由（1）得△4CF是等腰三角形，想到等腰三角形的三線合一性質(zhì)，所以過點(diǎn)Z作AGJLDE,垂足為

G,先在Rt^BEF中，利用勾股定理求出EF的長，然后證明△AFG三△BFE（AAS）即可解答.

【詳解】（1）證明：［4B=4C,

/.B=ZC>

*：DE工BC,

:.乙DEC=4DEB=90°,

NB+乙BFE=90°,ZC+ZD=90°,

:.乙D=乙BFE,

,:乙BFE=Z.AFD,

:.乙D—/,AFD,

：.AD=AF,

...△4DF是等腰三角形；

（2）解：過點(diǎn)力作AGIDE,垂足為G,

D

：.AB=20,

?.?產(chǎn)為48中點(diǎn),

：.AF=BF=-AB=10,

2

在RtZ\8EF中，BE=6,

EF=VBF2-BE2=V102-62=8,

'：^AGF=/.BEF=90°,Z.AFG=Z.BFE,

：.^AFGmABFE(AAS),

：.GF=EF=8,

'：AD=AF,AG1DF,

：.DF=2GF=16.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

21.(2022秋?浙江杭州?八年級?？计谥?已知：如圖，點(diǎn)。在△力BC的外部，DE過點(diǎn)C,BC與AD交于點(diǎn)、

O.zl=Z2=Z3,AB=AD.

(1)求證：AACE是等腰三角形；

(2)過點(diǎn)/作AFJ.CE于點(diǎn)「若AB=京,AE=3,BC=6,求線段AF的長.

【答案】⑴見解析；

(2)AF=V5

【分析】(1)由N1=43可得NB4C=NZME,由已知條件和三角形的內(nèi)角和可得NB=N。，然后即可根據(jù)

ASA證明△ABC=△ADE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的定義即得結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4B=AC=值，BC=DE=6,設(shè)EF=x,則DF=6-x,然后根據(jù)

勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，解出x,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：’."I=43,

Z-BAC=Z.DAE,

Vzl=z2,乙AOB=cCOD,

:,乙B—Z-Di

又???48=4。

：.^ABC=LADE(ASA),

：.AC=AEf

???△ACE是等腰三角形；

9

(2)：AF1DE9

：.^LAFE=LAFD=90°,

V△ABC=AADE,

.\AB=AD=V21,BC=DE=6,

設(shè)EF=x,則。尸=6一%,

則在直角三角形力OF和直角三角形AEF中，

___2

AF2=AD2-DF2=AE2-EF2,BP(V21)-(6-x)2=32-x2,

解得：x=2,即EF=2,

：.AF=\/AE2-EF2=V5.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和勾股定理等知識，屬于?？碱}型，熟

練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵.

22.(2022秋?浙江杭州?八年級?？计谥?如圖1,己知等腰直角△ABC中，Z.ACB=90°,AC=BC,

ANWBC,點(diǎn)。在邊48上，過點(diǎn)。作DE,CD交4V于點(diǎn)瓦

⑵求證：CD=DE；

⑶如圖2,已知等腰△ABC中，AC=BC,4NIIBC,點(diǎn)。在邊4B上，過點(diǎn)。作NCDE=乙46:8,邊。E交

AN于點(diǎn)E,CD和DE是否還相等？請說明理由.

【答案】⑴0

(2)見解析

(3)CD和DE相等，理由見解析

【分析】(1)作EFJ.AO于尸，CH148于，，根據(jù)勾股定理求出AB,易得△和△BCH是等腰直角三

角形，可得2"=CH=BH=3a,求出DH,再利用勾股定理求出CD即可；

(2)作OP14c于P,DQJ.4N于°,求出4cop=4EDQ,DP=DQ,證明△COPEDQ(ASA),根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)作OK1K,DL1AN于3設(shè)ED與4c交于點(diǎn)M,證明AB平分NC4N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得

出DK=DL,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙4EM=4DCM,證明△CELWADCK(AAS),根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)可得結(jié)論；

【詳解】(1)解：如圖1,作EF1AD于ECH14B于“，

?.?△48C是等腰直角三角形，AC=6,BD=2V2,

:.乙CAB=48=45。，AB=V62+62=6vL

二△ACH^Wi,BC"是等腰直角三角形，

：.AH=CH=BH=-AB=3VL

2

DH=BH-BD=3近-2a=V2,

:.CD=y/CH2+DH2="8+2=275；

(2)證明：如圖2,作DPI4c于P,DQVANTQ,

J.Z.DPA="PC="QA=Z.DQN=90°,

又..ZCBugO。，ANWBC,

：./.CAN=90°,

:.乙PDQ=90°,

■:4CDE=90°,

:.乙CDP=4EDQ,

,：在等腰直角△48C中，乙CAB=45°,

.MB平分皿N,

：.DP=DQ,

在△COP和△￡網(wǎng)中,

ZCPD=Z.EQD=90°

DP=DQ

乙CDP=乙EDQ

：.△CDP三△EDQ(ASA),

ACD=DE；